ulamki proste


u proste
lamki
Definicja. Funkcj� wymiern� rzeczywist� (zespolon� nazywamy iloraz dwóch wielo-
a a a a)
mianów rzeczywistych (zespolonych) taki, że dzielnik nie jest wielomianem zerowym, tzn.
funkcja wymierna rzeczywista (zespolona) ma postać u
lamka
W
,
V
gdzie W i V s� wielomianami rzeczywistymi (zespolonymi) oraz V = 0.
a
Oczywiście, każda funkcja wymierna rzeczywista jest także funkcja wymiern� zespolon�
� a a.
"
2
5x4-2 3x3+ x-3
7
Przyk a) jest funkcja wymiern� rzeczywist� (i zespolon�
lad. � a a a).
5x2-4x+3
z3+(1+5i)z2-3+i
b) jest funkcja wymiern� zespolon�
� a a.
2iz6-3z5+(2-5i)z3+1
W
Definicja. Funkcj� wymiern� , gdzie W i V s� wielomianami, nazywamy funkcja
e a a �
V
wymiern� w a jeżeli stopień wielomianu W jest mniejszy od stopnia wielomianu V .
a laściw�
Przyk Funkcje wymierne
lad.
2x3 - 6x2 + 7x - 3 z2 - (1 - 2i)z + 3
i
8x5 + 4x4 - 2x3 + x - 3 iz7 + 5z6 - (1 + i)z2 + 3z - 2
s� w
a laściwe, a funkcje wymierne
"
2
5x4 - 2 3x3 + x - 3
3iz7 - 2z5 + (2 - 5i)z2 + 4
7
i
5x2 - 4x + 3 z3 - (1 - 5i)z2 - 2 + i
nie s� w
a laściwe.
Twierdzenie. Każda funkcja wymierna jest sum� wielomianu i funkcji wymiernej w
a laściwej.
Przyk Aby funkcj� wymiern�
lad. e a
6x4 + 4x3 - 12x2 + 9x - 2
(")
2x2 + 2x - 4
przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej w
laściwej, dzielimy licznik funkcji
(") przez jej mianownik. W wyniku dzielenia otrzymujemy:
6x4 + 4x3 - 12x2 + 9x - 2 = (2x2 + 2x - 4)(3x2 - x + 1) + 3x + 2.
Zatem
6x4 + 4x3 - 12x2 + 9x - 2 (2x2 + 2x - 4)(3x2 - x + 1) + 3x + 2
= =
2x2 + 2x - 4 2x2 + 2x - 4
3x + 2
= 3x2 - + 1 + .
x
2x2 + 2x - 4

wielomian
funkcja wymierna
wlaściwa
Definicja
1. Zespolonym u a e a
lamkiem prostym nazywamy zespolon� funkcj� wymiern� postaci
A
, gdzie A, a " C i n " N.
(z + a)n
2. Rzeczywistym u a e
lamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy rzeczywist� funkcj�
wymiern� postaci
a
A
, gdzie A, a " R i n " N.
(x + a)n
3. Rzeczywistym u a e a
lamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy rzeczywist� funkcj� wymiern�
postaci
Ax + B
, gdzie A, B, p, q " R, n " N i " = p2 - 4q < 0.
(x2 + px + q)n
1
2+5i
Przyk a) jest zespolonym u
lad. lamkiem prostym.
(z+2i)6
-3
b) jest rzeczywistym u
lamkiem prostym pierwszego rodzaju.
(x+4)5
5x+3
c) jest rzeczywistym u
lamkiem prostym drugiego rodzaju.
(x2+2x+5)3
Twierdzenie o rozk funkcji wymiernej na u proste. Każda rzeczy-
ladzie lamki
wista (zespolona) funkcja wymierna w jest sum� rzeczywistych (zespolonych) u
laściwa a lamków
prostych.
1. Zespolona funkcja wymierna w
laściwa
W (z)
c(z - z1)k1(z - z2)k2 � � � (z - zm)km
jest sum� k1 + k2 + � � � + km zespolonych u
a lamków prostych, przy czym czynnikowi
(z - zi)ki odpowiada suma ki u
lamków prostych postaci:
A1 A2 Aki
+ + � � � + ,
z - zi (z - zi)2 (z - zi)ki
gdzie A1, A2, . . . , Aki " C dla i = 1, 2, . . . , m.
2. Rzeczywista funkcja wymierna w
laściwa
W (x)
a(x - x1)k1(x - x2)k2 � � � (x - xr)kr(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 � � � (x2 + psx + qs)ls
jest sum� k1 + k2 + � � � + kr rzeczywistych u
a lamków prostych pierwszego rodzaju i
l1 + l2 + � � � + ls rzeczywistych u
lamków prostych drugiego rodzaju, przy czym
" czynnikowi (x - xi)ki odpowiada suma ki u
lamków prostych pierwszego rodzaju
postaci:
A1 A2 Aki
+ + � � � + ,
x - xi (x - xi)2 (x - xi)ki
gdzie A1, A2, . . . , Aki " R dla i = 1, 2, . . . , r.
" czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj u
lamków prostych drugiego
rodzaju postaci:
B1x + C1 B2x + C2 Bjx + Cj
+ + � � � + ,
x2 + pjx + qj (x2 + pjx + qj)2 (x2 + pjx + qj)lj
gdzie B1, B2, . . . , Blj , C1, C2, . . . , Clj " R dla j = 1, 2, . . . , s.
Przyk Znajdziemy postać rozk zespolonej funkcji wymiernej w
lad. ladu laściwej
(2 - 3i)z6 - 4z5 + iz3 - z2 + 4i
(z + 3)4(z2 + 4)2
na zespolone u proste.
lamki
Ponieważ z2 + 4 = (z - 2i)(z + 2i), wi� wielomian w mianowniku rozważanej funkcji
ec
wymiernej ma nast� � rozk na zespolone czynniki nierozk
epujacy lad ladalne
(z + 3)4(z2 + 4)2 = (z + 3)4(z - 2i)2(z + 2i)2.
Zatem szukany rozk na u proste ma postać
lad lamki
(2 - 3i)z6 - 4z5 + iz3 - z2 + 4i A B C D E F
= + + + + + +
(z + 3)4(z2 + 4)2 z + 3 (z + 3)2 (z + 3)3 (z + 3)4 z - 2i (z - 2i)2
G H
+ +
z + 2i (z + 2i)2
dla pewnych A, B, C, D, E, F, G, H " C.
2
Przyk Znajdziemy postać rozk rzeczywistej funkcji wymiernej w
lad. ladu laściwej
3x5 - 2x4 + 5x2 + x - 3
(x2 + x - 2)2(x2 + 2x + 3)(x + 2)
na rzeczywiste u proste.
lamki
Ponieważ x2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2), wi� wielomian w mianowniku rozważanej funkcji
ec
wymiernej ma nast� � rozk na rzeczywiste czynniki nierozk
epujacy lad ladalne
(x2 + x - 2)2(x2 + 2x + 3)(x + 2) = (x - 1)2(x + 2)3(x2 + 2x + 3).
Zatem szukany rozk na u proste ma postać
lad lamki
3x5 - 2x4 + 5x2 + x - 3 A B C D E F x + G
= + + + + +
(x2 + x - 2)2(x2 + 2x + 3)(x + 2) x - 1 (x - 1)2 x + 2 (x + 2)2 (x + 2)3 x2 + 2x + 3
dla pewnych A, B, C, D, E, F, G " R.
Przyk Rzeczywist� funkcj� wymiern� w a
lad. a e a laściw�
-2
x6 - x4
roz na rzeczywiste u proste.
lożymy lamki
Mianownik rozważanej funkcji wymiernej ma nast� � rozk na rzeczywiste czynniki
epujacy lad
nierozk
ladalne
x6 - x4 = x4(x - 1)(x + 1).
Rozk tej funkcji na rzeczywiste u proste ma zatem postać
lad lamki
-2 A B C D E F
= + + + + + , gdzie A, B, C, D, E, F " R.
x6 - x4 x x2 x3 x4 x - 1 x + 1
Po pomnożeniu obu stron powyższej równości przez mianownik funkcji wymiernej (czyli przez
x6 - x4), otrzymujemy
-2 = Ax3(x2 - 1) + Bx2(x2 - 1) + Cx(x2 - 1) + D(x2 - 1) + Ex4(x + 1) + F x4(x - 1).
St�
ad
-2 = (A + E + F )x5 + (B + E - F )x4 + (-A + C)x3 + (-B + D)x2 - Cx - D.
Korzystajac teraz z faktu, że dwa wielomiany s� równe, gdy ich stopnie s� jednakowe i
� a a
wspó egach a lad
lczynniki przy jednakowych pot� zmiennej x s� sobie równe, otrzymujemy uk
równań
ńł
�ł A + E + F = 0
�ł
�ł
�ł
�ł B + E - F = 0
�ł
�ł
-A + C = 0
�ł -B + D = 0
�ł
�ł
�ł
-C = 0
�ł
�ł
ół
-D = -2
Rozwiazaniem tego uk s� liczby A = 0, B = 2, C = 0, D = 2, E = -1, F = 1. Zatem
� ladu a
szukanym rozk na u proste jest
ladem lamki
-2 2 2 -1 1
= + + + .
x6 - x4 x2 x4 x - 1 x + 1
Wykorzystano podr�
eczniki:
[1] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna
Wydawnicza GiS, Wroc 2004
law
[2] T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przyk i zadania, Oficyna Wydawni-
lady
cza GiS, Wroc 2004
law
Przyk rozk funkcji wymiernych na u proste można znalezć w podr�
lady ladania lamki eczniku
[2], str. 55 60.
3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ulamki prostewykład 2
4 Rozkład wielomianów na ułamki proste
2 ulamki proste
2 1 2 Rozkład na ułamki proste
Rozwiazywanie rownan rozniczkowych (rozklad na ulamki proste)
Ulamki proste
020 Funkcje wymierne, ułamki proste
DeMono Dwa proste słowa
proste
GRUPA PROSTETYCZNA
Przyklady zginanie proste
Mikrokontrolery To takie proste, cz 15 (układ licznikowy w 8052C & specjalne tryby pracy 8051)

więcej podobnych podstron