Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ Równania różniczkowe. 1
Chemia - przełom semestru 1 i 2: Równania różniczkowe.
Część 1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego.
dy f(x)
1. Równanie o zmiennych rozdzielonych: = . Rozwiązaniem jest
dx g(y)

g(y)dy = f(x)dx + C.
2. Równanie jednorodne (względem x i y; nie mylić z równaniem liniowym jednorodnym, tzn. o pra-

dy y
wej stronie równej zeru - zob. poniżej): = f . Równanie to można za pomocą podstawienia
dx x
y
u(x) = (wtedy y = ux, y = u x + u) sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych.
x
dy
3. Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego: + p(x)y = q(x). Rozwiązujemy najpierw
dx
dy
równanie liniowe jednorodne czyli +p(x)y = 0  jest to równanie o rozdzielonych zmiennych.
dx

RozwiÄ…zanie otrzymujemy w postaci y(x) = Ce- p(x)dx = CÅš(x), z pewnÄ… ustalonÄ… funkcjÄ… Åš.
Następnie  uzmienniamy stałą C, tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego
jest funkcja postaci: y(x) = C(x)Åš(x), z pewnÄ… nowÄ… funkcjÄ… niewiadomÄ… C(x). Podstawiamy y(x)
do rozwiązywanego równania i znajdujemy najpierw funkcję C (x) (samo C(x) powinno wszędzie
się uprościć), a następnie, całkując - znajdujemy C(x).
dy
4. Równanie różniczkowe Bernoulliego: + p(x)y = q(x)yą (gdzie ą = 0, 1, bo jeśli ą = 0 jest

dx
to po prostu rozważone poprzednio równanie liniowe, zaś jeśli ą = 1 to jest to równanie liniowe
jednorodne, a więc o rozdzielonych zmiennych). Po ewentualnym podzieleniu przez yą za pomocą
podstawienia z(x) = y1-ą sprowadzamy do równania liniowego.
5. Równanie różniczkowe zupełne: równanie postaci P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, gdzie lewa strona
jest różniczką zupełną pewnej funkcji F (x, y) (zwanej również potencjałem pola wektorowego
"F "F
[P, Q]), tzn. = P (x, y) i = Q(x, y) (równoważnie, dwuwymiarowy gradient funkcji F jest
"x "y

równy właśnie [P, Q]: [Fx, Fy] = [P, Q], czyli Fx = P i Fy = Q). Rozwiązaniem równania zupełnego
(w postaci uwikłanej) jest wtedy rodzina wszystkich krzywych F (x, y) = C. Jeżeli funkcje P i Q
posiadają ciągłe pierwsze pochodne w danym obszarze płaskim D, to warunkiem koniecznym na
"P "Q
to aby równanie było zupełne (w D) jest, aby pochodne  na krzyż były sobie równe: = .
"y "x
W przypadku gdy obszar D jest jednospójny (mówiąc obrazowo, ale niezbyt ściśle, nie posiada
 dziur ), to wspomniany warunek jest również warunkiem dostatecznym. W praktyce zamiast
sprawdzać czy warunek konieczny jest również warunkiem dostatecznym, po prostu znajdujemy
potencjał F , i fakt możliwości jego znalezienia jest jednocześnie dowodem na to, że dane równanie
jest zupełne.
Funkcję F o której jest mowa w definicji równania zupełnego (i której znalezienie jest równoznaczne
ze znalezieniem rozwiązania danego równania) znajdujemy poprzez dwukrotne całkowanie, wy-

korzystując najpierw np. warunek Fx = P ; całkując obustronnie, znajdujemy F z dokładnością,
jak zwykle przy całkowaniu, do stałej; ale ponieważ przy tym całkowaniu druga zmienna (w tym
przypadku y) jest parametrem, więc owa  stała w istocie zależy od tej zmiennej  i zapisujemy
jÄ… w postaci Õ(y). Teraz wykorzystujÄ…c to co już wiemy o poszukiwanej funkcji F i korzystajÄ…c z
Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ Równania różniczkowe. 2

drugiego warunku (Fy = Q) dostajemy pewne równanie na pochodnÄ… funkcji Õ(y) czyli Õ (y), przy
czym bardzo istotne jest że owa pochodna, podobnie jak sama funkcja Õ(y) może zależeć tylko
od zmiennej y (inaczej mówiąc, wszystkie człony zawierające zmienną x muszą się zredukować).
Jeżeli tak nie jest, tzn. wychodzi nam, że Õ (y) i w konsekwencji samo Õ(y) zależy nie tylko od
zmiennej y, ale i od x - może to oznaczać albo że samo badane równanie nie jest równaniem
zupełnym  albo że nastąpił błąd przy jednym z całkowań. Aby wykluczyć takie pomyłki, dobrze
jest bezpośrednio sprawdzić, czy warunek konieczny zupełności równania jest spełniony.
6. Jeżeli P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 niekoniecznie jest równaniem zupełnym, ale po pomnożeniu przez
µ(x, y) powstaÅ‚e równanie czyli µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 jest równaniem zupeÅ‚nym,
to funkcjÄ™ µ(x, y) nazywamy czynnikiem caÅ‚kujÄ…cym lub mnożnikiem caÅ‚kujÄ…cym dla tego
równania. W ogólnym przypadku, znalezienie mnożnika całkującego dla równania wymagałoby
rozwiązania pewnego równania różniczkowego o pochodnych cząstkowych, co jest na ogół jesz-
cze trudniejsze niż rozwiązanie pierwotnego równania, ale w szczególnym przypadku gdy istnieje
czynnik całkujący zależny tylko od jednej zmiennej (x albo y), to można go znalez
ć stosunkowo
Å‚atwo, a mianowicie:

1 "P "Q
Jeśli - zależy tylko od zmiennej x, to równanie ma czynnik całkujący
Q "y "x


1 "P "Q
- dx
Q "y "x
µ(x) = e ;

1 "Q "P
jeśli - zależy tylko od zmiennej y, to równanie ma czynnik całkujący
P "x "y


1 "Q "P
- dy
P "x "y
µ(y) = e .
Rozwiązać równania różniczkowe:
1) (o rozdzielonych zmiennych):

dy
a) = e2x+y; b) xy + y = y2; c) 2x 1 - y2dx + y dy = 0; d) (y2 + xy2)dx + (x2 - x2y)dy = 0.
dx
2) (jednorodne względem x i y)
dy x2 + y2 dy x + y
a) = ; b) = ; c) y2 + x2y = d) (y2 - 3x2)dy + 2xy dx = 0;
dx xy dx 3x - y
xyy ;
e) (x2 + 2xy - y2) + (y2 + 2xy - x2)y = 0; f) y - xy = x + g) (2x - y)y = 2y - x.
yy ;
dy y
2
3) (liniowe): a) - y tg x = 2 sin x; b) y + = x2; c) y + 2xy = e-x ; d) y - 2xy = 2x3;
dx x
1 - 2x
e) y + y cos x = sin x cos x; f) y - exy = e2x; g) y + y = 1, y(1) = 1 + e.
x2
"
dy 2 x dy y 3 x
4) (Bernoulliego): a) xy + xy2 - y = 0; b) y + xy = xy-3; c) + y = ; d) + = ;
"
dx 3 y dx x y2
y
" 2
e) + 4x y = 2xe-x ; f) y - 9x2y = (x5 + x2)y2/3; g) y - 9x2y = 3(x5 - x2)y2/3.
"
y
5) (zupełne - sprawdzić!)
Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ Równania różniczkowe. 3
a) (4x3 + 2xy2 + 1)dx + (2x2y - 1)dy = 0; b) xy2dx + (x2y + y3 - 4y)dy = 0;

1 y2 x2 1
c) ex(y3 + xy3 + 1)dx + 3y2(xex - 6)dy = 0; d) - dx + - dy = 0;
x (x - y)2 (x - y)2 y
2 2
e) (y2exy + 4x3)dx + (2xyexy - 3y2)dy = 0.
6) (znalez
ć mnożniki całkujące, zależne od jednej zmiennej):
a) (x + y)dx - x dy = 0; b) y(1 + xy)dx - x dy = 0; c) (sin x + ey)dx + cos x dy = 0;
d) (1 - 3x2 sin y)dx - x ctg y dy = 0; e) y2dx + (xy - 1)dy = 0.
Chemia - sem. 2. Równania różniczkowe. Część 2. Równania różniczkowe wyższych rzędów.
" Równanie różniczkowe II rzędu F (x, y, y , y ) = 0 (w szczególności y = f(x, y, y ) w pewnych
przypadkach można sprowadzić do równania I rzędu:
1. Równanie postaci F (x, y , y ) = 0 lub, w szczególności, y = f(x, y ) (a więc nie występuje y):
stosujemy podstawienie z = y ;
2. Równanie postaci F (y, y , y ) = 0 lub, w szczególności, y = f(y, y ) (a więc nie występuje x):
du
stosujemy podstawienie y = u(y) (wtedy y = u (y) · u(y) = u );
dy

3. Gdy znamy jedno z rozwiązań y1(x), wtedy stosujemy podstawienie y(x) = y1(x) u(x) dx.
" Równanie any(n) + an-1y(n-1) + . . . + a1y + a0y = f(x), gdzie an = 0 nazywamy równaniem

różniczkowym liniowym rzędu n o stałych współczynnikach. Ponieważ przez podzielenie
tego równania stronami przez współczynnik an = 0 zawsze można otrzymać postać, w której

współczynnik przy najwyższej (n tej) pochodnej jest równy zeru, w niektórych podręcznikach
równanie tego typu zapisuje się w postaci y(n) + an-1y(n-1) + . . . + a1y + a0y = f(x)  ale tutaj
nie będziemy stosowali tego ograniczenia (ma to wpływ na postać układu równań stosowanego w
metodzie uzmienniania stałych. (Będziemy rozważać tylko równania o rzeczywistych współczyn-
nikach an, an-1, . . . a0, i poszukiwać rzeczywistych jego rozwiązań.) Jeżeli f(x) a" 0 to równanie
to nazywamy liniowym jednorodnym, w przeciwnym przypadku  niejednorodnym. Najpierw roz-
wiązujemy zawsze odpowiednie równanie jednorodne.
" Rozwiązanie równania zależy od (zespolonych) pierwiastków tzw. równania charakterystycznego:
anrn + an-1rn-1 + . . . + a1r + a0 = 0,
(tych zespolonych pierwiastków jest zawsze n, licząc krotności); na mocy założenia że współczyn-
niki danego równania różniczkowego (a więc i jego równania charakterystycznego) są rzeczywiste,
każdy nierzeczywisty (tzn. o części urojonej ² = 0) pierwiastek (Ä… + ²i) wystÄ™puje zawsze w parze

wraz ze swym sprzężeniem (Ä…-²i)  w szczególnoÅ›ci krotność danego pierwiastków Ä…+²i i Ä…-²i
jest taka sama.
Pamiętając o tym, konstruujemy rozwiązanie równania jednorodnego n tego rzędu o stałych
współczynnikach w następujący sposób:
1. Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 równania charakterystycznego odpo-
0
wiada funkcja y0(x) = er x.
2. Każdemu k-krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada k funkcji:
0 0 0 0
y1(x) = er x, y2(x) = xer x, y3(x) = x2er x . . . yk(x) = xk-1er x.
Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ Równania różniczkowe. 4
(każda następna powstaje z poprzedniej przez pomnożenie przez zmienną niezależną x).
3. Każdej parze jednokrotnych pierwiastków zespolonych Ä… + ²i oraz Ä… - ²i, gdzie ² = 0 odpo-

wiadajÄ… dwie funkcje
y(x) = eÄ…x cos ²x oraz z(x) = eÄ…x sin ²x.
[bÄ™dÄ…ce odpowiednio częściÄ… rzeczywistÄ… i urojonÄ… funkcji e(Ä…+²i)x = eÄ…x(cos ²x + i sin ²x)].
4. Każdej parze k-krotnych pierwiastków zespolonych Ä… + ²i oraz Ä… - ²i (² = 0) odpowiada 2k

funkcji:
y1(x) = eÄ…x cos ²x, y2(x) = xeÄ…x cos ²x, . . . , yk(x) = xk-1eÄ…x cos ²x,
z1(x) = eÄ…x sin ²x, z2(x) = xeÄ…x sin ²x, . . . , zk(x) = xk-1eÄ…x sin ²x,
będących odpowiednio częściami rzeczywistymi i częściami urojonymi funkcji
e(Ä…+²i)x, xe(Ä…+²i)x, . . . , xk-1e(Ä…+²i)x.
Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego n tego rzędu o stałych współczynnikach jest kom-
binacja liniowa wszystkich funkcji y1, y2, . . . , yn odpowiadajÄ…cych wszystkim kolejnym n pierwiast-
kom równania charakterystycznego, tzn. funkcja y = C1y1 + ... + Cnyn. Jeszcze raz podkreślamy,
że ilość stałych dowolnych w rozwiązaniu (i niezależnych funkcji wchodzących do rozwiązania)
jest równa rzędowi równania (n).
Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywania. (Me-
toda przewidywania  w dodatku przy końcu zestawu.)
Metoda uzmienniania stałych polega na tym, że poszukujemy rozwiązania równania niejednorodnego w
postaci y = C1(x)y1 + C2(x)y2 + . . . + Cnyn, która powstaje w wyniku zastąpienia stałych Cj w rozwią-
zaniu ogólnym równania jednorodnego przez pewne pomocnicze funkcje niewiadome Cj(x). Pochodne

tych funkcji wyznaczamy z układu n równań liniowych z n niewiadomymi C1(x), C2(x), . . ., Cn(x):
Å„Å‚
ôÅ‚ C1 (x)y1(x) +C2 (x)y2(x) +. . .+Cn (x)yn(x) = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ C1 (x)y1 (x) +C2 (x)y2 (x) +. . .+Cn (x)yn (x) = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
f(x)
ôÅ‚
ôÅ‚
ół C1 (x)y1(n-1)(x)+C2 (x)y2(n-1)(x)+. . .+Cn (x)yn(n-1)(x) =
an
(Zauważmy, że we wszystkich równaniach z wyjątkiem ostatniego po prawej stronie występuje zero, a w
ostatnim funkcja po prawej stronie równania podzielona przez współczynnik przy najwyższej pochodnej
występującej w równaniu, tzn. y(n) . Współczynniki przy niewiadomych C1 , C2 , . . ., Cn w pierwszym
równaniu są funkcjami występującymi w rozwiązaniu odpowiedniego równania jednorodnego, w drugim
- pochodnymi tych funkcji itd., aż do n - 1-szych pochodnych w ostatnim równaniu; inaczej mówiąc,
współczynniki w każdym równaniu oprócz pierwszego są pochodnymi współczynników z poprzedniego
równania.) W odróżnieniu od równania liniowego pierwszego rzędu o dowolnych (niekoniecznie stałych)
współczynnikach, podstawianie postaci y = C1(x)y1 + ... + Cn(x)yn do wyjściowego równania niejed-
norodnego nie pozwoli wyznaczyć funkcji C1(x), C2(x), . . ., Cn(x), ponieważ otrzymamy tylko jeden
związek, a tymczasem niewiadomych jest bardzo wiele (same funkcje oraz ich kolejne pochodne aż do
rzędu n włącznie). Dlatego musimy korzystać z  gotowego układu równań na wyznaczenie pochodnych
tych funkcji.) (Chyba że da się zastosować metoda przewidywań  zob. dalej.)

Po wyznaczeniu pochodnych Cj(x), w wyniku n całkowań znajdujemy same funkcje Cj(x) = Śj(x)+Dj
i wypisujemy ostateczne rozwiązanie y = C1(x)y1 + C2(x)y2 + . . . + Cn(x)yn, zawierające n stałych
dowolnych D1, D2, . . ., Dn.
Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ Równania różniczkowe. 5
1) Rozwiązać równania różniczkowe drugiego rzędu postaci F (x, y , y ) = 0:
a) (1 + x)y = y ; b) (x + 1)y + x(y )2 = y , y(0) = 2, y (0) = 2
(Uwaga: b) daje się też rozwiązać ogólnie, bez tych warunków, ale staje się to dość uciążliwe ze względu
na konieczność rozważenia kilku przypadków);
c) y (x2 + 1) = 2xy , y(0) = 1, y (0) = 3; d) y = -y tg x + sin 2x; e) xy - y ln (y /x) = 0.
2) Rozwiązać równania różniczkowe drugiego rzędu postaci F (y, y , y ) = 0:

2y = ey 3y y = 2y, yy + y 2 = 1,
"
a) b) c)
y(0) = 0, y (0) = 1; y(0) = y (0) = 1;
y(0) = 1, y (0) = 2;
2 y(1 - ln y)y +
d) y + (y )2 = 0; e) f) 2yy - 3(y )2 = 4y2;
+(1 + ln y)(y )2 = 0;
1 - y

y = y ln y ,
g) y = (y )3 ln y; h) yy - (y )2 = y2y ; i)
y(0) = y (0) = 1.
3) Rozwiązać równania rzędu drugiego, wiedząc, że y1(x) jest jednym z rozwiązań:
Å„Å‚
1 9
ôÅ‚
òÅ‚
y + y - y = 0,
x2y + 2xy - 6y = 0, (1 - x2)y - 2xy + 2y = 0,
x x2
a) b) c)
y1(x) = x2; y1(x) = x;
ôÅ‚
ół
y1(x) = x3;

y - y tg x + 2y = 0,
d)
y1(x) = sin x.
4) Rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach, jednorodne:
a) y - 5y - 6y = 0; b) y + 4y + 4y = 0; c) y + 4y + 5y = 0; d) y - 6y + 12y - 8y = 0;
e) y(4) + 10y + 9y = 0; f1) y(4) - y = 0; f2) y(4) + y = 0; f3) y(IV) - y = 0;
f4) y(IV) + y = 0; f5) y(IV) + 4y = 0 f6) y(IV) + 2y + y = 0; f7) y(4) + 2y - 8y + 5y = 0;
h) y(4) + 2y - 11y - 12y + 36y = 0; i) y(4) + 5y + 6y = 0; j) y(5) + 2y + y = 0.
5) Rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach, niejednorodne:
a) y + 3y + 2y = 4; b) y - y = 3x2; c) y + 2y + y = x2e-x;
d) y - 6y + 9y = 3x - 8ex; e) y(IV) - 2y + y = x + xex; f) y - 2y + 10y = 37 cos 3x;
e3x ex
g) y + y = sin2 x; h) y - 3y + 2y = ; i) y - 2y + y = ;
1 + e2x x2
1
j) y + y = tg x + xex; k) y + 4y = + 4x2 + 4e2x + 4 sin 2x.
sin2 x
6) Znając układ fundamentalny rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego, napisać
odpowiadające mu równanie:
a) y1(x) = e-x, y2(x) = ex; b) y1(x) = 1, y2(x) = x;
c) y1(x) = 1, y2(x) = ex; d) y1(x) = e-x sin x, y2(x) = e-x cos x.
Chemia - sem. 2 Dodatek Metoda przewidywania ( przewidywań )
dla równań różniczkowych liniowych wyższych rzędów o stałych współczynnikach.
W pewnych szczególnych przypadkach dla równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach,
czyli równania postaci
any(n) + an-1y(n-1) + . . . + a1y + a0y = f(x)
zamiast metody uzmienniania stałych, możemy zastosować tzw. metodę przewidywania (alternatywnie
zwaną  metodą przewidywań ). Metodę przewidywania możemy stosować tylko wtedy, gdy funkcja f(x)
wystÄ™pujÄ…ca po prawej stronie równania ma postać f(x) = eÄ…x (Pl(x) cos ²x + Qm(x) sin ²x), gdzie Pl(x)
i Qm(x) są pewnymi wielomianami stopnia l i m odpowiednio (lub też funkcja f(x) jest sumą pewnej
ilości składników tego typu - zob. na końcu). Rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego (RORN)
poszukujemy wtedy w postaci
RORN = RORJ + RSRN,
Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ Równania różniczkowe. 6
gdzie: RORJ - rozwiązanie ogólne równania jednorodnego; RSRN - pewne ustalone rozwiązanie szcze-
gólne równania niejednorodnego, które można znalez
ć w postaci


ys = xkeÄ…x Pmax(l,m)(x) cos ²x + Qmax(l,m)(x) sin ²x ,

gdzie Pmax(l,m)(x) oraz Qmax(l,m)(x) są pewnymi (na ogół nowymi) wielomianami stopnia co najwyżej
max(l, m), zaÅ› k jest krotnoÅ›ciÄ… liczby Ä…Ä…²i jako pierwiastka równania charakterystycznego (jeżeli liczba
ta nie jest pierwiastkiem równania, to przyjmujemy oczywiście k = 0). Dla f(x) pewnych szczególnych
postaci, postać rozwiązania szczególnego ys dalej się upraszcza, a mianowicie:
Postać prawej strony równania f(x) Postać rozwiązania szczególnego ys k oznacza Uwagi
tu krotność
poniższej
liczby jako
pierwiastka
wielomianu
charaktery-
stycznego:


xkeÄ…x Pmax(l,m)(x) cos ²x+

eÄ…x (Pl(x) cos ²x + Qm(x) sin ²x) Ä… Ä… ²i (Przypadek

+Qmax(l,m)(x) sin ²x
ogólny)

eÄ…xPl(x) xkeÄ…xPl(x) Ä… ² = 0


xk Pmax(l,m)(x) cos ²x+

Pl(x) cos ²x + Qm(x) sin ²x Ä… ²i Ä… = 0

+Qmax(l,m)(x) sin ²x

Pl(x) xkPl(x) 0 Ä… = ² = 0
Uwaga: nawet jeżeli w funkcji f występuje tylko składnik z kosinusem lub tylko składnik z sinusem,
to przy poszukiwania rozwiązania szczególnego musimy w poszukiwanym rozwiązaniu szczególnym ys
wypisać OBA składniki. Współczynniki nieznanych wielomianów znajdujemy metodą współczynników
nieoznaczonych (wypisujemy wielomiany danego stopnia w ogólnej postaci, wyliczamy kolejne pochodne,
podstawiamy je do równania niejednorodnego, przyrównujemy współczynniki przy jednakowych funk-
cjach po obu stronach równania).
Jeżeli prawa strona równania ma postać f(x) = f1(x) + . . . + fp(x), gdzie wszystkie fj(x) są postaci
omawianej wyżej, to dla każdego składnika znajduje się odpowiednie rozwiązanie szczególne ysj i w
ostatecznym rozwiązaniu bierze sumę rozwiązań, tzn. RORN=RORJ+ys1 + ys2 + ... + ysp.
Ponieważ ilość symboli w powyższej tabelce jest dość duża, zamieszczam jeszcze uproszczone omówienie
metody przewidywań opracowane przez mgr Małgorzatę Twardowską, z niewielkimi zmianami:
Metodę przewidywania możemy stosować wtedy, gdy funkcja f(x) jest postaci Pl(x)eax cos bx lub
Qm(x)eax sin bx gdzie Pl(x) jest wielomianem l-tego stopnia, względnie Qm(x) jest wielomianem m-tego
stopnia, albo też kombinacją liniową tych funkcji, czyli eax(Pl(x) cos bx + Qm(x) sin bx). Rozwiązanie
ogólne równania niejednorodnego jest zawsze sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i pew-
nego rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Metoda przewidywań pozwala na znalezienie
tego właśnie rozwiązania szczególnego.
Najogólniej mówiąc, rozwiązanie szczególne jest postaci podobnej do postaci funkcji f(x), a konkretnie:
" jeżeli f(x) = Pl(x), tzn. prawa strona równania, f(x) jest wielomianem stopnia l i liczba 0 nie jest
pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego (którego pierwiastki posłużyły do wyznaczenia roz-
wiązania ogólnego odpowiedniego równania jednorodnego), to szukamy rozwiązania szczególnego
Chemia I sem. M. Twardowska, uzup. WZ Równania różniczkowe. 7

w postaci (pewnego, na ogół nowego) wielomianu stopnia nie większego niż l: Pl(x). Jeżeli nato-
miast liczba 0 jest k-krotnym pierwiastkiem tego wielomianu, to należy postać przewidywanego

rozwiązania pomnożyć przez xk, czyli wziąć xkPl(x)
" jeżeli f(x) jest iloczynem funkcji wykładniczej eax i wielomianu stopnia l, tzn. eaxPl(x), to szu-
kamy rozwiązania szczególnego w takiej samej postaci, przy zachowaniu stopnia l wielomianu i

liczby a, (tzn. w postaci eaxPl(x)), znów z tym zastrzeżeniem, że jeżeli a jest k-krotnym pierwiast-
kiem wielomianu charakterystycznego, to należy postać przewidywanego rozwiązania szczególnego

pomnożyć przez xk (tzn. wziąć xkeaxPl(x)).
" jeżeli f(x) jest iloczynem funkcji wykÅ‚adniczej eax i jednej z funkcji: staÅ‚a · cos bx lub staÅ‚a · sin bx
lub suma tych dwóch ostatnich  to szukamy rozwiązania szczególnego w postaci eax(A cos bx +
B sin bx), gdzie A i B są pewnymi (na ogół nowymi) stałymi  i znów, tak jak poprzednio, należy
pamiętać, że jeżeli a + bi (a wtedy zarazem a - bi) są k-krotnymi zespolonymi pierwiastkami rów-
nania charakterystycznego, to przewidywaną postać rozwiązania szczególnego należy pomnożyć
przez xk. Ponadto należy pamiętać że nawet jeżeli po prawej stronie występuje tylko cosinus lub
tylko sinus, to w przewidywanej postaci rozwiązania trzeba uwzględnić składniki obu typów (!).
" w pozostałych możliwych przypadkach postaci funkcji f(x) metoda przewidywań jest dość uciąż-
liwa rachunkowo. W szczególności, jeżeli mamy do czynienia z najogólniejszą postacią eax(Pl(x) cos bx+
Qm(x) sin bx) gdzie Pl(x) i Qm(x) sÄ… wielomianami stopni l i m odpowiednio, to oznaczajÄ…c mak-

simum liczb l i m przez s, poszukujemy rozwiÄ…zania w postaci eax( (x) cos bx +Qs(x) sin bx) o ile
Ps

a ą bi nie są pierwiastkami równania charakterystycznego, zaś xkeax(Ps(x) cos bx + Qs(x) sin bx)
jeżeli a ą bi są k-krotnymi zespolonymi pierwiastkami równania charakterystycznego.
" przypadek gdy odpowiednia liczba (liczby) nie jest (nie są) pierwiastkami równania charaktery-
stycznego można traktować łącznie z pozostałymi, po prostu przyjmując wtedy krotność k danej
liczby jako pierwiastka równania charakterystycznego za 0.
Współczynniki nieznanych wielomianów znajdujemy metodą nieoznaczonych współczynników.