MK-06
WIZUALIZACJA ROZWI
ZAC
RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH
Zadanie 1
a) Wyprowadzić równania różniczkowe ruchu podwójnego wahadła fizycznego.
A
l, m
Õ1
B
l, m
Õ2
C
2 1 1
2 2 2 2 2
E = ml É1 + ml É2 + ml É1É2 cos(Õ1 -Õ2 )
3 6 2
3 1
U = - mgl cos(Õ1) - mgl cos(Õ2 )
2 2
Uwaga: W powyższych wzorach É1 i É2 oznaczajÄ… pochodne po czasie odpowiednich współrzÄ™dnych
uogólnionych.
Wskazówka: Wykorzystać procedurę lagrange
b) Rozwiązać w sposób przybliżony otrzymany układ równań różniczkowych. Przyjąć następujące dane:
m = 1, l = 1, g = 9.81. Całkowania równań dokonać dla następujących zestawów warunków
poczÄ…tkowych:
3 1

1. Õ1(0) = , Õ2 (0) = , Õ1(0) = 0, Õ2 (0) = 0
5
10 7 - 5
3 1

2. Õ1(0) = - , Õ2 (0) = , Õ1(0) = 0, Õ2 (0) = 0
5
10 7 + 5
Ä„

3. Õ1(0) = 0 , Õ2 (0) = , Õ1(0) = 0, Õ2 (0) = 0
2
Ä„

4. Õ1(0) = , Õ2 (0) = 0, Õ1(0) = 0, Õ2 (0) = 0
2
99Ä„ 99Ä„

5. Õ1(0) = , Õ2 (0) = , Õ1(0) = 0, Õ2 (0) = 0
100 100
> wp:=phi[1](0)=3/(10*sqrt(7)-5),phi[2](0)=1/5,D(phi[1])(0)=0,
D(phi[2])(0)=0;
> roz:=dsolve({row[1],row[2],wp},{phi[1](t),phi[2](t)},numeric);
c) WykreÅ›lić przebiegi czasowe kÄ…tów Õ1 i Õ2 oraz zależność Õ2 od Õ1 (portret fazowy) dla każdego
zestawu warunków początkowych.
> plots[odeplot](roz,[[t,phi[1](t)],[t,phi[2](t)]],0..10,
numpoints=500);
> plots[odeplot](roz,[phi[1](t),phi[2](t)],0..10,numpoints=500);
d) Dokonać animacji ruchu rozpatrywanego układu dla każdego zestawu warunków początkowych.
> Phi[1]:=t->rhs(roz(t)[2]);
> Phi[2]:=t->rhs(roz(t)[4]);
> xA:=0; yA:=0;
xB:=t->l*sin('Phi[1](t)'); yB:=t->-l*cos('Phi[1](t)');
xC:=t->l*sin('Phi[1](t)')+l*sin('Phi[2](t)');
yC:=t->-l*cos('Phi[1](t)')-l*cos('Phi[2](t)');
> P1:=t->[xA,yA];P2:=t->[xB(t),yB(t)];P3:=t->[xC(t),yC(t)];
> animate(plot,[[[P1(t),P2(t)],[P2(t),P3(t)]]],t=0..10,axes=none,
scaling=constrained,frames=300);
Zadanie 2
Zbadać ruch potrójnego wahadła fizycznego, dla którego energia kinetyczna i potencjalna wyrażają się
wzorami:
7 3 2 1
2 2 2 2 2 2
E = ml É1 + ml É1É2 cos(Õ1 -Õ2 )+ ml É2 + ml É1É3 cos(Õ3 - Õ1)+
6 2 3 2
1 1
2 2 2
ml É2É3 cos(Õ3 -Õ2 )+ ml É3
2 6
5 3 1
U = - mgl cos(Õ1)- mgl cos(Õ2 )- mgl cos(Õ3)
2 2 2