RÓWN AN I A RÓŻN I CZKOWE P I E RWSZE GO RZE�DU
D E FIN ICJA . R �o wn a n ie p o s t a c i
y2 = f( x,y) , ( ")
g d z ie f je s t fu n kc j� c ia� g l� w p e wn ym o b s z a r z e D �" R2, a y2 o z n a c z a p o c h o d n a� y
a a
wz g l�e d e m x, n a z ywa m y równaniem różniczkowym pierwszego rz�
edu.
R ozwiazaniem (calk� r �o wn a n ia ( ") n a z ywa m y ka zŁd a� fu n kc j�e y z m ie n n e j x r �o zŁn ic z -
� a)
ko wa ln a� w p e wn ym p r z e d z ia le I t a k� , zŁe ( x, y( x) ) " D d la ka zŁd e g o x " I o r a z
a
y2 ( x) = f[x, y( x) ]
d la ka zŁd e g o x " I.
TW IE R D ZE N IE ( P e a n o ) .
Je zŁe li fu n kc ja f( x, y) je s t c i� g la w o b s z a r z e D, t o d la d o wo ln e g o p u n kt u ( x0, y0) " D
a
is t n ie je ( p r z yn a jm n ie j je d n o ) r o z wi� z a n ie r �o wn a n ia ( ") s p e ln ia ja� c e warunek pocz�
a atkowy
y( x0) = y0.
U W A GA .
2
Je zŁe li p o n a d t o fu n kc ja fy( x,y) je s t c ia� g la , t o r o z wia� z a n ie t a kie je s t d o kla d n ie je d n o .
� �
ME TOD Y R OZW IA� ZY W A N IA P OD S TA W OW Y CH TY P OW R OW N A N�
T YP 1: r ównanie o zmiennych r ozdzielonych. Je s t t o r �o wn a n ie p o s t a c i:
g( y) y2 = f( x) , ( 1 )
g d z ie fu n kc je f o r a z g s a� c ia� g le w p e wn yc h p r z e d z ia la c h .
ME TOD A R OZW IA� ZA N IA . R o z wia� z a n ia u z ys ku je m y z r �o wn a n ia r �o wn o wa zŁn e g o
2
g( y) dy = f( x) dx. ( 1 )
U ZA S A D N IE N IE . N ie c h F( x) = f( x) dx o r a z G( y) = g( y) dy. Oz n a c z a t o , zŁe
F2 ( x) = f( x) o r a z G2 ( y) = g( y) ( o s t a t n ia p o c h o d n a je s t lic z o n a wz g l�e d e m y) .
2
Za l�o zŁm y, zŁe fu n kc ja y = y( x) je s t r o z wia� z a n ie m r �o wn a n ia ( 1 ) . Oz n a c z a t o , zŁe
G[y( x) ] = F( x) .
R �o zŁn ic z ku ja� c t o r �o wn a n ie o b u s t r o n n ie ( o b lic z a j� c p o c h o d n a� wz g l�e d e m x) i s t o s u j� c
a a
z le we j s t r o n y t wie r d z e n ie o p o c h o d n e j fu n kc ji z lo zŁo n e j o t r z ym a m y:
G2 [y( x) ]y2 ( x) = F2 ( x) ,
c z yli
g[y( x) ]y2 ( x) = f( x) .
Oz n a c z a t o , zŁe fu n kc ja y = y( x) je s t r o z wia� z a n ie m r �o wn a n ia ( 1 ) . P o d o b n ie , ka zŁd e
2
r o z wia� z a n ie r �o wn a n ia ( 1 ) je s t t e zŁ r o z wia� z a n ie m ( 1 ) .
1
2
ZA P IS . Zwykle  p r z e j�s c ie  z r �o wn a n ia ( 1 ) d o r �o wn a n ia r �o wn o wa zŁn e g o ( 1 ) z a p is u je
s i�e n a s t �e p u ja� c o :
g( y) y2 = f( x)
dy
g( y) = f( x)
dx
g( y) dy = f( x) dx
g( y) dy = f( x) dx.
P R ZY K L A D . R o z wia� z a �c r �o wn a n ie y2 = e-yx2.
y2 = e-yx2
eyy2 = x2
ey dy = x2
dx
eydy = x2dx
eydy = x2dx
1
ey = x3 + C
3
1
y = ln x3 + C
3
T YP 2: r ównanie postaci
y
y2 = f , ( 2 )
x
g d z ie fu n kc ja f je s t c ia� g la w p e wn ym p r z e d z ia le .
ME TOD A R OZW IA� ZA N IA .
y
P o d s t a wia m y z = o t r z ym u j� c r �o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .
a
x
y
U ZA S A D N IE N IE . P o d s t a wia m y z = , z a t e m
x
y = zx.
Zr �o zŁn ic z ku jm y o s t a t n ie r �o wn a n ie . Oc z ywi�s c ie , y = y( x) o r a z z = z( x) s a� fu n k-
c ja m i z m ie n n e j x ( a n ie s t a lym i) , wi�e c o t r z ym a m y, z g o d n ie z e wz o r e m n a p o c h o d n a�
ilo c z yn u ,
y2 = z2 x + zx2 = z2 x + z.
P o p o d s t a wie n iu d o ( 2 ) u z ys ka m y
z2 x + z = f( z) ,
c z yli z2 x = f( z) - z, c z yli
1 1
z2 = ,
f( z) - z x
d la f( z) = z. Je s t t o r �o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .

y
x
P R ZY K L A D . R o z wia� z a �c r �o wn a n ie y2 = + .
x y
y
P o d s t a wia m y z = , y2 = z2 x + z o t r z ym u ja� c r �o wn a n ie :
x
1
1 1
2
z2 x + z = z + z dz = dx
z x
3
dz 1 2
"
x = z2 = ln |x| + C
dx z 3
3
"
1 y 3
2
zdz = dx = ( ln |x| + C)
x x 2
T YP 3: r ównanie postaci
y2 = f( ax + by + c) , ( 3 )
g d z ie fu n kc ja f je s t c ia� g la w p e wn ym p r z e d z ia le , n a t o m ia s t a, b,c t o s t a le .
ME TOD A R OZW IA� ZA N IA .
P o d s t a wia m y u = ax + by + c o t r z ym u ja� c r �o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .
U ZA S A D N IE N IE . P o d s t a wia m y u = ax + by + c, z a t e m
u2 = a + by2
( t u t a j y o r a z u t o fu n kc je z m ie n n e j x) . W s t a wia j� c y2 z ( 3 ) o t r z ym a m y
a
u2 = a + bf( u) .
Je s t t o r �o wn a n ie o z m ie n n yc h r o z d z ie lo n yc h .
T YP 4: r ównanie liniowe. Je s t t o r �o wn a n ie p o s t a c i:
y2 + p( x) y = g( x) , ( 4 )
g d z ie fu n kc je p o r a z g s a� c i� g le w p e wn ym p r z e d z ia le I.
a
ME TOD A R OZW IA� ZA N IA . R o z wia� z a n ie u z ys ku je m y z e wz o r u
R R
p(x)dx
2
y = e- p(x)dx � g( x) � e dx + C ( 4 )
( c a lki t u wys t �e p u j� c e lic z ym y b e z s t a lyc h ) .
a
U ZA S A D N IE N IE .
N ie c h P( x) = p( x) dx ( o c z ywi�s c ie , P2 ( x) = p( x) ) . S p r a wd z im y ( p o d s t a wia j� c )
a
ja ka m u s i b y�c fu n kc ja C( x) , b y
2 2
y = C( x) e-P(x) ( 4 )
b yl r o z wia� z a n ie m r �o wn a n ia ( 4 ) . Ot r z ym a m y
C( x) e-P(x) 2 + p( x) C( x) e-P(x) = g( x)
C2 ( x) e-P(x) + C( x) e-P(x)[-p( x) ] + p( x) C( x) e-P(x) = g( x)
C2 ( x) e-P(x) = g( x)
C2 ( x) = g( x) eP(x)
C( x) = g( x) eP(x)dx + C
2 2
P o d s t a wia jc a c d o ( 4 ) u z ys ka m y r o z wia� z a n ie y = [ g( x) eP(x)dx + C]e-P(x), a wi�e c
2
r o z wia� z a n ie o p is a n e wz o r e m ( 4 ) .
T YP 5: r ównanie B er noulli ego. Je s t t o r �o wn a n ie p o s t a c i:
y2 + p( x) y = g( x) yn, ( 5 )
g d z ie fu n kc je p o r a z g s a� c ia� g le w p e wn ym p r z e d z ia le I o r a z n je s t lic z b a� r z e c z ywis t a� .
Za kla d a m y t a kzŁe , zŁe n = 0 o r a z n = 1 ( w p r z e c iwn ym r a z ie m a m y r �o wn a n ie

lin io we ) .
ME TOD A R OZW IA� ZA N IA .
P o d s t a wia m y z = y1-n o t r z ym u ja� c r �o wn a n ie lin io we .
U ZA S A D N IE N IE .
P o d s t a wia m y z = y1-n ( y o r a z z t o fu n kc je z m ie n n e j x) . Za t e m z2 = ( 1 - n) y-ny2 ,
z2 yn
c z yli y2 = . P o n a d t o z wa r u n ku z = yy-n o t r z ym a m y y = zyn. P o d s t a wia j� c
a
1-n
d o ( 5 ) o t r z ym a m y
z2 yn
+ p( x) zyn = g( x) yn,
1 - n
c z yli
z2 + ( 1 - n) p( x) z = ( 1 - n) g( x) .
Je s t t o r �o wn a n ie lin io we .
T YP 6: r ównanie zupelne. Je s t t o r �o wn a n ie p o s t a c i:
P( x,y) + Q( x, y) y2 = 0 , ( 6 )
2
g d z ie fu n kc je P, Q, Px, Py2 , Q2 , Q2 s a� c ia� g le w p e wn ym o b s z a r z e je d n o s p �o jn ym
x y
D �" R2 o r a z
2
Py2 ( x,y) = Q2 ( x, y) ( 6 )
x
d la ka zŁe g o ( x,y) " D.
ME TOD A R OZW IA� ZA N IA .
2
Ja k wia d o m o z wykla d u o c a lka c h kr z ywo lin io wyc h z o r ie n t o wa n yc h , wa r u n e k ( 6 )
2
g wa r a n t u je is t n ie n ie t a kie j fu n kc ji F( x, y) , zŁe Fx( x, y) = P( x,y) o r a z Fy2 ( x,y) =
Q( x, y) ( z wykle fu n kc j�e F( x, y) o z n a c z a li�s m y U( x, y) ) . R o z wi� z a n ia r �o wn a n ia ( 6 )
a
s a� o p is a n e wz o r e m
2 2
F( x, y) = C ( 6 )
( lu b F( x, y) = 0 , je zŁe li s t a la� u wz g l�e d n ia li�s m y w F( x,y) ) .
U ZA S A D N IE N IE .
dy
R �o wn a n ie ( 6 ) m o zŁe m y z a p is a �c w we r s ji  r �o zŁn ic z ko we j ( y2 = )
dx
P( x, y) dx + Q( x, y) dy = 0 .
Za t e m
2
Fx( x, y) dx + Fy2 ( x, y) dy = 0 ,
c z yli r �o zŁn ic z ka
dF( x, y) = 0 .
Oz n a c z a t o , zŁe
F( x, y) = C.