1. ODWROTNA TRANSFORMATA LAPLACE'A
Operację wyznaczania funkcji f(t) z danej transformaty operatorowej
Laplace'a F(s) wykonuje się przy u\
yciu odwrotnej transformaty Laplace a, a
którą wyznacza się z następującego wzoru
c+ j" f (t),t e" 0
ńł
1
�ł
Ł-1{F(s)}= 2Ąj F(s)estds = ół 0,t < 0
+"
c- j"
gdzie c jest stałą, która jest większa od części rzeczywistych wszystkich
punktów funkcji na płaszczyz
nie s, w których funkcja F(s) nie istnieje. Dla
prostych funkcji, operacja znajdowania odwrotnej transformaty operatorowej
polega na wyszukaniu odpowiedniej funkcji z tabeli transformat Laplace'a
(tabela w poprzednim podpunkcie).
Dla funkcji zło\
onych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest
przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli
transformat.
2. ROZKA
AD NA UA
AMKI PROSTE
Transformata Laplace'a rozwiązująca równanie ró\
niczkowe jest funkcją
operatorową względem s, i mo\
e to zostać zapisane następująco:
L(s)
G(s) =
M (s)
gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względem s. Równanie zostało zapisane przy
zało\
eniu, \
e rząd wielomianu M(s) jest większy od rzędu wielomianu L(s).
Wielomian mianownika M(s) mo\
e być zapisany następująco:
M (s) = ansn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0
gdzie a0 , a1 ,..., an są współczynnikami rzeczywistymi.
Metoda rozkładu na ułamki proste zostanie przedstawiona dla
następujących przypadków: gdy bieguny funkcji G(s) są jednokrotne,
wielokrotne i zespolone.
_________________________________________________________________________________________________
1
Powered by xtoff� [e-mail]
2.1.1 Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne
Jeśli wszystkie bieguny funkcji operatorowej G(s) są jednokrotne
(pojedyncze) i rzeczywiste, wówczas mo\
na zapisać:
L(s) L(s)
G(s) = =
(*)
M (s) (s - s1)(s - s2)...(s - sn )
gdzie s1 `" s2 `"& `" sn . Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika,
wówczas rozkład takiej funkcji na ułamki zwykłe jest następujący:
L(s) K1 K2 Kn
G(s) = = + + ... +
M (s) (s - s1) (s - s2 ) (s - sn )
Następnie przystępuje się do wyznaczania współczynników Ki (i = 1, 2, ..., n).
Polega to na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika
i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie współczynników liczników.
Sposób rozwiązywania został przedstawiony w części zadania rozwiązane
Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest ni\
szy ani\
eli stopień
wielomianu mianownika, wówczas wielomian licznika musi zostać podzielony
przez wielomian mianownika, a\
uzyska się stopień wielomianu resztkowego
ni\
szy od stopnia mianownika
wielomian resztowy
L(s) L(s)
G(s) = = = C +
M (s) (s - s1)(s - s2 )...(s - sn ) (s - s1)(s - s2)...(s - sn )
C-liczba całkowita
2.1.2 Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne-metoda residuów
Drugi znacznie szybszy, tzw. metodą residuów, polega na obustronnym
pomno\
eniu równania (*) przez (s- si), podstawieniu za s = si i wyznaczenie
współczynnika Ki. Odbywa się następująco:
�ł L(s) łł L(si )
Ki = - si )
�ł(s M (s)śłs=si = (si - s1)(si - s2 )...(si - sn )
�ł �ł
_________________________________________________________________________________________________
2
Powered by xtoff� [e-mail]
2.2. Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne
Jeśli bieguny (pierwiastki równania charakterystycznego) funkcji operatorowej
G(s) są wielokrotne i rzeczywiste wówczas mo\
na zapisać:
L(s) L(s)
G(s) = =
M (s) (s - s1)(s - s2)...(s - sn-r )(s - si )r
gdzie i `" 1, 2, ..., n-r. W tym przypadku funkcja operatorowa G(s) mo\
e być
wyra\
ona w sposób:
L(s) K1 K2 Kn-r A1 A2 Ar
G(s) = = + + ... + + + + ... +
M (s) (s - s1) (s - s2 ) (s - sn-r ) (s - s1) (s - s1)2 (s - s1)r
Współczynniki K1 , K2 ,..., Kn-r odpowiadają biegunom pojedynczym,
współczynniki A1 , A2 ,..., Ar odpowiadają biegunom wielokrotnym i mogą
zostać wyznaczone w identyczny sposób jak w punkcie 2.1. Przykład tak\
e
został zamieszczony w części zadania rozwiązane.
2.3. Funkcja G(s) ma bieguny zespolone
W tym przypadku transmitancję zapisujemy w następującej postaci:
L(s) L(s)
G(s) = =
M (s) (s - s1)(s - s2)...(s - sn-2)(s2 + ps + q)
Gdzie:
p, q  stałe
p-4q<0 (!!!)
Sposób postępowania z pierwiastkami rzeczywistymi jest analogiczny do pkt 2.1
i 2.2. Natomiast bieguny zespolone powinny mieć następujący zapis:
L(s) Bs + D
G(s) = = ... +
...(s2 + ps + q) (s2 + ps + q)
W przypadku wielokrotnych biegunów zespolonych stosujemy superpozycję
metod z pkt 2.2 i bie\
ącego.
_________________________________________________________________________________________________
3
Powered by xtoff� [e-mail]