u proste
lamki
Definicja. Funkcj¸ wymiern¸ rzeczywist¸ (zespolon¸ nazywamy iloraz dwóch wielo-
a a a a)
mianów rzeczywistych (zespolonych) taki, że dzielnik nie jest wielomianem zerowym, tzn.
funkcja wymierna rzeczywista (zespolona) ma postać u
lamka
W
,
V
gdzie W i V s¸ wielomianami rzeczywistymi (zespolonymi) oraz V = 0.
a
OczywiÅ›cie, każda funkcja wymierna rzeczywista jest także funkcja wymiern¸ zespolon¸
¸ a a.
"
2
5x4-2 3x3+ x-3
7
Przyk a) jest funkcja wymiern¸ rzeczywist¸ (i zespolon¸
lad. ¸ a a a).
5x2-4x+3
z3+(1+5i)z2-3+i
b) jest funkcja wymiern¸ zespolon¸
¸ a a.
2iz6-3z5+(2-5i)z3+1
W
Definicja. Funkcj¸ wymiern¸ , gdzie W i V s¸ wielomianami, nazywamy funkcja
e a a ¸
V
wymiern¸ w a jeżeli stopieÅ„ wielomianu W jest mniejszy od stopnia wielomianu V .
a laÅ›ciw¸
Przyk Funkcje wymierne
lad.
2x3 - 6x2 + 7x - 3 z2 - (1 - 2i)z + 3
i
8x5 + 4x4 - 2x3 + x - 3 iz7 + 5z6 - (1 + i)z2 + 3z - 2
s¸ w
a laściwe, a funkcje wymierne
"
2
5x4 - 2 3x3 + x - 3
3iz7 - 2z5 + (2 - 5i)z2 + 4
7
i
5x2 - 4x + 3 z3 - (1 - 5i)z2 - 2 + i
nie s¸ w
a laściwe.
Twierdzenie. Każda funkcja wymierna jest sum¸ wielomianu i funkcji wymiernej w
a laściwej.
Przyk Aby funkcj¸ wymiern¸
lad. e a
6x4 + 4x3 - 12x2 + 9x - 2
(")
2x2 + 2x - 4
przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej w
laściwej, dzielimy licznik funkcji
(") przez jej mianownik. W wyniku dzielenia otrzymujemy:
6x4 + 4x3 - 12x2 + 9x - 2 = (2x2 + 2x - 4)(3x2 - x + 1) + 3x + 2.
Zatem
6x4 + 4x3 - 12x2 + 9x - 2 (2x2 + 2x - 4)(3x2 - x + 1) + 3x + 2
= =
2x2 + 2x - 4 2x2 + 2x - 4
3x + 2
= 3x2 - + 1 + .
x
2x2 + 2x - 4

wielomian
funkcja wymierna
wlaściwa
Definicja
1. Zespolonym u a e a
lamkiem prostym nazywamy zespolon¸ funkcj¸ wymiern¸ postaci
A
, gdzie A, a " C i n " N.
(z + a)n
2. Rzeczywistym u a e
lamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywist¸ funkcj¸
wymiern¸ postaci
a
A
, gdzie A, a " R i n " N.
(x + a)n
3. Rzeczywistym u a e a
lamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywist¸ funkcj¸ wymiern¸
postaci
Ax + B
, gdzie A, B, p, q " R, n " N i " = p2 - 4q < 0.
(x2 + px + q)n
1
2+5i
Przyk a) jest zespolonym u
lad. lamkiem prostym.
(z+2i)6
-3
b) jest rzeczywistym u
lamkiem prostym pierwszego rodzaju.
(x+4)5
5x+3
c) jest rzeczywistym u
lamkiem prostym drugiego rodzaju.
(x2+2x+5)3
Twierdzenie o rozk funkcji wymiernej na u proste. Każda rzeczy-
ladzie lamki
wista (zespolona) funkcja wymierna w jest sum¸ rzeczywistych (zespolonych) u
laściwa a lamków
prostych.
1. Zespolona funkcja wymierna w
laściwa
W (z)
c(z - z1)k1(z - z2)k2 · · · (z - zm)km
jest sum¸ k1 + k2 + · · · + km zespolonych u
a lamków prostych, przy czym czynnikowi
(z - zi)ki odpowiada suma ki u
lamków prostych postaci:
A1 A2 Aki
+ + · · · + ,
z - zi (z - zi)2 (z - zi)ki
gdzie A1, A2, . . . , Aki " C dla i = 1, 2, . . . , m.
2. Rzeczywista funkcja wymierna w
laściwa
W (x)
a(x - x1)k1(x - x2)k2 · · · (x - xr)kr(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 · · · (x2 + psx + qs)ls
jest sum¸ k1 + k2 + · · · + kr rzeczywistych u
a lamków prostych pierwszego rodzaju i
l1 + l2 + · · · + ls rzeczywistych u
lamków prostych drugiego rodzaju, przy czym
" czynnikowi (x - xi)ki odpowiada suma ki u
lamków prostych pierwszego rodzaju
postaci:
A1 A2 Aki
+ + · · · + ,
x - xi (x - xi)2 (x - xi)ki
gdzie A1, A2, . . . , Aki " R dla i = 1, 2, . . . , r.
" czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj u
lamków prostych drugiego
rodzaju postaci:
B1x + C1 B2x + C2 Bjx + Cj
+ + · · · + ,
x2 + pjx + qj (x2 + pjx + qj)2 (x2 + pjx + qj)lj
gdzie B1, B2, . . . , Blj , C1, C2, . . . , Clj " R dla j = 1, 2, . . . , s.
Przyk Znajdziemy postać rozk zespolonej funkcji wymiernej w
lad. ladu laściwej
(2 - 3i)z6 - 4z5 + iz3 - z2 + 4i
(z + 3)4(z2 + 4)2
na zespolone u proste.
lamki
Ponieważ z2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i), wi¸ wielomian w mianowniku rozważanej funkcji
ec
wymiernej ma nast¸ ¸ rozk na zespolone czynniki nierozk
epujacy lad ladalne
(z + 3)4(z2 + 4)2 = (z + 3)4(z - 2i)2(z + 2i)2.
Zatem szukany rozk na u proste ma postać
lad lamki
(2 - 3i)z6 - 4z5 + iz3 - z2 + 4i A B C D E F
= + + + + + +
(z + 3)4(z2 + 4)2 z + 3 (z + 3)2 (z + 3)3 (z + 3)4 z - 2i (z - 2i)2
G H
+ +
z + 2i (z + 2i)2
dla pewnych A, B, C, D, E, F, G, H " C.
2
Przyk Znajdziemy postać rozk rzeczywistej funkcji wymiernej w
lad. ladu laściwej
3x5 - 2x4 + 5x2 + x - 3
(x2 + x - 2)2(x2 + 2x + 3)(x + 2)
na rzeczywiste u proste.
lamki
Ponieważ x2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2), wi¸ wielomian w mianowniku rozważanej funkcji
ec
wymiernej ma nast¸ ¸ rozk na rzeczywiste czynniki nierozk
epujacy lad ladalne
(x2 + x - 2)2(x2 + 2x + 3)(x + 2) = (x - 1)2(x + 2)3(x2 + 2x + 3).
Zatem szukany rozk na u proste ma postać
lad lamki
3x5 - 2x4 + 5x2 + x - 3 A B C D E F x + G
= + + + + +
(x2 + x - 2)2(x2 + 2x + 3)(x + 2) x - 1 (x - 1)2 x + 2 (x + 2)2 (x + 2)3 x2 + 2x + 3
dla pewnych A, B, C, D, E, F, G " R.
Przyk Rzeczywist¸ funkcj¸ wymiern¸ w a
lad. a e a laÅ›ciw¸
-2
x6 - x4
roz na rzeczywiste u proste.
lożymy lamki
Mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma nast¸ ¸ rozk na rzeczywiste czynniki
epujacy lad
nierozk
ladalne
x6 - x4 = x4(x - 1)(x + 1).
Rozk tej funkcji na rzeczywiste u proste ma zatem postać
lad lamki
-2 A B C D E F
= + + + + + , gdzie A, B, C, D, E, F " R.
x6 - x4 x x2 x3 x4 x - 1 x + 1
Po pomnożeniu obu stron powyższej równości przez mianownik funkcji wymiernej (czyli przez
x6 - x4), otrzymujemy
-2 = Ax3(x2 - 1) + Bx2(x2 - 1) + Cx(x2 - 1) + D(x2 - 1) + Ex4(x + 1) + F x4(x - 1).
St¸
ad
-2 = (A + E + F )x5 + (B + E - F )x4 + (-A + C)x3 + (-B + D)x2 - Cx - D.
Korzystajac teraz z faktu, że dwa wielomiany s¸ równe, gdy ich stopnie s¸ jednakowe i
¸ a a
wspó egach a lad
lczynniki przy jednakowych pot¸ zmiennej x s¸ sobie równe, otrzymujemy uk
równań
Å„Å‚
ôÅ‚ A + E + F = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ B + E - F = 0
ôÅ‚
òÅ‚
-A + C = 0
ôÅ‚ -B + D = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
-C = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-D = -2
Rozwiazaniem tego uk s¸ liczby A = 0, B = 2, C = 0, D = 2, E = -1, F = 1. Zatem
¸ ladu a
szukanym rozk na u proste jest
ladem lamki
-2 2 2 -1 1
= + + + .
x6 - x4 x2 x4 x - 1 x + 1
Wykorzystano podr¸
eczniki:
[1] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna
Wydawnicza GiS, Wroc 2004
law
[2] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przyk i zadania, Oficyna Wydawni-
lady
cza GiS, Wroc 2004
law
Przyk rozk funkcji wymiernych na u proste można znalez
ć w podr¸
lady ladania lamki eczniku
[2], str. 55 60.
3