PODSTAWY AUTOMATYKI
Opis układów dynamicznych
u(t)
y(t)
równanie
różniczkowe
zerowe
warunki L{ÿ}
poczÄ…tkowe
U(s)
Y(s)
transmitancja
operatorowa G(s)
Transmitancja operatorowa
Y s
( )
G s = Ò! Y s = G s U s transformata sygnaÅ‚u odpowiedzi ukÅ‚adu
( ) ( ) ( ) ( )
U s
( )
L s
( )
G s = - funkcja wymierna
( )
M s
( )
L s ,M s - wielomiany zmiennej zespolonej s
( ) ( )
M s - wielomian charakterystyczny
( )
M s = 0 - równanie charakterystyczne
( )
pierwiastki tego równania nazywa się pierwiastkami charakterystycznymi
Odpowiedz
impulsowa układu
´(t)
g(t)
równanie
różniczkowe
zerowe
L{ÿ}
warunki
poczÄ…tkowe
1
g(s)
transmitancja
operatorowa G(s)
g s = G s Å"1 = G s zatem g t = L G s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
PODSTAWY AUTOMATYKI
Odpowiedz
jednostkowa układu
1(t)
h(t)
równanie
różniczkowe
zerowe
L{ÿ}
warunki
poczÄ…tkowe
1
s h(s)
transmitancja
operatorowa G(s)
G s Å„Å‚G s üÅ‚
( ) ( )żł
1
h s = G s Å" = zatem h t = L
( ) ( ) ( )
òÅ‚
s s s
ół þÅ‚
=====================================================================
ROZKA
AD FUNKCJI WYMIERNEJ NA UA
AMKI PROSTE
L s
( )
F s = - funkcja wymierna
( )
M s
( )
L s ,M s - wielomiany zmiennej zespolonej s
( ) ( )
pierwiastki równania M s = 0 mogą być rzeczywiste i/lub zespolone
( )
Ä…1 Ä…2 Ä…r
M s = s - s1 s - s2 & s - sr
( ) ( ) ( ) ( )
1) Jeśli s1 jest pojedynczy rzeczywisty, to w rozkładzie funkcji F(s) na ułamki proste odpowiada mu
A
ułamek
s - s1
2) Jeśli s2 jest np. trzykrotnym rzeczywistym pierwiastkiem, to w rozkładzie funkcji F(s) na ułamki proste
A B C
odpowiada mu suma ułamków w liczbie równej krotności + +
s - s2 s - s2 2 s - s2 3
( ) ( )
3) Jeśli s3 i s4 stanowią pojedynczą parę pierwiastków zespolonych sprzężonych, to w rozkładzie funkcji F(s) na
As + B
ułamki proste odpowiada im ułamek
s2 + ps + q
4) Jeśli s5 i s6 stanowią dwukrotną parę pierwiastków zespolonych sprzężonych, to w rozkładzie funkcji F(s) na
As + B Cs + D
ułamki proste odpowiada im suma ułamków +
2
s2 + ps + q
s2 + ps + q
( )
PODSTAWY AUTOMATYKI
Przykłady
Rozłożyć na ułamki proste funkcje wymierne postaci
7s
1) F s =
( )
s2 + 5s + 4
s1 =
îÅ‚ -4 Ä…1 = 1
Å‚Å‚
7s A B 28 1 7 1
F s = = = + = Å" - Å"
( )
ïÅ‚s = -1 Ä…2 = 1śł
(s + 4)(s +1) s + 4 s +1 3 s + 4 3 s +1
2
ðÅ‚ ûÅ‚
28 7
f t = Å" e-4t - Å" e-t 1 t
( ) ( )
( )
3 3
1
2) F s =
( )
s3 - s
îÅ‚s1 = 0 Ä…1 = 1Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 A B C 1 1 1
F s = = = -1 Ä…2 = 1 = + + = - + +
( )
2
ïÅ‚s śł
s s -1 s +1 s -1 2 s +1
2 s
s(s2 -1) ( ) ( )
ïÅ‚s3 = 1 Ä…3 = 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
f t = -1+ et + e-t 1 t
( ) ( )
( )
2 2
1
3) F s =
( )
s3 + s2
s1 = 0 Ä…1 = 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 A B C 1 1 1
F s = = = + + = - + + f t = t + e-t 1 t
( ) ( ) (-1+
) ( )
ïÅ‚s = śł
s
s2(s +1) -1 Ä…2 = 1 s2 s +1 s s2 s +1
2
ðÅ‚ ûÅ‚
1
4) F s =
( )
s3 + s
s1 = 0 Ä…1 = 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 A Bs + C 1 s
F s = = = + = -
( )
ïÅ‚s śł
s s
s(s2 +1) = ą j para pierw. zesp. sprzężonych s2 +1 s2 +1
2,3
ðÅ‚ ûÅ‚
f t = 1+ cost 1 t
( ) ( ) ( )
11
5) F s =
( )
s2 + 3s + 5
11 11 11 11 11
F s = = = = = =
( )
2 2 2
1 3 9 9
s2 + 3s + 5
s2 + 2 Å" Å"3s + 5 3 3 3 s2 + 2 Å" s + - + 5 3 11
s2 + 2 Å" s + - + 5 s + +
2 ( ) ( ) 2 4 4 ( )
2 2 2 2 4
2 11
11
11 Å" Å"
2
11 11
2
= = = 2 Å"
2 2 2
2 2 2
3 11 3 11 3 11
s + + s + + s + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3t
ëÅ‚ 11
f t = 2e- 2 sin töÅ‚1 t
( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
PODSTAWY AUTOMATYKI
s - 5
6) F s =
( )
s2 - 2s + 7
5 5 5 5
F s = = = = =
( )
2 2
1
s2 - 2s + 7 2 1 1
s2 - 2 Å" Å" 2s + 7
2 2 2
s2 - 2 Å" s + - + 7
s2 - 2 Å" s + - + 7
2 ( )
( ) ( ) 2 2 2
2 2 2
2 13 13
5Å" Å"
5 5 13 2 2 2
= = = = 5
2 2 2 2 2 2 2
13
2 13 2 13 2 13 2 13
s - + s - + s - + s - +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2
t
2 13t
2
f t = 5 e sin 1 t
( ) ( )
( )
13 2
2s
7) F s =
( )
s2 + s +1
1 1 1
s + - s +
2s 2s 1
2 2 2
F s = = = 2 Å" = 2 Å" - =
( )
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
s2 + 2Å" s + - +1 1 3 1 3 1 3
( ) s + +
s + + s + + s + +
2 4 4 ( ) ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( ) ( )
2 4
2 2 2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 3
s +
2
2 2
= 2 Å" - Å"
2 2
2 2
3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 3 1 3
s + + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
ëÅ‚ 3 2 3 ëÅ‚ 3 2 3 3
f t = 2e- 2 t cos t - e- 2t sin töÅ‚1 t = 2e- 2t cos t - e- 2t sin töÅ‚1 t
( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 3 2
3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład
Korzystając z tablicy transformat wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji:
77 1
a) f t = sin 77t - te-5t t > 0
( )
3 4
77 77 1 1! 77 1
F s = Å" - Å" = -
( )
2 2
3 4
s2 + 77
3 s2 + 77
s + 5 4 s + 5
( ) ( ) ( )
2
b) f t = t e-3t +13e-7t cosëÅ‚ 7 töÅ‚ t > 0
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
13 s + 7
( )
2! s + 7 2
F s = +13Å" = +
( )
2
s + 3 s + 3 s + 7 +
( )3 (s + 7)2 + ëÅ‚ öÅ‚ ( )3 ( )2 7
7
9
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
2 1
c) f t = et + t3 - sin Ä„t t > 0
( )
3 6
2 1 1 3! Ä„ 2 1 Ä„
F s = Å" + Å" - = + -
( )
3 s -1 6
3 s
s4 s2 + Ä„ 2 ( -1
) s4 s2 + Ä„
( )
PODSTAWY AUTOMATYKI
Przykład
1) Rozwiązać układ opisany równaniem różniczkowym postaci
3 2
d y t d y t dy t
( ) ( ) ( )
3 + 5 + 2 = 0
2
dt
dt3 dt
przy danych warunkach poczÄ…tkowych
2 2 2
y 0+ = 4; y 0+ = 2; y 0+ =1
( ) ( ) ( )
Transformata sygnału odpowiedzi układu Y(s)
2 2 2 2
3îÅ‚s3Y s - s2y 0+ - sy 0+ - y 0+ ûÅ‚ + 5îÅ‚s2Y s - sy 0+ - y 0+ ûÅ‚ + 2 s - y 0+ ûÅ‚ = 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )Å‚Å‚ ðÅ‚ ( ) ( )Å‚Å‚ îÅ‚sY ( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ðÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3ðÅ‚s3Y s - 4s2 - 2s -1ûÅ‚ + 5ðÅ‚s2Y s - 4s - 2ûÅ‚ + 2 îÅ‚sY s - 4Å‚Å‚ = 0
( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
3s3 + 5s2 + 2s Y s -12s2 - 6s - 3 - 20s -10 - 8 = 0
( )
( )
12s2 + 26s + 21
Y s =
( )
3s3 + 5s2 + 2s
Oryginał odpowiadający Y(s), czyli rozwiązanie układu, znajdujemy dokonując rozkładu transformaty
Y(s) na ułamki proste
12s2 + 26s + 21 12s2 + 26s + 21 12s2 + 26s + 21 A B C
Y s = = = = + + =
( )
s s +1 2
2
3s3 + 5s2 + 2s
s 3s2 + 5s + 2
s +
( ) s s +1 s +
( )
( )
3
3
2 2
2
A s +1 s + + Bs s + + Cs s +1
( ) ( )
A 3s2 + 5s + 2 + Bs2 + Bs + Cs2 + Cs
( ) ( ) ( )
3 3
3
= = =
2 2
s s +1 s + s s +1 s +
( ) ( )
( ) ( )
3 3
2
2
3A + B + C s2 + 5A + B + C s + 2A
( )
3As2 + 5As + 2A + Bs2 + Bs + Cs2 + Cs
( )
3
3
= =
2 2
s s +1 s + s s +1 s +
( ) ( )
( ) ( )
3 3
Porównujemy wyrażenia w ramkach zaznaczonych powyżej. Takie same mianowniki prowadzą do
wniosku, iż jednakowe powinny być również liczniki.
2
12s2 + 26s + 21 = 3A + B + C s2 + 5A + B + C s + 2A
( )
( )
3
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach s otrzymujemy układ równań
3A + B + C =12
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚5A + 2 B + C = 26
3
ôÅ‚
ôÅ‚2A = 21
ół
Skąd otrzymujemy współczynniki
21 27
A = B = 7 C = -
2 2
i podstawiając do transformaty sygnału wyjściowego
21 1 7 27 1
Y s = Å" + - Å"
( )
2 s s +1 2 2
s +
3
Ostatecznie korzystając z tablicy transformat wyznaczamy oryginał
2t
-
21 27
3
y t = + 7e-t - e dla t > 0
( )
2 2
PODSTAWY AUTOMATYKI
2) Rozwiązać układ opisany równaniem różniczkowym postaci
2
d y t dy t
( ) ( )
+ 4 +13y t = 0
( )
2
dt
dt
przy danych warunkach poczÄ…tkowych
2
y 0+ =1; y 0+ = 0
( ) ( )
Transformata sygnału odpowiedzi układu Y(s)
îÅ‚s2Y s - sy 0+ - y2 0+ + 4 îÅ‚sY s - y 0+ +13Y s = 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )Å‚Å‚ ðÅ‚ ( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
2
îÅ‚ - sûÅ‚ + 4 îÅ‚sY s -1Å‚Å‚ +13Y s = 0
( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚s Y s Å‚Å‚
s2 + 4s +13 Y s - s - 4 = 0
( )
( )
s + 4
Y s =
( )
s2 + 4s +13
Oryginał odpowiadający Y(s), czyli rozwiązanie układu, znajdujemy dokonując następujących
przekształceń
s + 4 s + 4 s + 4 s + 4
Y s = = = = =
( )
s2 + 4s +13 s2 + 2 Å" 2s + 4 - 4 +13
s2 + 2 Å" 2s + 4 + 9
s + 2 + 9
( ) ( )2
s + 2 + 2 s + 2 1 3 s + 2 2 3
= = + 2 Å" Å" = + Å"
s + 2 + 9 s + 2 + 32 3 s + 2 + 32 s + 2 + 32 3 s + 2 + 32
( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2
i wówczas korzystając z tablicy transformat Laplace a
2 2
y t = e-2t cos3t + e-2t sin 3t = e-2t cos3t + sin 3t dla t > 0
( )
( )
3 3
3) Rozwiązać układ opisany równaniem różniczkowym postaci
3
d y t
( )
- y t = 0
( )
dt3
przy danych warunkach poczÄ…tkowych
2 2 2
y 0+ =1; y 0+ = 0; y 0+ =1
( ) ( ) ( )
Transformata sygnału odpowiedzi układu Y(s)
îÅ‚s3Y s - s2y 0+ - sy2 0+ - y2 2 0+ - Y s = 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
3
îÅ‚ - s2 -1ûÅ‚ - Y s = 0
Å‚Å‚
( ) ( )
ðÅ‚s Y s
s3 -1 Y s - s2 -1 = 0
( )
( )
s2 +1
Y s =
( )
s3 -1
Oryginał odpowiadający Y(s), czyli rozwiązanie układu, znajdujemy dokonując następujących
przekształceń
PODSTAWY AUTOMATYKI
A s2 + s +1 + Bs + C s -1
( )( )
( )
s2 +1 s2 +1 A Bs + C
Y s = = = + = =
( )
s -1
s3 -1 -1 s2 + s +1 s
s2 + s +1
s
( ) ( -1 s2 + s +1
)
( ) ( )
A + B s2 + A
( ) ( - B + C s + A - C
)
As2 + As + A + Bs2 - Bs + Cs - C
= =
s
( -1 s2 + s +1 s
) ( -1 s2 + s +1
)
( ) ( )
Porównując wyrażenia w ramkach (identyczne mianowniki). Przyrównujemy liczniki.
s2 +1 = A + B s2 + A - B + C s + A - C
( ) ( )
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach otrzymujemy układ równań
A + B =1
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚A - B + C = 0
ôÅ‚A - C =1
ół
2 1 1
Skąd A = , B = , C = - . Podstawiając do transformaty sygnału wyjściowego
3 3 3
1 1
s -
2 1
3 3
Y s = Å" +
( )
3 s -1
s2 + s +1
Ponieważ powyższa postać nie umożliwia jeszcze wyznaczenia oryginału y(t) należy dokonać
dodatkowych przekształceń
2 1 1 s -1 2 1 1 s -1
Y s = Å" + Å" = Å" + Å" =
( )
3 s -1 3 3 s -1 3 1 1 1
s2 + s +1
s2 + 2 Å" s + - +1
2 4 4
1 1 1 3
s + - -1 s + -
2 1 1 s -1 2 1 1 2 1 1
2 2 2 2
= Å" + Å" = Å" + Å" = Å" + Å" =
2 2 2
3 s -1 3 3 s -1 3 3 s -1 3
1 3 1 3 1 3
s + + s + + s + +
( ) ( ) ( )
2 4 2 4 2 4
1 1 3
s + s +
2 1 1 3 1 2 1 1 3 2
2 2 2
= Å" + Å" - Å" = Å" + Å" - Å" Å" =
2 2 2 2
2 2
3 s -1 3 2 3 s -1 3 2
3
1 3 1 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 3 1 3
s + + s + +
s + + s + +
( ) ( ) ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 4 2 4
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 3
s +
2 1 1
2 2
= Å" + Å" - 3 Å"
2 2
2 2
3 s -1 3
ëÅ‚ 3 öÅ‚ ëÅ‚ 3 öÅ‚
1 1
s + + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
teraz korzystajÄ…c z tablicy
1t 1t
- -
ëÅ‚
2 1 3
2 2
y t = et + e cosëÅ‚ 3 töÅ‚ - 3e sin töÅ‚ dla t > 0
( )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4) Rozwiązać układ opisany równaniem różniczkowym postaci
2
d y t
( )
+ 2y t = 3sin 3t
( )
2
dt
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych
PODSTAWY AUTOMATYKI
îÅ‚s Y s - sy 0+ - dy
2 3
0+ śł + 2Y s = 3Å"
( ) ( )
( ) ( )Å‚Å‚
ïÅ‚
dt
s2 + 9
ðÅ‚ ûÅ‚
9
s2Y s + 2Y s =
( ) ( )
s2 + 9
9
s2 + 2 Y s =
( )
( )
s2 + 9
9
Y s =
( )
s2 + 9 s2 + 2
( )( )
Oryginał odpowiadający Y(s), czyli rozwiązanie układu, znajdujemy dokonując rozkładu na ułamki
proste
Å„Å‚
ôÅ‚s 2 + 9 poj. para pierw.zesp.sprzęż.üÅ‚ As + B Cs + D
ôÅ‚
9
Y s = = = + =
( )
òÅ‚ żł
2
s2 + 9 s2 + 2
( )( ) ôÅ‚
ółs + 2 poj. para pierw.zesp.sprzęż.ôÅ‚ s2 + 9 s2 + 2
þÅ‚
As + B s2 + 2 + Cs + D s2 + 9
( ) ( )
( ) ( )
As3 + 2As + Bs2 + 2B + Cs3 + 9Cs + Ds2 + 9D
= = =
s2 + 9 s2 + 2 s2 + 9 s2 + 2
( )( ) ( )( )
A + C s3 + B + D s2 + 2A + 9C s + 2B + 9D
( ) ( ) ( )
=
s2 + 9 s2 + 2
( )( )
Porównując wyrażenia w ramkach (identyczne mianowniki). Przyrównujemy liczniki.
9 = A + C s3 + B + D s2 + 2A + 9C s + 2B + 9D
( ) ( ) ( )
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach otrzymujemy układ równań
A + C = 0
Å„Å‚
ôÅ‚B + D = 0
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚2A + 9C = 0
ôÅ‚2B + 9D = 9
ół
9 9
SkÄ…d A = 0, B = - , C = 0, D =
7 7
Podstawiając do transformaty sygnału wyjściowego
As + B Cs + D 9 1 9 1 9 1 3 9 1 2
Y s = + = - Å" + Å" = - Å" Å" + Å" Å" =
( )
7 7 7 3
2
s2 + 9 s2 + 2 s2 + 9 s2 + 2 s2 + 32 7 s2 + 2 2
( )
3 3 9 2
= - Å" + Å"
2
7
7 2
s2 + 32
s2 + 2
( )
korzystajÄ…c z tablicy transformat
3 9
y t = - Å"sin 3t + Å"sin 2t dla t > 0
( )
7
7 2
5) Układ opisuje równanie różniczkowe postaci
2
d y t dy t
( ) ( )
+ 7 +10y t = 4u t
( ) ( )
2
dt
dt
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych
Wyznaczyć
- transformatę sygnału odpowiedzi układu Y(s)
PODSTAWY AUTOMATYKI
s2Y s + 7sY s +10Y s = 4U s
( ) ( ) ( ) ( )
s2 + 7s +10 Y s = 4U s
( ) ( )
( )
4
Y s = U s
( ) ( )
s2 + 7s +10
- transmitancjÄ™ operatorowÄ…
Y s
( )
4
G s = =
( )
U s
( ) s2 + 7s +10
- odpowiedz
impulsowÄ…
Å„Å‚
ôÅ‚wyznaczajÄ…c A i B metodÄ… wspól. nieoznaczonychüÅ‚
ôÅ‚
4 4 A B
g s = G s = = = + = =
( ) ( )
òÅ‚ żł
4 4
s + 2 s + 5
s + 2 s + 5
s2 + 7s +10 ( )( )
ôÅ‚A = 3 B = - 3 ôÅ‚
ół þÅ‚
4 1 4 1
= Å" - Å"
3 s + 2 3 s + 5
z tablicy transformat otrzymujemy
4 4 4
g t = Å" e-2t - Å" e-5t = e-2t - e-5t dla t > 0
( )
( )
3 3 3
- odpowiedz
jednostkowÄ…
Å„Å‚
G s
( ) ôÅ‚wyznaczajÄ…c A, B, C metodÄ… wspól. nieoznaczonychüÅ‚
ôÅ‚
4 4 A B C
h s = = = = + + = =
( )
òÅ‚ żł
2 2 4
s s s + 2 s + 5
s s + 2 s + 5
( )( )
s s2 + 7s +10
( )
ôÅ‚A = 5 B = - 3 C = 15 ôÅ‚
ół þÅ‚
2 1 2 1 4 1
= Å" - Å" + Å"
5 s 3 s + 2 15 s + 5
z tablicy transformat
2 2 4 1
h t = - e-2t + Å" e-5t = 6 -10e-2t + 4e-5t dla t > 0
( )
( )
5 3 15 15
6) Układ opisuje równanie różniczkowe postaci
2
d y t dy t du t
( ) ( ) ( )
+ 7 +12y t =19 + 2u t
( ) ( )
2
dt dt
dt
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych
Wyznaczyć
- transformatę sygnału odpowiedzi układu Y(s)
s2Y s + 7sY s +12Y s =19sU s + 2U s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
s2 + 7s +12 Y s = 19s + 2 U s
( ) ( ) ( )
( )
19s + 2
Y s = U s
( ) ( )
s2 + 7s +12
- transmitancjÄ™ operatorowÄ…
Y s
( )
19s + 2
G s = =
( )
U s
( ) s2 + 7s +12
PODSTAWY AUTOMATYKI
- odpowiedz
impulsowÄ…
wyznaczając A, B metodą wspól. nieoznaczonych
Å„Å‚ üÅ‚
19s + 2 19s + 2 A B
g s = G s = = = + =
( ) ( )
òÅ‚A = 74 B = -55 żł
s + 4 s + 3
s + 4 s + 3
s2 + 7s +12 ( )( )
ół þÅ‚
74 55 1 1
= - = 74 Å" - 55Å"
s + 4 s + 3 s + 4 s + 3
KorzystajÄ…c z tablicy
g t = 74e-4t - 55e-3t dla t > 0
( )
- odpowiedz
jednostkowÄ…
G s
( )
19s + 2 19s + 2 A B C
h s = = = = + + =
( )
s s s + 4 s + 3
s s + 4 s + 3
( )( )
s s2 + 7s +12
( )
Å„Å‚
ôÅ‚wyznaczajÄ…c A, B, C metodÄ… wspól. nieoznaczonychüÅ‚ = 1 Å" 1 - 37 Å" 1 + 55 Å" 1
ôÅ‚
=
òÅ‚ żł
1 37 55
6 s 2 s + 4 3 s + 3
ôÅ‚A = 6 B = - 2 C = 3 ôÅ‚
ół þÅ‚
KorzystajÄ…c z tablicy
1 37 55 1
h t = - e-4t + e-3t = 1-111e-2t +111e-5t dla t > 0
( )
( )
6 2 3 6
7) Układ opisuje równanie różniczkowe postaci
3 2 2
d y t d y t dy t d u t du t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ 4 + 4 = 4 +10 + 8u t
( )
2 2
dt dt
dt3 dt dt
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych
Wyznaczyć
- transformatę sygnału odpowiedzi układu Y(s)
4s2 +10s + 8U s
Y s =
( ) ( )
s3 + 4s2 + 4s
- transmitancjÄ™ operatorowÄ…
4s2 +10s + 8
G s =
( )
s3 + 4s2 + 4s
- odpowiedz
impulsowÄ…
4s2 +10s + 8 4s2 +10s + 8 A B C
g s = G s = = = + +
( ) ( )
2 2
s s + 2
s3 + 4s2 + 4s
s s + 2 s + 2
( ) ( )
Wyznaczając A, B, C metodą współczynników nieoznaczonych (z układu równań liniowych) i
podstawiajÄ…c do transformaty g(s)
2 2 2
g s = + -
( )
2
s s + 2
s + 2
( )
KorzystajÄ…c z tablicy transformat Laplace a
g t = 2 + 2e-2t - 2te-2t = 2 1+ e-2t - te-2t dla t > 0
( )
( )
- odpowiedz
jednostkowÄ…
PODSTAWY AUTOMATYKI
G s
( )
4s2 +10s + 8 4s2 +10s + 8 A B C D
h s = = = = + + +
( )
2
s s
s2 s + 2 s + 2 2
s2 s3 + 4s2 + 4s
s2 s + 2
( ) ( ) ( )
Wyznaczając A, B, C, D metodą współczynników nieoznaczonych (z układu równań liniowych) i
podstawiajÄ…c do transformaty
1 1 2 1 1 1
h s = Å" + - Å" +
( )
2
2 s 2 s + 2
s2
s + 2
( )
KorzystajÄ…c z tablicy transformat
1 1
h t = + 2t - e-2t + te-2t dla t > 0
( )
2 2
8) Układ opisuje równanie różniczkowe postaci
2
d y t dy t
( ) ( )
+ + 6y t = t u t
( ) ( )
2
dt
dt
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych
Wyznaczyć
- transformatę sygnału odpowiedzi układu Y(s)
1
Y s =
( )
s2 s2 + s + 6
( )U (s)
- transmitancjÄ™ operatorowÄ…
1
G s =
( )
s2 s2 + s + 6
( )
- odpowiedz
impulsowÄ…
1 A B Cs + D
g s = G s = = + +
( ) ( )
s
s2 s2 + s + 6
s2 s2 + s + 6
( )
Wyznaczając współczynniki A, B, C, D z układu równań liniowych i podstawiając do transformaty g(s)
1 5
s -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 s - 5
36 36
g s = - Å" + Å" + = - Å" + Å" + Å" =
( )
36 s 6 36 s 6 36
s2 s2 + s + 6 s2 s2 + s + 6
1 1 1 1 1 s - 5 1 1 1 1 1 s - 5
= - Å" + Å" + Å" = - Å" + Å" + Å" =
36 s 6 36
1 1 23
s2 s2 + 2 Å" 1 s + 1 - 1 + 6 36 s 6 s2 36 s2 + 2 Å" s + +
( )
2 4 4
2 4 4
1 1
s + - - 5
1 1 1 1 1
2 2
= - Å" + Å" + Å" =
2
2
36 s 6 36
s2
ëÅ‚ öÅ‚
1 23
s + +
ìÅ‚ ÷Å‚
( )
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
s + -11
1 1 1 1 1 1
2 2
= - Å" + Å" + Å" + Å" =
2 2
2 2
36 s 6 36 36
s2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 23 1 23
s + + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 23
1
Å"
s +
2
1 1 1 1 1 1 23
2
= - Å" + Å" + Å" + Å" -11 Å" =
( )
2 2
2 2
36 s 6 36 36 2
s2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 23 1 23
s + + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 23
s +
1 1 1 1 1 11
2 2
= - Å" + Å" + Å" - Å" =
2 2
2 2
36 s 6 36
36 23
s2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 23 1 23
s + + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
PODSTAWY AUTOMATYKI
z tablicy transformat otrzymujemy odpowiedz
impulsowÄ…
1t 1t
- -
ëÅ‚
1 1 1 11 23
2 2
g t = - + t + Å" e cosëÅ‚ 23 töÅ‚ - Å" e sin töÅ‚ =
( )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
36 6 36 2 2
36 23
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1t
-1 t -
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚
1 23 11 23
=
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚-1+ 6t + e 2 cosëÅ‚ 2 töÅ‚ - 23 Å" e 2 sin ìÅ‚ 2 töÅ‚÷Å‚ dla t > 0
36
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
íÅ‚
- odpowiedz
jednostkowÄ…
G s
( )
1 A B C Ds + E
h s = = = + + +
( )
s s
s2 s3 s2 + s + 6
s3 s2 + s + 6
( )
Wyznaczając współczynniki A, B, C, D, E z układu równań liniowych i podstawiając do transformaty
h(s)
5 1
Å" s +
5 1 1 1 1 1 216 36
h s = - Å" - Å" + Å" + =
( )
216 s 36 6
s2 s3 s2 + s + 6
5 1 1 1 1 2! 1 5Å" s + 6
= - Å" - Å" + Å" + Å" =
216 s 36 6 Å" 2! 216 1 1 1
s2 s3
s2 + 2 Å" s + - + 6
2 4 4
5 1 1 1 1 2! 1 5Å" s + 6
= - Å" - Å" + Å" + Å" =
216 s 36 6 Å" 2! 216
1 1 23
s2 s3
s2 + 2 Å" s + +
( )
2 4 4
1 5
5Å" s + - + 6
( )
2 2
5 1 1 1 1 2! 1
= - Å" - Å" + Å" + Å" =
2
2
216 s 36 6 Å" 2! 216
s2 s3
ëÅ‚ öÅ‚
1 23
s + +
ìÅ‚ ÷Å‚
( )
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
23
5 Å" s +
( )
2
5 1 1 1 1 2! 1 1 7 2
2
= - Å" - Å" + Å" + Å" + Å" Å" Å" =
2 2
2 2
216 s 36 12 216 216 2
23
s2 s3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 23 1 23
s + + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1 23
s +
5 1 1 1 1 2! 5 7
2 2
= - Å" - Å" + Å" + Å" + Å"
2 2
2 2
216 s 36 12 216
216 23
s2 s3
ëÅ‚ 23 öÅ‚ ëÅ‚ 23 öÅ‚
1 1
s + + s + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
z tablicy transformat
1t 1t
- -
ëÅ‚
5 1 1 2 5 7 23
2 2
h t = - - t + t + e cosëÅ‚ 23 töÅ‚ + e sin töÅ‚ dla t > 0
( )
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
216 36 12 216 2 2
216 23
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
9) Układ opisuje równanie różniczkowe postaci
2
d y t dy t du t
( ) ( ) ( )
+ 8 + 7y t = 3 - u t
( ) ( )
2
dt dt
dt
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych
Wyznaczyć
- transformatę sygnału odpowiedzi układu Y(s)
3s -1
Y s = U s
( ) ( )
s2 + 8s + 7
- transmitancjÄ™ operatorowÄ…
PODSTAWY AUTOMATYKI
3s -1
G s =
( )
s2 + 8s + 7
- odpowiedz
impulsowÄ…
3s -1 3s -1 A B
g s = G s = = = +
( ) ( )
s + 7 s +1
s + 7 s +1
s2 + 8s + 7 ( )( )
Wyznaczając współczynniki A, B z układu równań liniowych i podstawiając do transformaty g(s)
11 1 2 1
g s = Å" - Å"
( )
3 s + 7 3 s +1
Z tablicy transformat otrzymujemy
11 2 1
g t = Å" e-7t - Å" e-t = 11Å" e-7t - 2 Å" e-t dla t > 0
( )
( )
3 3 3
- odpowiedz
jednostkowÄ…
G s
( )
3s -1 3s -1 A B C
h s = = = = + +
( )
s s s + 7 s +1
s s + 7 s +1
( )( )
s s2 + 8s + 7
( )
Wyznaczając współczynniki A, B, C z układu równań liniowych i podstawiając do transformaty h(s)
1 1 11 1 2 1
h s = - Å" - Å" + Å"
( )
7 s 21 s + 7 3 s +1
KorzystajÄ…c z tablicy transformat
1 11 2 1
h t = - - e-7t + Å"e-t = -3 -11e-7t +14 Å" e-t dla t > 0
( )
( )
7 21 3 21
10) Układ opisuje równanie różniczkowe postaci
3
d y t dy t du t
( ) ( ) ( )
+ 7 = 4 - u t
( )
dt3 dt dt
przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych
Wyznaczyć
- transformatę sygnału odpowiedzi układu Y(s)
4s -1
Y s = U s
( ) ( )
s3 + 7s
- transmitancjÄ™ operatorowÄ…
4s -1
G s =
( )
s3 + 7s
- odpowiedz
impulsowÄ…
4s -1 4s -1 A Bs + C
g s = G s = = = +
( ) ( )
s
s3 + 7s s2 + 7
s s2 + 7
( )
Wyznaczając współczynniki A, B, C z układu równań liniowych i podstawiając do transformaty g(s)
PODSTAWY AUTOMATYKI
1
s + 4
1 1 1 1 1 s 4
7
g s = - Å" + = - Å" + Å" + =
( )
7 s 7 s 7
s2 + 7 s2 + 7 s2 + 7
1
4 Å" Å" 7
1 1 1 s 7 1 1 1 s 4 7
= - Å" + Å" + = - Å" + Å" + Å" =
2 2
7 s 7 7 s 7
7
s2 + 7 s2 + 7
s2 + 7 s2 + 7
( ) ( )
1 1 1 s 4 7 7 1 1 1 s 4 7 7
= - Å" + Å" + Å" = - Å" + Å" + Å"
2 2 2
7 s 7 7 7 s 7 7
s2 + 7
s2 + 7 s2 + 7 s2 + 7
( ) ( ) ( )
KorzystajÄ…c z tablicy transformat
1 1 4 7 1
g t = - + cos 7t + sin 7t = -1+ cos 7t + 4 7 sin 7t dla t > 0
( )
( )
7 7 7 7
- odpowiedz
jednostkowÄ…
G s
( )
4s -1 4s -1 A B Cs + D
h s = = = = + +
( )
s s
s2 s2 + 7
s s3 + 7s s2 s2 + 7
( ) ( )
Wyznaczając współczynniki A, B, C, D z układu równań liniowych i podstawiając do transformaty h(s)
4 1
- s +
4 1 1 1 4 1 1 1 1 4s -1
7 7
h s = Å" - Å" + = Å" - Å" - Å" =
( )
7 s 7 7 s 7 7
s2 s2 + 7 s2 s2 + 7
4 1 1 1 1 4s 1 1 4 1 1 1 4 s 1 1 7
= Å" - Å" - Å" + Å" = Å" - Å" - Å" + Å" Å" =
7 s 7 7 7 7 s 7 7
7
s2 s2 + 7 s2 + 7 s2 s2 + 7 2 7 s2 + 7 2
( ) ( )
4 1 1 1 4 s 7 7
= Å" - Å" - Å" + Å"
7 s 7 7
s2 s2 + 7 2 49 s2 + 7 2
( ) ( )
KorzystajÄ…c z tablicy transformat
4 1 4 7 1
h t = - t - cos 7t + sin 7t = 28 - 7t - 28cos 7t + 7 sin 7t dla t > 0
( )
( )
7 7 7 49 49