Równania różniczkowe cz¸
astkowe
Bogdan Przeradzki
4 kwietnia 2008
Literatura
1. A. W. Bicadze ,,Równania fizyki matematycznej
2. A. W. Bicadze, D.F. Kaliniczenko ,,Zbiór zadań z równań fizyki
matematycznej
3. D. Bleecker, G. Csordas ,,Basic Partial Differential Equations
4. L. C. Evans ,,Równania różniczkowe czastkowe
5. S. Farlow ,,Partial Differential Equations for Scietists & Engineers
(jest przekl.rosyjski)
6. H. Marcinkowska ,,Wstep do teorii równań różniczkowych czastkowych
7. J. Ombach ,, Wyklady z równań różniczkowych
8. B. Przeradzki ,,Równania różniczkowe czastkowe  wybrane zagadnie-
nia
1 y
ródla przyrodnicze równań różniczkowych
czastkowych
1) Równanie przewodnictwa cieplnego (albo dyfuzji)
ut = a2"u + f(t, x),
n
gdzie a > 0, "u := ux xi operator Laplace a, f : R × Rn R dana
i=1 i
funkcja ciagla, a symbolami ut, ux , ux xi oznaczamy pochodne czastkowe
i i
funkcji u zmiennych t, x1, . . . , xn. Funkcja u jest tu temperatura ciala zmie-
niajaca sie w czasie t i w przestrzeni (x1, x2, x3) (n = 3), stala a zależy od
wspólczynnika przewodnictwa cieplnego. W wersji opisujacej dyfuzje pewnej
substancji u jest jej steżeniem w chwili t w danym punkcie x " R3. Funkcja
f opisuje zewnetrzne z
ródlo ciepla lub wspomnianej substancji.
2) Równanie falowe
utt = c2"u + f(t, x),
gdzie c > 0 jest stala, pozostale oznaczenia jak wyżej, opisuje rozchodze-
nie sie drgań np. struny (n = 1), membrany (n = 2), lub ośrodka 3-
wymiarowego. W pierwszych dwóch przypadkach u oznacza wychylenie od
polożenia równowagi, w trzecim u jest gestościa ośrodka. f oznacza sile
1
zewnetrzna  z
ródlo dz
wieku. Stala c zależy od wlasności ośrodka (struny,
membrany) okazuje sie póz
niej predkościa rozchodzenia sie zaburzenia. Wy-
prowadzenie równań opiera sie na zasadach mechaniki Newtona (por. [5,8]).
3) Równanie Laplace a i Poissona
"u = 0 "u = f(x).
Opisuja nateżenia pola grawitacyjnego lub elektrycznego w próżni ze z
ródlem
f. Sa też równaniami opisujacymi stacjonarne (niezależne od czasu) rozwiazania
poprzednich równań. Czesto do nich da ża przy t " pozostale rozwiazania
równania ciepla czy falowego.
WymieÅ„my jeszcze: równanie Schrödingera  opis stanu ukladu kwanto-
wego, równanie ciaglości  opisuje przemieszczanie sie np. masy, równania
Maxwella  pole elektromagnetyczne, równania nieliniowe takie jak Monge a-
Ampere a, Kortevega-deVriesa, Sine-Gordona, Burgersa, Naviera-Stokesa 
przeplyw cieczy lub gazu. Wymieńmy jeszcze równanie Blacka-Scholesa
1
ut + Ã2s2uss + rsus - ru = 0
2
 sluży do wyceny tzw. instrumentów pochodnych w matematyce finansowej,
u jest funkcja zmiennych t i s.
Rzad równania różniczkowego = rzad najwyższej pochodnej czastkowej
niewiadomej funkcji u wystepujacej w równaniu.
2 Równanie liniowe i quasi liniowe rzedu pierw-
szego
Równanie liniowe rzedu 1:
n
ai(x)ux + b(x)u = f(x). (1)
i
i=1
ai, b, f : Rn ƒ" U R  dane funkcje ciagle. JeÅ›li prawa strone równania
oznaczymy przez Lu, wtedy L jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni
funkcji klasy C1(U) w przestrzeń funkcji ciaglych C(U).
Równaniem charakterystycznym dla (1) nazywamy równanie różniczkowe
zwyczajne
x = a(x),
gdzie a : U Rn jest polem wektorowym o wspólrzednych ai, i = 1, . . . , n,
a jego trajektorie nazywamy charakterystykami równania (1). Jeśli znamy
calke pierwsza F równania charakterystycznego, wówczas z definicji
n
ai(x)Fx (x) = 0.
i
i=1
2
Jak wiemy z wykladu z równań różniczkowych zwyczajnych, istnieje (lokalnie
w otoczeniu punktu x0 takiego, że a(x0) = 0) dokladnie n - 1 niezależnych

calek pierwszych F1, . . . , Fn-1
rz [Fi,x (x)]id"n-1,jd"n = n - 1.
j
Wyznaczaja one charakterystyki. Dowolnym rozwiazaniem równania
n
ai(x)ux = 0
i
i=1
jest wtedy funkcja
u(x) = Åš(F1(x), . . . , Fn-1(x)),
gdzie Åš jest dowolna funkcja klasy C1 n - 1 zmiennych.
Przejdz
my do dowolnego równania (1). Niech t x(t) bedzie rozwiazaniem
równania charakterystycznego i niech u bedzie rozwiazaniem (1). Różniczkujac
funkcje zlożona Õ(t) := u(x(t)) dostajemy
n
Õ (t) = ux (x(t)) · x i(t) = -b(x(t))Õ(t) + f(x(t)).
i
i=1
Zatem Õ jest rozwiazaniem równania zwyczajnego
Ü Ü
v + b(t)v = f(t),
Ü Ü
gdzie b = b ć% x, f = f ć% x  jest to też równanie liniowe. Znajac wartość
rozwiazania w jednym punkcie charakterystyki u(x(t0)) = v0 możemy uzy-
skać wartości rozwiazania równania (1) wzdluż calej charakterystyki.
Odpowiednikiem warunku poczatkowego dla równania zwyczajnego jest
tu tzw. zagadnienie poczatkowe (Cauchy ego) polegajace na poszukiwaniu
rozwiazania równania (1) t.ż
u|“ = È,
gdzie “ jest hiperpowierzchnia klasy C1 n - 1-wymiarowa zawarta w U, a
È : “ R jest zadana funkcja ciagla. Powyższe rozumowanie pokazuje,
że charakterystyki równania nie moga być styczne w żadnym punkcie do
hiperpowierzchni “.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja a : U Rn jest lipschitzowsko ciagla,
a hiperpowierzchnia “ przecina dowolna charakterystyke w co najwyżej jed-
nym punkcie i a(x) " Tx“ (Tx“  przestrzeÅ„ styczna do “ w punkcie x), to
/
zagadnienie poczatkowe
n
ai(x)ux + b(x)u = f(x), u|“ = È
i
i=1
posiada dokladnie jedno rozwiazanie okreÅ›lone w pewnym otoczeniu “.
3
JeÅ›li sparametryzujemy lokalnie “ przy pomocy funkcji
Rn-1 ƒ" V s (s) " “,
i t x(t, s) jest rozwiazaniem równania charakterystycznego z warunkiem
poczatkowym x(0, s) = (s), to funkcja zlożona Ś(t, s) = u(x(t, s)) spelniajaca
Ü Ü
równanie v + b(t)v = f(t) wzgledem t gwarantuje Ś(0, s) = u((s)) =
È((s)). Wystarczy wiec rozwiazać równanie
Ü Ü
Åšt + B(t, s)Åš = f(t, s)
z warunkiem poczatkowym Åš(0, s) = È((s)).
Omówimy teraz znacznie ogólniejsza klase równań tzw. równania quasi-
liniowe. Ogólna teoria równań nieliniowych - p. Evans.
Równaniem quasiliniowym rzedu I nazywamy równanie
n
ai (x, u) ux = b (x, u) . (2)
i
i=1
Jest ono nieliniowe, o ile b lub ai zależa od u , ale traktujac lewa strone jako
funkcje u = [ux ]id"n widzimy, że jest ona liniowa.
i
Niech u : U R bedzie pewnym rozwiazaniem. Wówczas wektorem
prostopadlym do wykresu funkcji u, czyli n-wymiarowej hiperpowierzchni
Graph (u) = {(x, u (x)) : x " Rn} ‚" Rn × R = Rn+1
w punkcie x jest
[ux (x) , ..., ux (x) , -1] .
1 n
Równanie (2) oznacza wiec, że ten wektor jest prostopadly do wektora
[a1 (x, u(x)) , ..., an (x, u(x)) , b (x, u (x))] . (3)
Ale stad wektor (3) jest styczny do wykresu funkcji u. Taka sytuacje napo-
tkaliśmy już wcześniej dla równań liniowych. Możemy wiec wnioskować, że
wykres rozwiazania sklada sie z trajektorii równania różniczkowego zwyczaj-
nego:
x i = ai (x, u) , i = 1, ..., n,
(4)
u = b (x, u) .
w przestrzeni (n + 1)-wymiarowej. Równanie to pelni analogiczna role,
jak równanie charakterystyczne dla równań liniowych z tym, że dowolna
calka pierwsza F równania (4) daje postać uwiklana funkcji u spelniajacej
równanie quasiliniowe (2): F (x, u) = 0. Znajac n calek pierwszych F1, ...,
Fn spelniajacych warunek niezależności
rz [Fj,x (x, u) , Fj,u (x, u)]id"n,jd"n = n
i
4
możemy podać postać dowolnej calki pierwszej
Åš (F1 (x, u) , ..., Fn (x, u)) = 0, (5)
gdzie Ś jest dowolna funkcja klasy C1. Wzór (5) opisuje wiec rodzine wszyst-
kich rozwiazań równania quasiliniowego (2).
3 Klasyfikacja równań liniowych rzedu dru-
giego
Niech &! ‚" Rn bedzie zbiorem otwartym. Rozważmy równanie
n n
Lu := aij (x) ux xj + bi (x) ux + c (x) u = f (x) , (6)
i i
i,j=1 i=1
gdzie aij, bi, c, f : &! R sa danymi funkcjami ciaglymi. Równanie to nazy-
wamy liniowym, ponieważ dla dowolnych funkcji klasy C2  u1, u2 i Ä…, ² " R
mamy
L (Ä…u1 + ²u2) = Ä…Lu1 + ²Lu2.
Przez rozwiazanie równania (6) rozumiemy funkcje klasy C2 spelniajaca
równanie dla wszystkich x z dziedziny u.1 Zbiór rozwiazań równania jed-
norodnego Lu = 0 tworzy z oczywistych powodów przestrzeń liniowa. Majac
wszystkie rozwiazania równania jednorodnego i jedno rozwiazanie u0 spelniajace
Lu0 (x) = f (x) możemy znalez
ć wszystkie rozwiazania równania (6). Sa one
postaci u + u0, gdzie Lu (x) = 0. Możemy zakladać, że aij (x) = aji (x).
Sklasyfikujemy równania liniowe rzedu drugiego. Klasyfikacja zależy od
wyboru punktu x " &! i jedynie od cześci zawierajacej pochodne rzedu dru-
giego. Utwórzmy forme kwadratowa w Rn.
n
› (x) ·  = aij (x) ij,  = (1, ..., n) " Rn. (7)
i,j=1
Forma ta jest wyznaczona przez zadanie macierzy wspólczynników A :=
[aij]i,jd"n, która jest macierza symetryczna AT = A. Odpowiada ona wyborowi
bazy standardowej w Rn. Przypomnijmy z algebry:
dla dowolnej formy kwadratowej istnieje taka baza w Rn, że macierza
tej formy w nowej bazie jest diagonalna tzn. jedynie na glównej przekatnej
znajduja sie wyrazy różne od 0. W jezyku macierzy oznacza to, że istnieje
nieosobliwa macierz S (opisujaca przejście od bazy standardowej do nowej)
taka, że
ST " A " S = A
1
Nie jest to jedyna możliwość. We wspólczesnych podrecznikach rozważa sie cześciej
rozwiazania silne (spelniajace równanie prawie wszedzie) i rozwiazania slabe (dystrybu-
cyjne).
5
jest macierza diagonalna. Odpowiednio wybieraja dlugości wektorów bazo-
wych możemy doprowadzić do tego, że na glównej przekatnej pozostana jedy-
nie +1, -1 i 0. Postać formy kwadratowej przy takiej macierzy wspólczynników
jest nazywana postacia kanoniczna:
d d+u
›(1, . . . , n) = 2 - 2.
i i
i=1 i=d+1
Sygnatura formy kwadratowej nazywamy trójke liczb naturalnych (d, u, n -
d - u). Pierwsza wspólrzedna sygnatury jest wiec liczba +1 w postaci kano-
nicznej, druga liczba -1, a trzecia liczba 0.
Mówimy, że równanie (6) jest eliptyczne w punkcie x " &!, jeśli sygna-
tura formy (7) jest (n, 0, 0) lub (0, n, 0), że jest hiperboliczne w punkcie x,
jeśli sygnatura ta jest (n - 1, 1, 0) lub (1, n - 1, 0), wreszcie, że jest para-
boliczne w punkcie x, jeśli sygnatura wynosi (n - 1, 0, 1) lub (0, n - 1, 1).
Oczywiście ta klasyfikacja nie wyczerpuje wszystkich możliwych sygnatur,
ale pozostale przypadki sa gorzej zbadane, a ich znaczenie fizyczne jest pra-
wie żadne. Polaczenie równań z sygnaturami (n, 0, 0) i (0, n, 0) w jedna klase
(i tak samo dla innych par) wynika z prostej obserwacji, że równania Lu = f
i -Lu = -f sa takie same, a odpowiadajace im sygnatury tworza dana pare.
Zobaczmy, co stanie sie z naszym równaniem, gdy zastosujemy zamiane
zmiennych, a wiec dyfeomorfizm ¾ = ¾ (x). Bedziemy przy tym zajmować
sie jedynie cześcia zawierajaca najwyższe (rzedu 2) pochodne funkcji u .
Polóżmy u = v ć% ¾, aij (¾ (x)) = aij (x). Mamy
ux = v¾ · ¾k,x ,
i k i
k
ux xj = v¾ ¾l · ¾l,x · ¾k,x + v¾ ¾k,x xj .
i k j i k i
k l
Drugi skladnik zawiera tylko pochodne rzedu I nowej niewiadomej funkcji
v = v (¾). Dla równania przeksztalconego forma (7) przyjmuje postać
n n
› (¾) ·  = aij (¾) ¾k,x ¾l,x kl,
i j
k,l=1 i,j=1
wyrażenie w nawiasie jest wspólczynnikiem przy v¾ ¾l. W notacji macierzo-
k
n
wej A (x) = [aij (x)], A (¾) = aij (¾) ¾k,x ¾l,x , S = ¾l,x
i j j
i,j
i mamy A (¾ (x)) = ST · A (x) · S. JeÅ›li S jest macierza ortogonalna, to
ST = S-1 i po zmianie zmiennych macierz wspólczynników formy kwa-
dratowej (7) zamienia sie na macierz podobna. Przy takim przeksztalceniu
wartości wlasne macierzy A nie ulegna zmianie. W szczególności można tak
6
wybrać macierz S, by macierz A byla diagonalna, a na jej glównej przekatnej
wystepowaly wartości wlasne A.
Równanie Laplace a jest oczywiście eliptyczne w każdym punkcie  postać
formy kwadratowej jest kanoniczna w bazie standardowej. Równanie falowe
należy ropatrywać w Rn+1. Dodatkowa n + 1-sza wspólrzedna jest czas t.
Zatem postacia formy kwadratowej w każdym punkcie jest
n
2 - 2
i n+1
i=1
co oznacza, że jest to równanie hiperboliczne w dowolnym punkcie.
Wreszcie równanie przewodnictwa cieplnego (także w Rn+1) prowadzi do
formy
n
2 + 0 · 2 ,
i n+1
i=1
wiec jest paraboliczne.
Równania moga mieć różny typ w różnych punktach. Dla przykladu
równanie Tricomiego
yuxx + uyy = 0
w R2 jest eliptyczne w pólplaszczyz
nie y > 0, hiperboliczne w pólplaszczyz
nie
y < 0 i paraboliczne w punktach prostej y = 0. Równania o zmieniajacym
sie typie sa mniej zbadane.
Jeśli wiemy, że w danym punkcie równanie jest danego typu eliptycznego
lub hiperbolicznego, to w otoczeniu tego punktu pozostaje tego samego typu.
Powstaje pytanie, czy można dobrać dyfeomorfizm ¾ = ¾ (x) sprowadzajacy
to równanie w otoczeniu tego punktu do postaci kanonicznej, tzn. takiej, w
której cześć zawierajaca pochodne rzedu drugiego ma postać "u w przypadku
eliptycznym i utt - "u w przypadku hiperbolicznym. Odpowiedz
dla n > 2
jest negatywna, a dla n = 2  pozytywna.
4 Charakterystyki
Niech hiperpowierzchnia “  (n-1)-wymiarowa klasy C1 w &!  bedzie zadana
w postaci
“ = {x " &! : F (x) = 0} ,
gdzie F : &! R jest klasy C1 i rz[F (x)] = 1 dla x " “. Mówimy, że “ ma
orientacje charakterystyczna w punkcie x0 dla równania (6), jeśli
aij (x0) Fx (x0) Fx (x0) = 0. (8)
i j
i,j
7
Mówimy, że “ jest charakterystyka równania (6), jeÅ›li w każdym punkcie
x " “ ma orientacje charakterystyczna.
Zobaczymy dwukrotnie, jaka role pelnia charakterystyki w teorii równań
liniowych rzedu II.
Przypuśćmy, że dana jest hiperpowierzchnia “ = {x : F (x) = 0} majaca
w punkcie x0 orientacje charakterystyczna. Wówczas choć jedna z pochod-
nych czastkowych Fx (x0) = 0. Przyjmijmy dla ustalenia uwagi, że Fx (x0) =

i n
0. Wówczas odwzorowanie: ¾i = xi dla i = 1, ..., n - 1, ¾n = F (x1, ..., xn)
ma w punkcie x0 wlasność det ¾ (x0) = Fx (x0) = 0. Na mocy twierdzenia

n
o lokalnej odwracalnoÅ›ci ¾ jest dyfeomorfizmem otoczenia punktu x0 na oto-
czenie punktu ¾0 = ¾ (x0). Zobaczmy jak zmieni sie cześć glówna równania
Lu = f (x), czyli skladniki zawierajace pochodne rzedu drugiego niewiadomej
funkcji, przy tej zmianie zmiennych. Mamy
n
aij (¾) ¾k,x ¾l,x v¾ ¾l.
i j k
k,l=1 i,j
Dla k d" n - 1, ¾k,x = ´ki (symbol Kroneckera równy 1 dla k = i i równy 0
i
dla k = i), natomiast dla k = n, ¾n,x = Fx . W rezultacie cześć glówna po

i i
przeksztalceniu ma postać
n-1 n-1 n
akl (¾) v¾ ¾l + 2 ail (¾) Fx (x) v¾ ¾l
k i n
k,l=1 l=1 i=1
n
+ aij (¾) Fx (x) Fx (x) v¾ ¾n.
i j n
i,j=1
Ten ostatni skladnik znika na mocy definicji charakterystyki. Znajomość
jd"n
kilku charakterystyk o wlasności rz Fi,x (x0) = r w punktach x0 "
j
i=1,...,r
r
“i, gdzie “i = {x : Fi (x) = 0} , pozwala wyeliminować (lokalnie) skladniki
i=1
zawierajace v¾ ¾i, i = 1, ..., r. W sytuacji ekstremalnej, gdy znamy n ta-
i
kich charakterystyk, że det Fi,x (x0) = 0, można po podstawieniu

j
i,jd"n
¾i = Fi (x), i = 1, ..., n, calkowicie wyeliminować wyrazy zawierajace v¾ ¾i,
i
i = 1, ..., n, i pozostana tylko pochodne mieszane. W szczególności równanie
aij (¾) v¾ ¾j = 0
i
i =j
można w sposób jawny rozwiazać; rozwiazaniami sa wszystkie funkcje postaci
n
v (¾) = gi (¾i) ,
i=1
gdzie gi jest funkcja zmiennej rzeczywistej klasy C1.
8
Wróćmy teraz do zamiany zmiennych w równaniu Lu = f (x), którego
jedna charakterystyke znamy. Funkcja G (¾) = ¾n ma wlasność
n-1 n-1 n
akl (¾) G¾ (¾) G¾ (¾) + 2 ail (¾) Fx (¾) G¾ G¾ = 0,
k l i n l
k,l=1 l=1 i=1
bowiem G¾ = 0 dla l d" n - 1. Zatem hiperplaszczyzna (n - 1)-wymiarowa
l
{¾ : ¾n = 0} jest charakterystyka przeksztalconego równania. Zamiana zmien-
nych zgodnie z funkcja opisujaca charakterystyke ,,prostuje te charaktery-
styke.
Równanie 8 nazywa sie równaniem charakterystyk równania liniowego
rzedu drugiego  jego rozwiazania opisuja charakterystyki równania. Dokladniej,
charakterystyki sa poziomicami wspomnianych rozwiazań.
Zauważmy, że na wektorze prostopadlym do charakterystyki w danym
punkcie znika forma › (x0):
› (x0) · (Fx (x0)) = aij (x0) Fx (x0) Fx (x0) = 0.
i i j
i,j
Stad otrzymujemy natychmiast, że
 równanie eliptyczne nie posiada charakterystyk;
 dla równania parabolicznego w danym punkcie kierunek prostopadly do
charakterystyki jest jednoznacznie określony;
 dla równania hiperbolicznego w danym punkcie kierunki prostopadle do
charakterystyki tworza hiperpowierzchnie (n - 1)-wymiarowa (stożek).
Aby uzasadnić dwa ostatnie zdania, sprowadzamy forme › (x0) do postaci
n-1
kanonicznej. Warunek ›· = 2 = 0 oznacza, że i = 0 dla i = 1, ..., n-1,
i
i=1
n-1
a n jest dowolne, natomiast z warunku › ·  = 2 - 2 = 0 dostajemy
i n
i=1
1/2
n-1
n = ą 2 . Powstaje hipoteza, że dla równania parabolicznego w
i
1
danym obszarze przez każdy punkt tego obszaru przechodzi dokladnie jedna
charakterystyka. Nie dysponujemy środkami (w tym skrypcie) do weryfikacji
tej hipotezy.
Latwo znajdujemy charakterystyki równania przewodnictwa cieplnego:
ut = ą2"u. Równaniem charakterystyk jest
n
2
Fx (x, t) = 0,
i
i=1
skad Fx = 0 dla i = 1, ..., n, i w rezultacie F nie zależy od zmiennych prze-
i
strzennych x. Charakterystykami sa hiperpowierzchnie “c = {(x, t) " Rn+1 : F (t) = C}
9
czyli t = const. Znalezienie charakterystyk n-wymiarowego równania falo-
wego utt = c2"u wymagaloby rozwiazania równania różniczkowego czastkowego
rzedu pierwszego:
n
2
Ft2 = c2 Fx . (9)
i
i=1
Potrafimy to zrobić jedynie dla n = 1: Ft = ącFx.
Rozwiazaniami sa funkcje F (x, t) = Åš (x + ct) lub Åš (x - ct).
Stad charakterystykami sa proste x + ct = a, x - ct = a, gdzie a " R.
Przez każdy punkt plaszczyzny (x, t) przechodza wiec dokladnie dwie cha-
rakterystyki.
Zajmiemy sie teraz równaniami liniowymi rzedu 2 na plaszczyz
nie:
a (x, y) uxx + 2b (x, y) uxy + c (x, y) uyy + R (x, y, u, u ) = 0, (10)
gdzie, a, b, c : &! R sa klasy C1, &! ‚" R2. Interesuje nas tylko cześć
glówna (wyrazy zawierajace pochodne rzedu 2), stad skrótowe oznaczenie R
na pozostale wyrazy. Wiadomo, że w ustalonym punkcie (x0, y0) równanie
to jest jednego z trzech typów: hiperboliczne, paraboliczne lub eliptyczne w
zależności od tego, czy wyróżnik
" (x0, y0) = b2 (x0, y0) - a (x0, y0) c (x0, y0) (11)
jest dodatni, zerowy lub ujemny.
Jeżeli " (x0, y0) > 0, wówczas w pewnym otoczeniu tego punktu nadal
" > 0, czyli równanie pozostaje hiperboliczne. W tym otoczeniu równanie
charakterystyk
2 2
aFx + 2bFxFy + cFy = 0 (12)
można zapisać w postaci (rozklad na iloczyn)
" "
b + " b - "
a Fx + Fy Fx + Fy = 0.
a a
Mamy wiec alternatywe równań liniowych rzedu 1
"
aFx + b + " Fy = 0,
"
aFx + b - " Fy = 0.
Pozostaje wiec znalez
ć po jednej calce pierwszej dla równań rózniczkowych
zwyczajnych:
x = a (x, y) x = a (x, y)
, .
y = b (x, y) + " (x, y) y = b (x, y) - " (x, y)
10
Zauważmy, że te calki pierwsze  odpowiednio oznaczone Ś+ i Ś-  sa
rozwiazaniami równania charakterystyk. Na podstawie wcześniejszego ro-
zumowania stwierdzamy, że podstawienie
¾ = Åš+ (x, y) ,
· = Åš- (x, y) ,
v (¾, ·) = u ć% (Åš+, Åš-)-1 (¾, ·) tam, gdzie odwzorowanie (Åš+, Åš-)-1 istnieje,
redukuje wspólczynniki przy v¾¾ i v·· do zera. Odwzorowanie (Åš+, Åš-) prze-
ksztalca dyfeomorficznie pewne otoczenie dowolnego punktu (x1, y1) na oto-
czenie punktu (Åš+ (x1, y1) , Åš- (x1, y1)), bo gdyby jakobian tego odwzoro-
wania byl równy 0, czyli wektory [Ś+, Ś+y] i [Ś-, Ś-y] w pewnym punkcie
x x
" "
bylyby równolegle, to wektory do nich prostopadle a, b + " i a, b - "
także bylyby równolegle, co oznaczaloby
" "
b + " = b - ",
czyli " = 0 wbrew zalożeniu. W rezultacie lokalnie można sprowadzić
równanie hiperboliczne do postaci
v¾· + R (¾, ·, v, v¾, v·) = 0.
Teraz wystarczy podstawienie
s = ¾ + ·, t = ¾ - ·,
by otrzymać postać kanoniczna
Ü
wss - wtt + R (s, t, w, ws, wt) = 0.
Przypuśćmy teraz, że równość " = 0 zachodzi w pewnym zbiorze otwar-
tym (teraz z paraboliczności równania w punkcie (x0, y0) nie możemy wnosić
o jego paraboliczności w otoczeniu tego punktu). Równanie charakterystyk
ma prosta postać
aFx + bFy = 0.
Calka pierwsza Åš ukladu
x = a (x, y) , y = b (x, y)
pozwala teraz zastosować zamiane zmiennych
¾ = Åš (x, y) , · = ¨ (x, y) ,
gdzie ¨ jest jakakolwiek funkcja klasy C2 na wspomnianym zbiorze otwartym
o wlasności
Åšx Åšy
det = 0.

¨x ¨y
11
Po zamianie zmiennych v (¾, ·) = u ć% (Åš, ¨)-1 (¾, ·) dostajemy równanie,
w którym znika wspólczynnik przy v¾¾. Wspólczynnikiem przy v¾· jest nato-
miast
2 (aÅšx¨x + b (Åšx¨y + Åšy¨x) + cÅšy¨y)
= 2 (bÅšx + cÅšy) ¨y = 0
na mocy równości aŚx + bŚy = 0 oraz 0 = b (aŚx + bŚy) = baŚx + acŚy =
a (bŚx + cŚy). Zatem po zamianie zmiennych otrzymujemy równanie w po-
staci kanonicznej
v·· + R (¾, ·, v, v¾, v·) = 0.
Pozostal nam przypadek eliptyczny. Jeżeli " (x0, y0) < 0, to także w pew-
nym otoczeniu tego punktu " < 0 i równanie pozostaje eliptyczne. Równanie
charakterystyk nie posiada rozwiazań, co uniemożliwia nam proste znalezie-
nie odpowiedniej zamiany zmiennych. Zastosujemy pewien wybieg formalny.
Podobnie, jak w przypadku hiperbolicznym, rozlóżmy równanie charaktery-
styk na iloczyn, ale w dziedzinie zespolonej
" "
b + i -" b - i -"
a Fx + Fy Fx + Fy = 0.
a a
Funkcja F spelniajaca
"
aFx + b + i -" Fy = 0
jest funkcja zespolona F = Åš + i¨, gdzie Åš i ¨ sa już rzeczywiste. Stad
"
aÅšx + bÅšy -
"-"¨y = 0,
(13)
a¨x + b¨y + -"Åšy = 0.
Z drugiego równania
"
aFx + b - i -" Fy = 0
otrzymalibyÅ›my ten sam uklad z zamiana Åš i ¨.
Zauważmy, że jakobian odwzorowania (Åš, ¨) jest różny od 0 dla Åš, ¨
spelniajacych uklad. Gdyby bylo inaczej w choć jednym punkcie, to [¨x, ¨y] =
 [Åšx, Åšy] dla pewnego  " R {0} i po podstawieniu do ukladu :
"
aÅšx + bÅšy -  -"Åšy = 0,
"
aÅšx + bÅšy + -"Åšy = 0,
po pomnożeniu przez - pierwszego równania i dodaniu obu stronami, do-
staniemy
"
2 + 1 -"Åšy = 0.
Stad Śy = 0 (w tym punkcie), a wiec i Śx = 0, co nie jest możliwe.
12
Zastosujmy wiec zamiane zmiennych
¾ = Åš (x, y) , · = ¨ (x, y) .
Mamy
ux = v¾ · Åšx + v· · ¨x,
uy = v¾ · Åšy + v· · ¨y,
uxx = v¾¾ · Åš2 + v¾· · Åšx · ¨x + v¾ · Åšxx
x
+v·¾ · Åšx · ¨x + v·· · ¨2 + v·¨xx,
x
uxy = v¾¾ · Åšx · Åšy + v¾· · Åšx · ¨y + v¾ · Åšxy
+v·¾ · Åšy · ¨x + v·· · ¨x · ¨y + v· · ¨xy,
uyy = v¾¾ · Åš2 + v¾· · Åšy · ¨y + v¾ · Åšyy
y
+v·¾ · Åšy · ¨y + v·· · ¨2 + v· · ¨yy.
y
Po podstawieniu do równania otrzymamy nastepujace wspólczynniki przy
pochodnych rzedu II:
 przy v¾¾
a1 = a · Åš2 + 2b · Åšx · Åšy + c · Åš2,
x y
 przy v¾·
2b1 = 2a · Åšx · ¨x + 2b (Åšx · ¨y + Åšy · ¨x) + 2c · Åšy · ¨y,
 przy v··
c1 = a · ¨2 + 2b · ¨x · ¨y + c · ¨2.
x y
Jeżeli z ukladu (13) wyliczymy
b c
"
¨x = -"-"Åšx - Åšy,
-"
a b
" "
¨y = Åšx + Åšy,
-" -"
i podstawimy do wspólczynnika c1, to otrzymamy
c1 = aÅš2 + 2bÅšxÅšy + cÅš2 = a1.
x y
Wspólczynnik b1 natomiast jest równy
b c
"
b1 = aÅšx -"-"Åšx - Åšy
-"
a b
"
+bÅšx "-"Åšx + Åšy
-"
b c
"
+bÅšy -"-"Åšx - Åšy
-"
a b
"
+cÅšy "-"Åšx + Åšy = 0.
-"
13
Ponieważ a1 = 0 w każdym punkcie, wiec nasze równanie przyjmuje postać

kanoniczna:
1
v¾¾ + v·· = R (¾, ·, v, v¾v·) .
a1
Sprowadzenie do postaci kanonicznej nie tylko upraszcza równanie; cza-
sami pozwala też znalez
ć jego wszystkie rozwiazania. Jest tak dla cześci
równań hiperbolicznych i parabolicznych.
5 Zagadnienia brzegowe
Dane równanie różniczkowe czastkowe posiada wiele rozwiazań; aby wybrać
jedno z nich, należy nalożyć dodatkowe warunki (równania). Dla równań
różniczkowych zwyczajnych sa to zwykle warunki poczatkowe. Ich odpowied-
nik dla równań czastkowych rzedu 2 wyglada nastepujaco. Ustalmy równanie
liniowe rzedu drugiego Lu = f, hiperpowierzchnie (n - 1)-wymiarowa klasy
C1  “ ‚" &! i dwie funkcje ciagle Ć, È : “ R. Szukamy rozwiazania u
równania Lu = f (x) okreÅ›lonego w otoczeniu “ spelniajacego na “ dwa
warunki
"u
u | “ = Ć, | “ = È,
"½
"u
gdzie oznacza pochodna w kierunku wektora normalnego ½ do hiperpo-
"½
wierzchni “.
Należy zdecydować sie na wybór jednego z dwóch możliwych (o ile “ jest
spójna) pól wektorów normalnych “ x ½ (x) na “. Takie pole w ogóle
istnieje tylko wtedy, gdy “ jest hiperpowierzchnia orientowalna.
Z przyczyn fizycznych ważne sa także inne warunki dodatkowe. Sa to
warunki Dirichleta:
u | "&! = Ć
lub Neumanna:
"u
| "&! = È.
"½
O ile rozwiazania zagadnienia poczatkowego poszukujemy jednak tylko w
pewnym otoczeniu “ o tyle rozwiazania zagadnieÅ„ Dirichleta i Neumanna
musza być z natury globalne  określone w calym zbiorze &!.
Jeśli &! jest zbiorem nieograniczonym, wówczas zwykle żadamy jeszcze
odpowiedniego zachowania rozwiazania u w nieskończoności; zwykle
lim u(x) = 0.
x"
Warunki brzegowe (poczatkowe, mieszane) sa tak dobrane, by gwaran-
tować istnienie dokladnie jednego rozwiazania przy dowolnych danych z pew-
nej naturalnej przestrzeni. Na uklad  równanie czastkowe + dodatkowe
14
warunki  można spojrzeć jak na jedno równanie
F(u) = y,
gdzie F : X ƒ" U Y jest odwzorowaniem okreÅ›lonym na pewnym podzbio-
rze U pewnej przestrzeni funkcyjnej X o wartościach w innej przestrzeni Y,
a y " Y. Na przyklad dla zagadnienia Dirichleta
"u = f(x) x " &!, u | "&! = Ć,
naturalny jest wybór X = C(&!)  przestrzeń funkcji ciaglych, U = C2(&!) )"
C(&!), Y = C(&!) × C("&!), F(u) = ("u, u | "&!), y = (f, Ć).
Mówimy, że zagadnienie brzegowe jest dobrze postawione, gdy wybraliśmy
przestrzenie X, Y z odpowiednimi strukturami topologicznymi w ten sposób,
że dla każdego y " Y istnieje rozwiazanie u " U ‚" X, jest ono tylko jedno
oraz odwzorowanie F-1 : Y X jest ciagle.
Proste przyklady pokazuja, że dla równań eliptycznych nie należy sta-
wiać zagadnień poczatkowych, ale zagadnienia Dirichleta lub Neumanna, dla
równań hiperbolicznych odwrotnie  stawiamy zagadnienie poczatkowe lub
brzegowo-poczatkowe zwykle
u(x, 0) = Ć(x), ut(x, 0) = È(x), x " &! ‚" Rn
lub
u(x, 0) = Ć(x), ut(x, 0) = È(x), x " &! ‚" Rn, u(x, t) = 0, x " "&!.
Latwo też sprawdzić, że zagadnień poczatkowych nie należy stawiać na cha-
rakterystyce. Równanie różniczkowe wymusza wtedy pewna zależność miedzy
danymi poczatkowymi Ć i È. Dlatego też dla równania przewodnictwa ciepl-
nego, którego charakterystyka jest hiperpowierzchnia t = 0 zagadnienie
poczatkowe ma postać nieco zmieniona tak, by bylo dobrze postawione przy
odpowiednim wyborze prestrzeni u(x, 0) = Ć(x).
6 Przypomnienie o szeregach Fouriera
Sa to szeregi postaci
"
anĆn,
n=0
gdzie {Ćn : n " N} jest ukladem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta H,
2
tzn. (Ćn, Ćm) = 0 dla n = m i (Ćn, Ćn) = Ćn = 1, a {an : n " N} jest

ciagiem liczbowym (rzeczywistym, gdy H jest rzeczywista przestrzenia Hil-
berta) sumowalnym z kwadratem |an|2 < ". Szereg taki jest zbieżny w
n
1 2
H, przy czym norma jego sumy wynosi |an|2 (szereg niekoniecznie
15
1
jest bezwzglednie zbieżny, np.: dla an = nie jest, a mimo to zawsze jest
n
absolutnie zbieżny w tym sensie, że po dowolnej permutacji jego wyrazów
dostajemy szereg zbieżny do tej samej granicy).
Dla dowolnego elementu x " H majac uklad ortonormalny {Ćn} można
utworzyć szereg Fouriera
"
(x, Ćn) Ćn.
n=0
Warunek fourierowskości szeregu wynika z nierówności Bessela

2
|(x, Ćn)|2 d" x .
n
Szczególna role pelnia tzw. uklady ortonormalne zupelne, dla których zacho-
dzi równość
x = (x, Ćn) Ćn (14)
n
przy każdym x " H.
W naszych rozważaniach zwykle H jest przestrzenia funkcji calkowalnych
z kwadratem na pewnym odcinku. Jeżeli H = L2 (-Ą, Ą) (lub L2 (0, 2Ą)),
to standardowym ukladem ortonormalnym zupelnym jest rodzina funkcji
1 1
"1
t sin nt, t cos nt, n = 1, 2, ..., t (nie przejmujmy sie
Ä„ Ä„
2Ä„
kolejnościa; jak zauważyliśmy wcześniej, nie ma ona znaczenia).
Nietrudno zauważyć, że dla funkcji nieparzystej x : [-Ą, Ą] R znikaja
iloczyny skalarne
Ä„ Ä„
1 1
" "
x (t) · cos nt dt, x (t) · dt,
Ä„
2Ä„
-Ä„ -Ä„
wiec szereg Fouriera takiej funkcji ma postać
"
cn sin nt.
n=1
Podobnie postacia szeregu Fouriera funkcji parzystej (dla trygonometrycz-
nego ukladu ortonormalnego) jest
"
cn cos nt.
n=0
Ponieważ każda funkcje x : (0, Ą] R calkowalna z kwadratem można
przedlużyć na [-Ą, Ą] jako funkcje parzysta (i podobnie  nieparzysta), ozna-
2
cza to, że ciag t sin nt, n = 1, 2, ..., stanowi uklad ortonormalny
Ä„
2
zupelny w L2 (0, Ą). Taki jest też uklad funkcji t cos nt, n = 1, 2, ...,
Ä„
1
t .
Ä„
16
Przy przejściu do przedzialu (0, l) zamiast (0, Ą) należy dokonać przeska-
lowania. Ortonormalne sa uklady:
2 nĄ
t sin t, n = 1, 2, ...,
l l
2 nĄ 1
t cos t, n = 1, 2, ..., t .
l l l
Poza tymi ukladami pojawiaja sie też inne: uklady ortonormalne zupelne
funkcji wlasnych zagadnień Sturma-Liouville a (por. wyklad z równań różniczkowych
zwyczajnych).
Równość (14) oznacza zbieżność szeregu Fouriera w przestrzeni Hilberta
do elementu x. W naszym przypadku jest to zbieżność w sensie normy
L2. Chociaż wszystkie wyrazy szeregów sa klasy C" (przy wymienionych
przykladach ukladów ortonormalnych zupelnych), to nie możemy mieć pewności,
czy suma takiego szeregu jest nawet funkcja ciagla. Aby tak bylo, nie wy-
starcza zbieżność w sensie L2; potrzebna jest zbieżność jednostajna.
Dla przykladu szereg
"
1
sin (4n + 1) t
n
n=0
Ä„
jest szeregiem Fouriera, który dla t = nie jest nawet punktowo zbieżny.
2
Podstawowym kryterium zbieżności jednostajnej jest kryterium Weier-
strassa:
Jeżeli dla dowolnego n " N supt |xn (t)| = Mn i szereg liczbowy Mn
n
jest zbieżny, to szereg xn (t) jest jednostajnie zbieżny.
n
Dla szeregów trygonometrycznych oznacza to bezwzgledna zbieżność szeregu
const
wspólczynników |cn|  oszacowanie |cn| d" nie wystarcza; ale już
n
n
const
"
|cn| d"  tak. Zbieżność jednostajna gwarantuje tu ciaglość sumy szeregu.
n n
Jeżeli xn sa różniczkowalne, to szereg pochodnych x n (t) nie musi być
jednostajnie zbieżny nawet, gdy xn (t) jest. Jednak jeśli dodatkowo szereg
pochodnych jest taki, to funkcja
x (t) = xn (t)
n
jest różniczkowalna i
x (t) = x n (t)
n
(por. wyklady z analizy matematycznej). Szeregi trygonometryczne sa wiec
const
zbieżne do funkcji klasy C1, jeÅ›li |cn| d" , µ > 0. Ogólniej:
n2+µ
Twierdzenie. Jeżeli funkcje Ćn sa jednej z postaci sin nĄ t, cos nĄ t, oraz
l l
const
|cn| d" dla każdego n, gdzie µ > 0, a p = 2, 3, ..., to suma szeregu
np+µ
cnĆn (t) jest funkcja klasy Cp-1.
17
Twierdzenie . Jeżeli funkcja x jest 2Ą-okresowa i klasy Cp, to wspólczynniki
szeregu Fouriera wzgledem ukladu trygonometrycznego sin nt, cos nt, 1, spelniaja
const
|cn| d" ,
np
gdzie cn jest wspólczynnikiem przy cos nt lub sin nt lub 1.
Dowód. Calkujac p-krotnie przez cześci dostajemy
Ä„
1
|cn| = x (t) cos nt dt
Ä„
-Ä„
Ä„
1 1 1 1
= x (Ą) sin nĄ - x (-Ą) sin (-nĄ) - x (t) sin ntdt
Ä„ n n n
-Ä„
Ä„ Ä„
1 1
= x (t) sin nt dt = ... = x(p) (t) cos nt dt
Ä„n Ä„np
-Ä„ -Ä„
(ewentualnie w ostatniej calce wystapi sin nt, gdy p jest liczba nieparzysta),
gdzie wykorzystaliśmy równości x (Ą) = x (-Ą), x (Ą) = x (-Ą) , ..., x(p-1) (Ą) =
x(p-1) (-Ä„). W rezultacie
1
|cn| d" · 2Ä„ · sup x(p) (t) .
Ä„np
Porównajmy różnice w oszacowaniach w obu twierdzeniach. Wynika ona
z faktu, że w obu przypadkach twierdzenia odwrotne nie sa prawdziwe 
nasze warunki nie sa zbyt subtelne (idealnych zreszta nie ma). Ta niedo-
godność jest jednym z licznych powodów, dla których wprowadza sie pojecie
rozwiazania uogólnionego równania różniczkowego czastkowego, czy pochod-
nej uogólnionej. Te pojecia idealnie pasuja do zbieżności w sensie normy

L2.
7 Równanie przewodnictwa cieplnego
Równanie przewodnictwa cieplnego
ut = a2"u (15)
n
gdzie "u = ux xi. Możemy zakladać, że a = 1, bo przez zamiane zmien-
i
i=1
nych Ä = a-2t nasze równanie przechodzi w identyczne z a = 1. Warunek
poczatkowy
u (x, 0) = Ć (x) , (16)
18
gdzie Ć : Rn R jest funkcja ciagla i ograniczona. Przez rozwiazanie tego za-
gadnienia poczatkowego bedziemy rozumieć funkcje ciagla u : Rn×[0, T ) R
klasy C2 (Rn× (0, T )) spelniajaca równanie (15) w zbiorze Rn× (0, T ) i wa-
runek (16). Liczba T > 0 jest tu dowolna. Pokażemy, że rozwiazanie zawsze
istnieje i to dla T = ". Zdefiniujmy funkcje F : Rn × R × Rn × R \
{(x, t, x, t) : x " Rn, t " R} R wzorem
1 x - y 2
F (x, t, y, s) = exp . (17)
n -
2
4 (t - s)
(t - s)
Latwo sprawdzić, że funkcja F (·, ·, y, s) jest rozwiazaniem równania (15)
dla x = y i t = s.

Przypomnijmy z analizy wzór
+"
"
2
e-à dà = Ą.
-"
Stad przez zastosowanie tw. Fubiniego
2
e-||Ã|| dà = (Ä„)n/2.
Rn
Twierdzenie. Rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego, gdzie Ć jest
ciagla i ograniczona na Rn, jest
1
u (x, t) = " F (x, t, y, 0) Ć (y) dy.
(2 Ä„)n
Rn
Dowód. Funkcje podcalkowa i jej pochodne wzgledem x i t > 0 można
2
oszacować przez funkcje postaci Px,t (y) exp - x - y /4t , gdzie Px,t jest
wielomianem wzgledem y. Ponieważ taka funkcja jest calkowalna na Rn, wiec
dla t > 0 i dowolnego x możemy wejść z pochodnymi pod znak calki. Zatem
1
ut = " Ft (x, t, y, 0) Ć (y) dy
(2 Ä„)n
Rn
1
= " "tF (x, t, y, 0) Ć (y) dy = "u
(2 Ä„)n
Rn
dla x " Rn, t > 0. Jedynym problemem jest możliwość przejścia granicznego
+
limt0 u (x, t) = Ć (x) .
" "
Do calki zastosujmy zamiane zmiennych à = (y - x) /2 t. Stad y = 2 tà +
x, a wiec jakobianem dyfeomorfizmu jest 2ntn/2. Zatem
"
1 2
u (x, t) = Ć x + 2 tà e- à dÃ.
n
2
(Ä„)
Rn
19
Ustalmy x " Rn i wez
my µ > 0. Z ciagloÅ›ci Ć w punkcie x wynika, że istnieje
µ
´ > 0 o wlasnoÅ›ci x - x d" ´ Ò! |Ć (x ) - Ć (x)| d" . Wybierzmy najpierw
2
M > 0 tak duże, by
n
2
2
e- à dà < µÄ„ /4 sup |Ć| ,
Rn\[-M,M]n
a nastepnie
´2
t d" .
"
(2 nM)2
"
"
Wówczas dla à " [-M, M]n mamy à d" nM, a wiec 2 tà d" ´.
Możemy teraz oszacować dla takich t:
"
1 2
|u (x, t) - Ć (x)| = Ć x + 2 tà e- à dÃ
n
2
Ä„
Rn
Ć (x) 2
- n
e- Ã dÃ
2
Ä„
Rn
2 sup |Ć| 2
d" e- Ã dÃ
n
2
Ä„
Rn\[-M,M]n
"
1 2
+ Ć x + 2 tà - Ć (x) e- à dÃ
n
2
Ä„
[-M,M]n
µ µ 2
d" + e- à dà = µ.
n
2
2
2Ä„
Rn
+
Z dowodu wynika, że zbieżność limt0 u (x, t) = Ć (x) niekoniecznie jest
jednostajna. Jest jednak taka, gdy Ć jest jednostajnie ciagla.
Latwo udowodnić, że funkcja
t
1
u (x, t) = " F (x, t, y, Ä) f (y, Ä) dy dÄ
(2 Ä„)n
0 Rn
jest rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego
ut - "u = f (x, t) , u (x, 0) = 0,
gdzie f : Rn × [0, ") R jest funkcja ciagla i ograniczona. Można stad
wywnioskować postać rozwiazania zagadnienia
ut - "u = f (x, t) , u (x, 0) = Ć.
20
Dla zagadnień brzegowo-poczatkowych udowodnimy jednoznaczność
Twierdzenie. Jeżeli &! jest zbiorem otwartym i ograniczonym w Rn,
którego brzeg "&! jest (n - 1)-wymiarowa hiperpowierzchnia klasy C1, to dla
dowolnych funkcji ciaglych h : &!×[0, T ] R, Ć : &! R i f : "&!×[0, T ] R
zagadnienie brzegowo-poczatkowe
ut - "u = h (x, t) , (x, t) " &! × (0, T ) ,
u (x, 0) = Ć (x) , x " &!,
u (x, t) = f (x, t) , x " "&!, t " [0, T ] ,
posiada co najwyżej jedno rozwiazanie.
Dowód. Gdyby byly dwa takie rozwiazania u1, u2, to funkcja u = u1 - u2
spelnialaby
ut - "u = 0, u (·, 0) = 0, u ("&!, ·) = 0.
Stad poslugujac sie wzorem na calkowanie przez cześci otrzymamy
1 d
u (x, t)2 dx = u (x, t) ut (x, t) dx
2 dt
&! &!
= u (x, t) "u (x, t) dx
&!
"u
= - ux (x, t)2 dx + u (x, t) (x, t) dSx.
i
"½
i
&! "&!
Drugi skladnik znika na mocy warunku brzegowego u ("&!, ·) = 0, a pierwszy
jest funkcja d" 0 dla każdego t. W rezultacie funkcja
t - u (x, t)2 dx
&!
jest nierosnaca. Ponieważ dla t = 0 mamy z warunku poczatkowego
u (x, 0)2 dx = 0,
&!
wiec funkcja ta jest d" 0 dla każdego t e" 0. Ale z samej definicji funkcja
przyjmuje wartości e" 0. Zatem dla każdego t e" 0 mamy
u (x, t)2 dx = 0,
&!
czyli u (x, t) a" 0.
Na przykladzie zagadnienia brzegowo-poczatkowego dla 1-wymiarowego
równania przewodnictwa cieplnego wprowadzimy teraz metode rozdzielania
21
zmiennych Fouriera. Jest to chyba najcześciej stosowana metoda oblicze-
niowa do zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych liniowych rzedu
2 i wyższych. Dostarcza ona rozwiazania w postaci sumy szeregu funk-
cyjnego, co umożliwia ewentualne badania jakościowe. Jest to wielka za-
leta w porównaniu z metodami przybliżonymi dajacymi wartości liczbowe
rozwiazania w punktach siatki pokrywajacej zbiór &!, choćby nawet siatka
ta byla bardzo gesta. Niestety, zbiór &! musi być szczególnej postaci ilo-
czynu kartezjańskiego, co mocno ogranicza stosowalność metody Fouriera.
W niektórych przypadkach zamieniamy wtedy zmienne tak, aby sprowadzić
zbiór &! do tej postaci.
Rozwia żemy jednorodne równanie przewodnictwa cieplnego dla wymiaru
1 z zerowymi warunkami Dirichleta na brzegu odcinka [0, Ä„] i z warunkiem
poczatkowym:
ut - a2uxx = 0,
u (0, t) = u (Ä„, t) = 0, (18)
u (x, 0) = Ć (x) .
O funkcji Ć : [0, Ą] R zakladamy, że jest ciagla. Jeśli od rozwiazania
bedziemy wymagać, by bylo funkcja ciagla na [0, Ä„] × [0, "], to niezbedny
jest warunek zgodności Ć (0) = Ć (Ą) = 0.
Zagadnienie brzegowe, które napisaliśmy, ma sens fizyczny: u jest tem-
peratura w precie o dlugości Ą i zaniedbywalnie malym przekroju, x mierzy
odleglość od jednego z końców preta, a t oznacza czas. Pret jest izolowany
termicznie na powierzchni bocznej, ale jego końce maja ustalona temperature
środowiska = 0. W chwili poczatkowej temperatura w punktach preta dana
jest przez funkcje Ć.
Rozumowanie, które przeprowadzimy, jest charakterystyczne dla metody
Fouriera  jest heurystyczne. Przypuśćmy, że rozwiazanie u : [0, Ä„]×[0, ")
R istnieje i ma postać
u (x, t) = fn (x) gn (t) .
n
Jeśli każdy skladnik tej sumy spelnia równanie różniczkowe, to
fn (x) gn (t) = a2fn (x) gn (t) ,
czyli
fn (x) 1 gn (t)
= · =: n
fn (x) a2 gn (t)
jest stala. Jeśli zażadamy, by każdy skladnik sumy spelnial warunki Diri-
chleta, to fn (0) gn (t) = fn (Ą) gn (t) = 0, czyli funkcja fn musi być rozwiazaniem
zagadnienia Sturma-Liouville a
fn (x) - nfn (x) = 0, fn (0) = fn (Ä„) = 0.
Oczywiście takie rozwiazanie istnieje dla dowolnej stalej n : fn (x) a" 0.
Interesuja nas wartości n, dla których mamy rozwiazanie nietrywialne.
22
Jeżeli n > 0, wówczas rozwiazaniem"równania różniczkowego zwyczaj-
"
nx
nego sa funkcje fn (x) = C1e + C2e- nx. Z warunku fn (0) = 0 dosta-
" "
nĄ
niemy C1+C2 = 0, wiec C2 = -C1, a z warunku fn (Ą) = 0, C1 e - e- nĄ =
0, wiec C1 = 0 i stad fn (x) a" 0. Podobnie dla n = 0.
" "
Jeżeli n < 0, to fn (x) = C1 cos -nx + C2 sin -nx. Z warunku
"
fn (0) = 0 mamy C1 " 0, a z warunku fn (Ą) = 0, C2 sin -nĄ = 0.
=
Wystarczy wiec wzia ć -n = n " N, czyli n = -n2, n = 1, 2, ..., by funk-
cje fn (x) = sin nx byly nietrywialnymi rozwiazaniami zagadnienia Sturma-
Liouville a. Wiadomo, że uklad funkcji fn, n " N, jest ortogonalny i zupelny
w przestrzeni Hilberta L2 (0, Ä„).
Znajdziemy funkcje gn spelniajace równość
gn = na2gn.
Jest to znowu równanie różniczkowe liniowe o stalych wspólczynnikach, wiec
2
gn (t) = cne-n a2t,
gdzie cn " R jest dowolna stala. Funkcja u spelnia wtedy równanie różniczkowe
i warunki Dirichleta z (18). Dobierzemy stale cn tak, by spelniony byl waru-
nek poczatkowy
" "
Ć (x) = gn (0) sin x = cn sin nx.
n=1 n=1
Wystarczy wiec rozwina ć znana funkcje Ć w szereg Fouriera wzgledem ukladu
funkcji fn. Stad otrzymujemy postać funkcji  kandydata na rozwiazanie:
"
2
u (x, t) = cne-n a2t sin nx,
n=1
gdzie
Ä„
2
cn = Ć (x) sin nx dx.
Ä„
0
Pozostaje pytanie, czy jest to rzeczywiście rozwiazanie. Aby tak bylo, funk-
cja u musi być ciagla na zbiorze [0, Ä„] × [0, "), a także szereg wystepujacy
w (16.7) musi dopuszczać dwukrotne różniczkowanie wyraz po wyrazie z za-
chowaniem niemal jednostajnej zbieżnoÅ›ci na zbiorze [0, Ä„] × [0, ").
Od razu widać, że konieczna jest szybka zbieżność ciagu cn do 0. Wpraw-
dzie dla t e" ´ > 0 już ograniczoność ciagu: |cn| d" M dla n " N, wystarcza
na mocy kryterium Weierstrassa:
2 2
cne-n a2t sin nx d" Me-n a2´,
2 2
"
cne-n a2t sin nx d" Ma2n2e-n a2´,
"t
2 2
"
cne-n a2t sin nx d" Mne-n a2´,
"x
2
"2 2
cne-n a2t sin nx d" Mn2e-n a2´,
"x2
23
przy czym szeregi liczbowe po prawych stronach nierówności sa zbieżne. Jed-
nak w otoczeniu t = 0 czynnik zostaje zastapiony przez 1 i o zbieżności
szeregów liczbowych nie może być mowy.
Jeżeli zalożymy, że nieparzyste i 2Ą-okresowe przedlużenie funkcji na
prosta jest klasy C2, to
M
|cn| d" , n " N,
n2
i dla wszystkich t e" 0 mamy
2 M
cne-n a2t sin x d" .
n2
W rezultacie szereg jest jednostajnie zbieżny dla t e" 0 i funkcja u jest
ciagla na tym zbiorze. Szereg ten po zróżniczkowaniu wyraz po wyrazie
raz wzgledem t lub dwa razy wzgledem x jest niemal jednostajnie zbieżny
na t > 0, bowiem dowolny zbiór zwarty K zawarty w tym zbiorze leży w
zbiorze t e" ´ dla pewnego ´ > 0 i obowiazuja poprzednie oszacowania. Przy
opisanej powyżej regularności funkcji Ć wzór na u jako sume szeregu określa
rozwiazanie zagadnienia (18).
Metoda Fouriera można też rozwiazywać równania niejednorodne:
ut = a2uxx + f(x, t),
można odcinek [0, Ą] zastapić jakimś innym, można jednorodny warunek Di-
richleta na końcach odcinka zastapić innym np.
ux(0, t) = 0 = u(l, t),
moz
na też jednorodne warunki brzegowe zastapić niejednorodnymi.
8 Równanie falowe
Rozważmy 1-wymiarowe równanie falowe
utt - c2uxx = 0, (19)
gdzie c jest stala dodatnia. Znalez
liśmy charakterystyki tego równania: pro-
ste xÄ…ct = const. Stosujac podstawienie: ¾ = x+ct, · = x-ct sprowadzamy
to równanie do postaci
v¾· = 0,
którego rozwiazaniami sa funkcje
v (¾, ·) = f (¾) + g (·) ,
24
gdzie f i g sa dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej. Wra-
cajac do funkcji u (x, t) = v (x + ct, x - ct) mamy postać dowolnego rozwiazania
równania (19):
u (x, t) = f (x + ct) + g (x - ct) .
Aby u " C2, musi być f, g " C2. Z latwościa można teraz otrzymać:
Wzór d Alemberta. Jedynym rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego:
utt - c2uxx = 0, u (x, 0) = Ć (x) , ut (x, 0) = È (x) ,
gdzie Ć, È : R R, Ć " C2, È " C1, jest funkcja
x+ct
Ć (x - ct) + Ć (x + ct) 1
u (x, t) = + È (¾) d¾.
2 2c
x-ct
Dowód. Dostajemy
f (x) + g (x) = Ć (x) , cf (x) - cg (x) = È (x) .
Z drugiego z równań po scalkowaniu mamy
1
f (x) - g (x) = · (x) ,
c
gdzie · (x) = È (x). Stad i z pierwszego z równaÅ„ otrzymamy
1 1 1 1
f (x) = Ć (x) + · (x) , g (x) = Ć (x) - · (x) .
2 2c 2 2c
W rezultacie rozwiazaniem jest funkcja
Ć (x + ct) - Ć (x - ct) 1
u (x, t) = + (· (x + ct) - · (x - ct))
2 2c
równa potrzebnej funkcji wobec Podstawowego Twierdzenia Rachunku Calkowego.
Rozwiazanie zagadnienia poczatkowego istnieje i to dokladnie jedno dla
każdej pary (Ć, È) " C2×C1, naturalne jest wiec pytanie o dobre postawienie
tego zagadnienia.
Twierdzenie. Ustalmy T > 0. Dla dowolnego µ > 0 istnieje ´ > 0 taka,
że dla par (Ć1, È1) , (Ć2, È2) " C2 × C1 o wlasnoÅ›ci
sup |Ć1 (x) - Ć2 (x)| < ´, sup |È1 (x) - È2 (x)| < ´
x x
rozwiazania ui, i = 1, 2, zagadnień poczatkowych
utt - c2uxx = 0, u (x, 0) = Ći (x) , ut (x, 0) = Èi (x)
spelniaja nierówność
sup sup |u1 (x, t) - u2 (x, t)| < µ.
x 0d"td"T
25
Dowód. Bierzemy ´ = µ/ (1 + T ) i stosujemy wzór d Alemberta
1 1
|u1 (x, t) - u2 (x, t)| d" |Ć1 (x - ct) - Ć2 (x - ct)| + |Ć1 (x + ct) -
2 2
Ć2 (x + ct)| +
x+ct
1 1 1
+ |È1 (¾) - È2 (¾)| d¾ < ´ + ´+
2c 2 2
x-ct
1 µ µ
+ ´ · 2ct d" + T = µ.
2c 1 + T 1 + T
Twierdzenie to oznacza, że wybierajac (w oznaczeniach paragrafu o za-
gadnieniach brzegowych) jako przestrzeÅ„ Y zbiór C2×C1 z topologia zbieżnoÅ›ci
jednostajnej, a jako przestrzeÅ„ X zbiór C2 (R× (0, T )) )" C (R× (0, T )) z ta
sama topologia, otrzymamy dobrze postawione zagadnienie. Pewien dyso-
nans stanowi fakt, że przestrzenie C2 i C1 z topologia zbieżności jednostajnej
nie sa zupelne. Możemy go usuna ć rozszerzajac pojecie rozwiazania.
Funkcje u dana wzorem d Alemberta nazywamy rozwiazaniem uogólnionym
zagadnienia poczatkowego przy dowolnych funkcjach Ć " C (R), È " C (R).
Przestrzeń C (R) z topologia zbieżności jednostajnej jest już zupelna.
1 1 1 1
Zauważmy, że rozwiazanie u = f + g, gdzie f = Ć + È , g = Ć - È,
2 2c 2 2c
jest suma rozwiazań, z których pierwsze (x, t) f (x + ct) opisuje ,,fale
poruszajaca sie do tylu z predkościa c. To fizyczne określenie wynika stad,
że wartość tego rozwiazania w punkcie x0 w chwili t = 0 wynosi f (x0) , a w
chwili t = 1 wynosi f (x0 + c) , to znaczy jest taka, jak wartość rozwiazania
w punkcie x0 + c w chwili t = 0. ,,Fala przesunela sie wiec przez jednostke
czasu z punktu x0 + c do x0. Analogicznie rozwiazanie (x, t) g (x - ct)
opisuje ,,fale biegnaca do przodu . Cale rozwiazanie u jest, jak mówia fizycy,
superpozycja obu tych fal.
Przejdz
my teraz do zagadnienia brzegowo-poczatkowego:
utt - c2uxx = 0,
u (x, 0) = Ć (x) ,
(20)
ut (x, 0) = È (x) ,
u (0, t) = 0 = u (l, t) .
1
Przez jego rozwiazanie rozumiemy funkcje u " C2 ((0, l) × (0, T )))"Ct ([0, l] )" [0, T )))"
C ([0, l] )" [0, T ]) spelniajaca równanie falowe w prostokacie (0, l)×(0, T ), wa-
runki poczatkowe dla x " [0, l] i brzegowe dla x = 0, x = l i t " [0, T ].
Funkcje Ć, È : [0, l] R sa co najmniej ciagle i spelniaja warunki zgodnoÅ›ci
Ć (0) = Ć (l) = È (0) = È (l) = 0.
Aby móc zastosować wzór d Alemberta, przedlużamy Ć i È na cala prosta.
Jest jasne, że dowolne przedlużenie nie zagwarantuje warunku brzegowego,
26
bowiem
ct
Ć (-ct) + Ć (ct) 1
u (0, t) = + È (¾) d¾,
2 2c
-ct
gdzie Ć i È sa przedlużeniami. Efekt znikania tej liczby osiagniemy, gdy
wez
miemy przedlużenia nieparzyste: Ć (x) = Ć (x) dla x " [0, l] , Ć (l + x) =
-Ć (l - x) dla x " (0, l], Ć (-x) = -Ć (x) dla x " (0, l]. Dalsze przedlużenie
jest 2l-okresowe: Ć (x + 2nl) = Ć (x), x " [0, 2l), n " Z. Analogiczne
przedlużenie stosujemy do funkcji È.
Zauważmy, że dzieki warunkom zgodnoÅ›ci funkcje Ć i È sa ciagle na R.
Niestety, nawet dla Ć, È klasy C" na [0, l] przedlużenia Ć i È nie musza być
klasy odpowiednio C2 i C1 na R. Jeśli sa, wówczas rozwiazanie dane wzorem
d Alemberta dla Ć i È jest zwyklym rozwiazaniem; jeÅ›li nie sa, wówczas
jest to rozwiazanie uogólnione. Spelnienie warunków brzegowych wynika z
nieparzystoÅ›ci Ć i È (przez nieparzystość wzgledem l rozumiemy wlasność
Ć (l - ¾) = -Ć (l + ¾)). Przedstawiona tu metoda nosi nazwe metody odbić.
Metode Fouriera rozdzielania zmiennych można stosować również do równania
falowego. Pokażemy to na przykladzie równania niejednorodnego z niejedno-
rodnymi warunkami brzegowymi. Należypodkreślić, że w przypadku takiej
podwójnej niejednorodności zawsze musimy skorzystać z tego, co fizycy na-
zywaja zasada superpozycji i poszukiwać rozwiazania w postaci sumy  oba
skladniki spelniaja zagadnienie ,,w polowie niejednorodne .
2Ä„
utt = c2uxx + sin 2t · sin x,
l
u (0, t) = A, u (l, t) = B,
u (x, 0) = Ć (x) , ut (x, 0) = 0.
Warunki zgodności: Ć (0) = A, Ć (l) = B. Należy szukać rozwiazania w
postaci sumy
u (x, t) = v (x, t) + w (x) .
Jeśli w (0) = A i w (l) = B, to warunki brzegowe na funkcje v sa już jed-
norodne. Jeśli dodatkowo w (x) = 0, to v spelnia równanie falowe. Zatem
należy wzia ć
B - A
w (x) = A + x
l
i wtedy funkcja v musi spelniać
2Ä„
vtt = c2vxx + sin 2t · sin x,
l
v (0, t) = 0 = v (l, t) ,
v (x, 0) = Ć (x) - w (x) , vt (x, 0) = 0.
Stosujemy teraz metode Fouriera otrzymujac
2
nĄ nĄ
n = - , fn (x) = sin x, n = 1, 2, ...
l l
27
Poszukujemy wiec rozwiazania w postaci
"
nĄ
v (x, t) = gn (t) sin x.
l
n=1
Po wstawieniu do równania różniczkowego dostaniemy
" "
nĄ n2Ą2 nĄ 2Ą
gn (t) sin x = -c2 gn (t) sin x + sin 2t · sin x.
l l2 l l
n=1 n=1
Rozwijamy także wzgledem ukladu fn funkcje Ć - w; wspólczynnikiem przy
fn jest
l
2 nĄ
cn = (Ć (x) - w (x)) sin x dx.
l l
0
Szcześliwie niejednorodność w równaniu różniczkowym i vt (x, 0) nie wyma-
gaja już rozwijania. Porównujac wspólczynniki przy fn dostajemy
n2Ä„2c2
gn (t) = - gn (t) , gn (0) = cn, gn (0) = 0
l2
dla n = 2 oraz

4Ä„2c2
g2 (t) = - g2 (t) + sin 2t, g2 (0) = c2, g2 (0) = 0.
l2
W pierwszym przypadku
nĄc
gn (t) = cn cos t,
l
a w drugim po uzmiennieniu stalych
2Ä„c 2Ä„c
g2 (t) = Ä… (t) sin t + ² (t) cos t.
l l
Z ukladu
2Ä„c 2Ä„c
Ä… (t) sin t + ² (t) cos t = 0,
l l
2Ä„c 2Ä„c 2Ä„c
Ä… (t) cos t - ² (t) sin t = sin 2t
l l l
wyznaczamy Ä… i ² :
l 2Ä„c
Ä… (t) = sin 2t · cos t,
2Ä„c l
l 2Ä„c
² (t) = -2Ä„c sin 2t · sin t.
l
Stad
t
l 2Ä„c
g2 (t) = sin 2s · sin (t - s) ds
2Ä„c l
0
2Ä„c 2Ä„c
+Ä… sin t + ² cos t.
l l
28
Z warunków poczatkowych g2 (0) = c2, g2 (0) = 0 wynika, że ² = c2, Ä… = 0,
czyli ostatecznie
"
B - A nĄc nĄ
u (x, t) = A + x + cn cos t sin x
l l l
n=1
t
l 2Ä„c 2Ä„
+ sin 2s sin (t - s) ds · sin x.
2Ä„c l l
0
W sytuacji ogólnej, gdy A i B sa funkcjami zmiennej t, należy poszukiwać
rozwiazań w postaci
u (x, t) = v (x, t) + r0 (x) A (t) + rl (x) B (t) .
Jeśli chcemy, by warunki brzegowe na v byly jednorodne, musimy mieć
r0 (0) = 1, rl (0) = 0 oraz r0 (l) = 0, rl (l) = 1. To podstawienie jest możliwe
dla A i B klasy C2, ale wybór r0 i rl jest już prosty:
x x
r0 (x) = 1 - , rl (x) = .
l l
Dla ogólniejszych warunków brzegowych
ux (0, t) + ru (0, t) = A (t) ,
ux (l, t) + su (l, t) = B (t) ,
należy użyć innych funkcji liniowych zmiennej x w miejsce r0 i rl.
9 Zastosowanie metody Fouriera do innych
równań
Metode rozdzielania zmiennych można stosować także do innych równań. Je-
dynym ograniczeniem jest ich liniowość i liniowość warunków dodatkowych.
Pokażemy teraz, jak stosuje sie ona do najprostszych równań eliptycznych ta-
kich jak równanie Laplace a. W przypadku dwuwymiarowym zbiór &! może
być prostokatem albo dawać sie sprowadzić do prostokata. Niech wiec &!
bedzie kolem o środku w poczatku ukladu i promieniu R. Przechodzac do
wspólrzednych biegunowych x = r cos Ć, y = r sin Ć musimy wyrazić lapla-
sjan w nowych wspólrzednych. Zamiast równania
uxx + uyy = 0
dostaniemy
1 1
vrr + vr + vĆĆ = 0.
r r2
29
Jeśli interesuje nas równanie Laplace a z warunkiem Dirichleta
u | "&! = h, h : "&! R,
to odpowiedni warunek na v ma postać
v(R, Ć) = h(Ć).
Musimy jednak pamietać, że zamiana zmiennych jest prawomocna dla r > 0,
czyli (x, y) = (0, 0). Od rozwiazania v można wiec żadać, by istniala granica

+
limr0 v (r, Ć). Drugim warunkiem zgodności jest 2Ą-okresowość funkcji h.
Przy zalożeniu ciaglości (a nawet calkowalności) funkcji h możemy znalez
ć
jej szereg trygonometryczny. Przy zalożeniu, że h jest ciagla i przedzialami
monotoniczna, zachodzi równość
a0 "
h (Ć) = + (an cos nĆ + bn sin nĆ) ,
2
n=1
gdzie
Ä„ Ä„
1 1
an = h (È) cos nÈ dÈ, bn = h (È) sin È dÈ.
Ä„ Ä„
-Ä„ -Ä„
Jeśli rozwiazanie ma postać v (r, Ć) = f (r) g (Ć), to
r2f (r) rf (r) g (Ć)
+ + = 0,
f (r) f (r) g (Ć)
a wiec obie funkcje wchodzace w sklad tej sumy musza być stale i
r2f (r) + rf (r) g (Ć)
=  = - .
f (r) g (Ć)
Ponieważ g powinna być funkcja 2Ą-okresowa, a równanie
g (Ć) + g (Ć) = 0
ma rozwiazania 2Ä„-okresowe tylko dla n = n2, n = 0, 1, 2, ..., wiec tylko
takie stale sa dopuszczalne. Dla nich
gn (Ć) = cn cos nĆ + dn sin nĆ,
gdzie cn i dn sa dowolnymi stalymi. Odpowiadajace n2 równanie na funkcje
fn ma postać
r2fn (r) + rfn (r) - n2fn (r) = 0.
Jest to równanie Eulera, którego ukladem fundamentalnym rozwiazań jest
para funkcji r rn, r r-n, a w wyjatkowym przypadku n = 0 para
30
funkcji r 1, r ln r. Można wiec zapisać nieznane rozwiazanie v jako
sume szeregu
"
v (r, Ć) = fn (r) gn (Ć)
n=0
"
= c0 + d0 ln r + cnrn + dnr-n (cn cos nĆ + dn sin nĆ) .
n=1
Każdy skladnik tej sumy spelnia równanie różniczkowe bez wzgledu na wybór
stalych. Jeśliby wiec można bylo wejść pod znak sumy szeregu z pochodnymi
aż do rzedu 2 wlacznie z zachowaniem jednostajnej zbieżności, to funkcja
v spelnialaby równanie różniczkowe. Zaobserwowane przez nas wcześniej
+
żadanie, by istniala granica limr0 v (r, Ć) , oznacza, że dn = 0 dla n e" 0.
Pozostaje wykorzystać warunek brzegowy
"
h (Ć) = v (R, Ć) = c0 + cnRn (cn cos nĆ + dn sin nĆ) .
n=1
Porównujac wspólczynniki z szeregu Fouriera funkcji h
a0
c0 = , cnRncn = an, cnRndn = bn,
2
i w rezultacie
n
a0 " r
v (r, Ć) = + (an cos nĆ + bn sin nĆ) .
2 R
n=1
Zbieżność jednostajna tego szeregu w każdym kole domknietym B (0, R1)
‚" B (0, R) wraz z pochodnymi jest gwarantowana na podstawie kryterium
Weierstrassa i prostego faktu:
jeśli 0 < q < 1, ciag (an) jest ograniczony i p " N, to szereg
"
annpqn
n=1
jest bezwzglednie zbieżny.
Zatem otrzymana funkcja v spelnia równanie różniczkowe w kole B(0, R).
Przy funkcji h prawie dowolnej bedacej jedynie suma zbieżnego punktowo
szeregu Fouriera, nie jest wcale oczywiste, że
lim v (r, Ć) = h (Ć) .
rR-
Jest to konsekwencja tw. Abela (por. wyklady z analizy lub np. [Fichten-
cholz], t. 2, s. 344). W rezultacie znaleziona funkcja v jest rozwiazaniem
zagadnienia Dirichleta dla kola.
31
Jeśli wstawimy wzory na an i bn i wykorzystamy znany wzór trygonome-
tryczny
cos nÈ cos nĆ + sin nÈ sin nĆ = cos n (Ć - È) ,
to dostaniemy
Ä„
"
n
1 1 r
v (r, Ć) = h (È) + cos n (Ć - È) dÈ.
Ä„ 2 R
n=1
-Ä„
Możemy zsumować szereg w nawiasie kwadratowym. Wystarczy oznaczyć
r
z = ei(Ć-È).
R
Wtedy
" "
n
z r
zn = = (cos n (Ć - È) + i sin n (Ć - È)) ,
1 - z R
n=1 n=1
a wiec nasz szereg to cześć rzeczywista
"
z
Re zn = Re ,
1 - z
n=1
a wyrażenie w nawiasie kwadratowym to
1 z 1 1 + z 1 (1 + z) (1 - z)
Re + = Re = Re
2 1 - z 2 1 - z 2
|1 - z|2
2
r
1 -
1 1 - |z|2 1
R
= =
2
r
2
|1 - z|2 2 - (cos (Ć - È) + i sin (Ć - È))
1
R
1 R2 - r2
=
2 2
2 r r
R2 1 - cos (Ć - È) + sin2 (Ć - È)
R R
1 R2 - r2
= .
2 R2 - 2Rr cos (Ć - È) + r2
Ostatecznie otrzymujemy wzór (zwany wzorem Poissona):
Ä„
1 (R2 - r2) h (È)
v (r, Ć) = dÈ.
2Ä„ R2 - 2Rr cos (Ć - È) + r2
-Ä„
Ogólniej, dla zagadnienia Dirichleta w kuli B(0, R) ‚" Rn
"u = 0 w B(0, R), u | "B(0, R) = h
rozwiazaniem jest
1 R2 - ||x||2
u(x) = h(y) dSy,
ÃnR ||x - y||n
"B(0,R)
32
gdzie calkowanie odbywa sie wzgledem miary indukowanej na sferze, a Ãn
oznacza miare indukowana sfery o promieniu 1 w Rn.
Rozpatrzmy ruch membrany kolowej, której brzeg "B (0, 1) jest zamo-
cowany w polożeniu równowagi na stale. Oznacza to, że mamy równanie
falowe
utt = c2 (uxx + uyy) , (x, y, t) " B (0, 1) × (0, ")
z warunkiem brzegowym
u |"B (0, 1) × [0, ") = 0.
Zalóżmy, że znamy polożenie punktów membrany w chwili poczatkowej t = 0
i zależy ono jedynie od odleglości punktu od środka membrany. We wspólrzednych
biegunowych jest to funkcja A (r) zależna tylko od r = x2 + y2. Zalóżmy
też, że w tej chwili predkość wszystkich punktów membrany wynosi 0. Po
przejściu do wspólrzednych biegunowych na plaszczyz
nie x, y mamy wiec za-
gadnienie brzegowo-poczatkowe:
Å„Å‚
1 1
vtt = c2 vrr + vr + vĆĆ ,
ôÅ‚
ôÅ‚ r r2
òÅ‚
v (1, Ć, t) = 0,
v (r, Ć, 0) = A (r) ,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
vt (r, Ć, 0) = 0,
gdzie A : [0, R] R jest co najmniej ciagla. Uwzgledniajac niezależność wa-
runków brzegowo-poczatkowych od Ć możemy przyja ć, że rozwiazanie także
nie zależy od tej zmiennej i ostatecznie
1
vtt = c2 vrr + vr ,
r
v(1, t) = 0, v(r, 0) = A(r), vt(r, 0) = 0.
Warunek zgodności jest tylko jeden
A (1) = 0.
Jeśli żadamy, by v = f (r) h (t), to po wstawieniu do równania różniczkowego
i podzieleniu przez f · h otrzymamy
1
f (r) + f (r)
h (t)
r
= c2 .
h (t) f (r)
Stad stale powinny być funkcje
1
f (r) + f (r)
r
= ,
f (r)
h (t)
= c2.
h (t)
33
Zatem f spelnia
1
f (r) + f (r) - f (r) = 0.
r
Z warunku brzegowego wynika f (1) = 0 i poszukujemy takich stalych , dla
których równanie to posiada nietrywialne rozwiazanie skończone w r = 0
i znikajace w r = 1. Osobliwość dla r = 0 jednego ze wspólczynników
powoduje, że jedno z dwóch liniowo niezależnych rozwiazań ma biegun dla
r = 0, wiec jest nieograniczone. Drugie z nich poszukamy w postaci szeregu
potegowego
"
f(r) = cntn.
n=0
Wstawiajac do równania
"
f (r) = (n + 1)cn+1tn,
n=0
"
f (r) = (n + 2)(n + 1)cn+2tn
n=0
i porównujac wspólczynniki przy tych samych potegach t dostajemy
n
c2n+1 = 0, c2n = c0, n = 0, 1, . . . .
((2n)!!)2
Pierwszy wspólczynnik możemy wybrać dowolnie  kladziemy c0 = 1. Nie-
trudno zauważyć, że dla  e" 0 rozwiazania sa stale dodatnie, wiec  < 0.
Niech  = -µ2 i podstawmy do równania na f : Á := µr. Dostaniemy
nastepujace równanie na g(Á) := f(Á/µ) :
1
g (Á) + g (Á) + g(Á) = 0.
Á
Funkcje, która spelnia ro równanie i warunki: g(0) = 1, g (0) = 0, a wiec
"
(-1)k
g(Á) = Á2k
2k(k!)2
k=0
nazywamy funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzedu 0 i oznaczamy J0. Oto
wykres tej funkcji
34
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
5 10 15 20 25
rho
 0.2
 0.4
Jak widać ma ona liczne miejsca zerowe. W podrecznikach z funkcji
specjalnych dowodzi sie, że w istocie J0 ma ciag miejsc zerowych µn ".
JeÅ›li rozwiazanie f ma spelniać f(1) = 0, to f(r) = CJ0(µnr), gdzie C jest
dowolna stala. Wtedy rozwiazanie wyjściowego problemu ma postać
"
v(r, t) = J0(µnr) (an cos µnct + bn sin µnct) , (21)
n=1
gdzie an, bn sa stale. Stale te wyznaczymy teraz z warunków poczatkowych.
Udowodnimy najpierw warunek ortogonalności:
1
xJ0(µnx)J0(µmx) dx = 0, dla n = m.

0
Funkcja x J0(µx) spelnia równanie
1
u + u + µ2u = 0.
x
Równanie to z µ = µn mnożymy przez xJ0(µmx), równanie z µ = µm
mnożymy przez xJ0(µnx), i oba odejmujemy stronami:
d2 d2
x J0(µnx) J0(µmx) - J0(µmx) J0(µnx) +
dx2 dx2
d d
+ J0(µnx) J0(µmx) - J0(µmx) J0(µnx) +
dx dx
+(µ2 - µ2)xJ0(µmx)J0(µnx) = 0
m n
35
lub zauważajac, że pierwsze dwa skladniki sa pochodna iloczynu:
d d d
x J0(µnx) J0(µmx) - J0(µmx) J0(µnx) +
dx dx dx
+(µ2 - µ2)xJ0(µmx)J0(µnx) = 0.
m n
Calkujac te równość od 0 do 1 dostajemy teze.
Z warunku poczatkowego vt(r, 0) = 0 podstawiajac do (21) mamy bn = 0
dla każdego n, a z warunku v(r, 0) = A(r) dostajemy
"
A(r) = anJ0(µnr).
n-1
Mnożymy te równość przez rJ0(µmr) i calkujemy od 0 do 1. Po wykorzystaniu
pokazanej ortogonalności tylko jeden skladnik po prawej stronie nie znika.
Stad
1
rJ0(µmr)A(r) dr
0
am = .
1
2
rJ0 (µmr) dr
0
Wejście z calka pod znak sumy szeregu wykonane po drodze zachodzi przy
pewnych zalożeniach o regularności funkcji A. Tym problemem zajmować sie
nie bedziemy.
10 Funkcje harmoniczne
Niech &! bedzie podzbiorem otwartym Rn. Funkcje u : &! R nazywamy
harmoniczna w &!, jeśli jest klasy C2 i spelnia równanie Laplace a w &! :
n
"u = ux xi = 0. Zbiór funkcji harmonicznych w &! oznaczamy Har (&!).
i
i=1
Zbiór ten z naturalnymi dzialaniami stanowi przestrzeń liniowa.
Przyklady: (i) Funkcjonaly afiniczne, czyli funkcje postaci u (x) =
(a, x) + b, gdzie a " Rn, b " R należa do Har (Rn).
(ii) JeÅ›li &! ‚" &! i u " Har (&!), to u " Har (&! ) (w zasadzie powinniÅ›my
pisać u | &! " Har (&! )).
(iii) Wielomiany u1 (x, y) = x2 - y2, u2 (x, y) = x6 - 15x4y2 + 15x2y4 - y6
sa funkcjami harmonicznymi w R2.
(iv) Zdefiniujmy funkcje E : Rn × Rn \ {(x, x) : x " Rn} R wzorem
1
dla n > 2,
(n-2) x-y n-2
E (x, y) = (22)
- ln x - y dla n = 2.
Przy ustalonym y " Rn funkcja E (·, y) " Har (Rn \ {y}). Sprawdz
my to dla
n > 2 :
(-n+2)/2
1 "
Ex (x, y) = (xj - yj)2
i
n - 2 "xi j
36
-n/2
n - 2 1
= - · · 2 (xi - yi) · (xj - yj)2 ,
n - 2 2
j
1
Ex xi (x, y) = -
i
x - y n
n
- -1
2
n
- (xi - yi) · - · 2 (xi - yi) · (xj - yj)2 ,
2
j
n (xi - yi)2
"xE (x, y) = Ex xi (x, y) = - + n = 0.
i
x - y n
x - y n+2
i j
Funkcje E nazywamy rozwiazaniem fundamentalnym równania Laplace a.
Pozwala ona generować liczne przyklady funkcji harmonicznych. Przykladowo,
jeÅ›li “ jest (n - 1)-wymiarowa hiperpowierzchnia klasy C1 w Rn, a funkcja
Ć : “ R jest calkowalna (wzgledem miary indukowanej na “), to funkcja
u (x) = E (x, y) Ć (y) dSy
“
jest harmoniczna w Rn \ “. Problem okreÅ›lania tej funkcji dla x " “,
jej ciagloÅ›ci i różniczkowalnoÅ›ci na “ bedzie pojawial sie w dalszej czeÅ›ci
wykladu.
Niech &! bedzie zbiorem otwartym i ograniczonym w Rn o brzegu "&!
bedacym hiperpowierzchnia n - 1-wymiarowa klasy C1. To zalożenie bedzie
przyjmowane milczaco do końca tego wykladu.
Twierdzenie 1. Jeżeli u " Har (&!) )" C1 &! i v " C1 &! , to
n
"u
ux vx = v dS. (23)
i i
"½
i=1
&! "&!
Dowód. Na podstawie wzoru na calkowanie przez cześci mamy
0 = "u · v = (ux )x · v
i
i
i
&! &!
ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚- ux vx + vux cos (½, xi) dSÅ‚Å‚
=
i i i
i
&! "&!
"u
= - ux vx + v dS.
i i
"½
i
&! "&!
Wzór (23) nosi nazwe pierwszego wzoru Greena dla operatora Laplace a
". Otrzymujemy z niego natychmiast drugi wzór Greena dla u, v " Har (&!))"
37
C1 &! :
"u "v
v dS = u dS. (24)
"½ "½
"&! "&!
Twierdzenie 2. Jeżeli u " Har (&!) )" C1 &! i u |"&! = 0, to u = 0 w &!.
Dowód. Wystarczy do (23) wstawić v = u, aby otrzymać
"u
u2 = u dS = 0,
xi
"½
i
&! "&!
wiec dla każdego i " {1, ..., n}, ux = 0, w &!, a stad u = const. Stala ta może
i
być wylacznie 0 wobec znikania u na brzegu &!.
"u
Twierdzenie 3. Jeśli u " Har (&!) )" C1 &! i |"&! = 0, to u jest stala
"½
w &!.
Dowód jest analogiczny. Wstawiajac do drugiego wzoru Greena (24) v =
1 dostajemy:
Twierdzenie 4. Jeżeli u " Har (&!) )" C1 &! , to
"u
dS = 0.
"½
"&!
Twierdzenie 2 pozwala uzyskać pewnego rodzaju jednoznaczność rozwiazania
zagadnienia Dirichleta. Jeżeli u1, u2 sa dwiema funkcjami takimi, że "ui =
f (x) w &! oraz u i |"&! = Ć, przy czym u1, u2 sa klasy C1 &! , to u = u1-u2 "
Har (&!))"C1 &! i u |"&! = 0. Z tw. 2 wynika wiec, że u1 = u2. Niestety, oka-
zuje sie, że gdyby od rozwiazania zagadnień Dirichleta żadać, by bylo klasy
C1 &! , to wiekszość z nich nie mialaby rozwiazania. Potrzebujemy wiec tw.
2 w wersji wzmocnionej: u " Har (&!) )" C &! , u |"&! = 0 Ò! u = 0. Otrzy-
mamy taka wersje, ale przy użyciu subtelniejszych środków. Analogiczne
rozumowanie dotyczy tw. 3 i jednoznaczności (z dokladnościa do stalej)
rozwiazania zagadnienia Neumanna. Warunek brzegowy Neumanna jest na
"u
ogól spelniony w slabym sensie; |"&! = È oznacza istnienie granicy dla
"½
x " "&!
"u
lim (x - t½ (x)) = È (x) .
t0+ "½ (x)
Nastepne twierdzenie pelni kluczowa role w teorii funkcji harmonicznych.
Jego dowód wymaga zastosowania twierdzenia zwanego przez Anglosasów
tw. o dywergencji, a przez Rosjan tw. Greena-Gaussa-Ostrogradskiego.
Twierdzenie 5 (o wartości średniej dla funkcji harmonicznych). Jeżeli
u " Har (B (x, R)) )" C1 B (x, R) , to
1 1
u (x) = u (y) dS = u (y) dy. (25)
1
ÃnRn-1 ÃnRn
n
"B(x,R) B(x,R)
38
1
Ponieważ ÃnRn jest miara kuli B (x, R), a ÃnRn-1 miara sfery
n
"B (x, R), po których calkujemy, drugi i trzeci czlon równości (25) możemy
uważać za wartość średnia funkcji u odpowiednio na sferze i na kuli. Sile
tw. 5 widzimy dopiero, gdy uzmyslowimy sobie, że równość (25) zachodzi
dla każdej kuli zawartej w obszarze harmoniczności funkcji u.
Zasada maksimum. Niech &! bedzie zbiorem otwartym i spójnym w
Rn, a u bedzie funkcja harmoniczna w &!. Wówczas jeśli dla pewnego x0 " &!
mamy
sup |u (x)| = |u (x0)| ,
x"&!
to u jest funkcja stala.
Dowód. Przeprowadzimy go dla przypadku u (x0) > 0 zostawiajac przy-
padek u (x0) < 0 jako ćwiczenie.
Wybierzmy kule B (x0, R) ‚" &!. Z zalożenia u (x) d" u (x0) dla x "
B (x0, R), a wiec z twierdzenia o wartości średniej
1 1
u (x0) = u (x) dx = u (x0) dx.
µn (B (x0, r)) µn (B (x0, r))
B(x0,R) B(x0,R)
Zatem
(u (x0) - u (x)) dx = 0
B(x0,R)
i wobec nieujemności funkcji podcalkowej (i jej ciaglości) u (x) = u (x0) dla
x " B (x0, R).
Oznaczmy przez D = {x " &! : u (x) = u (x0)}. Pokazaliśmy, że D jest
otwarty w &!. Jego domknietość w &! wynika z ciaglości funkcji u: D =
u-1 ({u (x0)}). Spójność &! oznacza teraz, że albo D = " albo D = &!. Ale
x0 " D, wiec D = &!.
Latwo stad wynika, że jeśli &! jest otwarty i ograniczony w Rn i u "
Har (&!) )" C &! , to
sup u (x) = sup u (x) , inf u (x) = inf u (x) ,
x"&! x""&!
x"&! x""&!
i dalej
Tw. o jednoznaczności dla zagadnienia Dirichleta. Jeżeli ui, i = 1, 2, sa
rozwiazaniami zagadnienia Dirichleta: "u = f (x), u | "&! = Ć, to u1 = u2.
11 Rozwiazanie zagadnień brzegowych Diri-
chleta i Neumanna
Niech &! bedzie otwartym i ograniczonym podzbiorem Rn o brzegu "&! bedacym
(n - 1)-wymiarowa hiperpowierzchnia klasy C1. Potencjalem objetościowym
39
o gestoÅ›ci µ : &! R nazywamy funkcje V : Rn R dana wzorem
V (x) = E (x, y) µ (y) dy (26)
&!
przy zalożeniu, że funkcja µ jest ciagla na &!. Calka istnieje przy dowol-
nym x " Rn, a ponadto V jest funkcja ciagla na Rn. Ustalmy n > 2.
1
Ponieważ Ex (x, y) = - xi-yi , |Ex (x, y)| d" wiec funkcja V jest
i
x-y n i
x-y n-1
różniczkowalna wzgledem xi oraz
Vx (x) = Ex (x, y) µ (y) dy, i = 1, ..., n,
i i
&!
i znowu V " C1 (Rn). Jednakże różniczkowanie dwukrotne pod znakiem calki
wzgledem xi nie jest już dozwolone, bowiem najlepszym oszacowaniem na
n
|Ex xi (x, y)| jest const/ x - y , a wykladnik ten  n  jest zbyt duży (Ex xi
i i
nie jest funkcja lokalnie calkowalna). Jednakże w punktach x " &! możemy
/
różniczkować dowolna ilość razy funkcje V , ponieważ funkcja podcalkowa po
zróżniczkowaniu jest ograniczona, a miara zbioru &! jest skończona. Zatem
dostajemy
Vx xi (x) = Ex xi (x, y) µ (y) dy
i i
&!
dla x " Rn \ &! i stad
"V (x) = "xE (x, y) µ (y) dy = 0.
&!
W rezultacie V " Har Rn \ &! . Jeżeli wzmocnimy lekko zalożenie o funkcji
µ, to funkcja V bedzie także klasy C2 (&!), ale nie bedzie możliwe wejÅ›cie z
pochodnymi pod znak calki a jedynie
Twierdzenie 1. Jeżeli µ " C1 &! , to
"V (x) = -Ãnµ (x) , x " &!.
Znowu kluczowa role w dowodzie odgrywa tw. o dywergencji.
Jednym z rozwiazań równania Poissona "u = f (x) w &! jest wiec funkcja
1
u0 (x) = - E (x, y) f (y) dy.
Ãn
&!
Na brzegu "&! ma ona ustalone wartości Ć0 " C ("&!) (przypomnijmy ciaglość
potencjalu objetościowego na Rn). Aby wiec rozwiazać problem brzegowy
Dirichleta
"u = f (x) , u|"&! = 0,
40
wystarczy znalez
ć rozwiazanie problemu
"v = 0, u|"&! = -Ć0,
i wzia ć u = u0+v. Analogiczna uwaga dotyczy problemu Neumanna, bowiem
u0 " C1 (Rn). Wszystkie zagadnienia brzegowe dla równania Poissona spro-
wadzaja sie w ten sposób do problemów brzegowych dla równania Laplace a.
Do rozwiazania tych ostatnich wykorzystamy potencjaly warstwy poje-
dyncej i podwójnej. Potencjalem warstwy pojedynczej o gestoÅ›ci µ " C ("&!)
nazywamy funkcje
S (x) = E (x, y) µ (y) dSy, (27)
"&!
a warstwy podwójnej funkcje
"E (x, y)
D (x) = µ (y) dSy. (28)
"½y
"&!
Dla x " Rn \ "&! istnienie obu calek jest oczywiste. Oczywiste jest też, że
S, D " C" (Rn \ "&!) i z pochodnymi można wchodzić pod znak calki. Stad
dla x " Rn \ "&!
"S (x) = "xE (x, y) µ (y) dSy = 0 dS = 0,
"&! "&!
"
"D (x) = "xE (x, y) µ (y) dSy = 0,
"½y
"&!
czyli S, D " Har (Rn \ "&!). Pewnym klopotem jest zachowanie sie obu funk-
cji na "&!. Funkcja S jest ciagla także w punktach x " "&!. Istnienie calki
(28) dla x " "&! wymaga jednak subtelnych rozważań, bowiem przy n > 2
"E (x, y) xi - yi (½y, x - y)
= · (½y)i =
"½y x - y n x - y n
i
cos (½y, x - y)
= .
x - y n-1
JeÅ›li wiec oszacujemy |cos (½y, x - y)| d" 1, to funkcja podcalkowa ma oso-
bliwość stopnia krytycznego dla y = x.
Zalóżmy odtad, że brzeg "&! jest hiperpowierzchnia n - 1-wymiarowa
klasy C2 (do tej pory wystarczylo klasy C1). Wtedy subtelne oszacowanie
(lemat 2 str. 40 [8]) daje nam istnienie calki D(x) także dla x " "&!.
Jednak nie możemy twierdzić, że funkcja D jest ciagla na Rn  sa jedynie
ciagle trzy osobne galezie: na &!, na "&! i na Rn\&!. Mimo to istnieja skończone
granice lim&! xx0""&!D (x), limR \&! xx0D (x) .
n
41
Twierdzenie 2. Niech x0 " "&!. Wówczas dla potencjalu warstwy
podwójnej o gestoÅ›ci µ " C ("&!) zachodzi
lim&! xx0D (x) = -1Ãnµ (x0) + D (x0) ,
2
limR \&! xx0D (x) = +1Ãnµ (x0) + D (x0) .
n
2
Analogicznie dla potencjalu warstwy pojedynczej ma miejsce skok ich
pochodnych normalnych przy przejściu przez "&!.
Twierdzenie 3. Niech x0 " "&!. Dla potencjalu warstwy pojedynczej o
gestoÅ›ci µ " C ("&!) zachodza wzory
"S (x) 1 "S (x0)
lim = + Ãnµ (x0) + ,
&! x=x0+t½x0 x0 0
"½x 2 "½x
0
"S (x) 1 "S (x0)
lim = - Ãnµ (x0) + ,
"½x 2 "½x
Rn\&! x=x0+t½x0 x0 0
0
gdzie
"S (x0) cos (½x , x0 - y)
0
= - µ (y) dSy.
"½x
x0 - y n-1
0
"&!
Bedziemy rozważać cztery zagadnienia brzegowe: wewnetrzne Dirichleta
(Dw) "u(x) = 0, x " &! u|"&! = Õ,
wewnetrzne Neumanna
"u
(Nw) "u(x) = 0, x " &! |"&! = È,
"½
zewnetrzne Dirichleta
(Dz) "u(x) = 0, x " Rn \ &! u|"&! = Õ, lim u(x) = 0,
||x||"
i zewnetrzne Neumanna
"u
(Nz) "u(x) = 0, x " Rn \ &! |"&! = È, lim u(x) = 0.
"½ ||x||"
Rozwiazań obu zagadnień Dirichleta poszukujemy w postaci potencjalu war-
stwy podwójnej o nieznanej gestoÅ›ci µ, a rozwiazaÅ„ obu zagadnieÅ„ Neumanna
poszukujemy w postaci potencjalu warstwy pojedynczej o nieznanej gestości
µ. Mamy wtedy gwarancje, że funkcje te beda spelniać równanie Laplace a i
ew. warunki graniczne w nieskończoności. Warunki na brzegu zbioru &! pro-
wadza wtedy do nastepujacych równaÅ„ calkowych na gestoÅ›ci µ na podstawie
tw. 2 i 3:
"E (x, y) 1
"
µ (y) dSy - Ãnµ (x) = Õ (x) , (Dw)
"½y 2
"&!
42
"E (x, y) 1
"
µ (y) dSy + Ãnµ (x) = Ć (x) , (Dz)
"½y 2
"&!
"E (x, y) 1
"
µ (y) dSy + Ãnµ (x) = È (x) , (Nw)
"½x 2
"&!
"E (x, y) 1
"
µ (y) dSy - Ãnµ (x) = È (x) . (Nz )
"½x 2
"&!
Do tych równań calkowych stosuje sie teoria Fredholma - p. dowolny
podrecznik analizy funkcjonalnej np. W. Kolodziej Wybrane rozdzialy ana-
lizy matematycznej. Pozwala to stwierdzić istnienie dokladnie jednego rozwiazania
dla (Dw) przy dowolnej ciaglej funkcji Õ, dokladnie jednego rozwiazania dla
(Nz) przy dowolnej ciaglej funkcji È. Dla (Nw) rozwiazanie istnieje tylko dla
È spelniajacych warunek
È dS = 0
"&!
por. tw. 4 z poprzedniego rozdzialu. Pozostale rozwiazania (Nw) różnia
sie od tego, które jest potencjalem warstwy pojedynczej o stale. Wreszcie
zagadnienie (Dz) zawsze ma dokladnie jedno rozwiazanie, ale niekoniecznie
jest ono potencjalem warstwy podwójnej a jedynie suma takiego potencjalu
i cE(x0, ·), gdzie x0 " &! jest odpowiednio wybranym punktem, a c " R
odpowiednio dobrana stala. Wiecej na ten temat w [8].
43