Równania różniczkowe zwyczajne  IM UJ 2013/2014
Metody rozwiązywania równań różniczkowych
dy
1. Równania o zmiennych rozdzielonych, czyli równania postaci p(y)dx = q(x)
RozwiÄ…zaniem jest p(y)dy = q(x)dx.
dy
2. Równania postaci = f(ax + by + c)
dx
Podstawienie u = ax + by + c.
dy dy
du 1 du a
Zatem = a + bdx, stÄ…d = - .
dx dx b dx b
du
Równanie przyjmuje postać = bf(u) + a. Rozwiązujemy metodą zmiennych roz-
dx
du
dzielonych = dx.
bf(u)+a
dy y
3. Równania jednorodne względem x i y, czyli równania postaci = f
dx x
y
Podstawienie u = .
x
dy
Przemnożeniu przez x różniczkujemy równość y = ux, otrzymując = u + xdu.
dx dx
Dostajemy równanie postaci u + xdu = f(u). Rozwiązujemy metodą zmiennych roz-
dx
du dx
dzielonych = .
f(u)-u x
dy a1x+b1y+c1
4. Równania postaci = f
dx a2x+b2y+c2
Przypadek I. a1b2 - a2b1 = 0

a1x + b1y + c1 = 0
Niech x = Ä… i y = ² bÄ™dÄ… rozwiÄ…zaniami ukÅ‚adu równaÅ„
a2x + b2y + c2 = 0.
Wtedy a1x+b1y +c1 = a1(x-Ä…)+b1(y -²) oraz a2x+b2y +c2 = a2(x-Ä…)+b2(y -²).
Podstawienie u = x - Ä…, v = y - ².
dy
dv
Zatem = .
dx du
dv a1u+b1v
Otrzymujemy równanie = f . Zatem mamy do rozwiązania równanie
du a2u+b2v
v
a1+b1 u
dv
jednorodne względem u i v, postaci = f .
v
du a2+b2 u
Przypadek II. a1b2 - a2b1 = 0. Mamy więc a1x + b1y = k(a2x + b2y).
Podstawienie u = a1x + b1y.
dy
du
Zatem = a1 + b1 dx.
dx
du u+c1
StÄ…d = a1 + b1f . RozwiÄ…zujemy metodÄ… zmiennych rozdzielonych.
dx ku+c2
5. Równania różniczkowe liniowe jednorodne, czyli równania postaci
dy
+ p(x)y = 0
dx
Jedną z linii całkowych tego równania jest y = 0.
dy
1
Gdy y = 0, rozwiązujemy równanie o zmiennych rozdzielonych = -p(x).

y dx
Niech p(x) = P (x)+C, C " R. Otrzymujemy ln |y| = -P (x)+C, stÄ…d y = ce-P (x),
c = 0.

Zatem rozwiązania danego równania, po uwzględnieniu rozwiązania y = 0, są postaci
y = ce-P (x), c " R.
dy
6. Równania liniowe niejednorodne, czyli równania postaci + p(x)y = q(x)
dx
dy
I. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne + p(x)y = 0. Otrzymujemy rozwią-
dx
zania postaci y = ce-P (x), c " R.
II. Uzmienniamy stałą  zakładamy, że rozwiązanie jest postaci y(x) = u(x)e-P (x).
dy
du
Różniczkując tę zależność, otrzymujemy = e-P (x) + u(x)(-p(x))e-P (x).
dx dx
dy
III. Podstawiamy y oraz do wyjściowego równania niejednorodnego i otrzymujemy
dx
dy
du du
q(x) = + p(x)y = e-P (x) - u(x)p(x)e-P (x) + p(x)u(x)e-P (x) = e-P (x).
dx dx dx
StÄ…d u(x) = q(x)eP (x)dx.
IV. Wyliczone u(x) podstawiamy do równania z uzmiennioną stałą, tj. do y(x) =
u(x)e-P (x) i otrzymujemy rozwiÄ…zanie.
Na koniec warto dokonać sprawdzenia.
2