Chemia I sem. M.Twardowska Funkcje wymierne. 1
Funkcje wymierne - rozkład na ułamki proste.
ax + b A
1. Jeżeli x1 = x2 , to wyrażenie postaci można przedstawić w postaci sumy +

(x - x1)(x - x2) x - x1
B
, gdzie A i B są liczbami rzeczywistymi. Podobnie, w postaci sumy trzech takich składników można
x - x2
ax2 + bx + c
przedstawić wyrażenie jeżeli x1, x2, x3 są parami różne. Rozłożyć na sumę takich
(x - x1)(x - x2)(x - x3)
ułamków wyrażenie:
x + 1 6x x + 3 2x2 + 2x - 6
a) ; b) c) d)
x2 + 5x + 6 x2 - 4 x3 - x x3 - 2x2 - x + 2
2. Dla jakich liczb A, B, C funkcje f(x) i g(x) są sobie równe?
6 A Bx + C
a) f(x) = g(x) = +
x3 - 1 x - 1 x2 + x + 1
-2x2 + 3x + 2 A B C
b) f(x) = g(x) = + +
x3 + x2 x x2 x + 1
x2 - 3x + 4 A B C
c) f(x) = g(x) = + +
(x - 1)3 x - 1 (x - 1)2 (x - 1)3
3. Rozłożyć na ułamki proste następujące funkcje wymierne
-4 4x
a) f(x) = b) f(x) =
x5 - x3 (x + 1)(x2 + 1)2
3x3 + 6 12
c) f(x) = d) f(x) =
(x2 + 1)(x2 + 4) (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)
x2 1
e) f(x) = f) f(x) =
x4 - 1 x3 + x
x2 + 1 x2 + 2x
g) f(x) = h) f(x) =
x3(x + 1)2 (x2 + 2x + 2)2