Wprowadzenie
do równań różniczkowych cząstkowych
cm
Julian Janus, Józef Myjak
Spis treści
Rozdział 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Rozdział 2. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych
cząstkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Równanie struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Drgania elektryczne w przewodnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Przepływ cieczy. Równanie ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Rozdział 3. Metoda charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu 17
3.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . 23
3.3. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych . . . . . 27
3.4. Metoda charakterystyk dla prawie-liniowego równania różniczkowego
cząstkowego pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego. Metoda
charakterystyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1. Klasyfikacja równań róz
niczkowych cząstkowych 2-go rzędu . . . . . . . . . . . 41
4.2. Przypadek ogólny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3. Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą charakterystyk . . . . . . . . . 50
4.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1. Rozwiązanie równania struny ograniczonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Uzasadnienie metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3. Równanie niejednorodne struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Rozdział 6. Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1. Rozwiązanie równania struny metodą d Alamberta . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2. Równanie niejednorodne struny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.4. Niejednorodne równanie fal kulistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5. Równanie fal walcowych. Metoda redukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe równania Laplace a oraz równania
przewodnictwa cieplnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Spis treści
7.1. Równanie Laplace a i Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2. Rozwiązanie podstawowe równania Laplace a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3. Równanie Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4. Zasada maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.5. Własność wartości średniej funkcji harmonicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.6. Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa cieplnego . . . . . . . . . . 100
7.7. Problem początkowy dla równania ciepła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Rozdział 1
Wprowadzenie
Równania różniczkowe cząstkowe pojawiły się w związku z badaniami procesów
drgań rozmaitych środowisk, między innymi drgań strun, prętów, membran, jak rów-
nież w związku z badaniami zagadnień z zakresu akustyki i hydromechaniki. Pierwsze
równanie różniczkowe cząstkowe zostało sformułowane w połowie XVIII wieku przez J.
D Alamberta (1717-1783). Było to równanie  według dzisiejszej nomenklatury  typu
hiperbolicznego i powstało w wyniku rozważań nad zagadnieniem struny drgającej. L.
Euler (1707 1783) sprecyzował warunki określajace jednoznaczność rozwiązania tego
równania, tworząc początki teorii równań różniczkowych cząstkowych. Póżniej, kieru-
jąc się sugestiami natury fizycznej, D. Bernulli (1702 1782) przedstawił rozwiązanie
struny drgającej w postaci szeregu trygonometrycznego. Metodę tę rozwinął J. Fo-
urier (1750-1830) tworząc początki teorii szeregów trygonometrycznych. A.L. Cauchy
(1789-1857) sformułował zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych, zwane
dzisiaj zagadnieniem Cauchy ego.
P. Laplace (1749-1827) zauważył, że potencjał siły wzajemnego przyciągania dwóch
mas spełnia równanie różniczkowe cząstkowe, które dzisiaj nosi nazwę równania La-
place a. S.D. Poisson (1781-1840) rozwinął teorię zjawisk przyciągania grawitacyj-
nego, w związku z którą wprowadził równanie zwane dziś równaniem Poissona. Tak
więc badania z zakresu mechaniki nieba i grawimetrii doprowadziły do powstania
klasy równań noszących dziś nazwę równań eliptycznych. W początkach XIX wieku
G. Green (1793-1841) stworzył ogólne podstawy teorii potencjału rozwijając teorię
elektryczności i magnetyzmu.
Badania zjawiska przewodnictwa cieplnego oraz dyfuzji gazów i cieczy doprowa-
dziły natomiast do powstania klasy równań które nazywamy dzisiaj równaniami pa-
rabolicznymi.
Na przełomie XIX i XX wieku nastąpił bujny rozwój badań w zakresie teorii
równań różniczkowych cząstkowych. Między innymi istotny wkład wnieśli tacy mate-
matycy jak B. Riemann (1826-1866), H. Poincare (1854-1921), E. Picard (1856-1941),
J. Hadamard (1865-1937), E. Goursat (1854-1938). Z polskich matematyków wymienić
należy W. Pogorzelskiego (18 ) oraz autora jednej z pierwszych monografii poświęco-
nych równaniom różniczkowym cząstkowym - M. Krzyżańskiego.
Jak widać równania różniczkowe cząstkowe zrodziły się w związku badaniami za-
gadnień fizyki i chociaż obecnie zakres ich zastosowań znacznie się rozszerzył, znako-
mita część równań różniczkowych cząstkowych nosi nazwę od zjawisk które pierwotnie
opisywały, np. równanie struny, równanie fali kulistej, równanie fali walcowej, rów-
6 Rozdział 1. Wprowadzenie
nanie przewodnictwa cieplnego, równanie dyfuzji. Wiek XX przyniósł dalszy bujny
rozwój teorii równań różniczkowych cząstkowych, związany z powstaniem i rozwojem
nowych działów matematyki, zwłaszcza analizy funkcjonalnej.
Równanie róz
niczkowe cząstkowe, to równanie w którym występuje niewiadoma
funkcja dwóch lub więcej zmiennych niezależnych oraz niektóre jej pochodne cząst-
kowe. Rzędem równania nazywamy najwyższy rząd pochodnej. I tak równaniem róż-
niczkowym cząstkowym pierwszego rzędu nazywamy zależność

F x1, . . . , xn, u, ux , . . . , ux = 0, (1.1)
1 n
gdzie (x1, . . . , xn) " U �" Rn, F : U � Rn+1 R jest zadaną funkcją, a u : U R
funkcją szukaną.
Podobnie równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu nazywamy zależ-
ność

F x1, . . . , xn, u, ux , . . . , ux , ux x1, ux x2, . . . , ux xn = 0, (1.2)
1 n 1 1 n
gdzie F jest funkcją daną, a u funkcją szukaną.
Przykład 1.1. Równanie
uxx + xuy + 3u4 - xy = 0,
gdzie u jest funkcją zmiennych x i y jest równaniem rzędu drugiego, a
uxxy + 2u = 0,
jest równaniem rzędu trzeciego.
Rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego rzędu k w obszarze U �" Rn
nazywamy funkcję u : U Rn, posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu
k, spełniającą równanie w każdym punkcie obszaru U. Rozwiązanie takie nazywamy
rozwiązaniem w sensie klasycznym (lub rozwiązaniem klasycznym). Zastosowania wy-
magają jednak często rozwiązań które nie mają ciągłych pochodnych, lub nie wszędzie
są różniczkowalne lub wreszcie nie wszędzie są ciągłe. Wymaga to wprowadzenia tak
zwanych rozwiązań słabych. W niniejszym tekście ograniczymy się do rozważania wy-
łącznie rozwiązań klasycznych, chociaż z punktu widzenia zatosowań są one daleko
niewystarczające. Postaramy się natomiast sygnalizawać sytuacje w których widać
potrzebę rozważania szerszej klasy rozwiązań, zachęcając w ten sposób Czytelnika do
sięgnięcia po opracowania bardziej zaawansowane.
Przykład 1.2. Rozważmy równanie
uxy = 4xy.
Po scałkowaniu względem y mamy
ux = 2xy2 + f(x),
7
(f jest dowolną funkcją zmiennej x) a po scałkowaniu względem x otrzymujemy
u = x2y2 + F (x) + G(y),
gdzie F i G są dowolnymi funkcjami klasy C1. Oczywiście są to rozwiązania klasyczne.
W dalszym ciągu będziemy rozważać pewne szczególne przypadki równań różnicz-
kowych cząstkowych.
Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy
równanie postaci (1.1), jeśli funkcja F jest liniowa względem funkcji u oraz jej
pochodnych ux , . . . , ux , czyli równanie postaci
i n
n

ai(x1, . . . , xn)ux + b(x1, . . . , xn)u = f(x1, . . . , xn). (1.3)
i
i=1
Jeśli f = 0 to równanie (1.3) nazywamy jednorodnym.
Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi liniowym pierwszego rzędu nazywamy
równanie postaci (1.1) jeśli funkcja F jest liniowa względem funkcji u oraz jej pochod-
nych ux , . . . , ux , czyli równanie postaci
i n
n

ai(x1, . . . , xn, u)ux = f(x1, . . . , xn, u). (1.4)
i
i=1
Jeśli f = 0 to równanie (1.4) nazywamy równaniem quasi liniowym jednorodnym.
Zazwyczaj przyjmujemy, że zadane funkcje a1, . . . , an oraz funkcja f są ciągłe w
rozważanych obszarach.
Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym drugiego rzędu nazywamy równa-
nie postaci (1.2) jeśli funkcja F jest liniowa względem funkji u oraz jej pochodnych,
tzn. równanie postaci
n n

aijux xj + biux + bu = f (1.5)
i i
i,j=1 i=1
gdzie aij, bi dla i, j = 1, . . . , n oraz f są zadanymi funkcjami zmiennych x1, . . . , xn.
Jeśli f = 0 to równanie (1.5) nazywamy jednorodnym.
Równaniem różniczkowym cząstkowym quasi liniowym drugiego rzędu nazywamy
równanie postaci (1.2) jeśli funkcja F jest liniowa względem pochodnych drugiego
rzędu funkcji u czyli równanie postaci
n


aij(x1, . . . , xn, u)ux xj + g x1, . . . , xn, u, ux , . . . ux = 0. (1.6)
i 1 n
i,j=1
Załóżmy, że rozważamy równanie różniczkowe w obszarze U. Jeśli szukamy rozwią-
zania które na brzegu "U obszaru U przyjmuje zadane wartości, to problem ten nazy-
wamy problemem brzegowym. Możemy też szukać rozwiązania dla którego na brzegu
8 Rozdział 1. Wprowadzenie
obszaru mamy zadane wartości pochodnych lub pochodne w kierunku normalnym do
powierzchni, lub też kombinację tych warunków.
Ze względu na interpretację fizyczną, często wyróżniamy jedną ze zmiennych i
nazywamy czasem. Nie jest to na ogół obojętne, jeśli bowiem równanie różniczkowe
opisuje pewne zjawisko fizyczne, to każda ze zmiennych ma z góry ustaloną interpreta-
cję. Jeśli poszukujemy rozwiązania które w chwili początkowej t = t0 przyjmuje zadane
wartości, to rozważany problem nazywamy problemem początkowym albo problemem
Cauchy ego. Możemy też szukać rozwiązania dla którego w chwili początkowej t = t0
mamy zadane wartości pochodnych, lub rozwiązania które w chwili początkowej t = t0
spełnia kombinację tych warunków.
Należy wyrażnie zaznaczyć, że nie istnieje ogólna metoda rozwiązywania równań
różniczkowych cząstkowych. Co więcej, stosowane techniki nie tylko zależą od typu
równania, ale również rozpatrywanych warunków początkowych i brzegowych. Dlatego
też badania skupiają się na konkretnych równaniach różniczkowych cząstkowych jak
też konkretnych problemach początkowych i brzegowych, które sa ważne z punktu
widzenia zastosowań w matematyce czy też w innych naukach.
Na koniec zauważmy, że ze względu na oszczędność zapisu sensownym jest wpro-
wadzenie operatorów różniczkowych
n

"2
L = aij (1.7)
"xi"xj
i,j=1
oraz
n n

"2 "
L = aij + bi (1.8)
"xi"xj i=1 "xi
i,j=1
Jeśli operator L jest określony wzorem (1.8), równanie (1.5) możemy wówczas zapisać
krótko Lu + g = 0.
Szczególnie rozpowszechniony jest operator Laplace a (tzw. laplasjan)
"2 "2
" = + . . . +
"x2 "x2
1 n
oraz operator Nabla

" "
�% = , . . . , .
"x1 "xn
Możemy też spotkać się z operatorem D Alamberta (dalambercjanem)
1 "
= " - .
a2 "t2
Zauważmy, że " = �% � �% = �%2, przy czym iloczyn rozumiemy tu w sensie iloczynu
skalarnego.
Ze względu na elementarny charakter skryptu, zapis operatorowy będziemy uży-
wać rzadko. Podajemy go głównie ze względu na możliwość korzystania z literatury
bardziej zaawansowanej, gdzie oznaczenia te są raczej standartowe.
Rozdział 2
Przykłady zagadnień prowadzących do
równań różniczkowych cząstkowych
Równania różniczkowe cząstkowe służą jako modele dla opisu szeregu zjawisk po-
cząwszy od fizyki i techniki, poprzez nauki przyrodnicze, ekonomię, medycynę aż
do nauk humanistycznych. I tak np. są one podstawowym narzędziem do opisu za-
gadnień mechaniki, elektrotechniki, hydromechaniki, akustyki czy fizyki kwantowej.
W niniejszym rozdziale podamy przykłady opisu takich zjawisk, mianowicie drgań
struny, drgań elektrycznych w przewodniku, przewodnictwa ciepła oraz przepływu
cieczy lub gazu. Należy podkreślić, że w literaturze nietrudno znalez
ć wyprowadzenia
bardziej precyzyjne. Na ogół wymagają one dokładniejszej znajomości zjawiska, jak
też nieco bardziej zaawansowanych narzędzi matematycznych. Ponieważ naszym ce-
lem jest elementarne wprowadzenie do teorii równań różniczkowych, również w tym
rozdziale ograniczymy się do rozważań bardzo uproszczonych.
2.1. Równanie struny
Przez strunę rozumiemy jednorodną elastyczną nić o stałym przekroju. Zakła-
damy, że struna jest zamocowana na osi 0x w punktach 0 i l i pod działaniem sił
naprężenia jest skierowana wzdłuż osi 0x. Przyjmujemy przy tym, że siła naprężenia
w każdym punkcie struny jest stała.
Jeśli pod działaniem siły zewnętrznej struna zostanie wyprowadzona z położenia
równowagi, to pod wpływem sił naprężenia zacznie drgać. W naszych rozważaniach
przyjmujemy, że struna przesuwa się w jednej płaszczyz
nie, a punkty struny poruszają
się jedynie w kierunku prostopadłym do osi 0x.
Odchylenie u punktów drgającej struny jest szukaną funkcją dwóch zmiennych nie-
zależnych, współrzędnej x oraz czasu t, czyli u = u(x, t). Oczywiście, siła naprężenia T
jest w każdym punkcie styczna do struny, a ruch struny jest wymuszony jej składową
na oś 0u. Przyjmujemy, że wartość siły natężenia struny jest stała, ponadto rozważamy
tylko takie drgania, dla których amplituda jest mała w stosunku do długości struny.
10 Rozdział 2. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych
Zauważmy, że siła działająca w kierunku osi 0u na element struny M1M2 wyraża
się wzorem

<"
T sin(� + "�) - T sin � T tg(� + "�) - tg � =
=
"u(x + "x, t) "u(x, t) "2u(x + �"x, t)
= T - = T "x, (2.1)
"x "x "2x
dla pewnego � " [0, 1] oraz "x = x2 - x1. (Ponieważ założyliśmy, że � jest małe,
wartość sin � zastąpiliśmy watością tg �, która - jak wiadomo - jest równa wartości
pochodnej, a następnie wykorzystaliśmy twierdzenie o wartości średniej).
Z drugiej strony, korzystając z zasady Newtona, siłę działającą w kierunku osi 0u
na element M1M2 możemy wyrazić wzorem
"2u
� "x , (2.2)
"t2
gdzie � oznacza gęstość liniową struny.
Porównując (2.1) i (2.2) otrzymamy
"2u "2u
T "x = � "x ,
"x2 "t2
czyli
"2u "2u
= a2 , (2.3)
"t2 "x2

gdzie współczynnik a = T/� opisuje prędkość rozchodzenia się drgań prostopadłych.
Jest to równanie typu hiperbolicznego.
Zauważmy, że w opisanym modelu spełnione są następujące warunki brzegowe
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 dla x " [0, l], (2.4)
zaś wyprowadzenie struny z polożenia równowagi zadane jest warunkami początko-
wymi
u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x) dla t " R+, (2.5)
gdzie � i � są zadanymi funkcjami, przy czym �(0) = �(0).
Jeśli założymy, że na strunę działa siła zewnętrzna F to nietrudno sprawdzić, że
drgania struny opisane są równaniem
"2u "2u
= a2 + f(x, t), (2.6)
"t2 "x2
gdzie f(x, t) = F (x, t)/�.
2.2. Drgania elektryczne w przewodnikach
Przypomnijmy, że prąd przepływający w przewodniku scharakteryzowany jest
przez natężenie i = i(x, t) oraz napięcie u = u(x, t), gdzie x oznacza odległość liniową
2.2. Drgania elektryczne w przewodnikach 11
od początku linii, a t czas. Ponadto, jak zwykle niech R oznacza gęstość liniową
oporności przewodnika, C - gęstość liniową pojemności, L - gęstość liniową indukcji,
a G - gęstość liniową upływności (współczynnik izolacji).
Spadek potencjału przewodnika od punktu x do punktu x + "x, czyli
"u
u(x, t) - u(x + "x, t) = - (x + �"x, t)"x,
"x
jest spowodowany przez:
iR"x  spadek napięcia wywołany oporem,
"i
L "x  siłę elektromagnetyczną samoindukcji.
"t
Zatem
"i "u
iR"x + L "x = - "x.
"t "x
Stąd
"u "i
+ L + iR = 0. (2.7)
"x "t
Podobnie, spadek natężenia na odcinku od x do x + "x w czasie "t, czyli

"i
i(x, t) - i(x + "x, t) "t = - (x + �"x, t)"x"t,
"x
jest równy sumie:
C x"u" "t  prądu przeplywającego przez rozważany odcinek,
"t
G u "x"t  strat prądu.
Zatem
"u "i
C "x"t + Gu"x"t = - "x"t.
"t "t
Stąd
"i "u
+ C + Gu = 0. (2.8)
"x "t
Zespół równań (2.7), (2.8) nazywamy równaniami linii elektrycznej.
Różniczkując równanie (2.7) względem x a równanie (2.8) względem t otrzymamy
"2u "2i "i
+ L + R = 0, (2.9)
"x2 "x"t "t
"2i "2u "u
+ C + G = 0. (2.10)
"t"x "t2 "t
<" <"
Jeśli przyjmiemy R 0, G 0, tzn.założymy, że linia jest bez samoindukcji i bez
= =
upływnienia, to
"2u "2u
- LC = 0,
"x2 "t2
12 Rozdział 2. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych
lub
"2u "2u
= a2 , (2.11)
"t2 "x2
"
gdzie a = 1/ LC. Otrzymaliśmy zatem ponownie równanie postaci (2.3).
2.3. Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie
Rozważmy zagadnienie rozchodzenia się ciepła w pręcie jednorodnym. Niech u =
u(x, t) oznacza temperaturę w chwili t w punkcie x. Ilość ciepła przechodząca przez
sekcję pręta w punkcie x w przedziale czasowym "t wynosi
"u
Q = k S"t,
"x
gdzie k jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego a S powierzchnią przekroju
pręta. Jeśli Q1 oznacza ilość ciepła przepływająca przez sekcję pręta w punkcie x = x1
a Q2 przez sekcję w punkcie x = x2, czyli
"u "u

Q1 = k S"t, Q2 = k S"t,
"x x=x1 "x x=x2
to
"u
"u
"Q = Q2 - Q1 = kS"t (x2, t) - (x1, t) =
"x "x

"2u "2u
<"
= kS"t x2 + �(x2 - x1), t "x kS x2, t "x"t,
=
"x2 "x2
dla pewnego � " [0, 1] oraz "x = x2 - x1.
Ciepło "Q powoduje zmianę temperatury odcinka [x1, x2] o wielkość "u, przy
czym
"Q = c�S"x"u,
gdzie c oznacza ciepło właściwe a � gęstość właściwą pręta. Uwzględniając, że
"u "u
<"
"u = u(x, t + "t) - u(x, t) = (x, t + �"t)"t (x, t)"t,
=
"t "t
równanie bilansu cieplnego możemy zapisać w postaci
"2u "u
kS (x, t)"x"t = c�S (x, t)"x"t.
"x2 "t
Stąd
"u "2u
= a2 ,
"t "x2
gdzie a2 = k/(c�). Jest to równanie typu parabolicznego.
2.4. Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle 13
2.4. Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle
Rozważmy teraz zagadnienie rozchodzenia się ciepła w jednorodnej i izotropowej
bryle trójwymiarowej V o powierzchni S. Ilość ciepła przepływającego w jednostce
czasu przez element powierzchni "S wyraża się wzorem
"u
Q = k "S,
"n
gdzie k jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego a n oznacza normalną do po-
wierzchni S. Ponieważ
"u
= n grad u,
"n
ilość ciepła która przechodzi przez element powierzchni "S w czasie "t wyraża się
wzorem
Q = k ngrad u "S"t.
Zatem przez powierzchnie S w czasie "t przechodzi natępująca ilość ciepła

Q = "t k n grad u dS.
S
Przepływające ciepło powoduje zmianę temperatury "u = "u/("t)"t. Przyrost ciepła
elementu bryły "V = "x"y"z w czasie "t wyraża się wzorem
"u
c "V � "u = c � "V "t,
"t
gdzie c oznacza ciepło właściwe a � gęstość właściwą bryły. Przyrost ciepła w bryle
V w czasie "t wyraża się wzorem

"u
Q = "t c� dxdydz.
"t
V
Równanie bilansu cieplnego ma zatem postać

"u
"t k n grad udS = "t � dxdydz.
"t
S V
Po uproszczeniu przez "t i wykorzystaniu twierdzenia Gaussa  Ostrogradzkiego
otrzymamy


"u
div k grad u dxdydz = c� dxdydz,
"t
V V
czyli



"u
div k grad u - c� dxdydz = 0.
"t
V
14 Rozdział 2. Przykłady równań różniczkowych cząstkowych
Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego obszaru V o dostatecznie reularnej
powierzchni, przy zołożeniu ciągłości wyrażeń podcałkowych otrzymamy

"u
div k grad u - c� = 0
"t
lub

"u
= a2div k grad u ,
"t
gdzie a2 = k/(c�).
Ostatecznie otrzymane równanie możemy zapisać w postaci
" u "2u "2u
2
"u
= a2 + + , (2.12)
"t "x2 "y2 "z2
"2 "2 "2
lub używając symbolu laplasjanu " = + + , w postaci
"x2 "y2 "z2
"u
= a2"u.
"t
Jest to również równanie typu parabolicznego.
Jeśli w rozważanym obszarze znajdują się z
ródła ciepła opisane funkcją g(x, y, z, t),
wówczas można pokazać, że równanie przewodnictwa cieplnego przyjmie postać

"u
c� - div k grad u = g(x, y, z, t).
"t
Jeśli temperatura nie zmienia się w czasie równanie przewodnictwa cieplnego ma
postać
"2u "2u "2u
+ + = 0. (2.13)
"x2 "y2 "z2
Równanie (2.13) nosi nazwę równania Laplace a. Jest to równanie typu eliptycznego.
Aby znalez
ć temperaturę ciała, wystarczy znać temperaturę na powierzchni, czyli
u(x, y, z) = �(x, y, z) dla (x, y, z) " S.
oraz prędkość przepływu ciepła przez powierzchnię, czyli
"u
(x, y, z) = �(x, y, z) dla (x, y, z) " S,
"n
gdzie n oznacza wektor normalny do powierzchni. Ponieważ warunki te są zadane na
brzegu obszaru, problem ten nazywamy problemem brzegowym a wymienione warunki
warunkami brzegowymi.
2.5. Przepływ cieczy. Równanie ciągłości
Niech V będzie zadanym obszarem jednospójnym o regularnej powierzchni S.
Załóżmy, że przez obszar V przepływa ciecz lub gaz z prędkością v = v(x, y, z, t).
Niech � oznacza gęstość przepływającej substancji.
2.5. Przepływ cieczy. Równanie ciągłości 15
Przez element powierzchni "S w czasie "t przepływa
"Q = � v "S "t
substancji, gdzie n ozncza wektor normalny do powierzchni S. Stąd przez powierzchnię
S w czasie "t przepłynie

"Q = "t � n v dS
S
substancji.
Z drugiej strony ilość substancji w bryle V wynosi

Q = � dxdydz.
V
Przyrost substancji w czasie "t spowodowany zmianą gęstości wyraża się wzorem

"�
<"
"Q = �(x, y, z, t+"t) dxdydz - �(x, y, z, t) dxdydz = "t dxdydz.
"t
V V V
Równanie bilansu ilości substancji ma zatem postać

"�
"t � n v dS = "t dxdydz.
"t
S V
Wykorzystując twierdzenie Gaussa  Ostrogradzkiego otrzymamy

"�
div(� v)dxdydz = dxdydz.
"t
V V
Stąd wynika natychmiast tak zwane równanie ciągłości
"�
- div(� v) = 0.
"t
Jeśli przyjmimy, że
-k "� "P
v = grad P, =  ,
� "t "t
gdzie P oznacza ciśnienie, a  współczynnk przepuszczalności, to
"P
 = div (k gradP ),
"t
lub

"P k "2P "2P "2P
= + + . (2.14)
"t  "x2 "y2 "z2
"P
Jeśli rozważana substancja jest nieściśliwa, wówczas = 0, a równanie (2.14) przyj-
"t
mie postać
div (grad u) = 0,
lub
"2u "2u "2u
+ + = 0.
"x2 "y2 "z2
Ponownie otrzymaliśmy równanie Laplace a.
Rozdział 3
Metoda charakterystyk dla równań liniowych
pierwszego rzędu
W rozdziale tym omówimy rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych
pierwszego rzędu metodą charakterystyk. Metoda ta polega na sprowadzeniu roz-
wiązania równania różniczkowego cząstkowego do rozwiązania układu równań róż-
niczkowych zwyczajnych, tzw. równań charakterystyk. W tym celu znajduje się roz-
wiązanie równania wyjściowego wzdłuż pewnych krzywych, a następnie pokazuje się,
że powierzchnia utworzona w stosowny sposób z tak skonstruowanych krzywych (cha-
rakterystyk) jest rozwiązaniem równania wyjściowego.
Wpierw sformułujemy idee tej metody na prostym przykładzie równania linio-
wego o stałych współczynnikach, następnie rozwiniemy ją dla przypadku równania
liniowego o współczynnikach funkcyjnych. W ostatnim paragrafie podamy uzasad-
nienie teoretyczne dla nieco ogólniejszej sytuacji, mianowicie dla przypadku równań
quasi-liniowych. Metoda ta może być również stosowana dla przypadku nieliniowych
równań róz
niczkowych, ale jej teoretyczne uzasadnienie jest bardziej złożone. Zainte-
resowanego Czytelnika odsyłamy do licznych monografii, np. [].
3.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach
Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu o stałych
współczynnikach
aux + buy = c, (x, y) " D �" R2. (3.1)
Niech u będzie rozwiązaniem równania (1.1) w obszarze D. Rozważmy krzywą �
zawartą w D daną równaniami
x = x(t), y = y(t), t " I.
Oczywiście wzdłuż krzywej � rozwiązanie u przyjmuje wartości

z(t) = u x(t), y(t) , t " I,
a pochodna względem zmiennej t wyraża się wzorem
dz "u dx "u dy
= + . (3.2)
dt "x dt "y dt
18 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
Załóżmy, że krzywa � jest tak dobrana, że
dx dy
= a, = b. (3.3)
dt dt
Stąd i z faktu, że u jest rozwiązaniem równania (3.1) wynika, że prawa strona relacji
(3.2) jest równa c, czyli
dz
= c. (3.4)
dt
Rozwiązując równanie (3.3) z warunkami początkowymi: x(0) = 0, y(0) = y0, otrzy-
mamy
x = at, y = bt + y0,
lub po wyrugowaniu parametru t
b
y0 = y - x. (3.5)
a
Rozwiązanie równania (3.4) ma postać
z = ct + K. (3.6)
Przypomnijmy, że funkcja (3.6) jest rozwiązaniem równania (3.1) wzdłuż krzywej �.
Jeśli zatem stałą K zastąpimy dowolną funkcją która na krzywej � przyjmuje stałą
wartość, co symbolicznie możemy zapisać K = F (y0), to funkcja
z = ct + F (y0),
będzie w dalszym ciągu spełniać równanie (3.1) wzdłuż krzywej �. Rozważmy teraz
funkcje

c b
u(x, y) = x + F y - x , (3.7)
a a
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Bezpośredni rachunek
pokazuje, że funkcja ta jest rozwiązaniem równania (3.1). Istotnie

2
c b b b
2
aux + buy = a - F y - x + bF y - x = c.
a a a a
Tak więc, aby znalez
ć rozwiązania równania (3.1), wystarczy rozwiązać układ rów-
nań liniowych (3.3), (3.4) ze stosownymi waunkami początkowymi, np. x(0) = 0,
y(0) = y0 (ogólniej możemy przyjąć x(0) = x0, y(0) = y0). Równania te noszą nazwę
równań charakterystyk.
Przykład 3.1. Znalez
ć rozwiązanie równania
ux + 2uy = 0, x e" 0, (3.8)
spełniające warunek początkowy
u(0, y) = f(y), (3.9)
gdzie f jest zadaną funkcją różniczkowalną.
3.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach 19
Rozwiązując równania charakterystyk
dx dy
= 1, = 2
dt dt
z warunkami początkowymi x(0) = 0, y(0) = y0 otrzymamy
x = t, y = 2t + y0,
lub po wyrugowaniu t
y = 2x + y0.
Równanie (3.4) przyjmuje postać
dz
= 0,
dt
a jego rozwiązanie możemy zapisać w postaci
z = F (y0),
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Zgodnie z wzorem (3.7)
całka ogólna równania (3.8) ma postać
u(x, y) = F (y - 2x).
Rozwiązanie to winno spełniać warunek początkowy (3.9), czyli
u(0, y) = F (y) = f(y).
Wynika stąd, że rozwiązaniem problemu (3.8), (3.9) jest funkcja
u(x, y) = f(y - 2x).
W szczególności, jeśli f(y) = 1/(1 + y3) to rozwiązaniem tego problemu jest funkcja
1
u(x, y) = .
1 + (y - 2x)3
Przykład 3.2. Znalez
ć rozwiązanie równania
ux + auy = 0, x e" 0, y e" 0 (a>0), (3.10)
spełniające warunki
u(x, 0) = f(x), u(0, y) = g(y), (3.11)
gdzie f i g są funkcjami różniczkowalnymi i ponadto f(0) = g(0).
Zgodnie z poprzednimi przykładami całka ogólna równania (3.10) ma postać
u(x, y) = F (y - ax),
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej.
20 Rozdział 3. Metoda charakterystyk

Rozważmy zbiory D1 = (x, y) " R2 : x e" 0, 0 d" y d" ax oraz D2 = (x, y) "

R2 : x e" 0, y > ax . Zauważmy, że w zbiorze D1 rozwiązanie równania (3.10) winno
spełniać warunek u(x, 0) = f(x), zaś w zbiorze D2 warunek u(0, y) = g(y). Wynika
stąd, że rozwiązaniem problemu (3.10), (3.11) jest funkcja
ńł
y
f x
�ł - , jeśli x e" 0, 0 d" y d" ax;
a
u(x, y) =
ół
g(y - ax), jeśli x e" 0, y > ax.
Przykład 3.3. Znalez
ć rozwiązanie równania
ux + 3uy = 0, x e" 0, y e" 0,
spełniające warunki
u(x, 0) = cos x, dla x > 0,

2y + 1, jeśli 0 d" y d" 1;
u(0, y) =
0, jeśli y > 1.
Nietrudno sprawdzić, że całka ogólna równania wyjściowego ma postać
u(x, y) = F (y - 3x),
zaś rozwiązanie spełniające zadane warunki początkowo-brzegowe ma postać
ńł
y
cos(x
�ł - ), jeśli x > 0, 0 < y < 3x,
3
u(x, y) = 2(y - 3x) + 1, jeśli x > 0, 3x d" y d" 1,
ół
0, jeśli x > 0, y > max{1, 3x}.
Opisaną tu metodę możemy stosować również w przypadku, gdy współczynniki
a,b,c są funkcjami zmiennych x i y. Równanie tego typu rozwiążemy w następnym
przykładzie.
Przykład 3.4. Znalez
ć rozwiązanie równania
ux + yuy = u,
spełniające warunek początkowy
u(0, y) = f(y),
gdzie f jest funkcją różniczkowalą.
Rozwiązując równania charakterystyk
dx dy
= 1, = y,
dt dt
3.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach 21
z warunkami początkowymi x(0) = 0, y(0) = y0 otrzymamy
x = t, y = y0et.
Równanie (3.4) przyjmuje tym razem postać
dz
= z.
dt
Rozwiązując to równanie otrzymamy
z = Ket.
Ponieważ stała K jest dobrana dla charakterystyki y0 = ye-x w miejsce K możemy
wstawić F (y0), czyli
z = F (y0)et,
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną. Zgodnie z poprzednimi razważaniami
funkcja

u(x, y) = F ye-x ex
jest rozwiązaniem równania wyjściowego. Uwzględniając warunek początkowy mamy
u(0, y) = F (y) = f(y).
Zatem szukane rozwiązanie ma postać

u(x, y) = f ye-x ex.
Przykład 3.5. Znalez
ć rozwiązanie równania
ux + u2uy = 0, x, y " R+
spełniające warunki
"
u(0, y) = y, dla y > 0,
u(x, 0) = 0, dla x > 0.
Równania charakterystyk mają postać
dx dy dz
= 1, = z2, = 0.
dt dt dt
dz
Z równania = 0 wynika, że funkcja z = u(x(t), y(t)) jest stała wzdłuż charakte-
dt
rystyk. Wykorzystując ten fakt, po rozwiązaniu równań charakterystyk z warunkami
początkowymi x(0) = 0, y(0) = y0, otrzymamy
x = t, y = z2t + y0, z = F (y0).
Stąd
y = z2x + y0.
22 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
Wstawiając w miejsce z funkcje u rozwiązanie równania wyjściowego możemy zatem
zapisać w postaci uwikłanej
u = F (y - xu2).
Wykorzystując warunek początkowy otrzymamy
"
u(0, y) = F (y) = y.
"
Zauważmy, że dla funkcji F (y) = y również drugi z żądanych warunków jest speł-
"
niony, bowiem u(x, 0) = F (0) = 0 = 0. Zatem rozwiązanie naszego problemu mo-
żemy zapisać w postaci uwikłanej

u = y - xu2 dla y - xu2 e" 0.
Wyznaczając z ostatniego równania u otrzymamy

y
u = , dla x e" 0, y e" 0.
1 + x
Przykład 3.6. Rozważmy teraz liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierw-
szego rzędu o stałych współczynnikach
aux + buy + cuz = ą, (x, y, z) " V �" R3.
Jak poprzednio szukamy rozwiązania wzdłuż krzywej � �" V danej równaniami
x = x(t), y = y(t), z = z(t) t " I.
Załóżmy, że krzywa � jest tak dobrana, że
dx dy dz
= a, = b, = c,
dt dt dt
Rozwiązując ostatni układ równań z warunkami początkowymi: x(0) = 0, y(0) = y0,
z(0) = z0 otrzymamy
x = at, y = bt + y0, z = ct + z0
lub po wyrugowaniu parametru t równanie krawędziowe krzywej �
b c
y - x = y0, z - x = z0.
a a
Zauważmy, że wzdłuż krzywej � rozwiązanie r:ownania przyjmuje wartość v(t) =

u x(t), y(t), z(t) , przy czym zgodnie z równaniem wyjściowym
dv
= ą.
dt
Stąd
v = ąt + K.
3.2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu 23
Ponieważ stała K jest dobrana do krzywej �, możemy fakt ten wyrazić formułą K =
F (y0, z0), gdzie F jest dowolną różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych, czyli
v = ąt + f(x0, y0).
Wstawiając w miejsce v funkcje u i pamiętając, że t = x/a otrzymamy

ą b c
u(x, y, z) = x + F y - x, z - x .
a a a
Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja jest rozwiązaniem równania wyjścio-
wego.
3.2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego
rzędu
Przeanalizujemy jeszcze raz zaproponowaną w poprzednim paragrafie metodę w
wersji nieco zmodyfikowanej. Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierw-
szego rzędu
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = f(x, y), (3.12)
gdzie a, b, c, f są funkcjami ciągłymi w obszarze D �" R2. Załóżmy ponadto, że
funkcje a i b nie zerują się równocześnie w żadnym punkcie zbioru D.
Celem znalezienia rozwiązań równania (3.12) dokonajmy zmiany zmiennych
� = �(x, y), � = �(x, y), (x, y) " D (3.13)
tak dobranej, aby po zmianie zmiennych równanie (3.12) zredukowało się do równania
różniczkowego zwyczajnego.
Załóżmy chwilowo, że taka zmiana zmiennych istnieje i ponadto, że z równań (3.13)
możemy lokalnie wyznaczyć x i y jako funkcje zmiennych � i �, czyli
x = x(�, �), y = y(�, �),
przy czym tak określone funkcje x i y posiadają pochodne cząstkowe względem � i �.
Połóżmy

w(�, �) = u x(�, �), y(�, �) .
Wracając do zmiennych wyjściowych x i y otrzymamy

u(x, y) = w �(x, y), �(x, y) .
Stąd
ux = w��x + w��x, uy = w��y + w��y.
Podstawiając ostatnie związki do równania (3.12) otrzymamy
(a�x + b�y)w� + (a�x + b�y)w� + cw = f.
24 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
Zauważmy, że wyjściowe żądanie będzie spełnione, jeśli funkcje � dobierzemy tak, aby
a�x + b�y = 0, (3.14)
(lub funkcje � tak aby a�x + b�y = 0). Niech � będzie rozwiązaniem równanie (3.14).
Kładąc
�(x, y) = K,
gdzie K jest dowolną stałą, otrzymamy
d� = �xdx + �ydy = 0. (3.15)
Jeśli �y = 0, z warunków (3.14), (3.15) wynika, że

dy b
= . (3.16)
dx a
Równanie (1.16) nazywamy równaniem charakterystyk równania (3.12). Rodzinę krzy-
wych �(x, y) = K, będącą rozwiązaniem ogólnym równania (3.16) nazywamy rodziną
charakterystyk równania (3.12).
Niech �(x, y) = K będzie rozwiązaniem równania ogólnym (3.16). Kładąc
� = x, � = �(x, y)
równanie (3.12) sprowadzimy do równania

�)w� + �)w = f(�, �) (3.17)
a(�, a(�,
gdzie

�) = a x(�, �), y(�, �) = a �, y(�, �) ,
a(�,


b(�, �) = b x(�, �), y(�, �) = b �, y(�, �) ,


f(�, �) = f x(�, �), y(�, �) = f �, y(�, �) .
Niech w będzie rozwiązaniem równania (3.17). Połóżmy

u(x, y) = w �(x, y), �(x, y) , (x, y) " D.
Nietrudno sprawdzić, że tak określona funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.12).
Zauważmy jeszcze, że równania charakterystyk (3.16) możemy zapisać w postaci
układu równań
dx dy
= a, = b. (3.18)
dt dt
Przykład 3.7. Rozwiązać równanie
ux + 2xyuy = u, (x, y) " R2, (3.19)
z warunkiem początkowym
u(0, y) = y3, y " R. (3.20)
3.2. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu 25
Rozwiązując równanie charakterystyk
dy
= 2xy,
dx
otrzymamy
2 2
y = Cex lub ye-x = C.
Kładąc
2
� = x, � = ye-x ,
mamy
2 2
ux = w� - 2xye-x w�, uy = e-x w�,
a po podstawieniu do równia wyjściowego otrzymamy
w� = w.
Stąd
w = Ke�.
Ponieważ stała K może zależeć od �, przyjmijmy K = F (�), gdzie F jest dowolną
funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Zatem
w = F (�)e�.
Zgodnie z poprzednimi uwagami funkcja

2
u(x, y) = F ye-x ex
jest rozwiązaniem równania (3.19). Uwzględniając warunek początkowy (3.20) mamy
u(0, y) = F (y) = y3.
Zatem rozwiązaniem problemu (3.19), (3.20) jest funkcja
2 2
u(x, y) = y3e-3x ex = y3ex-3x .
Przykład 3.8. Rozważmy równanie
xux + 2x2uy - u = x2ex. (3.21)
Rozwiązując równanie charakterystyk
dy
= 2x
dx
otrzymamy y = x2 + C. Zmiana zmiennych
� = x, � = y - x2
26 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
prowadzi do równania
1
w� - w = �e�.
�
Rozwiązując to równanie otrzymamy
w = �e� + �F (�),
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracając do zmiennych
wyjściowych znajdziemy całkę ogólną równania (3.21):
u(x, y) = xex + xF (y - x2).
Załóżmy wpierw, że szukamy rozwiązania równania (3.21), które na krzywej y = x2
przyjmuje wartość sin x, czyli
u(x, x2) = xex + xF (0) = sin x.
Oznacza to, że musimy znalez
ć taką stałą C aby
xex + xC = sin x.
Ponieważ jest to niemożliwe, postawiony problem nie posiada rozwiązania.
Załóżmy teraz, że szukamy rozwiązania równania (3.21), które na krzywej y = x2
przyjmuje wartość xex - 4x, czyli
u(x, x2) = xex + xF (0) = xex - 4x.
Wynika stąd, że F (0) = -4. Założony warunek jest więc spełniony, jeśli F jest dowolną
funkcją różniczkowalną taką, że F (0) = -4. Oznacza to, że problem ten posiada
nieskończenie wiele rozwiązań.
Załóżmy wreście, że szukamy rozwiązania równania (3.21), które na krzywej y =
x2 + x przyjmuje wartość cos x, czyli
u(x, x2 + x) = xex + xF (x) = cos x.
1
Zauważmy, że warunek ten zachodzi, jeśli F (x) = cos x - ex. Zatem szukane roz-
x
wiązanie ma postać
x 2
u(x, y) = xex + cos(y - x2) - xey-x .
y - x2
Warto odnotować, że krzywa y = x2 jest charakterystyką, natomiast krzywa y =
x2 + x nie jest charakterystyką równania (3.21). Z tym faktem - jak zobaczymy w
następnym paragrafie - związana jest kwestia jednoznaczności lub niejednoznaczności
rozwiązań problemu początkowego.
3.3. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych 27
3.3. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych
niezależnych
Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe 1-go rzędu o n-zmiennych nie-
zależnych
"u "u "u
a1(x1, . . . , xn) + a2(x1, . . . , xn) + . . . + an(x1, . . . , xn) = 0, (3.22)
"x1 "x2 "xn
gdzie a1, . . . , an są funkcjami klasy C1 określonymi w zbiorze &! �" Rn.
Rozważmy ponadto odpowiadający mu układ równań charakterystyk
dx1
= a1(x1, . . . , xn),
dt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3.23)
dxn
= an(x1, . . . , xn).
dt
Definicja 3.1. Funkcje u = u(x1, . . . , xn) klasy C1 w zbiorze &! nazywamy całką
pierwszą układu równań (3.23) jeżeli dla dowolnego rozwiązania
x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t), t " I,
układu równań (3.23)

u x1(t), . . . , un(t) = const dla t " I.
Bezpośrednim rachunkiem nietrudno sprawdzić iż zachodzi następująca:
Uwaga 3.1. Niech f jest funkcją C1, a u całką pierwszą układu (3.23).
klasy
Wówczas funkcja v = f u(x1, . . . , xn) jest również całą pierwszą układu (3.23).
Podobnie, jeśli funkcje u1, . . . , uk są całkami
pierwszymi uładu (3.23) a F jest

funkcją k zmiennych klasy C1, to funkcja v = F u1(x1, . . . , xn), . . . , uk(x1, . . . , xn)
jest również całką pierwszą układu (3.23)
Twierdzenie 3.1. Funkcja u : &! R klasy C1 jest całką pierwszą układu równań
(3.23) wtedy i tylko wtedy gdy jest rozwiązaniem równania (3.22).
Dowód. Warunek konieczny. Niech u będzie całką pierwszą układu równań

(3.23). Niech x(t) = x1(t), . . . , xn(t) , t " I, będzie rozwiązaniem układu równań
o o o
x x1 xn
(3.23) przechodzącym w chwili t0 przez punkt = ( , . . . , ) " &!. Oczywiście

u x1(t), . . . , xn(t) = const dla t " I.
Zatem du = 0, czyli

"u "u
x1(t), . . . , xn(t) x2 (t) + . . . + x1(t), . . . , xn(t) x2 (t) = 0, t " I.
1 1
"x1 "xn
W szczególności dla t = t0 mamy
"u o o "u o o
x x x x
( ) a1( ) + . . . + ( ) an( ) = 0.
"x1 "xn
28 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
o
x
Ponieważ jest dowolnym punktem zbioru &!, funkcja u jest rozwiązaniem równania
(3.22) w &!.
Warunek wystarczający. Niech u = u(x1, . . . , xn) będzie rozwiązaniem równa-
nia (3.22), a x1 = x1(t), . . . , xn = xn(t), t " I, rozwiązaniem układu równań
(3.23). Oczywiście
n


"u
ai x1(t), . . . , xn(t) x1(t), . . . , xn(t) = 0.
"xi
i=1
Ponieważ

x2 (t) = ai x1(t), . . . , xn(t) i = 1, . . . , n,
i
zatem
n


"u
x2 (t) x1(t), . . . , xn(t) = 0,
i
"xi
i=1
czyli

d
u( x1(t), . . . , xn(t) = 0.
dt
Oznacza to, że

u x1(t), . . . , xn(t) = const dla t " I,
co kończy dowód twierdzenia 3.1.
Definicja 3.2. Funkcje u1, . . . , un " C1(&!) nazywamy funkcyjnie niezależnymi w
zbiorze &! jeśli dla dowolnego x " &!

"u1 "u1

(x), . . . , (x)
"x1 "xn


. . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0


"un "un

(x), . . . , (x)
"x1 "xn
Zauważmy, że jeśli u1, . . . , un są funkcyjnie niezależne w zbiorze &! to dla dowol-
nego x " &! równość
1u1(x) + . . . + nun(x) = 0
zachodzi tylko wówczas, gdy 1 = . . . = n = 0.

o o
x1 xn
Twierdzenie 3.2. W otoczeniu dowolnego punktu , . . . , " &! nie będącym
punktem równowagi układu (3.23), istnieje n - 1 całek pierwszych funkcyjnie nieza-
leżnych u1, . . . , un-1 tego układu. Ponadto, jeśli u jest całką pierwszą układu (3.23)
w tym otoczeniu, to

u(x1, . . . , xn) = F u1(x1, . . . , xn), . . . , un(x1, . . . , xn) , (3.24)
gdzie F jest funkcją klasy C1.
3.3. Równanie różniczkowe cząstkowe liniowe o n-zmiennych niezależnych 29
Dowód tego twierdzenia został przedstawiony w dodatku A (zob. ). Z twierdzenia
3.2 wynika, że dowolne rozwiązanie równania (3.22) ma postać (3.24). Aby zatem
znalez
ć całkę ogólną równania (3.22) wystarczy znalez
ć n - 1 funkcyjnie niezależnych
całek pierwszych układu równań charakterystyk (3.23).
Zauważmy, że układ równań (3.23) możemy zapisać w postaci:

d 1x1 + . . . + nxn
dx1 dxn
= � � � = = , (3.25)
a1 an 1a1 + . . . + nan
gdzie 1, . . . , n " R.
Przykład 3.9. Znalez
ć całkę ogólną równania
xux + yuy + z2uz = 0.
Równanie charakterystyk możemy zapisać w postaci:
dx dy dz
= = .
x y z2
Rozwiązując równania:
dx dy dx dz
= , = ,
x y x z2
otrzymamy
y/x = C1, xe1/z = C2.
A
atwo sprawdzić, że funkcje:
�1 = y/x, �2 = xe1/z.
są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk, a zatem
szukana całka ogólna ma postać

u = F y/x, xe1/z ,
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowlną dwóch zmiennych.
Przykład 3.10. Znalez
ć całkę ogólną równania
(y + z)ux + yuy + (x - y)uz = 0.
Równania charakterystyk mają postać:
dx dy dz
= = .
y + z y x - y
Rozwiązując równania:
d(x + z) dy d(x - y) dz
= , = ,
x + z y z x - y
30 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
otrzymamy
(x + z)/y = C1, (x - y)2 - z2 = C2.
Funkcje �1 = (x+z)/y, �2 = (x-y)2-z2 są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi
układu równań charakterystyk, zatem całka ogólna równania wyjściowego ma postać:

u = F (x + z)/y, (x - y)2 - z2 ,
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną dwóch zmiennych.
Rozważmy teraz równanie niejednorodne
"u "u
a1(x1, . . . , xn, u) + . . . + an(x1, . . . , xn, u) = f(x1, . . . , xn, u), (3.26)
"x1 "xn
gdzie a1, . . . , an są funkcjami klasy C1 określonymi w zbiorze &! �" Rn.
Szukamy rozwiązania w postaci uwikłanej
V (x1, . . . , xn, u) = 0, (3.27)
gdzie V jest funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu

o o o o o
"V
w x1 xn u
punktu = ( , . . . , , ). Załóżmy, że w = 0. Z twierdzenia o pochodnej
"u
o
w
funkcji uwikłanej w otoczeniu punktu otrzymamy
"V
"u "V
= - , i = 1, . . . , n
"xi "xi "u
Podstawiając ostatnie wielkości do równania (3.26) mamy
a1(x1, . . . , xn, u)Vx + . . . + an(x1, . . . , xn, u)Vx + f(x1, . . . , xn, u)Vu = 0. (3.28)
1 n
Równania charakterystyk równania (3.28) mają postać:
dx1 dxn du
= . . . = = . (3.29)
a1(x1, . . . , xn, u) an(x1, . . . , xn, u) f(x1, . . . , xn, u)
Niech �1, . . . , �n będą funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu równań
(3.29), a zgodnie z poprzednimi uwagami całka ogólna równania (3.28) ma postać
V = F (�1, . . . , �n),
gdzie F jest dowolną funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe. Zgodnie ze
wzorem (3.27)
F (�1, . . . , �n) = 0 (3.30)
jest całką ogólną równania (3.26).
Przykład 3.11. Znalez
ć całkę ogólną równania
ux + yuy + z2uz = u3.
3.4. Metoda charakterystyk dla prawie liniowego równania 31
Równanie charakterystyk możemy zapisać w postaci:
dx dy dz du
= = = .
1 y z2 z3
Rozwiązując równania:
dy dx dz dx du dx
= , = , = ,
y 1 z2 1 u3 1
otrzymamy
ln y - x = C1, 1/z + x = C2, 1/u2 + 2x = C3
A
atwo sprawdzić, że funkcje:
�1 = ln y - /x, �2 = 1/z + x, �3 = 1/u2 + 2x,
są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu równań charakterystyk. Zatem
szukana całka ogólna ma postać:

F ln y - x, 1/z + x, 1/u2 + 2x = 0,
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną trzech zmiennych.
3.4. Metoda charakterystyk dla prawie-liniowego równania
różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu
Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u), (x, y) " D, (3.31)
gdzie a, b, c są funkcjami klasy C1 w zbiorze &! �" R3. Niech D = {(x, y) : (x, y, z) "
&! dla pewnego z " R}. Zakładamy ponadto, że funkcje a i b nie zerują się równocze-
śnie w żadnym punkcie obszaru &!.
Przypomnijmy, że rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze D nazywamy funkcje
u " C1(D), spełniającą dla każdego (x, y) " D równanie (3.31). Rodzinę wszystkich
rozwiązań równania (3.31) nazywamy całką ogólną tego równania.
Jeśli funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.22) w zbiorze D, to powierzchnia
S dana równaniem z = u(x, y), (x, y) " D nazywa się powierzchnią całkową lub
wykresem rozwiązania równania (3.31).
Zauważmy, że dla dowolnego punktu P0 = (x0, y0, z0) " S wektor y0) =
n(x0,

ux(x0, y0), uy(x0, y0), -1 jest wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie P0.
Ponieważ u jest rozwiązaniem równania (3.31), zatem
a(P0)ux(x0, y0) + b(P0)uy(x0, y0) - c(P0) = 0, (3.32)

co oznacza, że wektor a(P0), b(P0), c(P0) jest prostopadły do wektora ux(x0, y0),

uy(x0, y0), -1 , a zatem jest styczny do wykresu rozwiązania u w punkcie P0.
32 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
Rozważmy układ równań
dx dy dz
= a(x, y, z), = b(x, y, z), = c(x, y, z). (3.33)
dt dt dt
Krzywe, które są rozwiązaniami układu (3.33), nazywami charakterystykami rów-
nania (3.31), a same równania (3.36), równaniami charakterystyk.
Pokażemy, że jeśli dane jest rozwiązanie u równania (3.31) określone w zbiorze
D, to przez dowolny punkt powierzchni całkowej S danej równaniem z = u(x, y),
(x, y) " D, przechodzi dokładnie jedna charakterystyka. Na odwrót, mając daną
rodzinę charakterystyk, możemy za ich pomocą skonstruować rozwiązanie równania.
Obserwacja 3.1. Załóżmy, że przez dowolny punkt powierzchnia S klasy C1
danej równaniem z = u(x, y), (x, y) " D, przechodzi charakterystyka równania (3.31)
całkowicie leżąca na S. Wówczas funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.31) w zbio-
rze D.
Istotnie, zgodnie z przyjętym założeniem, przez dowolny punkt P = (x, y, u(x, y))
powierzchni S, przechodzi charakterystyka ł równania (3.31) leżąca na S. Oczywi-
ście wektor w(P ), styczny do krzywej ł w punkcie P , leży na płaszczyżnie stycz-

nej do powierzchni S w punkcie P , a zatem jest prostopadły do wektora y) =
n(x,
(ux(x, y), uy(x, y), -1). Zgodnie z równaniami (3.33)

w(P ) = big(a(x, y, u(x, y)), b(x, y, u(x, y)), c(x, y, u(x, y)) .

Oczywiście iloczyn skalarny wektorów y) i w(P ) jest równy zeru, czyli
n(x,

a x, y, u(x, y) ux(x, y) + b x, y, u(x, y) uy(x, y) - c x, y, u(x, y) = 0.
Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego (x, y) " D, oznacza to, że u jest
rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze D.
Obserwacja 3.2. Załóżmy, że funkcja z = u(x, y), (x, y) " D, jest rozwiąza-
niem równania (3.31). Niech S będzie powierzchnią całkową odpowiadającą temu roz-
wiązaniu. Niech ł będzie charakterystyką równania (3.31) przechodzącą przez punkt
(x0, y0, z0) " S. Wówczas krzywa ł leży całkowicie na powierzchni S.

Istotnie, niech ł(t) = x(t), y(t), z(t) , t " I, będzie rozwiązaniem układu równań
zwyczajnych (3.33) z warunkami początkowymi x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0.
Rozważmy funkcje U : I R daną wzorem

U(t) = z(t) - u x(t), y(t) .
Oczywiście U(t0) = 0. Różniczkując funkcje U względem t i uwzględniając fakt, że ł
jest rozwiązaniem układu (3.33) otrzymamy

U2 (t) = z2 (t) - ux x(t), y(t) x2 (t) - uy x(t), y(t) y2 (t)

= c x(t), y(t), z(t) - ux x(t), y(t) a x(t), y(t), z(t)

- uy x(t), y(t) b x(t), y(t), z(t) .
3.4. Metoda charakterystyk dla prawie liniowego równania 33

Ponieważ z(t) = U(t) + u x(t), y(t) mamy

U2 (t) = c x(t), y(t), U(t) + u(x(t), y(t))


-ux x(t), y(t) a x(t), y(t), U(t) + u(x(t), y(t)) (3.34)


- uy x(t), y(t) b x(t), y(t), U(t) + u(x(t), y(t)) .
Z faktu, że u jest rozwiązaniem równania (3.31), wynika, że funkcja U = 0 jest całka
równania (3.34). Ponieważ prawa strona równania (3.27) jest klasy C1 (względem
zmiennej t) - zgodnie z teorią równań różniczkowych zwyczajnych - funkcja U = 0
jest jedynym rozwiązaniem spełniającym warunek początkowy U(t0) = 0. Zatem
z(t) - u(x(t), y(t)) = 0 dla t " I, co oznacza, że wykres krzywej ł leży całkowicie na
powierzchni S. Dowód obserwacji 3.2 został zakończony.
Mając daną krzywą ł : I R3 zadaną równaniami

ł(s) = ł1(s), ł2(s), ł3(s) , (3.35)
szukamy rozwiązania równania (3.31) takiego, aby jego wykres zawierał krzywą ł, to
znaczy, aby zachodził warunek

ł3(s) = u (ł1(s), ł2(s) , s " I. (3.36)
Twierdzenie 3.3. Niech ł : I R3 będzie funkcją klasy C1 i niech s0 " I.
Załóżmy, że współczynniki b, c równania (3.31) są klasy C1 w pewnym otoczeniu
a,
punktu P0 = (x0, y0, z0) = ł1(s0), ł2(s0), ł3(s0) i ponadto

2 2

ł1(s0) ł2(s0)


= 0. (3.37)

a(x0, y0, z0) b(x0, y0, z0)
Wówczas problem (3.31), (3.36) posiada dokładnie jedno rozwiązanie w pewnym oto-
czeniu U punktu (x0, y0), przy czym rozwiązanie to spełnia warunek u(x0, y0) = z0.
Dowód. Ponieważ funkcje a, b, c są klasy C1 w otoczeniu punktu P0, istnieje
otoczenie J = (s0 - �, s0 + �) �" I punktu s0 takie, że dla dowolnego s " J układ
(3.33) z warunkami początkowymi
x(0) = ł1(s), y(0) = ł2(s), z(0) = ł3(s)
posiada dokładnie jedno rozwiązanie
x(t) = X(s, t), y(t) = Y (s, t), z(t) = Z(s, t). (3.38)
Z teorii równań różniczkowych zwyczajnych i przyjętych założeń wynika, że funkcje X,
Y , Z posiadają ciągłe pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu " punktu (s0, 0) "
R2. Zauważmy jeszcze, że w otoczeniu tym funkcje X, Y , Z spełniają równania
Xt = a(X, Y, Z), Yt = b(X, Y, Z)), Zt = c(X, Y, Z)). (3.39)
34 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
oraz warunki początkowe
X(s, 0) = ł1(s), Y (s, 0) = ł2(s), Z(s, 0) = ł3(s). (3.40)
Na mocy powyższych obserwacji oraz zależności (3.40) i (3.39) mamy
2 2
Xs(s0, 0) = ł1(s0), Ys(s0, 0) = ł2(s0)
oraz
Xt(s0, 0) = a(x0, y0, z0), Yt(s0, 0) = b(x0, y0, z0).
Wykorzystując ostatnie równości, warunek (3.37) możemy zapisać w postaci


Xs(s0, 0) Ys(s0, 0)


= 0,

Xt(s0, )) Yt(s0, 0)
która mówi, że dla odwzorowania " " (s, t) (X(s, t), Y (s, t)) spełnione są założe-
nia twierdzenia o funkcji odwrotnej. Istnieją zatem otoczenie U punktu (x0, y0) oraz
funkcje S, T : U R klasy C1 takie, że

x = X S(x, y), T (x, y) , y = Y S(x, y), T (x, y) (3.41)
i ponadto
S(x0, y0) = s0, T (x0, y0) = 0. (3.42)
Rozważmy funkcje u : U R daną wzorem

u(x, y) = Z S(x, y), T (x, y) , (3.43)
gdzie Z jest funkcją określoną w zbiorze " wzorami (3.38). Pokażemy, że tak określona
funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze U.
Różniczkując równość (3.43) względem zmiennych x i y otrzymamy
ux = Zs Sx + Zt Tx, uy = Zs Sy + Zt Ty. (3.44)
Następnie różniczkując równości (3.41) względem zmiennych x i y otrzymamy
1 = Xs Sx + Xt Tx, 0 = Xs Sy + Xt Ty,
0 = Ys Sx + Yt Tx, 1 = Ys Sy + Yt Ty,
skąd nietrudno wyliczyć, że
Ys Xs
Tx = , Ty = ,
YsXt - YtXs XsYt - XtYs
Yt Xt
Sx = , Sy = .
XsYt - XtYs XtYs - XsYt
3.4. Metoda charakterystyk dla prawie liniowego równania 35
Wykorzystując ostatnie równości oraz związki (3.39) i (3.44) otrzymamy

a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = Xt ZsSx + ZtTx + Yt ZsSy + ZtTy

ZsYt ZtYs ZsXt ZtXs
+ Xt + = Yt +
XsYt - XtYs YsXt - YtXs XtYx - XsYt XsYt - XtYs

Zs XtYt - XtYt Zt XsYt - XtYs
= + = Zt = c(x, y, u),
XsYt - XtYs XsYt - XtYs
co oznacza, że funkcja u jest rozwiązaniem równania (3.31) w zbiorze U. Korzystając
z (3.43), (3.42) i (3.40) otrzymamy

u(x0, y0) = Z S(x0, y0), T (x0, y0) = Z(s0, 0) = ł3(s0) = z0.
Pozostaje sprawdzić, że rozwiązanie to jest określone jednoznacznie. Niech v będzie
dowolnym rozwiązaniem równania (3.31) zawierającym krzywą ł. Na mocy obserwacji
3.2 charakterystyka równania (3.31) przechodząca przez dowolny punkt krzywej ł
leży całkowicie na powierzchni całkowej z = v(x, y). W szczególności wynika stąd, że
powierzchnia
x = X(s, t), y = Y (s, t), z = Z(S, t), (s, t) " ",
leży całkowicie na powierzchni całkowej z = v(x, y), co oznacza, że lokalnie rozwiąza-
nia u i v pokrywają się. Dowód twierdzenia został zakończony.
Rozpatrzmy teraz przypadek

2 2

ł1(s0) ł2(s0)

= 0, (3.45)

a(P0) b(p0)
czyli
2 2
b(p0) ł1(s0) - a(P0) ł2(s0) = 0. (3.46)
Po zróżniczkowanie (1.29) i podstawieniu s = s0 otrzymamy
2 2 2
ł3(s0) = ux(x0, y0) ł1(s0) + uy(x0, y0)ł2(s0), (3.47)
a z (1.22) wynika natychmiast, że
c(P0) = a(P0) ux(x0, y0) + b(P0) uy(x0, y0). (3.48)

2 2 2
Z równości (3.36), i (3.38) wynika, że wektory ł1(s0), ł2(s0), ł3(s0) oraz
(3.37)
a(P0), b(P0), c(P0) są równoległe, co oznacza, że ł jest charakterystyką równania
(3.31). Zauważmy, że w tym przypadku problem (3.31), (3.36) posiada nieskończe-
nie wiele rozwiązań. Istotnie, biorąc krzywą ł" przecinającą krzywą ł i spełniającą
warunek (3.36) otrzymamy - zgodnie z poprzednim rezultatem - dokładnie jedno roz-
wiązanie zawierające krzywe ł i ł". Ponieważ takich krzywych ł" może być nieskoń-
czenie wiele, otrzymamy nieskończenie wiele rozwiązań. Dowód twierdzenia 3.3 został
zakończony.
36 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
3.5. Przykłady
Przykład 3.12. Znalez
ć rozwiązanie równania
xux + yuy = u,
przechodzące przez krzywą x = s, y = s + 1, z = 2.
Metoda 1. Rozwiązując równanie charakterystyk
dx dy du
= x, = y, = u,
dt dt dt
otrzymamy
x = Aet, y = Bet, u = Cet.
Załóżmy, że charakterystyka przechodzi przez punkt (s, s + 1, 2) dla t = 0. Wynika
stąd, że
A = s, B = s + 1, C = e.
Zatem
x = set, y = (s + 1)et, u = 2et.
Eliminując z tego układu s i t, otrzymamy
u = 2(y - x).
Metoda 2. Rozwiązując równanie charakterystyk
dx y
=
dx x
otrzymamy y = Cx. Zmiana zmiennych
y
� = x, � =
x
sprowadza równanie wyjściowe do postaci
dw
� = w.
d�
Rozwiązując to równanie otrzymamy
w = � F (�),
gdzie F jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracają do zmiennych
wyjściowych otrzymamy całkę ogólną równania

y
u(x, y) = x F .
x
Uwzględniając warunek początkowy otrzymamy

s+1
2 = s F .
s
3.5. Przykłady 37
Kładąc t = (s + 1)/s, czyli s = 1/(t - 1), otrzymamy
1
2 = F (t).
t - 1
Zatem F (t) = 2(t - 1). Stąd szukane rozwiązanie ma postać

y
u(x, y) = 2 - 1 x = 2(y - x).
x
Metoda 3. Rozwiązując równanie charakterystyk
dx dy du
= = ,
x y u
otrzymamy rodzinę charakterystyk
y u
= C1, = C2.
x x
Stąd i z równań zadanej krzywej
x = s, y = s + 1, u = 2,
eliminując x, y, u i s znajdujemy związek między stałymi C1 i C2, a mianowicie
C2 = 2(C1 - 1).
Podstawiając w miejsce C1 i C2 stosowne funkcje otrzymamy

u y
= 2 - 1 .
x x
Stąd
u = 2(y - 1).
Metoda 4. Ponieważ funkcje �1 = y/x, �2 = u/x są całkami pierwszymi układu
równań charakterystyk, zgodnie z wzorem (3.30) całka ogólna równania wyjściowego
ma postać
F (y/x, u/x) = 0,
gdzie F jest dowolną różniczkowalną funkcją dwóch zmiennych. Aby znalez
ć całkę
szczególną przechodzącą przez zadaną krzywą należy wyznaczyć funkcje F . W tym
celu wystarczy wyznaczyć związek pomiędzy C1 = �1 i C2 = �2. Możemy go uzyskać
rugując s, x, y, u z równań
y/x = C1, u/x = C2, x = s, y = s + 1, u = 2.
Zauważmy, że metoda ta pokrywa się z metodą poprzednią.
Przykład 3.13. Znalez
ć rozwiązanie równania
ux + uuy = u2,
które na krzywej y = ln x przyjmuje wartość u = 1, tzn. u(x, ln x) = 1.
38 Rozdział 3. Metoda charakterystyk
Rozwiązując równanie charakterystyk
dx dy du
= 1, = u, = u2,
dt dt dt
otrzymamy
x = t + A, y = ln |C - t| + B, u = 1/(C - t).
Przyjmując, że dla t = 0 charakterystyki przechodzą przez punkt (s, ln s, 1), możemy
wyznaczyć stałe
A = s, C = 1, B = ln s.
Zatem
x = t + s, y = ln |1 - t| + ln s, u = 1/(1 - t).
Eliminując z tego układu t i s otrzymamy szukane rozwiązanie w postaci uwikłanej
1
x + - 1 = |u|ey.
u
Przykład 3.14. Znalez
ć rozwiązanie ogólne równania
yux - 4x3uy = yu2,
W celu znalezienia całek pierwszych układu równań charakterystyk
dx dy du
= =
y -4x3 yu2
rozwiążmy równania
dx dy dx du
= , = .
y -4x3 y yu2
Po scałkowaniu otrzymamy
1
2x4 + y2 = C1, x + = C2.
u
Ponieważ funkcje �1 = 2x4 + y2, �2 = x + 1/u są funkcyjnie niezależnymi całkami
pierwszymi układu równań charakterystyk, szukane rozwiązanie ogólne ma postać:

F 2x4 + y2, x + 1/u = 0.
3.6. Zadania
1. Znalez
ć rozwiązania następujących problemów Cauchy ego:
a) yux + uy = 2, u(0, y) = y2;
b) xux + yuy = 1, u(0, y) = tgx, u(x, 0) = x;
3.6. Zadania 39
2. Znalez
ć rozwiązania następujących równań:
a) 3ux + 5uy - xyu = 0;
b) ux - uy + yu = 0;
c) ux + 4uy - xu = x;
d) x2ux - 2uy - xu = x2;
e) x2ux + xyuy + xu = x - y;
f) xux + uy = eu0.
3. Znalez
ć rozwiązanie równania
3yux - 2xuy = 0
spełniające warunek:
a) u(x, y) = x2 na prostej y = x;
b) u(x, y) = 1 na krzywej 3y2 - 2x2 = 4;
c) u(x, y) = 2x na krzywej 2x2 - 3y2 = 4.
4. Znalez
ć rozwiązanie równania
ux - 6uy = x
spełniające warunek:
a) u(x, y) = ex na prostej y = -6x + 2,
b) u(x, y) = 1 na paraboli y = -x2,
c) u(x, y) = -4x na prostej y = -6x.
5. Znalez
ć rozwiązanie równania
4ux + 8uy - u = 1
spełniające warunek:
a) u(x, y) = cosx na prostej y = 3x,
b) u(x, y) = x na prostej y = 2x,
c) u(x, y) = 1 - x na paraboli y = x2.
6. Znalez
ć rozwiązanie równania
yux + x2uy = xy
spełniające warunek:
a) u(x, y) = 4x na krzywej y = x3/2,
b) u(x, y) = x3 na krzywej 3y2 = 2x3,
1
c) u(x, y) = x na krzywej y = 0.
2
7. Znalez
ć rozwiązania problemów:
a) ux - xuy = 4, u(x, y) = 0 dla y = 2x;
b) xux + yuy = xyu, u(x, y) = 1 dla y = x2;
c) (x + u)ux + (y + u)uy = 0, u(x, y) = x + 1 dla y = 2x;
b) ux - y3uy = 1/(sinu), u(x, y) = 0 dla y = x2;
c) ux + y2uy = (cosu), u(x, y) = 0 dla x = y2;
d) x3ux - yuy = u, u(x, y) = 0 dla y = x2 - 1;
e) ux - y2uy = u, u(x, y) = ex dla y = 1/x;
Rozdział 4
Klasyfikacja równań liniowych rzędu
drugiego. Metoda charakterystyk
4.1. Klasyfikacja równań róz
niczkowych cząstkowych 2-go
rzędu
Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego
a11(x, y)uxx + 2a11(x, y)uxy + a22uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0, (4.1)
gdzie a11, a12, a22 są funkcjami określonymi w zbiorze D �" R2, nie zerującymi się
równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru, u jest szukaną funkcją klasy C2 zmien-
nych x i y, a F jest zadaną funkcją pięciu zmiennych. Zauważmy, że przy przyjętych
założeniach - na mocy twierdzenia Schwarza - pochodne mieszane funkcji u są sobie
równe, tzn. uxy = uyx.
Pokażemy, że dokonując stosownej zmiany zmiennych, możemy równanie (4.1)
doprowadzić do postaci, w której współczynnik przy pochodnej mieszanej przyjmie
wartość zero. Postać taką nazywamy postacią kanoniczną, przy czym: jeśli pozostałe
współczynniki przy pochodnych drugiego rzędu są różne od zera i mają ten sam
znak, równanie nazywamy typu eliptycznego, jeśli są znaków różnych, typu hiperbo-
licznego, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników przy pochodnych drugiego rzędu
jest równy zeru, natomiast pochodne pierwszego rzędu względem tych zmiennych nie
znikają, typu parabolicznego. Należy podkreślić, że typ równania nie zależy od sposobu
sprowadzenia do postaci kanonicznej. Okazuje się, że jest on niezmiennikiem względem
przekształceń nieosobliwych.Tak więc równania
uxx + uyy = 0, uxx - uyy = 0, ux + uyy = 0
są odpowiednio typu eliptycznego, hiperbolicznego i parabolicznego.
Rozważmy przekształcenie
� = �(x, y), � = �(x, y), (x, y) " D. (4.2)
Załóżmy, że funkcje � i � są klasy C1 w zbiorze D i ponadto istnieje przekształcenie
x = x(�, �), y = y(�, �), (4.3)
42 Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego
odwrotne do przekształcenia (4.2). Przypomnijmy, że jeśli jakobian przekształcenia
(4.2) jest różny od zera, to przekształcenie takie nazywamy przekształceniem nieoso-
bliwym. Przekształcenie nieosobliwe jest zawsze odwracalne.
Kładąc

w(�, �) = u x(�, �), y(�, �)
otrzymamy

u(x, y) = w �(x, y), �(x, y) , (x, y) " D.
Stąd
ux = w��x + w��x,
uy = w��y + w��y,
2 2
uxx = w���x + 2w���x�x + w���x + w��xx + w��xx,

uxy = w���x�y + w�� �x�y + �y�x + w���x�y + w��xy + w��xy,
2 2
uyy = w���y + 2w���y�y + w���y + w��yy + w��yy.
Jeśli położymy
2 2
= a11�x + 2a12�x�y + a22�y,
a11

= a11�x�x + a12 �x�y + �y�x + a22�y�y, (4.4)
a12
2 2
= a11�x + 2a12�x�y + a22�y,
a22
to równanie (4.1) po zastosowaniu przekształcenia (4.3) przyjmie postać
+ 2 + + F (�, �, w, w�, w�) = 0,
a11w�� a12w�� a22w��
gdzie współczynniki są funkcjami zmiennych � i �.
a11, a12, a22
Założmy, że przekształcenie (4.2) jest tak dobrane, iż = 0 oraz = 0.
a11 a22
Równość = 0 oznacza, że
a11
2 2
a11�x + 2a12�x�y + a22�y = 0. (4.5)
Podobnie równość = 0 oznacza, że jest spełnione równanie (4.5) z funkcją � w
a22
miejsce �.
Uwaga 4.1. Jeśli funkcja � = �(x, y), �y = 0, jest całką równania (4.5), to rodzina

funkcji
�(x, y) = C
jest całką ogólną równania
2 dy
dy
a11 - 2a12 + a22 = 0. (4.6)
dx dx
Istotnie, niech � = Ć(x, y) będzie całką równania (4.5). Załóżmy, że �y = 0. Dzieląc

2
równanie (4.5) przez �y otrzymamy
2 �x
�x
a11 + 2a12 + a22 = 0. (4.7)
�y �y
4.1. Klasyfikacja równań róz
niczkowych cząstkowych 2-go rzędu 43
Rozważmy rodzinę �(x, y) = C. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji
uwikłanej, otrzymamy
dy �x �x
= - = - . (4.8)
dx �y �y
Podstawiając ostatnią równość do równania (4.7) otrzymamy równanie (4.6), co ozna-
cza, że �(x, y) = C jest całką ogólną tego równania.
Uwaga 4.2. Jeśli rodzina funkcji �(x, y) = C jest całką ogólną równania (4.6), to
funkcja � = �(x, y) całką ogólną równanie (4.5).
Załóżmy, że �(x, y) = C jest całką ogólną równania (4.6). Z twierdzenia o po-
chodnej funkcji uwikłanej otrzymamy wzór (4.8). Podstawiając zależność (4.8) do
równania (4.6) otrzymamy (4.7), a w konsekwencji (4.5), co kończy dowód.
Z powyższych obserwacji wynika, że przyjmując za funkcje � i � w przekształceniu
(4.2) całki równania (4.6) zredukujemy równanie (4.1) do postaci

w�� = F �, w, w�, w� ,
a12 Ż �,
a po podzieleniu przez do postaci
a12


w�� = F �, �, w, w�, w� , (4.9)
Równanie (4.6) nazywamy równaniem charakterystyk równania (4.1). Zauważmy
jeszcze, że warunek �y = 0 w powyższych obserwacjach nie jest ograniczający. Istot-

nie, jeśli chcemy aby rozważane przekształcenie było nieosobliwe, pochodne cząstkowe
�x i �y funkcji � nie mogą zerować się równocześnie, zatem jedna z nich jest różna
od zera. Jeśli �x = 0, argument jest analogiczny.

Rozważmy teraz skojarzone z równaniem (4.2) równanie kwadratowe
a112 - 2a12 + a22 = 0. (4.10)
Jak wiadomo, rozwiązanie tego równania względem  zależy od wyróżnika


a11 a12

� = = a11a22 - a2 ,
12

a12 a22
przy czym należy rozważyć trzy przypadki: � < 0, � = 0 i � > 0.
Przypadek � < 0. Załóżmy, że �(x, y) > 0 dla (x, y) " D. Równanie (4.10)

posiada wówczas dwa rozwiązania o wartościach rzeczywistych: 1 = a12- |�| /a11,

2 = a12 + |�| /a11. Niech � i � będą odpowiednio rozwiązaniami równań
dy dy
= 1(x, y), = 2(x, y).
dx dx
Zgodnie z poprzednimi obserwacjami przekształcenie
� = �(x, y), � = �(x, y), (x, y) " D
44 Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego

sprowadza równanie (4.1) do postaci (4.9), gdzie funkcja F zawiera wszystkie wyrazy
z pochodnymi niższego rzędu.
Dokonując kolejnej zmiany zmiennych
s = (� + �)/2, t = (� - �)/2
i kładąc

v(s, t) = w �(s, t), �(s, t) = w(s + t, s - t),
otrzymamy

w(�, �) = v (� + �)/2, (� - �)/2 .
Stąd
w� = (vs + vt)/2, w� = (vs - vt)/2, w�� = (vss - vtt)/4.
Po uwzględnieniu ostatnich zależności równanie (4.9) przyjmuje postać

vss - vtt = F (s, t, v, vs, vt),

gdzie podobnie jak poprzednio funkcja F zawiera wszystkie wyrazy o pochodnych
niższego rzędu. Jest to więc równanie typu hiperbolicznego.
Przypadek � = 0. Załóżmy, że �(x, y) = 0 dla (x, y) " D. Oznacza to, że
"
a2 - a11a22 = 0, czyli a12 = a11a22. Korzystając z ostatniej równości otrzymamy
12
" " 2
2 2
= a11�x + 2a12�x�y + a22�y = a11�x + a22�y ,
a11

" "
= a11�x�x + a11 a22 �x�y + �y�x + a22�y�y
a12
" " " "
= a11�x + a22�y a11�x + a22�y .
Zatem = 0 implikuje = 0. Jeśli zatem za funkcje � przyjmiemy rozwiązanie
a11 a12
równania (4.6) a za � dowolną funkcje funkcyjnie niezależną od �, to po zmianie
zmiennych równanie (4.1) przyjmie postać


w�� = F �, �, w, w�, w� .
Jeśli przy tym po prawej stronie nie znika termin w� jest to równanie typu parabo-
licznego.
Oczywiście najprostrze wydaje się podstawienie � = �(x, y), � = y lub � = x,
� = �(x, y), gdzie � i � są całkami równania (4.6).
Przypadek � > 0. Załóżmy, że �(x, y) < 0 dla (x, y) " D. W tym przypadku

równanie (4.10) posiada dwa
" " rozwiązania o wartościach zespolonych: 1 = a12 +
i � /a11, 2 = a12 - i � /a11. Niech Ś i � będą odpowiednio rozwiązaniami
równań
dy dy
= 1(x, y), = 2(x, y).
dx dx
4.1. Klasyfikacja równań róz
niczkowych cząstkowych 2-go rzędu 45
Oznaczmy przez � część rzeczywistą funkcji Ś, a przez � jej część urojoną. Oczywiście
Ś = � + i�, � = � - i�.
Rozważmy teraz zmianę zmiennych
� = Ś(x, y), � = �(x, y), (x, y) " D.
Mamy
Śx = �x + i�x, Śy = �y + i�y
�x = �x - i�x, �y = �y - i�y.
Zgodnie z wzorami (4.4) otrzymamy
ą11 = a11�2 + 2a12�x�y + a22�2 =

x y

2 2
= a11�2 + 2a12�x�y + a22�2 - a11�x + 2a12�x�y + a22�y +
x y

+ 2i a11�x�x + a12(�x�y + �y�x) + a22�y�y .
Stąd i z równości ą11 = 0 wynika natychmiast, że

2 2
a11�2 + 2a12�x�y + a22�2 = a11�x + 2a12�x�y + a22�y (4.11)
x y
a11�x�x + a12(�x�y + �y�x) + a22�y�y = 0. (4.12)
Z zależności (4.11), (4.12) wynika, że stosując zmianę zmiennych
� = �(x, y), � = �(x, y),
gdzie � i � są odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną całki Ś, otrzymamy zależ-
ności: = = 0. Zatem przekształcenie to sprowadza nasze równanie do
a11 a22, a12
postaci


w�� + w�� = F �, �, w, w�, w� .
Jest to zatem równanie typu eliptycznego.
Typ równania zależy zatem od wyróżnika �. Korzystając z wzorów (4.4) nietrudno
sprawdzić, że
2
2 - a22 = a2 - a11a22 �x�y - �y�x ,
a12 a11
12
skąd wynika natchmiast, że typ równania jest niezmiennikiem względem przekształceń
nieosobliwych.
Zauważmy też, że znak wyróżnika � może się zmieniać w zależności od punktu
(x, y) " D. Niech D1 = {(x, y) " D : �(x, y) > 0}, D1 = {(x, y) " D : �(x, y) = 0)},
D1 = {(x, y) " D : �(x, y) < 0}. Zatem w obszarze D1 równanie jest typu hiperbo-
licznego, w obszarze D2 typu parabolicznego a w obszarze D3 typu eliptycznego.
Przykład 4.1. Rozważmy równanie
uxx - xyuyy = 0.
Ponieważ � = xy jest równe zero na osiach x = 0 i y = 0, dodatnie w pierwszej i trzeciej
ćwiartce, ujemne w drugiej i czwartej ćwiartce, równanie to jest typu parabolicznego
na osiach x = 0 i y = 0 z wyłączeniem początku układu, typu hiperbolicznego w
pierwszej i trzeciej ćwiartce oraz typu eliptycznego w drugiej i czwartej ćwiartce.
46 Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego
Przykład 4.2. Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
x2uxx - 2xyuxy + y2uyy = 0.
Zauważmy, że � = 0, czyli jest to równanie typu parabolicznego.
Jeśli x = 0, y = 0, przyjmuje ono postać

uyy = 0.
Jeśli y = 0, x = 0, przyjmuje postać

uxx = 0.
Załóżmy teraz, że x = 0, y = 0. Równanie charakterystyk ma postać

2 dy
dy
x2 + 2xy + y2 = 0,
dx dx
czyli
2
dy
x + y = 0.
dx
Całką równania
dy -y
=
dx x
jest funkcja
y = C/x.
Podstawiając
� = x, � = xy
otrzymamy
ux = w� + yw�, uy = xw�,
uxx = w�� + 2yw�� + y2w��,
uxy = xw�� + xyw�� + w�, uyy = x2w��,
a po podstawieniu tych wielkości do równania wyjściowego otrzymamy
x2w�� - 2xyw� = 0,
czyli
2�
w�� = w�.
�2
Przykład 4.3. Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
uxx + 2uxy - 3uyy + 3ux + 2uy = 0.
4.1. Klasyfikacja równań róz
niczkowych cząstkowych 2-go rzędu 47
Równanie charakterystyk ma postać
2 dy
dy
- 2 - 3 = 0.
dx dx
Rozwiązując równanie
2 - 2 - 3 = 0
znajdziemy jego pierwiastki: 1 = -1 i 2 = 3. Całkami ogólnymi równań
dy dy
= -1, = 3
dx dx
są rodziny funkcji
x + y = C1, 3x - y = C2.
Stosując podstawienie
� = x + y, � = 3x - y
i kładąc

w(�, �) = u x(�, �), y((�, �) ,
mamy

u(x, y) = w �(x, y), �(x, y) .
Zatem
ux = w� + 3w�, uy = w� - w�, uxx = w�� + 6w�� + 9w��,
uxy = w�� + 2w�� - 3w��, uyy = w�� - 2w�� + w��,
Wstawiając te wielkości do równania wyjściowego otrzymamy
5 7
w�� + w� + w� = 0.
16 16
Podstawiając z kolei
s = (� + �)/2, t = (� - �)/2
i kładąc

v(s, t) = w �(s, t), �(s, t) = w(s + t, s - t),
otrzymamy
3 1
vss - vtt + vs - vt = 0.
2 4
Przykład 4.4. Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie
y2uxx + 2x2uyy + 2xyuxy + yuy = 0.
48 Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego
Ponieważ wyróznik � = -x2y2 może przyjmować zarówno wartość zero jak i watości
ujemne, należe rozpatrzeć dwa przypadki: � = 0 i � < 0.
Jeśli � = 0, wówczas albo x = 0, y = 0 i równanie przyjmuje postać

1
uxx + uy = 0,
x
albo y = 0, x = 0, i równanie przyjmuje postać

uyy = 0.
Rozważmy teraz przypadek gdy � < 0. Rozwiązując równanie
y22 - 2xy + 2x2 = 0
znajdziemy 1 = (1 - i)x/y oraz 2 = (1 + i)x/y.
Rozwiązując równania
dy x dy x
= (1 - i) oraz = (1 + i)
dx y dx y
otrzymamy rozwiązania

Ś = x2 - y2 - ix2, � = x2 - y2 + ix2.
Stosując zmianę zmiennych
� = x2 - y2, � = x2,
otrzymamy
ux = 2xw� + 2xw�, uy = -2yw�,

uxx = 4x2 w�� + 2w�� + w�� + 2w� + 2w�,

uxy = -4xy w�� + w�� ,
uyy = 4y2w�� - 2w�.
Wstawiając uzyskane wielkości do równania wyjściowego, otrzymamy
1 1
w�� + w�� - w� + w� = 0.
� - � 2�
Na zakończenie tego paragrafu zauważmy, że dobierając stosowne przekształcenie
nie tylko możemy doprowadzić równanie do postaci kanonicznej, ale również znacznie
go uprościć. Na przykład, w przypadku równania liniowego o stałych współczynnikach,
stosując przekształcenie
u = veąx+�y
i dobierając odpowiednio ą i � możemy pozbyć się wyrazów z pierwszą pochodną.
Rozważmy równanie
3 1
uxx - uyy + ux - uy = 0.
2 4
4.2. Przypadek ogólny 49
(Zauważmy, że jest to postać kanoniczna równania z przykładu 4.3). Stosując powyż-
sze podstawienie otrzymamy:
ux = (vx + ąv)eąx+�y, uy = (vy + �v)eąx+�y,
uxx = (vxx + 2ąvx + ą2v)eąx+�y,
uyy = (vyy + 2�vy + �2v)eąx+�y.
Podstawiając powyższe wielkości do równania wyjściowego otrzymamy po uporząd-
kowaniu

3 1 3 1
vxx - vyy + 2ą + vx - 2� + vy + ą2 - �2 + ą - � v = 0.
2 4 2 4
3 1
Przyjmując ą = - , � = - otrzymamy
4 8
3
vxx - vyy - v = 0.
64
4.2. Przypadek ogólny
Rozważmy prawie-liniowe równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego
n

aij(x1, . . . , xn)ux xj + F (x1, . . . , xn, u, ux , . . . ux ) = 0, (4.13)
i 1 n
i,j=1
gdzie aij, i, j = 1, . . . , n, są funkcjami określonymi na zbiorze U �" Rn, niezerującymi
się równocześnie w żadnym punkcie tego zbioru, u jest szukaną funkcją zmiennych
x1, . . . , xn, a F jest funkcją zadaną. Z równaniem (4.13) możemy związać formę kwa-
dratową
n

aij(x1, . . . , xn)ij. (4.14)
i,j=1
Z teorii form kwadratowych wiadomo, że dla każdego ustalonego punktu (x1, . . . ,
xn) " U istnieje przekształcenie postaci
n

�i = ąikk, i = 1, . . . , n (4.15)
k=1
które formę (4.14) sprowadza do postaci kanonicznej,
n

(4.16)
ai�2,
i
i=1
tzn. postaci w której występują tylko kwadraty �i.
Z twierdzenia Sylwestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych wynika, że
ilość współczynników dodatnich oraz ujemnych nie zależy od sposobu sprowadzenia do
postaci kanonicznej. Jest ona niezmiennikiem względem przekształceń nieosobliwych.
50 Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego
Oznacza to, że równanie (4.13) poprzez stosowne przekształcenie możemy sprowa-
dzić do postaci kanonicznej
n


. . . , xn)vx xi + F (x1, . . . , xn, v, vx , . . . vx ) = 0, (4.17)
ai(x1,
i 1 n
i=1
Mówimy, że równanie (4.13) jest w punkcie (x1, . . . , xn) typu eliptycznego, jeżeli
wszystkie współczynniki w postaci kanonicznej (4.17) są różne od zera i mają ten
ai
sam znak, typu hiperbolicznego jeżeli są różne od zera i występują zarówno współczyn-
niki ujemne jak i dodatnie, typu parabolicznego, jeżeli niektóre współczynniki są równe
zeru a odpowiadające im pochodne pierwszego rzędu nie znikają. Jeśli ponadto współ-
czynniki różne od zera mają ten sam znak, równanie nazywamy paraboliczno-eliptycz-
nym, jeśli znaki różne, paraboliczno-hiperbolicznym.
Jeśli � = [1, . . . , n] oznacza macierz jednowierszową, �T macierz transponowaną
a A macierz n � n wymiarową o wyrazach aij, i, j = 1, . . . n, to formę kwadratową
(4.14) możemy zapisać w postaci macierzowej � A �T . Sprowadzenie formy do postaci
kanonicznej odpowiada przekształceniu macierzy A do postaci diagonalnej, tzn. po-
staci w której poza przekątną występują same zera. Jeśli w macierzy diagonalnej na
przekątnej wszystkie wyrazy są różne od zera i mają ten sam znak, równanie różnicz-
kowe (4.13) jest typu eliptycznego, jeśli są znaków różnych, typu hiperbolicznego, a
jeśli niektóre wyrazy są równe zeru - typu parabolicznego.
4.3. Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą
charakterystyk
W niniejszym paragrafie pokażemy przykłady rozwiązywania równań różniczko-
wych cząstkowych drugiego rzędu za pomocą równań charakterystyk wprowadzonych
w paragrafie 2.1.
Przykład 4.5. Znalez
ć rozwiązanie równania
uxx - 3uyy + 2uxy = 0, (4.18)
spełniające warunki początkowe
u(x, 0) = 3x2, uy(x, 0) = 0.
Równanie charakterystyk ma postać
2 dy
dy
- 2 - 3 = 0,
dx dx
stąd
dy dy
= -1 oraz = 3.
dx dx
Charakterystykami równania (4.21) są rodziny prostych
x + y = C1, 3x - y = C2.
4.3. Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą charakterystyk 51
W celu sprowadzenia równania do postaci kanonicznej wprowadzamy nowe zmienne
� = x + y, � = 3x - y.
Mamy
ux = w� + 23w�, uy = w� - w�,
uxx = w�� + 6w�� + 9w��,
uxy = w�� + 2w�� - 3w��,
uyy = w�� - 2w�� + w��.
Podstawiając uzyskane wielkości do równania wyjściowego otrzymamy
w�� = 0
Całkując jak w poprzednim przykładzie ostatnie równanie otrzymamy
w(�, �) = F (�) + G(�),
gdzie F i G są dowolnymi funkcjami klasy C1. Wracając do zmiennych wyjściowych
otrzymamy
u(x, y) = F (x + y) + G(3x - y). (4.19)
Szukamy teraz funkcji F i G tak aby były spełnione warunki początkowe, czyli
u(x, 0) = F (x) + G(3x) = 3x2,
2
uy(x, 0) = F (x) - G2 (3x) = 0.
Z równań
2 2
F (x) + 3G2 (3x) = 6x, F (x) - G2 (3x) = 0,
otrzymamy
3
G2 (3x) = x,
2
a przyjmując t = 3x mamy
1
G2 (t) = t
2
czyli
1
G(t) = t2 + C.
4
Wykorzystując ponownie pierwszy warunek początkowy oraz ostatnią relacje otrzy-
mamy
9 3
F (x) = 3x2 - G(3x) = 3x2 - x2 - C = x2 - C
4 4
Podstawiając uzyskane wartości do wzoru (4.22) otrzymamy szukane rozwiązanie
3 1
u(x, y) = (x + y)2 + (3x - y)2.
4 4
52 Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego
Przykład 4.6. Znalez
ć całkę ogólną równania
2
uxx - uyy = (ux - uy). (4.20)
y - x
Równanie charakterystyk ma postać
2
dy
- 1 = 0.
dx
Stąd
dy dy
= -1 oraz = 1.
dx dx
Charakterystykami równania (4.20) są rodziny prostych
x + y = C1, x - y = C2.
Stosując zmianę zmiennych
� = x + y, � = x - y
sprowadzamy równanie wyjściowe do postaci
1
w�� = - w�.
�
Kładąc v = w� otrzymamy równanie
1
v� = - v.
�
Oczywiście stała C może być funkcją zmiennej �, czyli C = f(�). Zatem
f(�)
w� = .
�
Po scałkowaniu otrzymamy
1
w = F (�) + G(�),
�
gdzie F jet całką z funkcji f. Wracając do zmiennych wyjściowych otrzymamy
1
u(x, y) = F (x + y) + G(x - y).
x - y
Przykład 4.7.
x2uxx + y2uyy - 2xyuxy + xux + yuy = 0. (4.21)
4.3. Rozwiązywanie równań drugiego rzędu metodą charakterystyk 53
Równanie charakterystyk ma postać
2
dy dy
x2 + 2xy + y2 = 0,
dx dx
czyli
2
dy
x + y = 0.
dx
Rozwiązując równanie
dy y
= - ,
dx x
otrzymamy
yx = C.
Po zmianie zmiennych
� = xy, � = x
równanie (4.21) przyjmie postać
1
w�� + w� = 0.
�
Kładąc
v = w�
otrzymamy
d v 1
+ v = 0.
d � �
Całka tego równania ma postać
C
v = .
�
Ponieważ C może być funkcją �, przyjmując C = F (�) otrzymamy
dw 1
= F (�).
d� �
Stąd
w = F (�) ln|�| + G(�),
a wracając do zmiennych wyjściowych otrzymamy
u(x, y) = F (xy) ln|x| + G(xy).
54 Rozdział 4. Klasyfikacja równań liniowych rzędu drugiego
4.4. Zadania
1. Sprowadzić do postaci kanonicznej równania:
a) uxx + 2uxy + 2uy = 0;
b) uxx + 2uxy - 3uyy + 3ux + 2uy = 0;
c) yuyy - xuxy = 0;
d) y2uxx + 2x2uyy + 2xyuxy + yuy = 0;
e) x2uxx - 3y2uyy + 2xyuxy - 2xux + 4yuy = 0.
2. Zbadać w jakich punktach poniższe równania są typu hiperbolicznego, parabolicz-
nego, eliptycznego:
a) yuyy - xuxx = 0;
b) y2uxx + uyy = 0;
c) xuxx - y2uyy = 0;
d) (1 + y2)uxx - (1 + x2)uyy + 2xyuxy + xux + yuy = 0;
e) tg2xuxx - y2uyy - 2ytgx uxy + tg3x ux = 0.
3. Sprowadzić do postaci kanonicznej i znalez
ć całkę ogólną równania:
a) x2uxx + y2uyy + 2xyuxy = 0;
b) x2uxx + y2uyy22xyuxy + xux + yuy = 0;
c) x2uxx - 3y2uyy - 2xyuxy = 0;
d) uxx - cos2x uyy - 2sinx uxy - cos x uy = 0.
4. Znalez
ć całkę ogólną równań:
a) yuyy - xuxy = 0;
b) uxx - 4x2 uyy - (1/x)ux = 0;
c) 2x uxx - 2y uyy + ux - uy = 0;
e) 4y2uxx - e2xuyy - 4y2ux + (e2x/y)uy = 0;
Rozdział 5
Metoda rozdzielania zmiennych
Metoda rozdzielania zmiennych zwana też metodą Fouriera jest jedną z najstar-
szych metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. Polega ona na próbie
wyznaczenia rozwiązania danego równania w postaci kombinacji funkcji o mniejszej
ilości zmiennych. Najczęściej szukamy rozwiązania w postaci sumy lub iloczynu funk-
cji. W szczególności, jeśli szukane rozwiązanie u jest funkcją zmiennych x i t, rozwiąza-
nia tego możemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji z których jedna jest funkcją
zmiennej x druga zmiennej t. Metoda ta jest szczególnie przydatna, jeśli szukamy
rozwiązania w zbiorze ograniczonym o zadanych wartościach na brzegu obszaru. Zin-
terpretujemy to poniz
ej rozważając kolejno równanie struny ograniczonej jednorodnej
o jednorodnych warunkach brzegowych, równanie struny ograniczonej niejednorodnej
o jednorodnych warunkach brzegowych wreszcie równanie struny z niejednorodnymi
warunkami brzegowymi. Analogiczne przykłady podamy dla równania przewodnictwa
cieplnego.
5.1. Rozwiązanie równania struny ograniczonej
Rozważmy równanie struny
utt = a2uxx, 0 d" x d" l, t e" 0, (5.1)
z warunkami brzegowymi
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t e" 0. (5.2)
oraz warunkami początkowymi
u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x), 0 d" x d" l. (5.3)
Przyjmujemy przy tym, że �(0) = 0.
Szukamy rozwiązania postaci
u(x, t) = T (t)X(x).
Podstawiając ostatnią funkcje do równania (5.1) otrzymamy
2 2
T (t)X(x) = a2T (t)X2 2 (x).
56 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
Przyjmując, że T = 0 i X = 0 możemy ostatnie równanie przekształcić do postaci

2 2
T (t) X2 2 (x)
= a2
T (t) X(x)
Ponieważ lewa strona zależy tylko od t, zaś prawa stona tylko od x, zatem oba ilorazy
muszą być równe stałej. Oznaczając tę stałą przez -, ostatnią równość możemy
zapisać w postaci dwóch równań
2 2
T (t) + a2T (t) = 0, X2 2 (x) + X(x) = 0. (5.4)
Ponadto z warunków brzegowych (5.2) wynika natychmiast, że
X(0) = 0, X(l) = 0. (5.5)
Przedyskutujemy teraz rozwiązania równań (5.4) w zależności od znaku .
Przypadek:  < 0. Rozwiązania równań mają postać:
" " " "
- at - x
T (t) = Ae + Be- - at, X(x) = Ce + De- - x.
Z warunków brzegowych (5.5) wynika, że C = D = 0, czyli u(x, t) = 0. Ponieważ
rozwiązanie zerowe nie jest dla nas interesujące, przypadek ten należy odrzucić.
Przypadek:  = 0. Rozwiązania równań (5.4) mają postać
T (t) = A + Bt, X(x) = C + Dx.
Uwzględniając warunki brzegowe (5.5) otrzymamy jak poprzednio u(x, t) = 0, a zatem
również ten przypadek należy odrzucić.
Przypadek:  > 0. Wygodnie jest teraz w równaniu (5.4) symbol  zastąpić sym-
bolem 2, czyli zapisać te równania w postaci
2 2
T (t) + 2a2T (t) = 0, X2 2 (x) + 2X(x) = 0.
Rozwiązania mają wówczas postać
T (t) = A cos at + B sin at, X(x) = C cos x + D sin x.
Z warunku X(0) = 0 wynika, że C = 0 a warunek X(l) = 0 daje równość
sin l = 0.
Ostatnia równość jest spełniona dla n = nĄ/l, n " N. Wrtości te nazywamy war-
tościami własnymi. Zauważmy, że tylko dla takich wartości  może istnieć szukane
rozwiązanie.
Dla n " N położmy
naĄ naĄ nĄ
Tn(t) = Ancos t + Bnsin t, Xn(x) = Cnsin x
l l l
5.1. Rozwiązanie równania struny ograniczonej 57
oraz

naĄ naĄ nĄ
un(x, t) = Ancos t + Bnsin t sin x.
l l l
Zauważmy, że tak określona funkcja un jest rozwiązaniem równania (5.1), spełnia
warunki brzegowe (5.2), ale na ogół nie spełnia warunków początkowych (5.3).
Połóżmy teraz
"

u(x, t) = un(x, t). (5.6)
n=1
Załóżmy, że szereg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny jak również szereg
pierwszych i drugich pochodnych jest jednostajnie zbieżny do odpowiedniej pochodnej
z funkcji u.
Oczywiście
"

nĄ
u(x, 0) = Ansin x.
l
n=1
Załóżmy dalej, że funkcje � można rozwinąć w szereg sinusów w przedziale [0, l]
"

nĄ
�(x) = ąnsin x,
l
n=1
gdzie

l
2 nĄ
ąn = �(s)sin sds.
l l
0
Zauważmy, że pierwszy z warunków początkowych u(0, x) = �(x) jest spełniony, jeśli
An = ąn, czyli

l
2 nĄ
An = �(s)sin sds.
l l
0
W celu zapewnienia drugiego z warunków początkowych należy policzyć pochodną
względem t.
"


" naĄ naĄ naĄ nĄ
u(x, t) = - Ansin t + Bncos t sin x.
"t l l l l
n=1
Stąd
"

" naĄ nĄ
u(x, 0) = Bnsin x.
"t l l
n=1
Rozwijając funkcje � w szereg sinusów otrzymamy
"

nĄ
�(x) = �nsin x,
l
n=1
gdzie

l
2 nĄ
�n = �(s)sin sds.
l l
0
58 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
Zatem drugi z warunków początkowych (5.3) jest spełniony, jeśli (naĄ/l)Bn = �n,
czyli

l
2 nĄ
Bn = �(s)sin sds.
naĄ l
0
Szukane rozwiązanie ma zatem postać


"
l

2 nĄ naĄ
u(x, t) = �(s)sin sds cos t
l l l
0
n=1


l
2 nĄ naĄ nĄ
+ �(s)sin sds sin t sin x. (5.7)
naĄ l l l
0
Kładąc

l
2
�n = A2 + Bn, cos �n = An/�n, sin �n = Bn/�n, �n = �n,

n
naĄ
otrzymamy
naĄ nĄ
un(x, t) = ąncos (t - �n) sin x.
l l
Funkcja un opisuje drgania harmoniczne (tzw. n-ta harmoniczna) odpowiadające war-
tości własnej n = nĄ/l, przy czym :
nĄ
ąnsin x - amplituda drgania n-tej harmonicznej:
l
naĄ
�n = - czestotliwość drgania n-tej harmonicznej.
l
Pamiętając że a2 = T/�, gdzie T oznacza siłę naprężenia a � gęstość, otrzymamy

nĄ T
�n = .
l �

Częstotliwość �1 = (Ą/l) T/� odpowiada tzw. dz
więkowi podstawowemu (zwanemu
też pierwszą harmoniczną). Jest to dz
więk najsilniejszy. Melodia struny zależy nato-
miast od dalszych dz
więków uzupełniających.
Jeśli A1 = . . . = An-1 = 0 oraz B1 = � � � = Bn-1 = 0, natomiast An lub
Bn = 0, dz
więk podstawowy odpowiada częstotliwości �n. Wynika stąd, że dz
więk

struny zależy od warunków początkowych u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x) oraz
wielkości: l, T i �.
5.2. Uzasadnienie metody
Opisane w poprzedniej sekcji postępowanie jest słuszne, jeśli szereg (5.6) oraz
szeregi pierwszych i drugich pochodnych są jednostajnie zbieżne. Teraz podamy proste
warunki przy których zbieżność taka zachodzi.
5.2. Uzasadnienie metody 59
Przypomnijmy, że
" "


anĄ anĄ nĄ
u(x, t) = un(x, t) = Ancos t + Bnsin t sin x,
l l l
n=1 n=1
gdzie

l l
2 nĄ 2 nĄ
An = �(s)sin sds, Bn = �(s)sin sds.
l l anĄ l
0 0
Oczywiście
|un(x, t)| d" |An| + |Bn|.
Z równości

" anĄ naĄ naĄ nĄ
un(x, t) = - Ansin t + Bncos t sin x,
"t l l l l
wynika, że

" naĄ
| un(x, t)| d" |An| + |Bn| .
"t l
Podobnie możemy pokazać, że
2

"2 naĄ

un(x, t) d" |An| + |Bn| ;
"t2 l

" nĄ

un(x, t) d" |An| + |Bn| ;
"x l
2

"2 nĄ

un(x, t) d" |An| + |Bn| .
"x2 l
Aby uzyskać jednostajną zbieżność wspomnianych wyżej szeregów wystarczy po-
kazać, że zbieżne są szeregi liczbowe
" "

nk|An| oraz nk|An|, dla k = 0, 1, 2.
n=1 n=1
Pokażemy teraz zbieżność szeregu
"

n2|An|
n=1
przy dodatkowym założeniu, że funkcja � posiada czwartą pochodną, pochodna ta
jest funkcją całkowalną i ponadto �(0) = �(l) = 0 oraz �2 2 (0) = �2 2 (l) = 0.
Przyjmując n = (nĄ)/l mamy

l
2
An = �(s)sinnsds.
l
0
Całkując czterokrotnie przez części otrzymamy
l

l l

1 1
�(s) sinns ds = - �(s) cos ns + �2 (s) cosns ds

n n 0
0
0
60 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
l

l l

1 1 1
= �2 (s) cosns ds = - �2 (s) sin ns - �2 2 (s) sinns ds

n 0 2 2
n n 0
0
l

l l

1 1 1
= - �2 2 (s) sinns ds = - �2 2 (s) cos ns + �2 2 2 (s) cosns ds

2 3 3
n 0 n n 0
0
l

l l

1 1 1
= �2 2 2 (s) cosns ds = �2 2 2 (s) sin ns - �IV (s) sinns ds

3 4 4
n 0 n n 0
0
Stąd

l
2 1 2l3 l 1

|An| = �IV (s) sinns ds d" |�IV (s)| ds = C,

l 4 Ą4 n4
n 0 0
gdzie

2l3 l
C = |�IV (s)| ds.
Ą4
0
W konsekwencji
" "

1
n2|An| d" C ,
n2
n=1 n=1
"
skąd wynika natychmiast, że szereg n2|An| jest zbieżny. Analogicznie możemy
n=1
"
pokazać, że szereg n2|Bn| jest zbieżny. Oczywiście, przy przyjętych założeniach,
" n=1 "
również szeregi n|An| oraz n|Bn| są zbieżne. Oznacza to, że metoda za-
n=1 n=1
stosowana w poprzedniej sekcji przy przyjętych założeniach o funkcjach � i � jest
poprawna.
Uwaga 5.1. Z teorii szeregów Fouriera wiadomo, że przyjęte tu założenia o funk-
cjach � i � można znacznie osłabić.
5.3. Równanie niejednorodne struny
Rozważmy niejednorodne równanie struny
utt = a2uxx + f(x, t), 0 d" x d" l, t e" 0, (5.8)
z warunkami brzegowymi
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t e" 0. (5.9)
oraz warunkami początkowymi
u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x), 0 d" x d" l. (5.10)
Szukamy rozwiązania postaci
"

nĄ
u(x, t) = �n(t) sin x, (5.11)
l
n=1
5.3. Równanie niejednorodne struny 61
gdzie �n, n " N, są nieznanymi funkcjami które będziemy starali się wyznaczyć tak,
aby uzyskać szukane rozwiązanie. Zapiszmy funkcje f, � i � w postaci szeregów Fo-
uriera
"

nĄ
f(x, t) = łn(t) sin x, (5.12)
l
n=1
" "

nĄ nĄ
�(x) = ąnsin x, �(x) = �nsin x, (5.13)
l l
n=1 n=1
gdzie
l
2 nĄ
łn(t) = f(s, t)sin s ds,
l l
0
l l
2 nĄ 2 nĄ
ąn = �(s) sin s ds, �n = �(s) sin s ds.
l l l l
0 0
Podstawiając (5.11) i (5.12) do (5.8) otrzymamy

"

2 2
�n(t) + a22 �(t) - łn(t) sin nx = 0, (5.14)
n
n=1
gdzie n = nĄ/l.
Z kolei podstawiając (5.11), (5.12) do warunków początkowych (5.10) otrzymamy
"


�n(0) - ąn sin nx = 0. (5.15)
n=1
oraz
"


2
�n(0) - �n sin nx = 0. (5.16)
n=1
Warunki (5.14), (5.15) i (5.16) są spełnione, jeśli dla dowolnego n " N
2 2 2
�n(t) + a22 �(t) = łn(t), �n(0) = ąn, �n(0) = �n.
n
Rozwiązując ostatni problem otrzymamy

t
�n 1
�n(t) = ąn cos ant + sin ant - łn(s) sin ns ds � cos ant
an an 0

t
1
+ łn(s) cos ansds � sin ant
an 0

t
�n 1
= ąn cos ant + sin ant + łn(s) sin an(t - s) ds.
an an 0
62 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
Podstawiając ostatni związek do wzoru (5.11) otrzymamy
"


�n
u(x, t) = ąn cos ant + sin ant sin nx
an
n=1

"
t

1
+ łn(s) sin an(t - s) sin nx ds.
an 0
n=1
Kładąc
"

2 1
G(x, s, t, �) = sin n� sin an(t - s) sin nx,
al n
n=1
rozwiązanie u możemy zapisać w postaci
t l
"


�n
u(x, t) = ąn cos nt + sin nt sin nx + G(x, s, t, �)f(�, t)dsd�.
n
n=1
0 0
Przykład 5.1. Rozważmy równanie
utt = a2uxx + f(x), 0 d" x d" l, t e" 0, (5.17)
z warunkami brzegowymi
u(0, t) = ą, u(l, t) = �, t e" 0. (5.18)
oraz warunkami początkowymi
u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x), 0 d" x d" l. (5.19)
Szukamy rozwiązania w postaci sumy
u(x, t) = w(x) + v(x, t),
gdzie w jest rozwiązaniem problemu
a2wxx + f(x) = 0, w(0) = ą, w(l) = �, (5.20)
zaś funkcja v jest rozwiązaniem równania
vtt = a2vxx,
spełniającym warunki początkowe
v(x, 0) = �(x) - w(x), vt(x, 0) = �(x)
oraz warunki brzegowe
v(0, t) = 0, v(l, t) = 0.
Rozwiązanie ostatniego problemu zostało podane w sekcji 5.1 (zob. wzór (5.7)). Wy-
starczy zatem znalez
ć rozwiązanie problemu (5.19), które - jak łatwo sprawdzić -
wyraża się wzorem
l t l t
x x 1
w(x) = ą + (� - ą) + f(s)dsdt - f(s)dsdt.
l a2l a2
0 0 0 0
5.4. Przykłady 63
5.4. Przykłady
Przykład 5.2. (Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie ograniczo-
nym z jednorodnymi warunkami brzegowymi). Rozważmy równanie
ut = a2uxx, 0 d" x d" l, t e" 0, (5.21)
z warunkami brzegowymi
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t e" 0. (5.22)
oraz warunkiem początkowym
u(x, 0) = �(x), 0 d" x d" l. (5.23)
Szukamy rozwiązania postaci
u(x, t) = X(x)T (t).
Po podstawieniu do równania (5.21) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy
2
X2 2 T
= = -,
X a2T
czyli
2
X2 2 + X = 0, T + a2T = 0.
Z warunków brzegowych (5.22) wynika, że
X(0) = 0, X(l) = 0.
Ponieważ dla  d" 0 otrzymujemy rozwiązanie zerowe, przyjmujemy  > 0. Rozwią-
zując powyższe równania otrzymamy:
" "
2
X(x) = A cos x + B sin x, T (t) = Ce-a t.
Z warunku X(0) = 0 wynika, że A = 0, zaś warunek X(l) = 0 implikuje
"
sin l = 0.
Ostatnie równanie jest spełnione dla
nĄ 2
 = n = , n = 1, 2, . . . .
l
Zatem dla dowolnego n " N funkcja
nĄ nĄ
l
un(x, t) = Bne- a2t sin x
l
jest rozwiązaniem równania (5.21) spełniającym warunki brzegowe (5.22). Rozwiąza-
nie to na ogół nie spełnia warunku początkowego (5.23).
64 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
Rozważmy funkcje
"

u(x, t) = un(x, t).
n=1
Podobnie jak w sekcji 5.2 można sprawdzić, że przy stosownych założeniach funkcja
(5.24) spełnia równanie (5.21) oraz warunki brzegowe (5.22). Powstaje pytanie, czy
można tak dobrać stałe Bn aby był spełniony również warunek początkowy (5.23).
W tym celu rozwińmy funkcje � wprzedziale [0, l] w szereg sinusów
"

nĄ
�(x) = ąn sin x,
l
n=1
gdzie

"
l

nĄ
ąn = �(s) sin sds.
l
0
n=1
Ponieważ
"

nĄ
u(x, 0) = Bn sin x,
l
n=1
warunek (5.23) jest spełniony, jeśli
Bn = ąn, n = 1, 2, . . . .
W konsekwencji

"
l

2 nĄ nĄ nĄ
l
u(x, t) = �(s) sin s ds e- a2t sin x
l l l
0
n=1

"
l

2 nĄ nĄ nĄ
l
= e- a2t sin s sin x �(s) ds.
l l l
0
n=1
Kładąc
"

2 nĄ nĄ nĄ
l
G(x, s, t) = e- a2t sin s sin x
l l l
n=1
otrzymamy

l
u(x, t) = G(x, s, t)�(s) ds.
0
Przykład 5.3. (Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie ograniczo-
nym z niejednorodnymi warunkami brzegowymi). Rozważmy równanie
ut = a2uxx, dla 0 d" x d" l, t e" 0, (5.24)
z warunkami brzegowymi
u(0, t) = b, u(l, t) = ct, dla t e" 0.
oraz warunkiem początkowym
u(x, 0) = 0, dla 0 d" x d" l.
5.4. Przykłady 65
Powyższy problem możemy sprowadzić do jednorodnych warunków brzegowych
kładąc
ct - b
u(x, t) = v(x, t) + b + x.
l
Istotnie, podstawiając wielkości
c
ut = vt + x, uxx = vxx.
l
do problemu wyjściowego otrzymamy równanie
c
vt = a2vxx - x, (5.25)
l
z warunkami brzegowymi
v(0, t) = 0, v(l, t) = 0 (5.26)
oraz warunkiem początkowym
x
v(x, 0) = b( - 1). (5.27)
l
Szukamy rozwiązania równania (5.25) postaci
"

nĄ
v(x, t) = �n(t) sin x, (5.28)
l
n=1
gdzie �n są niewiadomymi funkcjami które należy wyznaczy". Podstawiajć (5.28) oraz
rozwinięcie
"

c nĄ
x = ąn sin x,
l l
n=1
gdzie
l
2c nĄ 2c
ąn = x sin x dx = (-1)n+1, (5.29)
l2 l nĄ
0
do równania (5.25) otrzymamy
"


2
anĄ nĄ
2
�n(t) + �n(t) + ąn sin x = 0.
l l
n=1
Stąd
2
�n(t) + 2 a2�n(t) + ąn = 0, (5.30)
n
gdzie
nĄ
n = . (5.31)
l
Podstawiając natomiast (5.28) do (5.25) po uwzględnieniu rozwinięcia
"


x nĄ
b - 1 = �n sin x,
l l
n=1
66 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
gdzie
l

2b x nĄ 2b
�n = - 1 sin x dx = - . (5.32)
l l l nĄl
0
otrzymamy
"


nĄ
�n(0) - �n sin x = 0,
l
n=1
co implikuje �n(0) = �n. Rozwiązując równanie (5.30) z warunkiem początkowym
�n(0) = �n otrzymamy

ąn 2 ąn
n
�n(t) = �n + e-a 2 t - .
a2n a2n
Podstawiając uzyskaną wielkość do wzoru (5.27) otrzymamy rozwiązanie problemu
(5.25), (5.26), (5.28)
"
ąn

2 ąn nĄ
n
v(x, t) = �n + e-a 2 t - sin x.
a2n a2n l
n=1
gdzie n, ąn oraz �n są dane wzorami (5.31), (529), (5.32).
Przykład 5.4. (Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie nieograni-
czonym). Rozważmy równanie
ut = a2uxx, x " R, t e" 0, (5.33)
z warunkiem początkowym
u(x, 0) = �(x), x " R. (5.34)
Szukamy rozwiązania postaci
u(x, t) = X(x) T (t).
Po podstawieniu do równania (5.33) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy
2
X2 2 T
= = -2,
X a2T
czyli
2
X2 2 + 2X = 0, T + a22T = 0.
Rozwiązując powyższe równania otrzymamy:
2
X(x) = A cos x + B sin x, T (t) = Ce-a 2t.
Dla dowolnego  " R funkcja

2
u(x, t, ) = e- a2t A() cos x + B() sin x
5.4. Przykłady 67
jest rozwiązaniem równania (5.33). Na ogół rozwiązanie to nie spełnia warunku po-
czątkowego (5.34). Rozważmy teraz funkcje
+" +"


2
u(x, t) = u(x, t, )d = e- a2t A() cos x + B() sin x d.
0 0
Funkcja ta jest oczywiście rozwiązaniem równania (5.33). Żądamy, aby spełniała ona
również warunek początkowy (5.34), czyli
+"


u(x, 0) = A() cos x + B() sin x d = �(x).
0
Jeśli � jest funkcją całkowalną, to zgodnie z wzorem Fouriera (zob. dodatek )
+" +"

1
�(x) = d �(s) cos (s - x) ds.
Ą
0 -"
Wstawiając ostatnią równość do poprzedniego wzoru i uwzględniając związek
cos (s - x) = cos s cos x - sin s sin x otrzymamy
+" +"

1 1
A() = �(s) cos s ds, B() = �(s) sin s ds.
Ą Ą
0 0
Ostatecznie więc rozwiązanie równania wyjściowego ma postać
+" +"

1 2
u(x, t) = �(s) e- a2t cos (x - s) ds d.
Ą
0 -"
Przykład 5.5. (Drgania membrany prostokątnej). Rozważmy równanie
utt = a2(uxx + uyy), (x, y) " [0, l] � [0, l], (5.35)
spełniające warunki brzegowe
u(0, y, t) = 0, u(l, y, t) = 0, y " [0, l], t > 0, (5.36)
u(x, 0, t) = 0 u(x, l, t) = 0, x " [0, l], t > 0, (5.37)
oraz warunki początkowe
u(x, y, 0) = cxy(l - x)(l - y)), ut(x, y, 0) = 0, x, y " [0, l]. (5.38)
68 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
Problem ten opisuje drgania membrany prostokątnej, unieruchomionej na brzegu,
o zadanym kształcie początkowym.
Szukamy rozwiązania postaci
u(x, y, t) = X(x) Y (y) T (t).
Po podstawieniu do równania (5.35) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy
2 2 2 2
1 T (t) X2 2 (x) Y (y)
= + .
a2 T (t) X(x) Y (y)
Poniewaę�
poszczególne składniki w powyższym równaniu są funkcjami jednej zmien-
nej, więc każdy ze składników musi przyjmować wartości stałe. Dostajemy zatem
równania:
2 2 2 2
X2 2 (x) Y (y) 1 T (t)
= -2, = -2, = -2 - 2.
X(x) Y (y) a2 T (t)
Po uwzględnieniu warunków (5.36) oraz (5.37) otrzymamy następujące problemy brze-
gowe:
X2 2 (x) + 2X(x) = 0, X(0) = 0, X(l) = 0
oraz
2 2
Y (y) + 2Y (y) = 0, Y (0) = 0, Y (l) = 0.
Rozwiązując powyższe problemy otrzymamy
Xn(x) = An sin nx, n = 1, 2, . . . ,
Ym(y) = Bm sin my, m = 1, 2, . . . ,
gdzie n = nĄ/l, m = mĄ/l.
Rozwiązując zaś równanie

2 2
T (t) + a2 2 + 2 T (t) = 0,
n m
otrzymamy

Tnm(t) = Anm cos a 2 + 2 t + Bnm sin a 2 + 2 t
n m n m

aĄ aĄ
= Anm cos n2 + m2t + Bnm sin n2 + m2t.
l l
Dla m, n " N funkcja


aĄ aĄ nĄ mĄ
unm(x, y, t) = Anm cos n2 + m2t + Bnm sin n2 + m2t sin x sin x.
l l l l
jest rozwiązaniem problemu (5.35) spełniającym warunki brzegowe (5.36) i (5.37). Na
ogół nie spełnia ona warunków początkowych (5.38). Rozważmy teraz funkcje
"

u(x, y, t) = unm(x, y, t).
n,m=1
5.4. Przykłady 69
Jeśli szereg występujący po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny oraz szeregi dru-
gich pochodnych są jednostajnie zbieżne, to funkcja u jest rozwiązaniem równania
(5.35). W oczywisty sposób spełnia ona warunki brzegowe (5.36) i (5.37). Pozostaje
dobrać stałe Amn oraz Bnm tak aby zachodziły warunki początkowe (5.38). Z wa-
runku ut(x, y, 0) = 0 wnioskujemy, że Bnm = 0 dla n, m " N, natomiast z warunku
u(x, y, 0) = cx(l - x)(l - y) wynika, że Anm = c ąn�m, gdzie
l l
2 nĄ 2 mĄ
ąn = x(l - x) sin xdx =, �m = y(l - y) sin ydy = .
l l l l
0 0
Przykład 5.6. (Równanie Laplace a). Rozważmy równanie Laplace a
uxx + uyy = 0 (x, y) " (0, Ą) � (0, "), (5.39)
spełniające warunki:
u(0, y) = 0, u(Ą, y) = 0, y " (0, ") (5.40)
oraz
x
u(x, 0) = 1 - , u(x, ") = 0, x " (0, Ą). (5.41)
Ą
Szukamy rozwiązania postaci
u(x, y) = X(x) Y (y).
(5.39) Po podstawieniu do równania (5.39) i rozdzieleniu zmiennych otrzymamy
2 2
X2 2 (x) Y (y)
= -
x(x) y(y)
Równość ta może zachodzić tylko wówczas gdy obie strony są równe pewnej stałej,
powiedzmy -. Otrzymujemy zatem następujące równania różniczkowe:
2 2
X2 2 (x) + X(x) = 0, Y (y) - Y (y) = 0.
Z warunków (5.40) i (5.41) wynika natomiast, że X(0) = 0, X(Ą) = 0, Y (+") = 0.
Rozważmy problem
X2 2 (x) + X(x) = 0, X(0) = 0, X(Ą) = 0.
Dla  d" 0 problem ten posiada rozwiązanie zerowe. Załóżmy więc, że  > 0. Wówczas
" "
X(x) = A cos x + B sin x
"
Z warunków brzegowych wynika, że A = 0 oraz sin x = 0. Zatem rozwiązanie
niezerowe istnieje dla  = n2, n " N. Zauważmy teraz, że rozwiązanie problemu
2 2
Y (y) - n2Y (y) = 0, Y (+") = 0
70 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
ma postać
Yn(y) = Ce-ny.
Wynika stąd, że dla dowolnego n " N funkcja
un(x, y) = Cne-ny sin nx.
jest rozwiązaniem problemu (5.39) spełniającym warunki brzegowe. Na ogół rozwią-
zanie to nie spełnia warunku początkowego. Połóżmy więc
"

u(x, y) = Cne-ny sin nx.
n=1
Funkcja ta spełnia równanie (5.39) oraz warunki brzegowe (5.40). Aby spełniała ona
również warunek początkowy wystarczy przyjąć

Ą

2 x 2
Cn = 1 - sin nx = .
Ą Ą nĄ
0
Szukane rozwiązanie ma zatem postać
"

2
u(x, y) = e-ny sin nx.
nĄ
n=1
5.5. Zadania
1. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = a2uxx, 0 < x < l, t > 0,
spełniające warunki:
a) u(0, t) = u(l, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = 1, ut(x, 0) = x dla x " (0, l);
b) u(0, t) = u(l, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = x2, ut(x, 0) = 0 dla x " (0, l);
c) u(0, t) = u(l, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = x(l - x), ut(x, 0) = 0 x " (0, l);
dla
d) u(0, t) = u(Ą, t) = 0, dla t > 0, u(x, 0) = x/Ą, ut(x, 0) = -a x2/Ą2 - x/Ą
dla x " (0, Ą);
e) u(0, t) = t2, u(l, t) = t3, dla t > 0, u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = 0 dla x " (0, l).
2. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = a2uxx + ex, 0 < x < l, t > 0,
spełniające warunki
u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = sin x, ut(x, 0) = x.
5.5. Zadania 71
3. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = a2uxx + 6t, 0 < x < l, t > 0,
spełniające warunki
u(0, t) = u(l, t) = 0, u(x, 0) = x, ut(x, 0) = 1.
4. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = a2uxx + xe-t, 0 < x < l, t > 0,
spełniające warunki
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0
5. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = a2uxx, 0 < x < l, t > 0,
spełniające mieszane warunki brzegowe
u(0, t) = 0, u(l, t) = 2ux(l, t), t > 0,
oraz warunki początkowe
u(0, x) = 1, ut(x, 0) = 1 + x, 0 < x < l.
6. Znalez
ć rozwiązanie równania
ut = a2uxx, 0 < x < l, t > 0,
spełniające warunki brzegowe
u(0, t) = bt, u(l, t) = ct, t > 0,
oraz warunek początkowy
u(0, x) = 0, 0 < x < l.
(Problem ten opisuje rozkład temperatury w pręcie jednorodnym o długości l jeśli
w chwili początkowej temperatura wynosi 0, a na końcach pręta zmienia się liniowo
z czasem, zgodnie z wzorem u(0, t) = bt, u(l, t) = ct).
72 Rozdział 5. Metoda rozdzielania zmiennych
7. Znalez
ć rozwiązanie równania
ut = a2uxx, 0 < x < l, t > 0,
spełniające warunki brzegowe
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t > 0,
oraz warunek początkowy
u(x, 0) = cx(l - x), 0 < x < l.
8. Znalez
ć rozwiązanie równania
ut = a2uxx, 0 < x < l, t > 0,
spełniające warunki brzegowe
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t > 0,
oraz warunek początkowy

x, jeśli 0 < x d" l/2;
u(0, x) =
1 - x, jeśli l/1 < x < l.
9. Posługując się rozkładem u = v + w dobrać funkcje w tak aby problem
utt = uxx, u(0, t) = (t), u(l, t) = �(t), u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x)
sprowadzić do równania niejednorodnego, spełniającego jednorodne warunki brze-
gowe.
10. Rozwiązać problem
uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b,
u(x, 0) = U, u(x, b) = 0, u(0, y) = 0, u(a, y) = 0.
(Problem ten opisuje rozkład potencjału pola elektrycznego u(x, y) wewnątrz pro-
stokąta, jeśli na jednym z boku potencjał jest równy U, a pozostałe boki są uzie-
mione).
11. Rozwiązać problem
uxx + uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 2,
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = ą, u(0, y) = �, u(1, y) = 0.
Rozdział 6
Równanie falowe
W rozdziale IV zauważyliśmy, że równanie typu hiperbolicznego o dwóch zmien-
nych niezależnych możemy sprowadzić do postaci w�� = F (�, �, w�, w�). W wielu
przypadkac równanie takie udaje się rozwiązać np. metodą charakterystyk. Zadanie
jest w szczególności proste, jeśli prawa strona ostatniego równania jest równa zeru.
Zauważmy, że w przeciwieństwie do poprzedniego rozdziału obszar w którym roz-
ważany problem jest dowolny, a sytuacja najwygodniejsza gdy szukamy rozwiązania
określonego w całej przestrzeni. Metoda ta zastosowana do równania struny nosi nazwę
metody d Alamberta.
6.1. Rozwiązanie równania struny metodą d Alamberta
Rozważmy równanie struny
utt = a2uxx, a = 0, (6.1)

w obszarze D = {(x, t) " R2 : t e" 0} spełniające warunki początkowe:
u(x, 0) = �(x), u(x, 0) = �(x), x " R. (6.2)
Równanie charakterystyk w naszym przypadku ma postać
dx 2
- a2 = 0.
dt
Rozwiązując równania
dx dx
= a, = a,
dt dt
otrzymamy
x - at = C1, x + at = C2.
Stosując podstawienie
� = x - at, � = x + at,
równanie wyjściowe sprowadzimy do postaci
"2w
= 0.
"�"�
74 Rozdział 6. Równanie falowe
Całkując względem � otrzymamy
"w
= f(�),
"�
a następnie całkując względem � otrzymamy

w(�, �) = f(�)d� + G(�) = F (�) + G(�),
gdzie F i G są dowolnymi funkcjami klasy C2. Wracając do zmiennych wyjściowych
otrzymamy
u(x, t) = F (x - at) + G(x + at). (6.3)
Fale zadane odpowiednio funkcjami F i G nazywa się falami prostymi. Wykorzystując
warunki początkowe otrzymamy
u(x, 0) = F (x) + G(x) = �(x),
2
ut(x, 0) = -aF (x) + aG2 (x) = �(x).
Rozwiązując układ równań
F (x) + G(x) = �(x),
1
2
-F (x) + G2 (x) = �(x),
a
otrzymamy
1 1
G2 (x) = �2 (x) + �(x),
2 2a
a po scałkowaniu w przedziale [x0, x]
x
1 1 1
G(x) = �(x) - �(x0) + �(s)ds + G(x0).
2 2 2a
x0
Z pierwszego natomiast równania mamy

1 1 1
F (x) = �(x) - G(x) = �(x) - x0x�(s)ds + �(x0) - G(x0).
2 2a 2
Postawiając uzyskane wzory na F i G do (1.3) otrzymamy
x-at x+at


1 1 1
u(x, t) = �(x - at) + �(x + at) - �(s)ds + �(s)ds,
2 2a 2a
x0 x0
a po redukcji całek
x+at


1 1
u(x, t) = �(x - at) + �(x + at) + �(s)ds. (6.4)
2 2a
x-at
Uzyskany w ten sposób wzór (6.4) na rozwiązanie problemu początkowego (6.1), (6.2)
nosi nazwę wzoru d Alamberta.
6.1. Rozwiązanie równania struny metodą d Alamberta 75
Uwaga 6.1. Zw wzoru (6.4) wynika natychmiast, że rozwiązanie problemu (6.1),
(6.2) zależy w sposób ciągły od warunków początkowych. Istotnie, niech u1 będzie
rozwiązaniem równania (6.1) odpowiadającym położeniu początkowemu �1 oraz pręd-
kości początkowej �1 zaś u2 rozwiązaniem odpowiadającym położeniu początkowemu
�2 oraz prędkości początkowej �2. Załóżmy, że
|�2(x) - �1(x)| < �, |�2(x) - �1(x)| < � dla x " R.
Wykorzystując wzór (6.4) łatwo sprawdzić, że
|u2(x, t) - u1(x, t)| < (1 + t)� dla x " R.
Uwaga 6.2. Z liniowości operacji różniczkowania widać natychmiast, że jeśli
� = �1 + �2, � = �1 + �2,
to rozwiązanie problemu (6.1), (6.2) możemy przedstawić jako sumę u = u1 + u2,
gdzie u1 jest rozwiązaniem równania (6.1) spełniającym warunki początkowe
u(x, 0) = �1(x), ut(x, 0) = �1(x)(x),
a u2 jest rozwiązaniem problemu (6.1) spełniającym warunki początkowe
u(x, 0) = �2(x), ut(x, 0) = �2(x).
Własność tę nazywamy liniowością.
Zauważmy jeszcze, że jeśli � = 0, rozwiązanie problemu (6.1), (6.2) przyjmuje
postać
x+at

1
u(x, t) = �(s)ds, (6.5)
2a
x-at
a jeśli � = 0, postać
�(x - at) + �(x + at)
u(x, t) = . (6.6)
2
Uwaga 6.3. Zinterpretujemy teraz rozwiązanie ogólne równania (6.1) dane wzo-
rem (6.3). Rozważmy wpierw przypadek G = 0. Wówczas
u(x, t) = F (x - at).
Zauważmy, że na prostej x - at = x0 amplituda fali jest stała i wynosi F (x0), przy
czym fala rozchodzi się z prędkością a w kierunku dodatnim osi Ox.
Podobnie, jeśli F = 0, równanie fali ma postać
u(x, t) = G(x + at),
amplituda fali jest stała na prostej x + at = x0 i wynosi G(x0), a fala rozchodzi się z
prędkości a w kierunku ujemnym osi Ox
76 Rozdział 6. Równanie falowe
Przypuśćmy teraz, że funkcje F i G są równe zeru poza przedziałem [ą, �]. Wów-
czas fala prosta zadana funkcją F (x- at) w płaszczyz
nie Oxt przesuwa się w obszarze
D1 wyznaczonym prostymi x - at = ą, x - at = �, t e" 0, a fala zadana funkcją
G(x + at) przesuwa się w obszarze D2 wynaczonym prostymi x + at = ą, x + at = �,
t e" 0 (zob. rys.). Rzutując funkcje na oś Ox możemy stwierdzić, że fala prosta opisana
funkcją F (x- at) przesuwa się wzdłuż osi Ox z prędkością a w kierunku dodatnim osi
Ox, zaś fala prosta opisana funkcją G(x+at) przesuwa się wzdłuż osi Ox z prędkością
a w kierunku ujemnym osi Ox,
Przykład 6.1. Rozważmy przypadek, gdy prędkość początkowa � = 0, a położe-
nie początkowe � ma pstać
ńł
x
�ł - ą, jeśli - ą d" x d" 0;
�(x) = ą - x, jeśli 0 < x d" ą;
ół
0, jeśli |x| > ą.
Zgodnie z uwagą 6.2 rozwiązanie wyraża się wzorem (6.6). Nietrudno sprawdzić, że
u(x, 0) = �(x) oraz
ńł
x/2 + 3ą/4, jeśli - 3ą/2 d" x d" ą/2;
�ł
�ł
�ł

ą/2, jeśli |x| d" ą/2;
u x, ą/(2a) =
�ł -x/2 - 3ą/4, jeśli ą/2 d" x d" 3ą/2;
�ł
ół
0, jeśli |x| > 3ą/2.
Pozostawiamy Czytelnikowi wyznaczenie wartości u(x, ą/a) oraz u(x, 2ą/a). Wartości
funkcji u(x, t) dla t = 0, t = ą/(2a), t = ą/a oraz t = 2ą/a zostały przedstawione na
rys.
Uwaga 6.4. Jeśli funkcje � i � są nieparzyste, to
at
�(at) + �(-at) 1
u(0, t) = + �(s)ds = 0.
2 2a
-at
Jeśli funkcje � i � są parzyste, to
at

" �2 (at) + �2 (-at) 1 1
u(0, t) = + �2 (s)ds = �(at) - �(-at) = 0.
"x 2 2a 2a
-at
Wykorzystaliśmy tutaj oczywisty fakt, że �2 jako pochodna funkcji parzystej jest
funkcją nieparzystą. Warunki zauważone w tej uwadze wykorzystamy dla rozwiązania
równania struny na półosi dodatniej (zobacz poniżej przykład 6.2).
Przykład 6.2. Rozważmy równanie (6.1) dla x > 0. Załóżmy, że zachodzą wa-
runki (6.2) dla x > 0. Oczywiście w tym przypadku z wzoru (6.4) nie możemy sko-
rzystać bezpośrednio, bowiem funkcje � i � nie są określone dla x < 0.
Przypadek 1. Załóżmy jeszcze dodatkowo, że
u(0, t) = 0 dla t > 0.
6.1. Rozwiązanie równania struny metodą d Alamberta 77
Wykorzystując uwagę 6.4 możmy rozszerzyć funkcje � i � na prostą R jako funkcje
nieparzyste. Połóżmy

�(x), dla x > 0; �(x), dla x > 0;
Ś(x) = �(x) =
-�(-x), dla x < 0, -�(-x), dla x < 0.
Rozwiązanie równania (6.1) z warunkami początkowymi
u(x, 0) = Ś(x), ut(x, 0) = �(x) dla x " R,
zgodnie z formułą (6.4) wyraża się wzorem
x+at

Ś(x + at) + Ś(x - at) 1
u(x, x) = + �(s)ds. (6.7)
2 2a
x-at
Zatem wzór na rozwiązanie problemu wyjściowego ma ostatecznie postać
ńł
x+at

�(x+at)+�(x-at)
�ł 1
�ł
+ �(s)ds, x > 0, at < x;
�ł
2 2a
�ł
�ł
x-at
u(x, t) =
�ł
x+at
�ł

�ł
�(x+at)-�(x-at)
1
�ł
ół + �(s)ds, x > 0, at > x;
2 2a
at-x
Przypadek 2. Załóżmy teraz, że
ux(0, t) = 0 dla t > 0.
Wykorzystując ponownie uwagę 6.4 rozszerzamy funkcje � i � na R jako funkcje
parzyste, czyli

�(x), dla x > 0; �(x), dla x > 0;
Ś(x) = �(x) =
�(-x), dla x < 0, �(-x), dla x < 0.
Podobnie jak w przypadku 1 rozwiązanie równania (6.1) z warunkami początko-
wymi
u(x, 0) = Ś(x), ut(x, 0) = �(x) dla x " R,
wyraża się wzorem (6.7). Stąd wzór na rozwiązanie problemu wyjściowego ma postać:
ńł
x+at

�(x+at)+�(x-at)
�ł 1
�ł
+ �(s)ds, x > 0, at < x;
�ł
2 2a
�ł
�ł
x-at
u(x, t) =
�ł
x+at
�ł

�ł
�(x+at)-�(x-at)
1
�ł
ół + �(s)ds, x > 0, at > x;
2 2a
at-x
78 Rozdział 6. Równanie falowe
6.2. Równanie niejednorodne struny
Rozważmy niejednorodne równanie struny
1
utt = uxx + f(x, t), x " R, t > 0 (6.8)
a2
z warunkami początkowymi
u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x), x " R. (6.9)
Zauważmy wpierw, iż na mocy liniowości operacji różniczkowania wynika, rozwią-
zanie u problemu (6.8), (6.9) możemy zapisać jako sumę u = u1 + u2, gdzie u1 jest
rozwiązaniem problemu
utt = a2uxx, u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x),
zaś u2 jest rozwiązaniem problemu
1
utt = uxx + f(x, t), u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, x " R. (6.10)
a2
W celu znalezienia rozwiązania problemu (6.10) rozważmy wpierw równanie
wtt = a2wxx, x " R, t e" � e" 0, (6.11)
z warunkami początkowymi
"w
w(x, �; �) = 0, (x, �; �) = f(x, �), x " R. (6.12)
"t
Ponieważ warunek początkowy jest zadany w chwili t0 = �, rozwiązanie problemu
(6.11), (6.12) zależy od �, co symbolicznie zapisujemy w(�, � ; �). Zgodnie z uwagą 6.2
rozwiązanie tego problemu ma postać
x+a(t-� )

1
w(x, t; �) = f(s, �) ds. (6.13)
2a
x-a(t-� )
(Istotnie, wystarczy dokonać zmiany s = t - � a następnie wykorzystać wzór (6.5)).
Lemat 6.1. Funkcja
t
v(x, t) = a2 w(x, t; �) d� (6.14)
0
jest rozwiązaniem problemu (6.10).
6.2. Równanie niejednorodne struny 79
Dowód. Różniczkując funkcje v względem t otrzymamy
t t
" " "
v(x, t) = a2w(x, t; t) + a2 w(x, t; �)d� = a2 w(x, t; �)d�
"t "t "t
0 0
oraz
t
"2 " "2
v(x, t) = a2 w(x, t; t) + a2 w(x, t; �)d�
"t2 "t "t2
0
t
"2
= a2f(x, t) + a2 w(x, t; �)d�,
"t2
0
zaś różniczkując dwukrotnie funkcje v względem x otrzymamy
t
"2 "2
v(x, t) = a2 w(x, t; �)d�.
"x2 "x2
0
Wykorzystując uzyskane wzory mamy
t

1 "2 "2 "2 "2
v(x, t) - v(x, t) = f(x, t) + w(x, t; �) - a2 w(x, t; �) d�.
a2 "t2 "x2 "t2 "x2
0
Ponieważ funkcja w jest rozwiązaniem równania (6.11), wyrażenie pod całką jest
równe zeru, skąd wynika, że funkcja v spełnia równanie (6.8). W oczywisty sposób
v(x, 0) = 0, vt(x, 0) = 0 dla x " R. Zatem dowód lematu 6.2 jest zakończony.
Po uwzględnieniu relacji (6.13) i (6.14) oraz wzoru (6.4), rozwiązanie problemu
(6.8), (6.9) możemy zapisać w postaci
x+at

t x+a(t-� )
�(x + at) + �(x - at) 1 a
u(x, t) = + �(s)ds + f(s, �)dsd�.
2 2a 2
x-at 0
x-a(t-� )
Przykład 6.3. Rozważmy równanie
utt = a2uxx, x > 0
z warunkami początkowymi
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 dla x > 0
oraz warunkiem brzegowym
u(0, t) = �(t) dla t > 0.
80 Rozdział 6. Równanie falowe
Zgodnie z wzorem (6.3)
u(x, t) = F (x - at) + G(x + at).
Dla x > 0 z warunku u(x, 0) = 0 otrzymamy F (x) + G(x) = 0, czyli
G(x) = -F (x) dla x > 0.
Zatem
u(x, t) = F (x - at) - F (x + at) dla x > 0, t > 0.
2
Z kolei z warunku ut(x, 0) = 0 wynika, że F (x) = 0 dla x > 0, a w konsekwencji
F (x) = 0 dla x > 0.
Wykorzystując ostatni warunek mamy
u(0, t) = F (-at) - F (at) = F (-at).
Stąd i z warunku u(0, t) = �(t) dla t > 0 otrzymujemy
F (-at) = �(t),
a kładąc s = -at otrzymamy
F (s) = �(-s/a) dla s < 0.
W konsekwencji
ńł
�(t
�ł - x/a), jeśli x d" at
u(x, t) =
ół
0, jeśli x > at
Przykład 6.4. Znalez
ć rozwiązanie problemu
utt = a2uxx + f(x, t), x > 0, t > 0,
spełniające warunki początkowe
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 dla x > 0
oraz warunek brzegowy
u(0, t) = �(t) dla t > 0.
Szukane rozwiązanie jest równe sumie rozwiązania problemu (6.8), (6.9) oraz rozwią-
zania problemu z przykładu 6.3.
6.3. Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania 81
Przykład 6.5. (Drgania struny ograniczonej). Rozważmy równanie struny
utt = a2uxx, 0 d" x d" l, t > 0,
spełniające warunki początkowe
u(x, 0) = �(x), ut(x, 0) = �(x) dla 0 d" x d" l
oraz warunek brzegowy
u(0, t) = u(l, t) = 0 dla t > 0.
Połóżmy

�(x), jeśli 0 d" x d" l; �(x), jeśli 0 d" x d" l;
Ś(x) = �(x) =
-�(-x), jeśli - l d" x < 0, -�(-x), jeśli - l d" x < 0.
a następnie przedłużmy funkcje Ś i � na całą oś Ox jako funkcje okresowe o okresie
2l. Wykorzystując wzór (6.7) otrzymamy rozwiązanie postawionego problemu.
6.3. Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania
Rozważmy równanie fal kulistych
utt = a2"u, (x, y, z) " V, t e" 0 (6.15)
z warunkami początkowymi
u(x, y, z, 0) = �(x, y, z), ut(x, y, z, 0) = �(x, y, z), (x, y, z) " V, (6.16)
"2 "2 "2
gdzie laplasjan " = + + , a V jest podzbiorem otwartym przestrzeni R3.
"2x "2y "2z
Technika rozwiązania zaprezentowana poniżej polega na przekształcenia równa-
nia o trzech zmiennych na jednowymiarowe równanie falowe. Redukcję tę uzyskamy
wprowadzjąc tak zwane średnie sferyczne.
Przypuśćmy, że problem (6.15), (6.16) posiada rozwiązanie u w obszarze &! =
V �[0, "). Niech P0 = (x0, y0, z0) " V i niech r > 0 będą takie, że kula B(P0, r) �" V .
Niech S(P0, r) będzie sferą o środku w punkcie P0 i promieniu r. Połóżmy

1
u(r, t) = u(�, �, ś, t) dS, (6.17)

4Ąr2
S(P0,r)
gdzie po prawej stronie występuje całka powierzchniową po sferze S(P0, r). Wielkość
u(r, t) oznacza wartość średnią funkcji u na sferze S(P0, r) w chwili t.

Zapiszmy równanie sfery S(P0, r) we współrzędnych sferycznych
� = x0 + r cos ą, cos �, ś = y0 + r sin ą cos �, ś = z0 + r sin �,
82 Rozdział 6. Równanie falowe
gdzie 0 d" ą d" 2Ą, -Ą/2 d" � d" Ą/2. Przypomnijmy też, że element powierzch-
niowy dS po przejściu na współrzędne sferyczne wyraża się wzorem
dS = r2 cos � dą d�.
Zamieniając we wzorze (6.17) całkę powierzchniową na całkę iterowaną otrzymamy
Ą
2Ą
2

1
u(r, t) = u(x0 + r cos ą cos �, y0 + sin ą cos �, z0 + r sin �, t) cos � dą d�,

4Ą
Ą
0 -
2
lub krótko
Ą
2Ą
2

1 1
u(r, t) = u dS = u cos � dą d�. (6.18)

4Ąr2 4Ą
Ą
0 -
S(P0,r)
2
Oczywiście
u(0, t) = u(x0, y0, z0, t). (6.19)

Całkując równanie (6.15) po kuli B(P0, r) otrzymamy

uttdxdydz = a2 "udxdydz,
B(P0,r) B(P0,r)
a po zastosowaniu do prawej strony wzoru Gaussa-Ostrogradzkiego

"u
uttdxdydz = a2 dS,
"n
B(P0,r) S(P0,r)
"
gdzie oznacza pochodną funkcji u w kierunku normalnej zewnętrznej do po-
"n
wierzchni S(P0, r). Ponieważ normalna zewnętrzna do kuli ma kierunek zgodny z
wektorem r
"u "u
= ,
"n "r
mamy

"
utt cos � dxdydz = a2 udS.
"r
B(P0,r) S(P0,r)
Po wprowadzeniu współrzędnych sferycznych i zamianie całek na całki iterowane
otrzymamy
Ą Ą
2Ą 2Ą
2 2
r
"u
�2 utt cos � d� d� = a2 r2 cos � d� d�.
"r
Ą Ą
0 0 - 0 -
2 2
Różniczkując ostatnią równość względem r i dzieląc przez 4Ąr2 otrzymamy
Ą Ą
2Ą 2Ą
2 2


1 a2 " 1 "u
utt cos � d� d� = r2 cos � d�d� .
4Ą r2 "r 4Ą "r
Ą Ą
0 - 0 -
2 2
6.3. Równanie fal kulistych. Metoda uśredniania 83
Zapisując różniczkowanie względem t na zewnątrz całki i wprowadzając wartości śred-
nie sferyczne (zob. (6.17)) otrzymamy

"2u a2 " "u

- r2 = 0. (6.20)
"t2 r2 "r "r
Ponieważ



"2 " "u "u "2u
ru = u + r = 2 + r ,

"r2 "r "r "r "r2
zatem

" "u "u "2u "2(ru)

r2 = r 2 + r = r .
"r "r "r "r2 "r2
W konsekwencji równanie (6.20) przyjmuje postać

"2 ru

"2u a2

- = 0,
"t2 r "r2
a po pomnożeniu przez r

"2 ru

"2(ru)

- a2 = 0
"t2 "r2
Kładąc
v(r, t) = ru(r, t)

otrzymamy
"2v "2v
= a2 dla r > 0, t > 0. (6.21)
"t2 "r2
Uśredniając również warunki początkowe (6.16) otrzymamy

1
u(r, 0) = �(r) = �(�, �, ś, t)dS,

4Ąr2
S(P0,r)

1

ut(r, 0) = �(r) = �(�, �, ś, t)dS,

4Ąr2
S(P0,r)
Zatem funkcja v jest rozwiązaniem równania (6.21) spełniającym warunki

v(r, 0) = r�(r), vt(r, 0) = r�(r), v(0, t) = 0 dla r > 0, t " R. (6.22)

Wykorzystując metodę d Alamberta rozwiązanie ogólne równania (6.21) możemy za-
pisać w postaci
v(r, t) = F (t + r/a) + G(t - r/a)
Z warunku v(t, 0) = 0 wynika, że G(t) = -F (t) dla t " R. W konsekwencji
v(r, t) = F (t + r/a) - F (t - r/a).
Przechodząc w oczywistej równości
F
1 1 (t + r/a) - F (t) F (t) - F (t - r/a)
u(r, t) = v(t, r) = +

r a r/a r/a
84 Rozdział 6. Równanie falowe
z r do zera, otrzymamy
2
2
u(0, t) = F (t). (6.23)

a
Sumując równości

" "v 1 r 1 r
2 2
(ru) = = F t + + F t - ,

"r "r a a a a

" "v r r
2 2
(ru) = = F t + - F t -

"t "t a a
otrzymamy

" " 2 r
2
(ru) + (ru) = F t + .

"r "t a a
Przyjmując t = 0, r = at0 i wykorzystując równości (6.23) i (6.19) otrzymamy



" " 2
2
(ru) + (ru) = F (t0) = u(0, t0) = u(x0, y0, z0, t0).

"r "t a
t=0, r=at0
Stąd i ze wzoru (6.17) mamy


1 "u u 1 1 "u

u(x0, y0, z0, t0) = dS + dS .
4Ą "r r a r "t
t=0, r=at0
S(P0,r) S(P0,r)
Uwzględniając wrunki początkowe (6.16) oraz fakt, że
" 1 "
=
"r a "t
jeśli r = at, otrzymamy

1 " � �
u(x0, y0, z0, t0) = dS + dS .
4Ąa2 "t t0 t0
S(P0,at) S(P0,at)
Przypomnijmy, że punkt (x0, y0, z0) " V oraz t0 > 0 były ustalone dowolnie. Zatem
opuszczając wskaz
nik 0 otrzymamy wartość rozwiązania u dla dowolnych (x, y, z) " V
oraz t > 0 w postaci tak zwanego wzoru Kirchhoffa

1 " �(�, �, ś) �(�, �, ś)
u(x, y, z, t) = dS + dS ,
4Ąa2 "t t t
S(P,at) S(P,at)
lub po zastosowaniu transformacji
� = x + at cos ą cos �, � = y + at sin ą cos �, ś = z + at sin �,
6.4. Niejednorodne równanie fal kulistych 85
gdzie 0 d" ą d" 2Ą, -Ą/2 d" � d" Ą/2,
Ą

2Ą
2


1 "
u(x, y, z, t) = t� �((ą, �), �(ą, �), ś(ą, �) cos � dą d�
4Ą "t
Ą
0 -
2
Ą

2Ą
2


+ t� �((ą, �), �(ą, �), ś(ą, �) cos � dą d� .
Ą
0 -
2
Przypomnijmy, że wzór Kirchhoffa otrzymaliśmy przy założeniu, że problem (6.15),
(6.16) posiada rozwiązanie. Na odwrót, jeśli założymy, że funkcja � jest klasy C3
a funkcja � klasy C2 to nietrudno pokazać, że funkcja u dana wzorem Kirchhoffa
jet rozwiązaniem problemu (6.15), (6.16). Oczywiście rozwiązanie to jest określone
jednoznacznie. Pokazaliśmy zatem następujące twierdzenie.
Twierdzenie 6.1. Jeśli funkcja � jest klasy C3 a funkcja � klasy C2 w zbiorze
V , to w obszarze &! = {(x, y, z, t) : (x, y, z) " V, t > 0} istnieje dokładnie jedno roz-
wiązanie problemu (6.15), (6.16), przy czym jest ono określone następującym wzorem
Kirchhoffa


1 " � �
u(x, y, z, t) = dS + dS
4Ąa2 "t t t
S(P,at) S(P,at)
Ą Ą

2Ą 2Ą
2 2

1 "
= t� cos � dą d� + t� cos � dą d� .
4Ą "t
Ą Ą
0 - 0 -
2 2
Zauważmy, że pierwsza wersja wzoru Kirchhoffa podana jest we współrzędnych kar-
tezjańskich, zaś druga we współrzędnych biegunowych.
6.4. Niejednorodne równanie fal kulistych
Rozważmy niejednorodne równanie fal kulistych
utt - a2"u = f(x, y, z, t), (x, y, z) " V, t e" 0 (6.24)
z warunkami początkowymi
u(x, y, z, 0) = �(x, y, z), ut(x, y, z, 0) = �(x, y, z), (x, y, z) " V, (6.25)
gdzie f i � są funkcjami klasy C2, a � klasy C3 w zbiorze V .
W celu rozwiązania problemu (6.24), (6.25) rozbijamy go na dwa problemy od-
dzielne:
utt = a2"u, (x, y, z) " V, t e" 0, (6.26)
u(x, y, z, 0) = �(x, y, z), ut(x, y, z, 0) = �(x, y, z), (x, y, z) " V (6.27)
86 Rozdział 6. Równanie falowe
oraz
utt - a2"u = f(x, y, z, t), (x, y, z) " V, t e" 0 (6.28)
u(x, y, z, 0) = 0, ut(x, y, z, 0) = 0, (x, y, z) " V, (6.29)
Rozwiązanie problemu (6.26), (6.27) dane jest wyprowadzonym w poprzedniej
sekcji wzorem Poissona (zob. twierdzenie 6.1). Aby znalez
ć rozwiązanie problemu
(6.28), (6.29) rozważmy problem pomocniczy
vtt = a2"u, (x, y, z) " V, t e" � > 0, (6.30)
v(x, y, z, �) = 0, vt(x, y, z, �) = f(x, y, z, �), (x, y, z) " V. (6.31)
Ponieważ rozwiązanie problemu (6.30), (6.31) zależy od �, będziemy zaznaczać to
pisząc v(�, �, �, � ; �). Wykorzystując wzór Kirchhoffa, rozwiązanie problemu (6.30),
(6.31) możemy zapisać w postaci:

1 f(�, �, ś, �)
v(x, y, z, t ; �) = dS
4Ąa2 t - �

S P,a(t-� )
Połóżmy

t t
1 f(�, �, ś, �)
w(x, y, z, t) = v(x, y, z, t ; �)d� = dS d�
4Ąa2 t - �
0 0
S(P,a(t-� ))
Ą/2
2Ą

t

1
= (t - �)f �(ą, �), �(ą, �), ś(ą, � , �) cos � dą d� d�
4Ą
0 0 -Ą/2
Pokażemy, że funkcja w jest rozwiązaniem problemu (6.28), (6.29). Istotnie, za-
uważmy wpierw, że
t t
"w
(x, y, z, t) = v(x, y, z, t; t) + vt(x, y, z, t ; �)d� = vt(x, y, z, t ; �)d�;
"t
0 0
t
"2w
(x, y, z, t) = vt(x, y, z, t; t) + vtt(x, y, z, t ; �)d�
"t2
0
t
= f(x, y, z, t) + vtt(x, y, z, t ; �)d�;
0
t
("w)(x, y, z, t) = ("v)(x, y, z, t ; �)d�.
0
Zatem
t

wtt - a2"w = f(x, y, z, t) + vtt - a2"v d� = f(x, y, z, t),
0
6.5. Równanie fal walcowych. Metoda redukcji 87
co oznacza, że funkcja v spełnia równanie (6.28). Ponieważ w oczywisty sposób funkcja
v spełnia również warunki początkowe (6.29), jest ona rozwiązaniem problemu (6.28),
(6.29).
Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie problemu (6.24), (6.25) możemy uzyskać
jako sumę rozwiązań problemu (6.26), (6.27) oraz problemu (6.28), (6.29), czyli
Ą

2Ą
2


1 "
u(x, y, z, t) = t� �(ą, �), �(ą, �), ś(ą, � cos � dą d�
4Ą "t
Ą
0 -
2
Ą

2Ą
2


+ t� �(ą, �), �(ą, �), ś(ą, � cos � dą d�
Ą
0 -
2
t

1 f(�, �, ś, �)
+ dS d�
4Ąa2 t - �

0
S P,a(t-� )
6.5. Równanie fal walcowych. Metoda redukcji
Rozważmy równanie fali dla n = 2
utt - a2"u = 0, (x, y) " D (6.32)
z warunkami początkowymi
u(x, y, 0) = �(x, y), ut(x, y, 0) = �(x, y) (6.33)
"2 "2
gdzie D �" R2, " = + .
"x2 "y2
Okazuje się, że nie widać prostego podstawienia które pozwoliłoby zredukować
problem dwuwymiarowy do problemu jenowmiarowego. Posłużymy się więc następu-
jącym chwytem. Rozważamy nasz problem w przestrzeni trójwymiarowej przyjmując,
że funkcje występujące w równaniu nie zależą od zmiennej z. Mianowicie połużmy

u(x, y, z, t) = u(x, y, t), �(x, y, z, t) = �(x, y, t)), �(x, y, z, t) = �(x, y, t).

Niech u będzie rozwiązaniem problemu

utt - a2" = 0, (x, y, z) " V, t > 0,
u

u(x, y, z, 0) = �(x, y, z), ut(x, y, z, 0) = � (x, y, z), (x, y, z) " V,

gdzie V = D � R.
Niech P0 = (x0, y0) " D i niech K(P0, at) będzie kulą w przestrzeni R2 o środku

w punkcie P0 i promieniu at. Niech S(P0, at) i K(P0, at), gdzie P0 = (x0, y0, z0),

z0 " R, oznacza odpowiednio sferę i kulę w przestrzeni R3. Niech P = (�, �, ś) będzie

punktem bieżącym na sferze S(P0, at).
88 Rozdział 6. Równanie falowe
Na mocy wzoru Kirchhoffa



1 " �(�, �, ś) �(�, �, ś)

u(x0, y0, z0, t) = dS + dS (6.34)

4Ąa2 "t t t

S(P0,at) S(P0,at)

Niech "S będzie elementem powierzchni na sferze S(P0, at), a "� jego rzutem na
powierzchnię ś = 0 (zob. rys. ). Oczywiście
"� = "S cos ł,
gdzie

|P P1|

cos ł = , |P P0| = at, |P P1| = (at)2 - (x0 - �)2 - (y0 - �)2.

|P P0|

Uwzględniając powyższe zależności oraz definicje funkcji � i �, po zamianie całek

powierzchniowych na całki podwójne, otrzymamy

�(�, �, ś) �(�, �)d�d�

dS = a ,
t
(at)2 - (x0 - �)2 - (y0 - �)2
K(P0,at)
S(P0,at)


�(�, �, ś) �(�, �)d�d�
dS = a .
t
(at)2 - (x0 - �)2 - (y0 - �)2
K(P0,at)
S(P0,at)
Ponieważ punkt (x0, y0) " D był dobrany dowolnie, możemy opuścić wskaz
nik 0.
Ponadto, uwzględniając w równaniu (6.34) związek u(x0, y0, t) = u(x0, y0, z0, t) oraz

ostatnie równości, otrzymamy rozwiązanie problemu (6.32), (6.33) w postaci tzw.
wzoru Poissona:


1 " �(�, �)d�d�
u(x, y, t) =
2Ąa "t
(at)2 - (x - �)2 - (y - �)2
K(P,at)


�(�, �)d�d�
+ .
(at)2 - (x - �)2 - (y - �)2
K(P,at)
Przykład 6.6. Znalez
ć rozwiązanie niejenorodnego równania fali płaskiej
utt - a2"u + f(x, y, t), (x, y, t) " &! = R2 � [0, ")
spełniające warunki początkowe
u(x, y, 0) = �(x, y), ut(x, y, 0) = �(x, y).
6.6. Zadania 89
Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie tego problemu możemy przedstawić jako sumę
rozwiązania problemu (6.32), (6.33) oraz problemu
wtt = a2"w + f(x, y, t), w(x, y, 0) = 0, wt(x, y, 0) = 0.
Stosując postępowanie przedstawioną w sekcji 6.4 i 6.5 nietrudno sprawdzić, że szu-
kane rozwiązanie ostatniego problemu można przedstawić w postaci
t

1 f(�, �, �)d�d�
w(x, y, t) = d�.
4Ąa
(at)2 - (x - �)2 - (y - �)2

0
K P,a(t-� )
Zatem szukane rozwiązanie ma postać:


1 " �(�, �)d�d�
u(x, y, t) =
4Ąa "t
(at)2 - (x - �)2 - (y - �)2
K(P,at)


�(�, �)d�d�
+
(at)2 - (x - �)2 - (y - �)2
K(P,at)
t

1 f(�, �, �)d�d�
+ d�.
4Ąa
(at)2 - (x - �)2 - (y - �)2

0
K P,a(t-� )
Uwaga 6.5. Metodę przedstawioną w sekcji 6.4 moz
na zastosować do równania
falowego z dowolną większą od 3 nieparzystą ilością zmiennych przestrzennych, a
metodę przedstawioną w sekcji 6.5 dla równania falowego z dowolną parzystą ilością
zmiennych przestrzennych.
6.6. Zadania
1. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = 9uxx, x " R, t > 0,
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = ex, ut(x, 0) = 2x;
b) u(x, 0) = x, ut(x, 0) = x2;
2. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = a2uxx, x > 0, t > 0,
spełniające warunki:
90 Rozdział 6. Równanie falowe
a) u(x, 0) = cos x, ut(x, 0) = 2x dla x > 0, ux(0, t) = 0 dla t > 0 ;
b) u(x, 0) = cos x, ut(x, 0) = cos 2x + cos 3x dla x > 0, u(0, t) = 0 dla t > 0 ;
c) u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 dla x > 0, u(0, t) = ą(t) dla t > 0;
3. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = uxx + ex, x > 0, t > 0,
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = x, ut(x, 0) = 1;
b)
4. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = 4uxx + sin 2t, x " R, t > 0,
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 1.
b)
5. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = uxx + x - t, x > 0, t > 0,
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = 2x, ut(x, 0) = -5x.
b)
6. Znalez
ć rozwiązanie równania
utt = 9uxx + x2t, x > 0, t > 0,
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, 0) = x3, ut(x, 0) = x2;
b)
7. Korzystając ze wzoru Kirchhoffa znalez
ć rozwiązanie równania fali kulistej
1
uxx + uyy + uzz - utt = 0,
a2
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, z, 0) = x2, ut(x, y, z, 0) = y - z;
b) u(x, y, z, 0) = x - y2, ut(x, y, z, 0) = x + z;
8. Znalez
ć rozwiązanie niejednorodnego równania fali kulistej
1
"u - utt =
a2
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, z, 0) =, ut(x, y, z, 0) =;
b) u(x, y, z, 0) =, ut(x, y, z, 0) =;
6.6. Zadania 91
9. Korzystając ze wzoru Poissona znalez
ć rozwiązanie równania
1
uxx + uyy - = 0,
a2
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, 0) = x + y, u(x, y, 0) = x3;
b) u(x, y, 0) = sin 3x cos y, ut(x, y, 0) = xy;
10. Znalez
ć rozwiązanie niejednorodnego równania fali płaskiej
1
"u - utt =
a2
spełniające warunki początkowe:
a) u(x, y, 0) =, ut(x, y, 0) =;
b) u(x, y, 0) =, ut(x, y, 0) =;
Rozdział 7
Rozwiązania podstawowe równania Laplace a
oraz równania przewodnictwa cieplnego
7.1. Równanie Laplace a i Poissona
Niewątpliwie do najważniejszych równań różniczkowych cząstkowych należy rów-
nanie Laplace a
"u = 0, x " U �" Rn (7.1)
oraz równanie Poissona
"u = f, (7.2)
"2u "2u
gdzie u jest szukaną funkcją określoną na U, x = (x1, . . . , xn), "u = + . . .+
"2x1 "2xn
oznacza laplasjan, a f jest zadaną funkcją.
Równanie to spotykamy przy opisie licznych zjawisk. Przypomnijmy niektóre z
nich:
(i). Ustalony stan pola cieplnego. Jak widzieliśmy w sekcji 3.4 zjawisko rozchodze-
nia się ciepła jest opisane równaniem ut - "u = 0. W przypadku pola stacjonarnego,
tzn. takiego, że rozkład temperatury nie zmienia się w czasie, funkcja u nie zależy od
czasu i spełnia równanie Laplace a (7.1). Jeśli występują przy tym z
ródła ciepła, to
spełnia ona równanie Poissona (7.2), gdzie funkcja f opisuje z
ródła ciepła.
(ii). Bezwirowy ruch cieczy. Przypuśćmy, że w pewnym ograniczonym obszarze
występuje ruch cieczy nieściśliwej o prędkości v. Jeśli ruch cieczy jest bezwirowy, to
prędkość v ma potencjał �. Jeśli ponadto pole jest bez
ródłowe, to "� = 0. Podobnie
potencjał � ustalonego pola elektrycznego spełnia równanie Laplace a.
(iii). Pole elektrostatyczne. Przypuśćmy, że dane jest pole elektrostatyczne ładun-
ków stacjonarnych i niech �(x, y, z) oznacza gęstość objętościową ładunków. Można
pokazać, że potencjał elektrostatyczny pola � spełnia równanie "� = -4Ą�, tzn. rów-
nanie Poissona. Gdy brak jest ładunków przestrzennych, potencjał spełnia równanie
Laplace a.
W literaturze nietrudno znalez
ć wiele dalszych zjawisk które opisane są równa-
niami Laplace a lub Poissona (zob. np. [Feynman, Leighton, Sands, Feynmana wy-
kłady z fizyki])
94 Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe
7.2. Rozwiązanie podstawowe równania Laplace a
Zastosujemy tutaj dość typowy dla teorii równań różniczkowych sposób postępo-
wania. Najpierw znajdziemy stosunkowo proste rozwiązania równania wyjściowego, a
następnie  przy pomocy tego rozwiązania  będziemy konstruuować dalsze rozwiąza-
nia, które spełniają żądane warunki, np. początkowe lub brzegowe. Takie rozwiązanie
początkowe nazywamy rozwiązaniem podstawowym lub fundamentalnym.
Ponieważ równanie Laplace a jest symetryczne względem zmiennych, a w konse-
kwencji niezmiennicze względem obrotów, rozsądnym wydaje się szukać rozwiązań
radialnych, tzn. rozwiązań zależnych tylko od odległości od początku układu.
Spróbujemy zatem znalez
ć rozwiązanie równania (7.1) postaci

u(x1, . . . , xn) = v(r), gdzie r = x = x2 + . . . x2.
1 n
Zauważmy, że dla r = 0

"r xi
= , i = 1, . . . , n.
"xi r
Zatem
2
"u xi "u2 xi 1 x2
i
= v2 (r) , = v2 2 (r) + v2 (r) - , i = 1, . . . , n.
"xi r "x2 r r r3
i
Nietrudno teraz sprawdzić, że
n - 1
"u = v2 2 (r) + v2 (r).
r
Należy zatem rozwiązać równanie
n - 1
v2 2 (r) + v2 (r) = 0.
r
Stąd
A
v2 (r) = ,
rn-1
gdzie A jest dowolną stałą. Rozwiązując ostatnie równanie otrzymamy
ńł
A log r + B, dla n = 2;
�ł
v(r) =
ół
A
+ B, dla n e" 3,
rn-2
gdzie A i B są dowolnymi stałymi. Ze względu na dalsze zastosowania wygodnie jest

przyjąć B = 0, natomiast A = -1/(2Ą) dla n = 2 oraz A = 1/ n(n - 2)ą(n) dla
n e" 3, gdzie ą(n) oznacza objętość kuli jednostkowej w przestrzeni Rn. Przyjmujemy
zatem następującą definicje:
Definicja 7.1. Rozwiązaniem podstawowym równania Laplace a (7.1) nazywamy
funkcję
ńł
1
- log x , dla n = 2;
�ł
2Ą
Ś(x) =
ół
1 1
, dla n e" 3.
n(n-2)ą(n) x n-2
7.3. Równanie Poissona 95
Przykład 7.1. Dla n = 2 rozwiązanie podstawowe ma postać
1 1
Ś(x, y) = log .
2Ą
x2 + y2
Funkcję tę nazywamy również potencjałem logarytmicznym. Dla n = 3 rozwiązanie
podstawowe ma postać
1
Ś(x, y, z) = .
4Ą x2 + y2 + z2
Rozwiązanie to nosi też nazwę potencjału newtonowskiego.
Definicja 7.2. Funkcję klasy C2 w obszarze U, spełniającą w tym obszarze rów-
nanie Laplace a, nazywamy funkcją harmoniczną w U.
Funkcje harmoniczne posiadają wiele interesujących własności. Niektóre z nich po-
damy w sekcji 7.4. Istnieją też ścisłe związki między funkcjami harmonicznymi dwu
zmiennych a funkcjami analitycznymi jednej zmiennej zespolonej. Mianowicie, część
rzeczywista i część urojona funkcji analitycznej f(z) = u(x, y) + iv(x, y) zmiennej
zespolonej z = x + iy są funkcjami harmonicznymi (dokładniej funkcjami harmo-
nicznymi sprzężonymi). Na odwrót, mając daną funkcję harmoniczną, możemy ła-
two skonstruować odpowiadającą jej funkcję analityczną. Stąd też niektóre własności
funkcji harmonicznych są natychmiastową konsekwencją stosownych własności funkcji
zmiennej zespolonej i na odwrót.
7.3. Równanie Poissona
Zauważmy, że funkcja Ś dana wzorem (7.3) jest harmoniczna dla x = 0. Jeśli

początek układu przesuniemy do punktu y, to funkcja x Ś(x- y) jest harmoniczna
dla x = y. Zauważmy ponadto, że jeśli f : X R jest zadaną funkcją, to x

Ś(x-y)f(y) jest również funkcją harmoniczna dla x = y. Można by zatem oczekiwać,

że funkcja

u(x) = Ś(x - y) f(y)dy (7.3)
Rn
będzie rozwiązaniem równania (7.1). Okazuje się, że tak nie jest. Wynika to stąd, że
funkcja x Ś(x- y) ma osobliwość w punkcie x = y, a zatem nie możemy z operacją
różniczkowania wejść pod całkę. Pokażemy natomiast, że dla dostatecznie regularnej
funkcji f wzór (7.3) określa rozwiązanie równania Poissona.
Twierdzenie 7.1. Załóżmy, że funkcja f " C2(Rn) i jest równa zeru poza pewną
kulą (tzn. posiada nośnik zwarty). Niech u będzie dane wzorem (7.3). Wówczas
(i) u " C2(Rn);
(ii) "u = f w Rn.
96 Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe
Dowód. Ad (i). Podstawiając z = x - y w całce (7.3) otrzymamy

u(x) = Ś(z) f(x - z)dz. (7.4)
Rn
Niech ei = (0, . . . , 1, . . . , 0) będzie wektorem którego i-ta składowa jest równa 1 a
pozostałe 0. Mamy

u(x + hei) - u(x) f(x + hei - z) - f(x - z)
= Ś(z) dz.
h h
Rn
Przechodząc z h 0 otrzymamy

"u "f
= Ś(z) (x - z)dz.
"xi "xi
Rn
Analogicznie dostaniemy, że

"2u "2f
= Ś(z) (x - z)dz.
"x2 "x2
i i
Rn
Wynika stąd, że u " C2(Rn).
Ad (ii). Różniczkując wzór (7.4) otrzymamy

"u(x) = Ś(z) "xf(x - z)dz = I1 + I2, (7.5)
Rn
gdzie

I1 = Ś(z)"xf(x - z)dz, I2 = Ś(z)"xf(x - z)dz.
B(0,�) Rn\B(0,�)
(Symbol "x oznacza laplasjan względem zmiennej x).Ponieważ funkcja Ś ma osobli-
wość w punkcie 0, będziemy szacować całkę (7.4) w obszarach B(0, �) oraz Rn\B(0, �).
Nietrudno sprawdzić, że
ńł

C�2 log �, jeśli n = 2;
�ł

|I1| d" "xf " Ś(z) dy d"
ół
C�2, jeśli n e" 3,
B(0,�)
gdzie C jest stosownie dobraną stałą.
Przed przystąpieniem do szacowania całki I2 przypomnijmy dwa użyteczne w dal-
szym ciągu wzory:
"u
"u = grad u � grad u = "u � "u, = grad u � n = "u � n,
"n
7.3. Równanie Poissona 97
gdzie symbol  �  oznacza iloczyn skalarny, a n wektor normalny do powierzchni
całkowania.
Całkując I2 przez części zgodnie z wzorem (patrz dodatek), otrzymany

"f
I2 = Ś(z)"xf(x - z)dz = Ś(z) (x - z)dS(z)
"n
Rn\B(0,�) "B(0,�)

- "Ś(z) � "zf(x - z) dz.
Rn\B(0,�)
Połóżmy

"f
J1 = Ś(z) (x - z)dS(z), J2 = "Ś(z) � "zf(x - z) dz.
"n
"B(0,�) Rn\B(0,�)
Oszacujemy teraz całki J1 i J2. Nietrudno sprawdzić, że
ńł

C� log �, jeśli n = 2;
�ł
"f
|J1| d" " |Ś(z)|dS(z) d"
"n ół
C�, jeśli n e" 3,
"B(0,�)
gdzie C jest stosownie dobraną stałą. Wynika stąd, że J1 0 dla � 0.
Całkując ponownie przez części całkę J2, a następnie wykorzystując fakt, że "Ś(z) =
0 dla z = 0, otrzymujemy


"Ś(y)
J2 = "Ś(y)f(x - y)dy - f(x - y)dS(y)
"n
Rn\B(0,�) "B(0,�)

"Ś(y)
= - f(x - y)dS(y).
"n
"B(0,�)
Zauważmy, że na sferze B(0, �) wektor normalny n = z/ z = z/�, zatem
"Ś(z) 1 z z 1
= "Ś(z) � n = - � = - .
"n ną(n) z n � ną(n)�n-1
Wynika stąd, że

1
J2 = f(z)dS(z).
ną(n)�n-1
"B(0,�)
Ponieważ ną(n)�n-1 jest powierzchnią sfery jednostkowej w przestrzeni Rn, prawa
strona ostatniego wzoru określa średnią wartość funkcji f na sferze "B(0, �) i wobec
ciągłości funkcji f całka J2 dąży do f(x) gdy � 0 . Ponieważ I1 0 oraz J1 0
gdy � 0, teza twierdzenia jest natychmiastową konsekwencją równości (7.5).
98 Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe
7.4. Zasada maksimum
Twierdzenie 7.2. Niech D będzie otwartym ograniczonym podzbiorem przestrzeni
R2. Załóżmy, że funkcja u jest ciągła w D, posiada pochodne cząstkowe 2-go rzędu w
D i ponadto
"u = f w D,
u = g na "D,
gdzie f : D R, g : "D R są danymi funkcjami ciągłymi. Jeśli f e" 0, to funkcja
u osiąga maksimum na "D.
Proof. Załóżmy wpierw, że f > 0. Ponieważ D jest zbiorem zwartym, u jako
funkcja ciągła osiąga w tym zbiorze maksimum. Przypuśćmy, że maksimum to jest
osiągnięte w punkcie (x0, y0) " D. Oczywiście
"u "u "2u "2u
(x0, y0) = 0, (x0, y0) = 0, (x0, y0) d" 0, (x0, y0) d" 0.
"x "y "x2 "y2
W szczególności wynika stąd, że "(x0, y0) d" 0, co jest sprzeczne z założeniem, że
f(x0, y0) > 0. Zatem (x0, y0) " "D.
Przypuśćmy teraz, że f e" 0. Dla n " N rozważmy funkcję vn : D R daną
wzorem
vn(x, y) = u(x, y) + (x2 + y2)/n.
Oczywiście vn u w zbiorze D, oraz
"vn = "u + 4/n = 4/n > 0 w D.
Na mocy poprzedniej obserwacji vn osiąga maksimum na brzegu obszaru "D, po-
wiedzmy w punkcie (xn, yn). Ponieważ "D jest zbiorem zwartym, istnieje podciąg
{(xn , yn )}ke"1 ciągu {(xn, yn)}, zbieżny do pewnego punktu (x, ł) " "D.
�
k k
Niech (x, y) " D. Oczywiście
u(x, y) < u(x, y) + (x2 + y2)/nk = vn (x, y)
k
2
d" vn (xn , yn ) = u(xn , yn ) + (x2 + yn )/n
k k k k k nk k
Przechodząc z k " otrzymamy u(x, y) d" u(x, ł). Ponieważ (x, y) jest dowolnym
�
punktem w D, teza twierdzenia 7.2, wynika natychmiast.
Przykład 7.2. Rozważmy równanie "u = 0 w kole jednostkowym x = � cos �, y =
� sin �, 0 d" � d" 1, 0 d" � < 2Ą z warunkiem brzegowym u(1, �) = sin � dla 0 d" � < 2Ą.
Zgodnie z twierdzeniem 7.2 rozwiązanie naszego problemu przyjmuje wartość maksy-
malną na brzegu okręgu. Wynika stąd, że -1 d" u(x, y) d" 1.
Uwaga 7.1. Jeśli obszar D nie jest ograniczony, teza twierdzenia 7.2 nie musi
zachodzić. Istotnie, funkcja u = ey sin x jest harmoniczna w obszarze D = {(x, y) :
o < x < Ą, y > 0}, ale w oczywisty sposób nie osiąga maksimum na brzegu tego
obszaru.
Uwaga 7.2. Zauważmy, że dowód twierdzenia 7.2 pozostaje ważny dla przypadku
gdy u jest funkcją n zmiennych. W rozdziale 9 pokażemy, że zasada maksimum za-
chodzi również dla dość szerokiej klasy równań eliptycznych i parabolicznych.
7.5. Własność wartości średniej funkcji harmonicznej 99
7.5. Własność wartości średniej funkcji harmonicznej
Niech U �" Rn będzie zbiorem otwartym i niech f będzie funkcją harmoniczną w
U. Wówczas dla dowolnego x " U oraz kuli B(x, r) �" U, wartość u(x) jest równa
średniej wartości funkcji u na sferze "B(x, r) oraz średniej wartości funkcji u na kuli
B(x, r).
Twierdzenie 7.3. (Własność wartości średniej). Jeśli u " C2(D) jest funkcją
harmoniczną, to

1 1
u(x) = u dS = u dy, (7.6)
Sr Vr
"B(x,r) B(x,r)
dla dowolnej kuli B(x, r) �" U, gdzie Sr oznacza powierzchnię a Vr objętość kuli
B(x, r).
Proof. Połóżmy

1
�(r) = u(y) dS(y). (7.7)
Sr
"B(x,r)
Podstawiając y = x + rz otrzymamy

1
�(r) = u(x + rz) dS(z).
S1
"B(0,1)
Różniczkując ostatni wzór względem r a następnie wracając do zmiennych wyj-
ściowych otrzymamy

1
�2 (r) = "u(x + rz) � z dS(z)
S1
"B(0,1)

1 y - x 1 "u
= "u(y) � dS(y) = (y)dS(y),
Sr r Sr "n
"B(x,r) "B(x,r)
y-x
gdzie n oznacza wektor normalny do powierzchni "B(x, r), czyli n = . Po zasto-
r
sowaniu twierdzenia Greena do ostatniej całki otrzymamy

1
�2 (r) = "u(y) dy = 0,
Sr
B(x,r)
bowiem "u = 0. Oznacza to, że � jest funkcją stałą. Przechodząc z r 0 w prawej
stronie wzoru (7.7) otrzymamy u(x), co oznacza, że �(r) = u(x), dla dowolnego r > 0,
takiego, że B(x, r) �" U. Oznacza to, że w (7.6) pierwsza równość jest spełniona.
Z kolei po przejściu na współrzędne biegunowe otrzymamy

r r r
u(y) dy = udS ds = �(s)Ss ds = u(x) Ss ds = Vru(x),
0 0 0
B(x,r) "B(x,s)
co daje drugą równość we wzorze (7.6) i kończy dowód.
100 Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe
7.6. Rozwiązanie podstawowe równania przewodnictwa
cieplnego
Równanie przewodnictwa cieplnego, zwane też równaniem dyfuzji, opisuje w jaki
sposób zmienia się w czasie gęstość u pewnej wielkości, np. ciepła lub stężenia chemicz-
nego. Przykłady zjawisk które możemy opisać tego typu równaniem zostały podane
w rozdziale 2.
Rozważmy przypadek jednorodnego równania przewodnictwa cieplnego
ut = "u, (7.8)
n "2
gdzie u : Rn R, t > 0, x = (x1, . . . , xn) " U, a symbol " = oznacza
i=1
"x2
i
operator Laplace a (laplasjan).
Chociaż zaproponowaną poniżej metodę można bez żadnych istotnych zmian sto-
sować dla dowolnego n e" 1, dla uproszczenia zapisu ograniczymy się do n = 1, czyli
do równania
ut = a2uxx, x " R (7.9)
Zauważmy, że jeśli funkcja u = u(x, t) jest rozwiązaniem równania (7.9), to również
funkcja u = u(x, 2t), dla dowolnego  " R, jest również rozwiązaniem równania
(7.9). Nasuwa się stąd pomysł, aby szukać rozwiązań wzdłuż krzywych wyznaczonych
przez ten stosunek, czyli rozwiązań postaci

x2
u(x, t) = v . (7.10)
t
Prosty rachunek daje
x
2
x2 x2 2x
ut = v2 - , ux = v2
t t2 t t

x2 4x2 x2 2
uxx = v2 2 + v2 .
t t2 t t
Podstawiając uzyskane wielkości do równania (7.9) otrzymamy

4x2 x2 x2 x2 2 x2
v2 2 + v2 + v2 = 0.
t2 t t2 t t t
Kładąc z = x2/t otrzymamy
4zv2 2 (z) + (2 + z)v2 (z) = 0.
Rozwiązując ostatnie równanie otrzymujemy
z
1
"
v(z) = A e-s/4ds + B.
s
0
Zatem funkcja
x2/t

1
"
u(x, t) = A e-s/4ds + B, (7.11)
s
0
7.7. Problem początkowy dla równania ciepła 101
gdzie A i B są dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem równania (7.9) dla x " R oraz
t > 0. Rozwiązanie to ma dość niewygodną postać całkową. Różniczkując funkcje
(7.11) względem zmiennej x otrzymamy
"u 2A x2
4t
u(x, t) = (x, t) = e- .
"
"x
t
Oczywiście tak uzyskana funkcja jest również rozwiązaniem równania (7.9) w zbiorze
D = {(x, t) : x " R, t > 0}. Wygodnie jest  co będzie widać z dalszych rozważań 
"
przyjąc A = 1/(4 Ą). Funkcję
ńł
x2
�ł
"1
�ł e- 4t
, jeśli x " R, t > 0;
4Ąt
Ś(x, t) = (7.12)
�ł
ół
0, jeśli x " R, t < 0,
nazywamy rozwiązaniem podstawowym równania (7.9). Zauważmy, że dla t = 0 funkcja
Ś ma osobliwość, ponadto w punktach (0,t) jest nieciągła.
Dla n > 2 przez rozwiązanie podstawowe równania (7.8) rozumiemy funkcję
ńł
x 2
1
�ł
"
�ł e- 4t
, jeśli x " Rn, t > 0;
( 4Ąt)n
Ś(x, t) = (7.13)
�ł
ół
0, jeśli x " Rn, t < 0,

gdzie x = x2 + . . . + x2 .
1 n
Zauważmy na koniec, że dobór stałej A jest podyktowany następującym faktem
Lemat 7.1. Dla każdego t > 0

Ś(x, t)dx = 1.
Rn
Dowód. Istotnie

x 2
1
4t
Ś(x, t)dx = " n e- dx
4Ąt
Rn Rn

"
x2 x2 n
1 1 n 1
4t 4t
= " n e- dx1 � . . . � e- dxn = " n 4Ąt = 1
4Ąt 4Ąt
R R
7.7. Problem początkowy dla równania ciepła
Skonstruowane w poprzedniej sekcji rozwiązanie podstawowe równania ciepła wy-
korzystamy teraz dla znalezienia rozwiązania problemu Cauchy ego, czyli problemu
początkowego
ut - "u = 0 dla (x, t) " Rn � (0, "),
u(x, 0) = g(x) dla x " Rn,
102 Rozdział 7. Rozwiązania podstawowe
gdzie g jest zadaną funkcją. Przypomnijmy, że dla t = 0 funkcja Ś dana wzorem (7.13)

jest rozwiązniem równania (7.8). Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnie ustalonego
z " Rn również funkcja (x, t) Ś(x - z, t) jest rozwiązaniem równania (7.8) dla
t = 0.

Rozważmy teraz funkcję u : Rn � (0, ") Rn daną wzorem

x-z 2
1
4t
u(x, t) = Ś(x - z, t)g(z)dz = " n e- g(z)dz. (7.14)
4Ąt
Rn Rn
Twierdzenie 7.4. Załóżmy, że g " C(Rn))"L"(Rn). Niech funkcja u będzie dana
wzorem (7.14). Wówczas:

(i) u " C" Rn � (0, ") ;
(ii) ut - "u = 0 w Rn � (0, ");
(iii) lim(x,t)(x0 u(x, t) = g(x0, 0).
, 0+)

2
Dowód. Ad (i). Ponieważ dla dowolnego � > 0 funkcja 1/ tn/2 e- x /(4t) jest
klasy C" w zbiorze Rn (�, 1/�), a jej pochodne są jednostajnie ograniczone, zatem
�
u " C" Rn � (�, 1/�) . Ponieważ � > 0 było dowolne, funkcja u jest klasy C" w
zbiorze Rn � (0, ")
Ad(ii). Ponieważ funkcja Ś jest rozwiązaniem równania (7.8), zatem


ut(x, t) - "u(x, t) = Śt - "xŚ (x - zt)g(z)dz = 0 dla x " Rn, t > 0.
Rn
Ad (iii). Niech x0 " Rn oraz � > 0. Dobierzmy � > 0 tak, aby

g(x) - g(x0) < � dla x " B(x0, �).
Korzystając z lematu 7.1 mamy


u(x, t) - g(xo) = Ś(x - z, t) g(z) - g(xo) dz.
Rn
Połóżmy


I1 = Ś(x - z, t) g(z) - g(xo) dz,
B(xo,�)


I2 = Ś(x - z, t) g(z) - g(xo) dz.
Rn\B(xo,�)
Uwzględniając lemat 7.1 otrzymamy

I1 d" � Ś(x - z, t) dz d" �.
B(xo,�)
7.7. Problem początkowy dla równania ciepła 103
Zauważmy, że jeśli x - xo d" �/2 oraz z - xo > �, to
z - xo d" |z - x + x - xo < z - x + �/2 d" z - x + z - xo /2
i w konsekwencji
1
z - x e" z - xo .
2
Zatem, jeśli x - xo < �/2, to

"
|I2| d" 2 g L Ś(x - z, t) dz
Rn\B(xo,�)

z-x 2 z-xo 2
C C
4t 16t
= e- dz d" e- dz,
tn/2 tn/2
Rn\B(xo,�) Rn\B(xo,�)
"
"
gdzie C = 2 g L /( 4Ą)n. Zauważmy, że prawa strona ostatniej nierówności dąży
do zera gdy t ". Zatem dla t dostatecznie dużych oraz x - xo < �/2 mamy
|u(x, t) - g(xo)| d" |I1| + |I2| < 2�.
Ponieważ � > 0 było dowolne, warunek (iii) został pokazany.