Wykład 3 -rownania i uklady rownan 1
14. Rozwiązywanie równań algebraicznych f(x)=0
(liniowych i nieliniowych)
Do rozwiązanie równania z jedną niewiadomą w Mathcadzie można
wykorzystać gotowe procedury numeryczne
root(...)
a)
polyroots(...)
b)
Given - Find
c) blok
14.1. Funkcja root(...)
root(f(x),x) - poszukuje pierwiastka równania f(x)=0 z zadaną wartością
poczÄ…tkowÄ…
Postępowanie:
1. definicja funkcji (lewej strony równania)
2. przypisanie zmiennej x wartości oznaczającej zerowe przybliżenie
pierwiastka (wartość startowa dla metody)
3. wywołanie funkcji root
oot(f(x),x,a,b) - poszukuje pierwiastka równania f(x)=0 w zadanym przedziale
r
wartości od a do b; wartości funkcji w punktach a,b muszą
mieć różne znaki
Postępowanie:
1. definicja funkcji (lewej strony równania)
2. określenie przedziału
3. wywołanie funkcji root
Przykład 1
Znalez
ć pierwiastek równania ex /2=sin(3/2x)
" znajdujÄ…cy siÄ™ w przedziale <-4,0>
" pierwiastek najbliższy zeru.
x
e 3
x := -10, -9.8 .. 10
ëÅ‚ öÅ‚
f(x) := - sin x
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
f(x)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
x
root(f(x) , x, -4, 0) = -2.134 x := 0 root(f(x) , x) = -2.134
Aby wyznaczyć pierwsze przybliżenie pierwiastka, można wykorzystać opcję lub
Trace Zoom
z menu podręcznego
Wykład 3 -rownania i uklady rownan 2
14.2. Funkcja polyroots(...)
polyroots(b)
- poszukiwanie wszystkich pierwiastków wielomianu
o współczynnikach b
Postępowanie:
1. zdefiniowanie wielomianu
2. utworzenie wektora współczynników
3. wywołanie funkcji polyroots
Przykład 2
Pozwiązać równanie wielomianowe x6-5x+3=0
3
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3
w(x) := x - 5Å"x + 3
ìÅ‚-5 ÷Å‚
a := w(p) coeffs, p
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
1
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚-2.491 öÅ‚
ëÅ‚x1öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
polyroots(a) = 0.657
ìÅ‚x2÷Å‚
:= polyroots(a)
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1.834
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚x3Å‚Å‚
Symboliczna definicja wektora:
x1 = -2.491 w(x1) = 0
x1 oznacza pierwszy element wektora,
x2 drugi, x3 trzeci.
x2 = 0.657 w(x2) = 0
x3 = 1.834 w(x3) = 0
x := -3, -2.8 .. 2
w(x)
3 2.38 1.75 1.13 0.5 0.13 0.75 1.38 2
x
Wykład 3 -rownania i uklady rownan 3
15. Blok Given - Find
Given - Find
Blok można stosować do rozwiązywania układów równań i
nierówności zarówno liniowych jak i nieliniowych. Podobnie jak inne procedury
numeryczne blok wymaga podania wartości startowych poszukiwanych
zmiennych.
Postępowanie:
1. określić wartości startowe poszukiwanych zmiennych z1, z2, ...
2. wpisać słowo Given, rozpoczynające blok równań i nierówności
3. wpisać równania (nierówności) liniowe lub nieliniowe
4. użyć funkcji Find
Find(z1,z2,.....,zn)
- zwraca wektor wartości zmiennych, które są rozwiązaniem
układu
Przykład 4
Znalez
ć pierwiastki układu równań: cos x + x - y=0
x2 + y2 - 4=0
f1(x) := cos(x) + x
x := -3, -2.9 .. 3
2
f2(x) := 4 - x
2
f1(x)
f2(x)
3 2 1 0 1 2 3
- f2(x)
2
x
x := 1 y := 1
Given
Zmienia wartości startowe x=-1, y=-1
cos(x) + x - y = 0
lub dodać warunki x<0 y<0 do bloku
Given
2 2
x + y = 4
r := Find(x, y)
ëÅ‚1.245 öÅ‚
r =
ìÅ‚1.565 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykład 3 -rownania i uklady rownan 4
16. Rozwiązywanie układów równań liniowych
W celu rozwiązania układu równań liniowych A*x=b można zastosować jedną z
poniższych metod:
x=A-1*b
a)
Given - Find
b) zastosować blok
lsolve
c) zastosować funkcję
16.1. Rozwiązanie układu z macierzą odwrotną
1 -2 3.5 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
A := 0 2 1.1 b := 2 A = -21.1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚1.5 3 -2 Å‚Å‚ íÅ‚-2 Å‚Å‚
ëÅ‚-1.142 öÅ‚
- 1
ìÅ‚ ÷Å‚
x := A Å"b x = 0.505
ìÅ‚ ÷Å‚
0.9
íÅ‚ Å‚Å‚
16.2. Rozwiązanie układu z wykorzystaniem bloku Given - Find
ëÅ‚0 öÅ‚
ìÅ‚0 ÷Å‚
x :=
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚0 Å‚Å‚
Given
AÅ"x = b
ëÅ‚-1.142 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x := Find(x) x = 0.505
ìÅ‚ ÷Å‚
0.9
íÅ‚ Å‚Å‚
16.3. Rozwiązanie układu z wykorzystaniem finkcji lsolve
ëÅ‚-1.142 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x := lsolve(A, b) x = 0.505
ìÅ‚ ÷Å‚
0.9
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykład 3 -rownania i uklady rownan 5
17. Optymalizacja. Wyznaczanie ekstremów
z(x, y) := 30Å"x + 20Å"y
x := 0 y := 0
Given
2Å"x + y d" 1000
3Å"x + 3Å"y d" 2400
1.5Å"x d" 600
x e" 0
y e" 0
ëÅ‚200 öÅ‚
Maximize(z, x, y) =
ìÅ‚600 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚