Fizyka, podręcznik elektroniczny Michała Dyszyńskiego. Rozkład sił na równi pochyłej






Siły na równi - wstęp



Pojęcia niezbędne do opanowania rozdziału: prędkość,
przyspieszenie,
siła,
druga
zasada dynamiki
Najpoważniejszym zadaniem o siłach jakie rozwiązuje się w szkole średniej
jest zazwyczaj analiza ruchu klocka zsuwającego się z równi pochyłej. Jest to
zadanie dosyć złożone i, niestety, bardzo często błędnie tłumaczone. Dlatego
postaram się dokładnie wyjaśnić ten problem.
Podstawowym celem jaki postawimy sobie przy analizie ruch klocka na równi
pochyłej jest wyznaczenie siły wypadkowej działającej na ten klocek, a w
dalszej kolejności jego przyspieszenia. Jeżeli siła wypadkowa okaże się równa
zero, to oznaczać to będzie, że klocek pozostanie w spoczynku, lub (jeżeli kto
go wcześniej pchnął) będzie poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
W przypadku gdy siła wypadkowa będzie większa od zera będziemy mogli obliczyć
przyspieszenie klocka. Zastosujemy wtedy II zasadÄ™ dynamiki Newtona:



Obliczanie siły wypadkowej
dla klocka na równi
Aby obliczyć siłę wypadkową musimy odpowiedzieć sobie najpierw na następujące
pytanie:
Jakie siły działają na ciało zsuwające się z równi?





ponieważ jesteśmy na Ziemi, więc działa
siła ciężkości.
Siła ta skierowana jest w dół, a jej wartość zależy od masy klocka
(P= m× g).
Gdyby działała tylko ona, to ciało spadałoby swobodnie.
Jednak spadaniu przeciwdziała inna siła...




siła reakcji podłoża (równi)
Dzięki sile reakcji klocek nie może sforsować kierunku prostopadłego do
powierzchni równi.
Wartość siły reakcji jest dokładnie równa wartości składowej siły
ciężkości prostopadłej do równi.
Dzięki temu obie siły prostopadłe do powierzchni równi równoważą się i
klocek nie przesuwa się wzdłuż kierunku prostopadłego do równi.




siła tarcia
Siła ta jest przeciwna do kierunku ruchu, a więc dla klocka zsuwającego
się będzie skierowana wzdłuż równi, do góry. Wartość tej siły zależy od
współczynnika tarcia klocka o równię.

I to już wszystkie siły! Na ciało działają tylko trzy siły zewnętrzne:
ciężkości, reakcji podłoża i tarcia.
Jak poprawnie
narysować rozkład sił na równi?
Oto sposób postępowania:
1. Najpierw rysujemy siłę
ciężkości
skierowaną pionowo w dół. Punkt przyłożenia siły ciężkości powinien znajdować
się w środku ciała.
2. Rozkładamy siłę ciężkości na składowe, aby przeanalizować dwie role
jakie pełni siła ciężkości (patrz Dokładny
rozkład siły ciężkości na składowe):

składową równoległą do kierunku ruchu (a więc i do powierzchni równi) -
jest to tzw. "siła ciągająca", czyli składowa powodująca ruch klocka w dół
równi
prostopadłą do równi - jest to składowa dociskająca klocek do równi

3. Rysujemy siłę reakcji
równi (patrz - Rysowanie
siły reakcji równi) jest ona dokładnie przeciwna do składowej siły ciężkości
prostopadłej do równi (siły te równoważą się). Siła reakcji równi nie pozwala
klockowi spadać. Zwyczajowo punkt przyłożenia tej siły rysujemy od punktu
styczności klocka z równią.
4. Rysujemy siłę
tarcia (patrz Rysowanie
siły tarcia). Wektor tej siły "leży" na równi przyczepiony do końca klocka.
Musi być on przeciwny do kierunku ruchu, a więc dla klocka zsuwającego się
będzie wycelowany nieco w górę.
Kompletny rozkład sił na równi wygląda tak:

Jak widać na klocek działają trzy siły. Nie narysowano sił składowych
kreślonych pomocniczo, bo nie są one prawdziwymi siłami, mającymi źródło w
oddziaływaniu z innymi ciałami, tylko obrazują role jakie pełni tu siła
ciężkości.
Dokładne narysowanie wszystkich sił jest bardzo ważne, bo stanowi punkt
wyjścia do dalszych
obliczeń.
Dokładny rozkład siły ciężkości na
składowe
W celu rozłożenia siły ciężkości na składowe postępujemy następująco:





Rysujemy siłę ciężkości skierowaną pionowo w dół. W rysunkach
schematycznych nie musimy się martwić o jej długość - rysujemy ją tak,
aby dobrze mieściła się na rysunku.
rysujemy linie pomocnicze (przerywane): prostopadłe i równoległe do
równi. Muszą one przechodzić przez początek i koniec wektora siły
ciężkości.


Prowadzimy wektory sil składowych:
- składowa prostopadła (P+) ma początek w początku
siły ciężkości, a koniec w punkcie przecięcia linii pomocniczych (patrz rzutowanie
wektora)
- składowa równoległa (P||) ma początek w początku
siły ciężkości, a koniec w drugim punkcie przecięcia linii
pomocniczych
Uwaga:Te dwie składowe nie są nowymi siłami, lecz zastępują
nam siłę P tak, że ukazują jej rolę w ciąganiu klocka w dół i
dociskaniu do powierzchni równi.

 
Rysowanie siły reakcji równi



Siła reakcji równi jest siłą dokładnie przeciwną do
składowej siły ciężkości prostopadłej do równi (siły dociskającej). Ma
więc ona ten sam kierunek i wartość co siła dociskająca, ale przeciwny
zwrot.
Siłę reakcji rysujemy od punktu styczności klocka w równią, aby
podkreślić, że źródłem tej siły jest równia (gdyby nie było równi, nie
byłoby tej siły i klocek by spadał)

 
Rysowanie siły tarcia



Siłę tarcia narysować jest najłatwiej, bo jest ona zawsze
zgodna z kierunkiem równi, a jej zwrot jest przeciwny do prędkości.
Zazwyczaj przy rysunkach pomocniczych nie musimy martwić się o długość
strzałki tej siły, bo nie zależy ona bezpośrednio od pozostałych sił (ale
pośrednio tak!)
Na tym rysunku przedstawiono przypadek siły tarcia dla ruchu w dół
równi. Tarcie klocka poruszającego się w górę równi (ciągniętego, bądź
energicznie pchniętego) byłoby przeciwne.

Obliczanie siły wypadkowej działającej na
klocek zsuwający się z równi
Głównym celem analizowania sił działających na równi było obliczenie siły
wypadkowej. Teraz więc zajmiemy się rachunkową częścią zadania.
Przypomnijmy: siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich działających sił:



Przy czym my oznaczyliśmy:

siłę ciężkości przez P,
siłę reakcji jako R,
siłę tarcia jako T
Zatem:


Jednoczenie siłę ciężkości P rozłożyliśmy na składową prostopadłą
P+ i równoległą P|| do równi:


Podstawiamy tę zależność do równania na siłę wypadkową:


Teraz trzeba zauważyć, że:




Składowa prostopadła siły ciężkości i siła reakcji są do
siebie przeciwne i mają tę samą wartość (równoważą się), a więc ich suma
jest równa zero (jest wektorem zerowym) - patrz rysowanie siły
reakcji
Po uwzględnieniu tego faktu równanie na siłę wypadkową znacznie nam się
uprości:


Powstałe równanie jest ważnym wnioskiem. Sformułujmy go słownie:
Siła wypadkowa działająca na klocek zsuwający się z równi jest sumą wektorową
siły ciągającej (czyli składowej siły ciężkości równoległej do równi) i siły
tarcia.




Np. gdy klocek zsuwa się bez tarcia, wtedy mamy już
obliczoną siłę wypadkową:


 

Teraz następny ważny moment - pozbywamy się wektorów z naszych obliczeń. Do
tego, żeby znaleźć wartość siły wypadkowej musimy równanie na siłę wypadkową
zapisać w postaci skalarnej - z wartościami wektorów zamiast z wektorami.
Skorzystamy tu z ważnego faktu, że siła tarcia i siła ciągająca leżą na
jednej prostej. Oznacza to, że jeżeli zwrot siły ciągającej uznajemy za dodatni,
to siła tarcia w równaniu na wartości wystąpi ze znakiem minus.



Fw = P||
- T
Zwróć uwagę!: po pozbyciu się strzałek nad symbolami sił,
wartość siły tarcia występuje ze znakiem minus. I tak być musi, bo na
zsuwający się klocek tarcie działa przeciwnie do kierunku, który umownie
przyjęliśmy jako dodatni - do kierunku w dół równi.
 
Mamy (prawie) siłę wypadkową. Znak minus przy sile tarcia wskazuje, że tarcie
przyczynia się do hamowania ciała.
Teraz musimy jeszcze wyrazić obydwie siły przez wartości dane. A co tu mamy
dane? - najczęściej w tym problemie zakłada się:



Dane:kąt nachylenia równi a:współczynnik tarcia klocka o równię:
fmasÄ™ klocka: m.
Szukamy:siła wypadkowa
Fw,przyspieszenie ciała a
W celu obliczenia siły wypadkowej, musimy siłę ciągającą
P|| oraz tarcie T wyrazić przez dane: m, f,
a . Aby to zrobić trzeba posłużyć się
funkcjami trygonometrycznymi sinus i kosinus.



Przypatrzmy się jeszcze raz rozkładowi siły ciężkości na
składowe. Rysunek poniższy jest podobny do poprzedniego z wyjątkiem
umiejscowienia siły ciągającej P||. Została ona
przeniesiona do końca siły ciężkości, tak aby wraz ze składową prostopadłą
utworzyć trójkąt prostokątny.
Kąt ostry tego trójkąta jest równy kątowi nachylenia równi (kąty o
ramionach prostopadłych są równe)

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus można
napisać:




stÄ…d
P|| =P× sin a


stÄ…d
P+ =P× cos a
P|| jest już gotowa do podstawienia.
P+ użyjemy do obliczenia siły tarcia. Skorzystamy przy tym
ze wzoru definiującego współczynnik tarcia:


gdzie T jest wartością siły tarcia, a N jest wartością siły
dociskającej trące powierzchnie. Z wzoru tego, po pomnożeniu obu stron równania
przez N, otrzymujemy:

T=N× f
W naszym wypadku za docisk klocka do równi odpowiada składowa prostopadła
siły ciężkości.

N = P+
Podstawiamy wyrażanie na P+

N=P× cos a
Ostatecznie mamy więc wartość siły tarcia klocka zsuwającego się z równi (ten
wzór jeszcze się przyda!):

T= f× P× cos a
Teraz zarówno tarcie, jak i siłę ciągającą podstawimy do wzoru na siłę
wypadkowÄ…:

Fw= P× sin a - f× P× cos a
Po wyciągnięciu P przed nawias otrzymamy bardziej zwartą postać siły
wypadkowej:

Fw= P× (sin a - f× cos a )
Aby siła ta zawierała jedynie wielkości dane trzeba na koniec podstawić
wartość siły ciężkości:

P = m× g
Zatem (Wynik 1!):

Fw= m× g× (sin a - f× cos a )
Jest to szukany przez nas wzór na siłę wypadkową.
Aby obliczyć przyspieszenie klocka, trzeba skorzystać z 2 zasady dynamiki
Newtona:



Po podstawieniu w miejsce Fwypadkowa otrzymanego
wzoru uzyskamy :


Teraz m się skraca i otrzymujemy wzór ostateczny:

a = g× (sin a - f× cos a )
 
Klocek na równi - zadania
dodatkowe
A teraz dwa proste problemy - zadanka dla sprawdzenia, czy wszystko jest
jasne.
Problem 1
Dane jest masa klocka, kąt nachylenia równi i współczynnik tarcia. Ile wynosi
siła tarcia dla klocka w ruchu i spoczywającego. Jaki kąt nachylenia powinna
mieć równia o współczynniku tarcia f = 0,25, aby klocek postawiony na
niej nie zsuwał się?
Problem 2
Z jaką siłą należy ciągnąć ciało o masie 100 kg w górę gładkiej równi
(gÅ‚adka, czyli bez tarcia!) o kÄ…cie nachylenia 30°? Ile razy mniej siÅ‚y trzeba,
aby wciągnąć ten klocek po równi tej niż podnieć go?
RozwiÄ…zanie problemu 1.
Jest to problem łatwy rachunkowo, choć nie całkiem oczywisty, jeśli chodzi o
wytłumaczenie. Na początek spróbuj rozwiązać ten problem samodzielnie.
... Znasz już odpowiedź? - a teraz moje
RozwiÄ…zanie problemu 1:
Najpierw musimy uwiadomić sobie co powoduje ruch klocka. Wiadomo, dla małych
kątów nachylenia klocek będzie wystarczająco przytrzymywany przez tarcie; dla
dużych, klocek zsunie się.
Pojawia siÄ™ zatem pytanie:Przy jakim kÄ…cie nachylenia postawiony klocek
zaczyna zsuwać się z równi?
Ten przypadek graniczny jest wynikiem zmiany w konfiguracji dwóch sił: siły
ciągającej - działającej w dół i siły tarcia przytrzymującej. Wraz ze wzrostem
kąta nachylenia równi zwiększa się wartość siły ciągającej. A co się dzieje z
siłą tarcia?
- póki klocek spoczywa, musi istnieć równowaga tych sił (I zasada dynamiki
Newtona), a więc siła tarcia musi rosnąć równoważąc siłę ciągającą. Jednak...
tylko do pewnego momentu.
Do jakiego momentu? - do sytuacji, w której spełniony zostanie wzór:


Tutaj widzimy kolejny problem: to jak to... to do tej pory ten wzór nie
obowiązywał (przecież jest podawany "jak prawdziwy"... - to po co się go
uczymy?)
Ano właśnie! - powyższy wzór opisuje albo:

wartość maksymalnej siły tarcia przy ruszaniu (tzw. tarcie statyczne),
albo
siły tarcia dynamicznego (dla klocka w ruchu).
Póki klocek spoczywa, ale nie ma tendencji do ruszania, dopóty siła tarcia
wyrównuje się do wartości siły ciągającej i wzór nie ma zastosowania.
Czyli mamy pierwszą część odpowiedzi:
Dla nieruchomego klocka siła tarcia jest równa sile ciągającej:

T = P|| = P× sin a
a ponieważ P = m× g

T = m× g × sin a
Dopiero dla ruchomego klocka zaczyna obowiązywać wzór ze współczynnikiem
tarcia.
Zajmijmy się teraz przypadkiem granicznym, czyli sytuacją, w której klocek
rusza z miejsca. Wtedy stosujemy wzór na tarcie statyczne:


Oraz

T = P||
Z pierwszego równania po pomnożeniu obu stron przez N otrzymamy:

T = f N, czyli P||=f × N
Ale ponieważ
P|| = P× sin a, a N = P+=
P× cos
a (patrz w
rozwiązaniu głównego zadania), więc

P sin a = P× f× cos a
Po podzieleniu obu stron równania przez P×
cos a mamy:

,
ale z funkcji trygonometrycznych wiadomo, że

, czyli

tg a =
f
I to jest szukana zależność dla kąta granicznego

tg a
graniczne = fstatyczne
 



Jeżeli chcemy, aby klocek nie zsuwał się
po równi o współczynniku tarcia statycznego 0,5 tangens kąta nachylenia
równi musi spełniać warunek:
tg a
graniczne < 0,5

Zachodzi to dla kÄ…ta:
a graniczne
< 26,5°

A teraz obliczymy siłę tarcia dla kąta
granicznego
T = fstatyczne N

A ponieważ (patrz główne rozwiązanie):
N = P× cos a = m× g × cos a

więc:
Tgraniczne =
fstatyczne × m × g × cos a
graniczne
Z kolei dla klocka w ruchu obowiązuje wzór wyprowadzony w
głównej części zadania -
Tw ruchu = fdynamiczne
× m
× g
× cos
a
Podsumujmy nasze rozważania:
Odpowiedź do problemu 1



dla klocka nieruchomego
T = m× g × sin a

przypadek szczególnya =
a
graniczne
T=m× g× sin a
graniczne=fstatyczne× m× g× cosa
graniczne

dla klocka w ruchu
Tw ruchu =
fdynamiczne × m × g × cos a

wartość kąta granicznego spełnia
równanie
tg a graniczne =
fstatyczne

kÄ…t graniczny
a
graniczne < 26,5°
 



Uwaga:Zazwyczaj wartość współczynnika
tarcia statycznego jest większa od współczynnika tarcia
dynamicznego.

RozwiÄ…zanie problemu 2.



Dane:
Szukamy

m=100 kga = 30°brak tarcia,
czyli f = 0
F
ciągnięcia



Zróbmy rysunek, na którym zaznaczymy
wszystkie działające siły:

siłę
ciężkości

siłę
reakcji równi
siłę ciągnącą klocek w górę
Tutaj siły tarcia nie ma




Widać z tego rysunku, że:
Siła ciężkości jest jak poprzednio częściowo równoważona
przez siłę reakcji (dokładniej siła reakcji równoważy składową siły
ciężkości prostopadłą do równi).

 
Składowa siły ciężkości równoległa do równi (siła
ciągająca) ma swoją oponentkę w postaci siły ciągnącej
F.
Jak wielka musi być F, aby pociągnąć klocek do
góry?

Pierwsza narzucająca się odpowiedź, to: większa niż siła
ciÄ…gajÄ…ca.
Tak, ale o ile większa?
- wystarczy, aby siła ta choćby na chwilę była minimalnie
większa od składowej ciągającej (nawet np. o jedną bilionową Newtona). Wtedy
klocek zostanie już ruszony i dalej można już tylko podtrzymywać jego prędkość
działając siłą dokładnie równą sile ciągającej. Tak więc praktycznie przez
prawie cały ruch ciągnąca siła może być równa sile ciągającej.

F = P||
Ponieważ

P|| = m× g × sin a ,
więc (odpowiedź w zadaniu)

F = m× g × sin a ,
Podstawiamy dane:

F = 100 kg× 10 m/s2 × sin 30°=1000 N× 0,5=500 N
A jaką siłą trzeba działać aby zwyczajnie podnieć klocek do
góry? - zastosujemy wzór na siłę ciężkości:

P = m× g
P = 100 kg× 10 m/s2 =1000 N
Stosunek tych sił wynosi 0,5 - dwa razy łatwiej jest ciągnąć
ciało po takiej równi, niż podnosić je.
Pytanie dla czytelnika:
A przy jakim współczynniku tarcia nie mielibyśmy żadnego zysku
na sile, tzn. kiedy cały zysk z zastosowania równi zostałby wykorzystany na
pokonanie siły tarcia?
Odp. - spróbuj samodzielnie dojść do tej odpowiedzi.
 
Siły na równi - patrz także

spis treści
wektory i skalary
przyspieszenie
pęd
masa
prędkość

 
Siły na równi - wstęp



Pojęcia niezbędne do opanowania rozdziału: prędkość,
przyspieszenie,
siła,
druga
zasada dynamiki
Najpoważniejszym zadaniem o siłach jakie rozwiązuje się w szkole średniej
jest zazwyczaj analiza ruchu klocka zsuwającego się z równi pochyłej. Jest to
zadanie dosyć złożone i, niestety, bardzo często błędnie tłumaczone. Dlatego
postaram się dokładnie wyjaśnić ten problem.
Podstawowym celem jaki postawimy sobie przy analizie ruch klocka na równi
pochyłej jest wyznaczenie siły wypadkowej działającej na ten klocek, a w
dalszej kolejności jego przyspieszenia. Jeżeli siła wypadkowa okaże się równa
zero, to oznaczać to będzie, że klocek pozostanie w spoczynku, lub (jeżeli kto
go wcześniej pchnął) będzie poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
W przypadku gdy siła wypadkowa będzie większa od zera będziemy mogli obliczyć
przyspieszenie klocka. Zastosujemy wtedy II zasadÄ™ dynamiki Newtona:



Obliczanie siły wypadkowej
dla klocka na równi
Aby obliczyć siłę wypadkową musimy odpowiedzieć sobie najpierw na następujące
pytanie:
Jakie siły działają na ciało zsuwające się z równi?





ponieważ jesteśmy na Ziemi, więc działa siła ciężkości.

Siła ta skierowana jest w dół, a jej wartość zależy od masy klocka
(P= m× g).
Gdyby działała tylko ona, to ciało spadałoby swobodnie.
Jednak spadaniu przeciwdziała inna siła...




siła reakcji podłoża (równi)
Dzięki sile reakcji klocek nie może sforsować kierunku prostopadłego do
powierzchni równi.
Wartość siły reakcji jest dokładnie równa wartości składowej siły
ciężkości prostopadłej do równi.
Dzięki temu obie siły prostopadłe do powierzchni równi równoważą się i
klocek nie przesuwa się wzdłuż kierunku prostopadłego do równi.




siła tarcia
Siła ta jest przeciwna do kierunku ruchu, a więc dla klocka zsuwającego
się będzie skierowana wzdłuż równi, do góry. Wartość tej siły zależy od
współczynnika tarcia klocka o równię.

I to już wszystkie siły! Na ciało działają tylko trzy siły zewnętrzne:
ciężkości, reakcji podłoża i tarcia.
Jak poprawnie
narysować rozkład sił na równi?
Oto sposób postępowania:
1. Najpierw rysujemy siłę ciężkości skierowaną pionowo w dół.
Punkt przyłożenia siły ciężkości powinien znajdować się w środku ciała.
2. Rozkładamy siłę ciężkości na składowe, aby przeanalizować dwie role
jakie pełni siła ciężkości (patrz Dokładny
rozkład siły ciężkości na składowe):

składową równoległą do kierunku ruchu (a więc i do powierzchni równi) -
jest to tzw. "siła ciągająca", czyli składowa powodująca ruch klocka w dół
równi
prostopadłą do równi - jest to składowa dociskająca klocek do równi

3. Rysujemy siłę reakcji równi (patrz - Rysowanie
siły reakcji równi) jest ona dokładnie przeciwna do składowej siły ciężkości
prostopadłej do równi (siły te równoważą się). Siła reakcji równi nie pozwala
klockowi spadać. Zwyczajowo punkt przyłożenia tej siły rysujemy od punktu
styczności klocka z równią.
4. Rysujemy siłę tarcia (patrz Rysowanie
siły tarcia). Wektor tej siły "leży" na równi przyczepiony do końca klocka.
Musi być on przeciwny do kierunku ruchu, a więc dla klocka zsuwającego się
będzie wycelowany nieco w górę.
Kompletny rozkład sił na równi wygląda tak:

Jak widać na klocek działają trzy siły. Nie narysowano sił składowych
kreślonych pomocniczo, bo nie są one prawdziwymi siłami, mającymi źródło w
oddziaływaniu z innymi ciałami, tylko obrazują role jakie pełni tu siła
ciężkości.
Dokładne narysowanie wszystkich sił jest bardzo ważne, bo stanowi punkt
wyjścia do dalszych
obliczeń.
Dokładny rozkład siły ciężkości na
składowe
W celu rozłożenia siły ciężkości na składowe postępujemy następująco:





Rysujemy siłę ciężkości skierowaną pionowo w dół. W rysunkach
schematycznych nie musimy się martwić o jej długość - rysujemy ją tak,
aby dobrze mieściła się na rysunku.
rysujemy linie pomocnicze (przerywane): prostopadłe i równoległe do
równi. Muszą one przechodzić przez początek i koniec wektora siły
ciężkości.


Prowadzimy wektory sil składowych:
- składowa prostopadła (P+) ma początek w początku
siły ciężkości, a koniec w punkcie przecięcia linii pomocniczych (patrz rzutowanie
wektora)
- składowa równoległa (P||) ma początek w początku
siły ciężkości, a koniec w drugim punkcie przecięcia linii
pomocniczych
Uwaga:Te dwie składowe nie są nowymi siłami, lecz zastępują
nam siłę P tak, że ukazują jej rolę w ciąganiu klocka w dół i
dociskaniu do powierzchni równi.

 
Rysowanie siły reakcji równi



Siła reakcji równi jest siłą dokładnie przeciwną do
składowej siły ciężkości prostopadłej do równi (siły dociskającej). Ma
więc ona ten sam kierunek i wartość co siła dociskająca, ale przeciwny
zwrot.
Siłę reakcji rysujemy od punktu styczności klocka w równią, aby
podkreślić, że źródłem tej siły jest równia (gdyby nie było równi, nie
byłoby tej siły i klocek by spadał)

 
Rysowanie siły tarcia



Siłę tarcia narysować jest najłatwiej, bo jest ona zawsze
zgodna z kierunkiem równi, a jej zwrot jest przeciwny do prędkości.
Zazwyczaj przy rysunkach pomocniczych nie musimy martwić się o długość
strzałki tej siły, bo nie zależy ona bezpośrednio od pozostałych sił (ale
pośrednio tak!)
Na tym rysunku przedstawiono przypadek siły tarcia dla ruchu w dół
równi. Tarcie klocka poruszającego się w górę równi (ciągniętego, bądź
energicznie pchniętego) byłoby przeciwne.

Obliczanie siły wypadkowej działającej na
klocek zsuwający się z równi
Głównym celem analizowania sił działających na równi było obliczenie siły
wypadkowej. Teraz więc zajmiemy się rachunkową częścią zadania.
Przypomnijmy: siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich działających sił:



Przy czym my oznaczyliśmy:

siłę ciężkości przez P,
siłę reakcji jako R,
siłę tarcia jako T
Zatem:


Jednoczenie siłę ciężkości P rozłożyliśmy na składową prostopadłą
P+ i równoległą P|| do równi:


Podstawiamy tę zależność do równania na siłę wypadkową:


Teraz trzeba zauważyć, że:




Składowa prostopadła siły ciężkości i siła reakcji są do
siebie przeciwne i mają tę samą wartość (równoważą się), a więc ich suma
jest równa zero (jest wektorem zerowym) - patrz rysowanie siły
reakcji
Po uwzględnieniu tego faktu równanie na siłę wypadkową znacznie nam się
uprości:


Powstałe równanie jest ważnym wnioskiem. Sformułujmy go słownie:
Siła wypadkowa działająca na klocek zsuwający się z równi jest sumą wektorową
siły ciągającej (czyli składowej siły ciężkości równoległej do równi) i siły
tarcia.
Np. gdy klocek zsuwa się bez tarcia, wtedy mamy już obliczoną siłę
wypadkowÄ…:


Teraz następny ważny moment - pozbywamy się wektorów z naszych obliczeń. Do
tego, żeby znaleźć wartość siły wypadkowej musimy równanie na siłę wypadkową
zapisać w postaci skalarnej - z wartościami wektorów zamiast z wektorami.
Skorzystamy tu z ważnego faktu, że siła tarcia i siła ciągająca leżą na
jednej prostej. Oznacza to, że jeżeli zwrot siły ciągającej uznajemy za dodatni,
to siła tarcia w równaniu na wartości wystąpi ze znakiem minus.



Fw = P||
- T
Zwróć uwagę!: po pozbyciu się strzałek nad symbolami sił,
wartość siły tarcia występuje ze znakiem minus.
 
Mamy (prawie) siłę wypadkową. Znak minus przy sile tarcia wskazuje, że tarcie
przyczynia się do hamowania ciała.
Teraz musimy jeszcze wyrazić obydwie siły przez wartości dane. A co tu mamy
dane? - najczęściej w tym problemie zakłada się:



Dane:kąt nachylenia równi a:współczynnik tarcia klocka o równię:
fmasÄ™ klocka: m.
Szukamy:siła wypadkowa
Fw,przyspieszenie ciała a
W celu obliczenia siły wypadkowej, musimy siłę ciągającą
P|| oraz tarcie T wyrazić przez dane: m, f,
a . Aby to zrobić trzeba posłużyć się
funkcjami trygonometrycznymi sinus i kosinus.



Przypatrzmy się jeszcze raz rozkładowi siły ciężkości na
składowe. Rysunek poniższy jest podobny do poprzedniego z wyjątkiem
umiejscowienia siły ciągającej P||. Została ona
przeniesiona do końca siły ciężkości, tak aby wraz ze składową prostopadłą
utworzyć trójkąt prostokątny.
Kąt ostry tego trójkąta jest równy kątowi nachylenia równi (kąty o
ramionach prostopadłych są równe)

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus można
napisać:




stÄ…d
P|| =P× sin a


stÄ…d
P+ =P× cos a
P|| jest już gotowa do podstawienia.
P+ użyjemy do obliczenia siły tarcia. Skorzystamy przy tym
ze wzoru definiującego współczynnik tarcia:


gdzie T jest wartością siły tarcia, a N jest wartością siły
dociskającej trące powierzchnie. Z wzoru tego, po pomnożeniu obu stron równania
przez N, otrzymujemy:

T=N× f
W naszym wypadku za docisk klocka do równi odpowiada składowa prostopadła
siły ciężkości.

N = P+
Podstawiamy wyrażanie na P+

N=P× cos a
Ostatecznie mamy więc wartość siły tarcia klocka zsuwającego się z równi (ten
wzór jeszcze się przyda!):

T= f× P× cos a
Teraz zarówno tarcie, jak i siłę ciągającą podstawimy do wzoru na siłę
wypadkowÄ…:

Fw= P× sin a - f× P× cos a
Po wyciągnięciu P przed nawias otrzymamy bardziej zwartą postać siły
wypadkowej:

Fw= P× (sin a - f× cos a )
Aby siła ta zawierała jedynie wielkości dane trzeba na koniec podstawić
wartość siły ciężkości:

P = m× g
Zatem (Wynik 1!):

Fw= m× g× (sin a - f× cos a )
Jest to szukany przez nas wzór na siłę wypadkową.
Aby obliczyć przyspieszenie klocka, trzeba skorzystać z 2 zasady dynamiki
Newtona:



Po podstawieniu w miejsce Fwypadkowa otrzymanego
wzoru uzyskamy :


Teraz m się skraca i otrzymujemy wzór ostateczny:

a = g× (sin a - f× cos a )
 
Klocek na równi - zadania
dodatkowe
A teraz dwa proste problemy - zadanka dla sprawdzenia, czy wszystko jest
jasne.
Problem 1
Dane jest masa klocka, kąt nachylenia równi i współczynnik tarcia. Ile wynosi
siła tarcia dla klocka w ruchu i spoczywającego. Jaki kąt nachylenia powinna
mieć równia o współczynniku tarcia f = 0,25, aby klocek postawiony na
niej nie zsuwał się?
Problem 2
Z jaką siłą należy ciągnąć ciało o masie 100 kg w górę gładkiej równi
(gÅ‚adka, czyli bez tarcia!) o kÄ…cie nachylenia 30°? Ile razy mniej siÅ‚y trzeba,
aby wciągnąć ten klocek po równi tej niż podnieć go?
RozwiÄ…zanie problemu 1.
Jest to problem łatwy rachunkowo, choć nie całkiem oczywisty, jeśli chodzi o
wytłumaczenie. Na początek spróbuj rozwiązać ten problem samodzielnie.
... Znasz już odpowiedź? - a teraz moje
RozwiÄ…zanie:
Najpierw musimy uwiadomić sobie co powoduje ruch klocka. Wiadomo, dla małych
kątów nachylenia klocek będzie wystarczająco przytrzymywany przez tarcie; dla
dużych, klocek zsunie się.
Pojawia siÄ™ zatem pytanie:Przy jakim kÄ…cie nachylenia postawiony klocek
zaczyna zsuwać się z równi?
Ten przypadek graniczny jest wynikiem zmiany w konfiguracji dwóch sił: siły
ciągającej - działającej w dół i siły tarcia przytrzymującej. Wraz ze wzrostem
kąta nachylenia równi zwiększa się wartość siły ciągającej. A co się dzieje z
siłą tarcia?
- póki klocek spoczywa, musi istnieć równowaga tych sił (I zasada dynamiki
Newtona), a więc siła tarcia musi rosnąć równoważąc siłę ciągającą. Jednak...
tylko do pewnego momentu.
Do jakiego momentu? - do sytuacji, w której spełniony zostanie wzór:


Tutaj widzimy kolejny problem: to jak to... to do tej pory ten wzór nie
obowiązywał (przecież jest podawany "jak prawdziwy"... - to po co się go
uczymy?)
Ano właśnie! - powyższy wzór opisuje albo:

wartość maksymalnej siły tarcia przy ruszaniu (tzw. tarcie statyczne),
albo
siły tarcia dynamicznego (dla klocka w ruchu).
Póki klocek spoczywa, ale nie ma tendencji do ruszania, dopóty siła tarcia
wyrównuje się do wartości siły ciągającej i wzór nie ma zastosowania.
Czyli mamy pierwszą część odpowiedzi:
Dla nieruchomego klocka siła tarcia jest równa sile ciągającej:

T = P|| = P× sin a
a ponieważ P = m× g

T = m× g × sin a
Dopiero dla ruchomego klocka zaczyna obowiązywać wzór ze współczynnikiem
tarcia.
Zajmijmy się teraz przypadkiem granicznym, czyli sytuacją, w której klocek
rusza z miejsca. Wtedy stosujemy wzór na tarcie statyczne:


Oraz

T = P||
Z pierwszego równania po pomnożeniu obu stron przez N otrzymamy:

T = f N, czyli P||=f × N
Ale ponieważ
P|| = P× sin a, a N = P+=
P× cos
a (patrz w
rozwiązaniu głównego zadania), więc

P sin a = P× f× cos a
Po podzieleniu obu stron równania przez P×
cos a mamy:

,
ale z funkcji trygonometrycznych wiadomo, że

, czyli

tg a =
f
I to jest szukana zależność dla kąta granicznego

tg a
graniczne = fstatyczne
 



Jeżeli chcemy, aby klocek nie zsuwał się
po równi o współczynniku tarcia statycznego 0,5 tangens kąta nachylenia
równi musi spełniać warunek:
tg a
graniczne < 0,5

Zachodzi to dla kÄ…ta:
a graniczne
< 26,5°

A teraz obliczymy siłę tarcia dla kąta
granicznego
T = fstatyczne N

A ponieważ (patrz główne rozwiązanie):
N = P× cos a = m× g × cos a

więc:
Tgraniczne =
fstatyczne × m × g × cos a
graniczne
Z kolei dla klocka w ruchu obowiązuje wzór wyprowadzony w
głównej części zadania -
Tw ruchu = fdynamiczne
× m
× g
× cos
a
Podsumujmy nasze rozważania:
Odpowiedź do problemu 1



dla klocka nieruchomego
T = m× g × sin a

przypadek szczególnya =
a
graniczne
T=m× g× sin a
graniczne=fstatyczne× m× g× cosa
graniczne

dla klocka w ruchu
Tw ruchu =
fdynamiczne × m × g × cos a

wartość kąta granicznego spełnia
równanie
tg a graniczne =
fstatyczne

kÄ…t graniczny
a
graniczne < 26,5°
Uwaga:Zazwyczaj wartość współczynnika tarcia statycznego
jest większa od współczynnika tarcia dynamicznego.
RozwiÄ…zanie problemu 2.



Dane:
Szukamy

m=100 kga = 30°brak tarcia,
czyli f = 0
F
ciągnięcia



Zróbmy rysunek, na którym zaznaczymy
wszystkie działające siły:

siłę ciężkości
siłę reakcji równi
siłę ciągnącą klocek w górę
Tutaj siły tarcia nie ma




Widać z tego rysunku, że:
Siła ciężkości jest jak poprzednio częściowo równoważona
przez siłę reakcji (dokładniej siła reakcji równoważy składową siły
ciężkości prostopadłą do równi).

 
Składowa siły ciężkości równoległa do równi (siła
ciągająca) ma swoją oponentkę w postaci siły ciągnącej
F.
Jak wielka musi być F, aby pociągnąć klocek do
góry?

Pierwsza narzucająca się odpowiedź, to: większa niż siła
ciÄ…gajÄ…ca.
Tak, ale o ile większa?
- wystarczy, aby siła ta choćby na chwilę była minimalnie
większa od składowej ciągającej (nawet np. o jedną bilionową Newtona). Wtedy
klocek zostanie już ruszony i dalej można już tylko podtrzymywać jego prędkość
działając siłą dokładnie równą sile ciągającej. Tak więc praktycznie przez
prawie cały ruch ciągnąca siła może być równa sile ciągającej.

F = P||
Ponieważ

P|| = m× g × sin a ,
więc (odpowiedź w zadaniu)

F = m× g × sin a ,
Podstawiamy dane:

F = 100 kg× 10 m/s2 × sin 30°=1000 N× 0,5=500 N
A jaką siłą trzeba działać aby zwyczajnie podnieć klocek do
góry? - zastosujemy wzór na siłę ciężkości:

P = m× g
P = 100 kg× 10 m/s2 =1000 N
Stosunek tych sił wynosi 0,5 - dwa razy łatwiej jest ciągnąć
ciało po takiej równi, niż podnosić je.
Pytanie dla czytelnika:
A przy jakim współczynniku tarcia nie mielibyśmy żadnego zysku
na sile, tzn. kiedy cały zysk z zastosowania równi zostałby wykorzystany na
pokonanie siły tarcia?
Odp. - spróbuj samodzielnie dojść do tej odpowiedzi.
 
Siły na równi - patrz także

spis treści
wektory i skalary
przyspieszenie
pęd
masa
prędkość