Rozklad funkcji wymiernej na ulamki proste
December 14, 2010
Definicja. Niech A, B, a, p, q beda dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a
n " N. Ulamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne zmiennej rzeczy-
wistej x postaci
A A A A
, , , ..., ,
x - a
(x - a)2 (x - a)3 (x - a)n
oraz
Ax + B Ax + B Ax + B Ax + B
, , , ..., ,
x2 + px + q
(x2 + px + q)2 (x2 + px + q)3 (x2 + px + q)n
takie, że wielomianu x2 + px + q nie można przedstawić w postaci iloczynu
wielomian w stopnia pierwszego o wsp lczynnikach rzeczywistych. O-
znacza to, że jego wyr żnik " = p2 - 4q < 0.
Sprawdz
podane tożsamości, rozkladaja ć funkcje wymierne po lewej stronie
na ulamki proste.
x-1 1
1. = ,
x2+2x-3 x+3
x+1 1 1
2. = + ,
x2+2x-3 2(x-1) 2(x+3)
x+1 1 1 1
3. = - - ,
x(x2+2x-3) 2(x-1) 6(x+3) 3x
x+2 3 3 1
4. = - - ,
x2(x-4) 8(x-4) 8x 2x2
x+2 3 1 1 1
5. = - + + ,
x2(x-4)2 8(x-4) 8x 8x2
8(x-4)2
x+2 3 1 1
6. = - + ,
x(x-4)2 8(x-4) 8x
2(x-4)2
x+4 4 4x-5
7. = - ,
x3-x2+x x x2-x+1
x-4 2x-1 2
8. = - ,
x3-x2+2x x2-x+2 x
1 4
x-
x2+4 4
3 3
9. = - ,
x3-x2+3x 3x x2-x+3
x2+6x+4 2 x-8
10. = - .
x3-x2+2x x x2-x+2
1