Ćwiczenie 5 (6 godzin)
Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań nieliniowych
Cel ćwiczenia Ocenić szybkość zbieżności otrzymanego ciągu przybliżeń.
Praktyczne sprawdzenie wiedzy n/t popularnych metod iteracyjnych rozwiązywania równań i ukła-
dów równań nieliniowych. Porównanie przydatności poszczególnych metod do wyznaczania zer funkcji
Sprawozdanie powinno zawierać
określonych typów. Prześledzenie związku między rzędem metody iteracyjnej a szybkością zbieżności
ciągu przybliżeń.
" tabelaryczne zestawienie wyników z punktów 1, 2 oraz 6 i 7; wykresy |xn - x"| (w przypadku
układu równań xn - x" ) w funkcji n,
" wyniki obliczeń wszystkich zer wielomianów i tabelaryczne porównanie szybkości zbieżności po-
Instrukcja wykonawcza
szczególnych metod; zestawienie różnic między wynikami uzyskiwanymi z wykorzystaniem de-
1. Napisać M-funkcje realizujące metody bisekcji, siecznych i Newtona. Zastosować napisane proce-
flacji i  poprawianych w oparciu o oryginalny wielomian,
dury do znalezienia pierwiastków dwóch równań podanych przez prowadzącego. Zaobserwować
" zestawienie czasu obliczeń zer wielomianu metodą Lehmera-Schura w zależności od założonej do-
różnice w szybkości zbieżności w/w metod. Dla metod siecznych i Newtona przyjąć kryterium za-

kładności, rzeczywiście osiągniętą dokładność i dyskusję możliwych przyczyn rozbieżności między
m xn+1-xn
| | |xn+1-xn|
trzymania obliczeÅ„ < µ ("(n > 25), gdzie xn  n te przybliżenie, m = ,
1-m |xn-xn-1|
nimi,
µ  zaÅ‚ożona tolerancja (ewentualnie, zwÅ‚aszcza w fazie uruchamiania podprogramu prostsze:
" uwagi i wnioski,
(|xn+1 - xn| < µ) (" (n > 25)); dla metody bisekcji obliczenia prowadzić do momentu, gdy
" skomentowane listingi napisanych na zajęciach M-plików.
dÅ‚ugość przedziaÅ‚u zawierajÄ…cego pierwiastek zmaleje poniżej 2µ.
2. Dla drugiego z przykładów z punktu 1. (zero wielokrotne) powtórzyć obliczenia zastępując podaną
funkcjÄ™ f(·) ilorazem f(·)/f (·).
Wymagana wiedza teoretyczna
W punktach 1. i 2. zarejestrować w każdej iteracji następujące wartości xn, f(xn), f (xn),
" jedno i dwupunktowe wzory iteracyjne: metoda bisekcji ([1, str. 215 216], [2, str. 116 118]),
xn+1 -xn, xn -x", gdzie x"  podana przez prowadzącego lub wyznaczona analitycznie wartość
metoda siecznych ([1, str. 222 224], [2, str. 125 126]), regula falsi ([1, str. 224 225], [2, str.
dokładna pierwiastka.
121 125]), wzory Newtona-Raphsona ze szczególnym uwzględnieniem metody stycznych ([1, str.
3. Zastosować standardową procedurę Matlab afzerodo równań rozwiązywanych w punktach 1
217 221], [2, str. 126 131])
i 2. Porównać wyniki z uzyskanymi poprzednio.
" ogólny warunek zbieżności jednopunktowej metody iteracyjnej [1, str. 228 229],
4. Posługując się M-plikiemlaguerre.mrealizującym metodę Laguerre a, plikiembairstow.mim-
" pojęcie rzędu zbieżności metody; rząd zbieżności popularnych metod iteracyjnych ([1, str. 230
plementującym metodę Bairstowa oraz wbudowaną funkcją Matlab arootswyznaczyć wszyst-
231], [2, str. 147 148], [3, str. 298 299])
kie zera wskazanego przez prowadzÄ…cego wielomianu. W odniesieniu do zer rzeczywistych po-
" ogólne oszacowanie błędu jednopunktowych metod iteracyjnych [1, str. 233] i wynikające z niego
sługiwać się także innymi dostępnymi metodami (M-plikami stworzonymi w punkcie 1.). Użyć
wnioski n/t osiągalnej dokładności wyznaczenia zer jedno i wielokrotnych metodą Newtona
pierwiastków wyznaczonych z wykorzystaniem deflacji (a więc wszystkich z wyjątkiem pierwszego
(stycznych) [1, str. 232 236],
lub pierwszych dwóch obliczanych przez funkcjelaguerreibairstow) jako punktu startowe-
" stosowane kryteria zatrzymania obliczeń [1, str. 235 236],
go metody Newtona i zaobserwować ile iteracji zostanie wykonanych przy tej samej założonej
" iteracyjne wyznaczanie zer wielomianów: specyfika metody Newtona, metoda Meahly ego [4, str.
dokładności; porównać uzyskane wyniki z dokładną wartością pierwiastka. Porównać szybkość
208], metoda Laguerre a ([1, str. 238 239], [3, str. 339 341]), uwarunkowanie zer wielomianów
zbieżnoÅ›ci poszczególnych metod (obliczenia wykonać dla różnej zaÅ‚ożonej dokÅ‚adnoÅ›ci µ , np.
([1, str. 240 242], [4, str. 216 218]), korzyści i niebezpieczeństwa wynikające ze stosowania
10-3 , 10-5, 10-9).
deflacji ([1, str. 239 240], [2, str. 149 150])
5. Prześledzić działanie metody Lehmera-Schura (pliklehmer.m). Zapoznać się z opisem zastoso-
" istota i właściwości metody Lehmera-Schura ([3, str. 328 331])
wanego algorytmu (w  pomocy funkcjilehmer) i wyjaśnić obserwowane rozbieżności między
" istota i właściwości metody Bairstowa ([4, str. 214 215],[3, str. 346 348]).
wynikami oczekiwanymi na podstawie rozważań teoretycznych a obliczanymi przez program.
" metoda Newtona w zadaniach rozwiązywania układów równań nieliniowych  podstawowe wła-
6. Napisać M-plik realizujący metodę Newtona dla układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi
ściwości ([1, str.244 245], [2, str. 152 153])
i za jego pomocą rozwiązać wskazany przez prowadzącego układ dwóch równań nieliniowych.
Wymagana wiedza n/t programu Matlab
" Pętle i instrukcje warunkowe
" Podstawowe operatory działające na tablicach  poelementowo (.*,./,.\,.^)
" Funkcje definiowane przez użytkownika (M-funkcje)
" reprezentacja wielomianu w programie Matlab
" Standardowe procedury znajdowania miejsc zerowych funkcji (fzero) oraz wyznaczania wszyst-
kich pierwiastków wielomianuroots)
Literatura
[1] Germund Dahlquist, Åke Björck. Metody numeryczne, strony 215 248. PWN Warszawa, 1983.
[2] Zenon Fortuna, Bohdan Macukow, Janusz WÄ…sowski. Metody numeryczne, strony 115 160. WNT War-
szawa, 1995.
[3] Anthony Ralston. Wstęp do analizy numerycznej, strony 297 351. PWN Warszawa, 1983.
[4] Josef Stoer. Wstęp do metod numerycznych, wolumen 1, strony 180 223. PWN Warszawa, 1979.
[5] Jerzy Krupka, Roman Z. Morawski, Leszek J. Opalski. Metody numeryczne dla studentów elektroniki
i technik informacyjnych, strony 77 85. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1997.
[6] David Kincaid, Ward Cheney. Analiza numeryczna, strony 63 120. WNT Warszawa, 2006.