RÓWNANIA RÓśNICOWE I RÓśNICZKOWE
Równania ró\
nicowe pierwszego rzędu
Równania typu:
"yt = 2
1)
lub
"yt = -0,1yt
2)
nazywane są równaniami ró\
nicowymi.
W równaniach tych pewna zmienna (np. czas t) traktowana jest jako
zmienna dyskretna, czyli mo\
e przyjmować tylko wartości całkowite.
W takim przypadku schemat zmian zmiennej y musi być opisany przez
"y
tzw. ró\
nice ( ).
1
Równowa\
ne formy zapisu równań 1) i 2) to:
yt+1 - yt = 2
1 )
lub
yt+1 = yt + 2
1  )
oraz
yt+1 - 0,9yt = 0
2 )
lub
yt+1 = 0,9yt .
2  )
Powy\
sze równania są równaniami pierwszego rzędu, poniewa\

"yt , obejmujące opóz
nienie tylko
występują tu jedynie pierwsze ró\
nice
o jeden okres.
2
Rozwiązywanie równań ró\
nicowych pierwszego rzędu
Metoda iteracyjna
Równanie ró\
nicowe opisuje sposób, w jaki y zmienia się dla dwu
y0 , mo\
na
kolejnych okresów. Gdy dana jest wartość początkowa
y1 y1 y2
wyznaczyć wartość . Znając wartość , mo\
na otrzymać .
W wyniku kolejnych powtórzeń (iteracji) schematu zmian opisanego
yt
równaniem ró\
nicowym mo\
na otrzymać dowolną wartość .
3
Przykład 1.
"yt = -0,1yt , dla wartości początkowej
Rozwiązać równanie ró\
nicowe
y0 .
RozwiÄ…zanie
yt+1 = 0,9yt . MetodÄ… iteracyjnÄ… otrzymujemy:
Zapis równowa\
ny to
y1 = 0,9y0 ,
y2 = 0,9y1 = 0,9Å"0,9y0 = (0,9)2 y0 ,
y3 = 0,9y2 = 0,9Å"(0,9)2 y0 = (0,9)3 y0 ,
...........................................................
co mo\
na podsumować w rozwiązaniu:
yt = (0,9)t y0 .
4
Wzór ogólny
Dla równania ró\
nicowego pierwszego rzędu:
yt+1 + ayt = c
ogólne rozwiązanie ma postać:
c c
ëÅ‚ öÅ‚
t
yt = y0 - (- a) + , a `" -1
ìÅ‚ ÷Å‚
1+ a 1+ a
íÅ‚ Å‚Å‚
lub
yt = y0 + ct, a = -1.
5
ZASTOSOWANIE RÓWNAC
RÓśNICOWYCH W EKONOMII
Model pajęczyny
Model ten zakłada, \
e nie jest mo\
liwe natychmiastowe dostosowanie
wielkości produkcji do aktualnej sytuacji rynkowej, a producenci muszą
opierać swoje plany produkcyjne na obserwacji dotychczasowego
poziomu cen (takie zjawisko mo\
na spotkać np. w rolnictwie, hodowli i
wszędzie tam, gdzie występuje długi cykl produkcyjny).
Popyt to nadal funkcja postaci QDt = f(Pt), natomiast zmiennÄ… w funkcji
poda\
y nie jest ju\
bie\
Ä…ca cena danego dobra, ale cena, jaka
ukształtowała się w poprzednim okresie: QSt = f(Pt-1)
6
Przyjmując liniowe wersje opóz
nionej funkcji poda\
y i nieopóz
nionej
funkcji popytu, otrzymujemy model rynku zło\
ony z równań:
QDt = QSt ,
QDt = a - bPt , gdzie a, b > 0,
QSt = -c + dPt-1 , gdzie c, d > 0.
Podstawiając dwa ostatnie równania do pierwszego, mo\
na model
sprowadzić do pojedynczego równania ró\
nicowego pierwszego rzędu.
Po znormalizowaniu i przesunięciu indeksu o jeden okres:
d a + c
Pt+1 + Pt =
.
b b
Rozwiązaniem równania jest wyra\
enie:
t
a + c d a + c
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚- öÅ‚
Pt = P0 - +
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
.
b + d b b + d
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
7
W modelu pajęczynowym nie zawsze mo\
liwe jest dojście do stanu
t
d
ëÅ‚- öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
równowagi. Wyra\
enie
powoduje, \
e ście\
ka czasowa oscyluje.
b
íÅ‚ Å‚Å‚
Powoduje to powstanie zjawiska  pajęczyny :
b > d b < d b = d
P S
P S P S
P2
P0 = P2
P0
P0
P2
P1
P1
P1
D
D
D
Q Q
Q2 Q1 Q Q2 Q1 Q2 Q1
8
Równania ró\
niczkowe pierwszego rzędu
Równaniem ró\
niczkowym nazywamy równość, w której
niewiadomymi są pewna funkcja i jej pochodne. Rzędem równania
ró\
niczkowego nazywa siÄ™ rzÄ…d najwy\
szej z pochodnych (funkcji
niewiadomej) występujących w równaniu.
9
Równanie ró\
niczkowe Bernoulliego
Równaniem ró\
niczkowym Bernoulliego nazywamy równanie
ró\
niczkowe postaci
dy
+ p(x)y = q(x)Å" yn, n =1,2,...,
,
dx
gdzie funkcje p oraz q są funkcjami ciągłymi odpowiednio w przedziale
[a, b].
Rozwiązanie równania Bernoulliego ma postać
x2
-
1
2
y = Ä… e
.
- 2x + C
10
ZASTOSOWANIE RÓWNAC
RÓśNICZKOWYCH W EKONOMII
Model wzrostu Solowa
Model składa się z trzech równań:
Ä…
1) Przekształcając funkcję produkcji Q = K L1-ą otrzymuje się funkcję
K
Q = L Å" f ( ,1)
produkcji na jednego zatrudnionego , a następnie
L
Q = L Å"Õ(k)
, gdzie: k to techniczne uzbrojenie pracy.
dK
= s Å" Q
2) co oznacza, \
e stała część produktu narodowego jest
dt
inwestowana.
dL
= 

3) , gdzie: to stała stopa wzrostu poda\
y pracy.
L Å" dt
Z powy\
szych równań otrzymuje się równanie Solowa wyra\
ajÄ…ce
przyrost technicznego uzbrojenia pracy w czasie:
dk
= s Å"Õ(k ) -  Å" k
dt
11
Uwzględniając równanie 1) równanie Solowa przyjmuje postać
równania Bernoulliego
dk
+ k = skÄ… .
dt
Rozwiązaniem tego równania jest wyra\
enie
s s
îÅ‚k(0)1-Ä… - Å‚Å‚e-(1-Ä… )t
k(t)1-Ä… = +
ïÅ‚ śł
.
 
ðÅ‚ ûÅ‚
t "
Rozwiązanie to określa ście\
kÄ™ czasowÄ… dla k. Przy wyra\
enie
1
s
s ëÅ‚ öÅ‚1-Ä…
k
k1-Ä… ìÅ‚ ÷Å‚
, czyli .


íÅ‚ Å‚Å‚
Oznacza to, \
e techniczne uzbrojenie pracy dÄ…\
y do stałej wartości, zaś

stopa wzrostu inwestycji dÄ…\
y do (z dalszych przekształceń).
12