METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW
Rozwiązywanie równań i układów równań
Ścisłe (symboliczne) rozwiązywanie równań i układów równań
solve (równania, niewiadome)
równania, niewiadome  zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.
Przybliżone (numeryczne) rozwiązywanie równań i układów równań
fsolve (równania, niewiadome)
równania, niewiadome  zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.
Niewiadome można podać określając przedział, w którym poszukiwane jest rozwiązanie np.:
x =1..2, y = -3..0 .
Zadania
1. Rozwiązać w sposób ścisły równania:
Ä„
sinëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1
4
íÅ‚ Å‚Å‚
a) 3 x - x = 0 Odp. , 0
2
(- 2-2)
9(3 )
125
lnëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
b) 5x-1 - 5 Å" 2x - 5 Å" 2x -2 = 0 Odp. -
2
lnëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
c) x5 - 2x4 -16x3 + 2x2 +15x = 0 Odp. 0, -1, 1, -3, 5
2. Rozwiązać w sposób ścisły układy równań. Otrzymane rozwiązania przypisać do
indywidualnych zmiennych np. x1, y1, x2, y2.
3
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚x( x2 ) y = 0
ôÅ‚ -
ôÅ‚ 1 24 ôÅ‚
a) Odp. {x = 1, y = 1} , = , y =  pierwiastek podwójny
òÅ‚ òÅ‚x żł
4 x-1
2 2
ôÅ‚ - y4 = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ółx
ół þÅ‚
2x
Å„Å‚ - 3y + 4z = 6
176 - 94 -115
ôÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
b) 4x + 2y - 7z = -3 Odp. = , y = , z =
òÅ‚- òÅ‚x żł
29 29 29
ół þÅ‚
ôÅ‚
ół- x + 3y - 6z = 8
Wskazówka: Do wyłuskania odpowiednich wartości rozwiązań wykorzystaj komendę
eval.
3. Znalez
ć przybliżone rozwiązania następujących równań
x
a) sinëÅ‚ öÅ‚ - 2x = 0 w przedziale x " (-15,0) Odp. -12.566041, -6.308421
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
b) arctg(-3x2 +1) = 0 Odp. -0.577350, 0.577350
x
c) ecos( x) sin(x) - cosëÅ‚ öÅ‚ = 0 w przedziale x "(1,5) Odp. 2.181076, 3.141593, 4.102109
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Wskazówka:
a) Wykreśl odpowiednią krzywą.
b) Określ przedział w którym znajduje się wybrane rozwiązanie i użyj tego przedziału w
wywołaniu komendy fsolve.
c) Czynność z podpunktu b) powtórz dla każdego pierwiastka.
4. Znalez
ć wszystkie przybliżone rozwiązania następujących układów równań:
cos(x + y) = xy
Å„Å‚
ôÅ‚
a) Odp. {x = -5.97939, y = -0.16565}, {x = -0.14160, y = 1.99944},
òÅ‚
x2
+ y2 = 4
ôÅ‚
ół 9
{x = 0.14160, y = -1.99944}, {x = 5.97939, y = 0.16565}
Å„Å‚
y2
ôÅ‚(x - 2)2 + = 2
ôÅ‚
9
b) Odp. {x = 0.60559, y = 0.70760}, {x = 3.41343, y = -0.14134}
òÅ‚
ôÅ‚y + sin( y) = cos(x)
ôÅ‚
ół x
Wskazówka: Postępuj podobnie jak w punkcie 3. Do narysowania krzywych wykorzystaj
komendę implicitplot z pakietu plots, służącą do wykreślania funkcji niejawnych.
5. Znalez
ć wszystkie przybliżone rozwiązania, w tym zespolone, następującego równania
wielomianowego: 3x4 -16x3 - 3x2 +13x +16 = 0
Wskazówka: W wywołaniu komendy fsolve wykorzystaj opcję complex.
Odp.  0.662359-0.562280i,  0.662359+0.562280i, 1.324718, 5.333333