Równania Różniczkowe Zwyczajne
wyklad dla studentów na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza (14 listopad 2007)
Boguslaw Bożek
Wydzial Matematyki Stosowanej AGH
1
Spis treści
Rozdzial 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Rozdzial 2. Elementy analizy funkcjonalnej . . . . . . . . . . . . . . . 9
Rozdzial 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności . . . . . . . . 11
Rozdzial 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych . . . . . 15
4.1. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Równanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Równanie różniczkowe zupelne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3.1. Czynnik calkujacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4. Równanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1. Równania i uklady równań różniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . . 21
5.2. Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. Równanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4. Równanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5. Równanie Lagrange a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6. Skalarne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.7. Obniżanie rzedu równania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.7.1. Wzór Liouville a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.7.2. Równania wyższych rzedów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.8. Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.9. Równanie liniowe n-tego rzedu o stalych wspólczynnikach . . . . . . . . . 31
5.10. Metoda przewidywań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.11. Uklad skalarnych równań różniczkowych liniowych rzedu pierwszego . . . 33
5.12. Uklady równań liniowych o stalych
wspólczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.12.1. Metoda wartości i wektorów wlasnych . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.12.2. Sprowadzanie macierzy ukladu do postaci Jordana . . . . . . . . 38
5.13. Równanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3
Spis treści
Rozdzial 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych . . . . . . 43
6.1. Rozwiazania w postaci szeregów potegowych . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1. Uklad równań liniowych rzedu pierwszego o stalych
wspólczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.2. Skalarne równania różniczkowe rzedu pierwszego i drugiego . . . 44
6.2. Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego  szeregi Frobeniusa . . . 46
Rozdzial 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych . . . . . . . 49
7.1. Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2. Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3. Problem Routha Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4. Punkty osobliwe równania różniczkowego zupelnego . . . . . . . . . . . . 54
Rozdzial 8. Transformata Laplace a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1. Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2. Wyznaczanie transformaty równania różniczkowego . . . . . . . . . . . . 58
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . . 59
Rozdzial 9. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1. Tablice transformat Laplace a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne . . . . 66
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne . . 87
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Rozdzial 1
Wprowadzenie
Równaniem różniczkowym nazywamy zwiazek miedzy pewna nieznana funkcja,
a jej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcja jednej zmiennej, to mówimy
o równaniu różniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o równaniu
różniczkowym czastkowym. Zwiazek postaci
F (t, x(t), x (t), . . . , x(n)(t)) = 0
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzedu, jeśli lewa strona
istotnie zależy od x(n). Nie musi oba zależeć od x i t. Przykladowo równanie
x + t(x )30 - ex sin t = 0
jest równaniem różniczkowym rzedu trzeciego. Funkcja x może być funkcja ska-
larna, albo wektorowa.
Równania różniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaja na ogól w wy-
niku stosowania nastepujacych metod postepowania:
a) Przedstawiania praw fizyki w postaci matematyczno-analitycznej.
b) Przedstawiania zwiazków geometrycznych w postaci analitycznej.
c) Rugowania parametrów z n-parametrowej rodziny funkcji i n równości.
Ad a) Niech v : R � R3 �" [t0, T ] � R3 (t, x) v(t, x) " R3 bedzie zadanym
polem predkości. Równanie x = v(t, x) opisuje ruchy czastek unoszonych w polu
v. Jeśli dodatkowo przyja ć warunek x(t0) = x0, to x(t) jest polożeniem w chwili
t tej czastki, która w chwili t0 znajdowala sie w punkcie x0.
Ad b) Niech y = f(x). Wielkość
3
2
(1 + (y )2)
�(A) = (A)
|y |
5
Rozdzial 1. Wprowadzenie
1
nazywamy promienie krzywizny, a jej odwrotność (A) krzywizna w punkcie A.
�
Równanie różniczkowe
|y |
= a R a e" 0
3
2
(1 + (y )2)
jest zadem równaniem różniczkowym, którego rozwiazaniem sa krzywe o stalej
krzywiz
nie równej a.
Ad c) Rozważmy rodzine okregów
(x - a)2 + (y - b)2 = R2, (1.1)
gdzie a, b, R parametry. Zaóżmy, że y = y(x). Różniczkujac trzykrotnie zwiazek
(1.1) dostajemy
ńł
x
�ł - a + (y - b)y = 0
1 + (y )2 + (y - b)y = 0
ół
3y y + (y - b)y = 0.
Rugujac z tych równań wszystkie trzy parametry dostajemy równanie różniczkowe
rodziny okregów:
3y (y )2 - 1 + (y )2 y = 0.
Bez należytej precyzji możemy przyja ć w tej cwili, że równaniem różniczkowym
nazywamy równanie postaci
F (t, x, x , . . . , xn) = 0. (1.2)
Jeśli funkcja � : [a, b] R klasy Cn spelnia tożsamościowo równość
F (t, �(t), � (t), . . . , �n(t)) = 0 w [a, b],
to � nazywamy calka szczególna równania różniczkowego. Gdy � jest funkcja ele-
mentarna, to mówimy że (1.2) ma rozwiazanie efektywne. Na przyklad równanie
x (t) + �2x(t) = 0
ma rozwiazania efektywne
�1(t) = sin �t i �2(t) = cos �t.
Z kolei równanie Riccatiego
dx
= a x2 + b tn a, b stale, n " N
dt
ma rozwiazanie efektywne (niestety) tylko dla pewnych n.
Jeśli rozwiazanie można wyznaczyć przez skończona liczbe calkowaN, to mówimy,
6
że tak przedstawione rozwiazania sa rozwiazaniami przez kwadrature. Na przyklad
równanie
sin t
x =
t
ma rozwiazanie
sin t
x(t) = dt + C.
t
Niestety sa równania, które nie sa rozwiazywalne przez kwadrature. Przykladem
takiego równania jest równanie Bessela
t2x + tx + t2 - n2 x = 0.
Można dla niego podać rozwiazanie w postaci szeregów funkcyjnych. W szczególności
funkcje
"
2k
(-1)k t
I0(t) = ,
(k!)2 2
k=0
" k
2k
(-1)k t t 1
Y0(t) = 2 ln + C - ,
(k!)2 2 2 �
k=0 �=1
gdzie C = 0.5772157 . . . jest stala Eulera, sa rozwiazaniami równania Bessela dla
n = 0. Funkcje I0 i Y0 nosza nazwe funkcji Bessela 1-go i 2-go rodzaju rzedu 0.
Nie każde równanie różniczkowe ma rozwiazanie. Równanie
2
dx
1 + = 0
dt
nie ma rozwiazań rzeczywistych, ma jednak rozwiazanie zespolone
x(t) = it.
Równanie
dx
exp = 0
dt
w ogóle nie ma rozwiazań, bo funkcja C z ez " C nie ma zer. Z kolei
równanie
x = f(t, x),
gdzie prawa strona jest ciaga ma nieskończenie wiele rozwiazań
Rozdzial 2
Elementy analizy funkcjonalnej
Zalóżmy, że X = ".

Definicja 1 Funcje � : X �X [0, ") nazywamy metryka, wtedy i tylko wtedy,
gdy
1. �(x, y) = 0 �!�! x = y,
"
x,y"X
2. �(x, y) = �(y, x),
"
x,y"X
3. �(x, z) d" �(x, y) + �(y, z).
"
x,y,z"X
Definicja 2 Jeśli X = " i � : X � X R metryka, to pare (X, �) nazywamy

przestrzenia metryczna.
Niech X bedzie przestrzenia wektorowa nad cialem K (K = R, lub K = C).
Definicja 3 Funkcje � : X [0, ") nazywamay norma, wtedy i tylko wtedy,
gdy
1. x = 0 �!�! x = 0,
2.
" " ąx = |ą| x ,
ą"K x"X
3. x + y d" x + y .
"
x,y"X
Definicja 4 Pare (X, � ) nazywamy przestrzenia unormowana.
Uwaga 1 Każda norma indukuje metryke wedlug wzoru
�(x, y) := x - y ,
toteż każda przestrzeń unormowana jest przestrzenia metryczna.
9
Rozdzial 2. Elementy analizy funkcjonalnej
Definicja 5 Niech (X, �) - przestrzeń metryczna. Ciag {xn}n"N �" X nazywamy
ciagiem Cauchy ego (ciagiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy
� (xm, xn) < �.
" " " "
�>0 k"N m>k n>k
Definicja 6 Niech (X, �) - przestrzeń metryczna. Mówimy, że ciag {xn}n"N �" X
jest zbieżny do granicy g " X wtedy i tylko wtedy, gdy ciag liczbowy � (xn, g) ma
granice równa 0, tj.
lim xn = g �!�! lim � (xn, g) = 0 �!�! � (xn, g) < �
" " "
n" n"
�>0 k"N N n>k
Definicja 7 Mówimy, że ciag {xn}n"N �" X jest zbieżny w przestrzeni metrycznej
(X, �) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g " X, takie że limn" xn = g.
Twierdzenie 1 Każdy ciag zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, �) jest ciagiem
Cauchy ego.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
1
Przyklad 1 Ciag jest zbieżny do zera w przestrzeni metrycznej (R, �E),
n
n"N
gdzie �E jest metryka euklidesowa. Jest on zatem w myśl poprzedniego twierdzenia
ciagiem Cauchy ego. Niech X := (0, 1) i niech d bedzie restrykcja metryki �E do
X � X. Przestrzeń (X, d) jest przestrzenia metryczna, a rozważany ciag w tej
przestrzeni nie jest zbieżny, gdyż 0 " X.
Definicja 8 Przestrzeń metryczna (X, �) nazywamy zupelna, wtedy i tylko wtedy,
gdy każdy ciag Cauchy ego {xn}n"N �" X jest zbieżny (do elementu przestrzeni
X).
Definicja 9 Przestrzeń unormowana zupelna nazywamy przestrzenia Banacha.
Twierdzenie 2 (Banacha o odwzorowaniach zweżajacych)
Jeśli
- (X, � ) przestrzeń Banacha,
- T : X X q-zweżajace tzn.
T (x) - T (y) d" q x - y ,
" "
q"[0,1) x,y"X
to
 T ma jedyny punkt staly tzn. "! x " X : T (x ) = x .
 Ponadto, jeśli x0 " X, xn+1 := T (xn), to
qp
� (x , xp) d" � (x1, xp) dla p " N.
1 - q
Rozdzial 3
Twierdzenia o istnieniu i
jednoznaczności
Twierdzenie 3 Jeśli
1. t0 " I = [a, b] �" R,
x0 " B = B (x0, R) �" U " topX,
f " C(I � U, X),
2. funkcja f : I � U (t, x) f(t, x) " X spelnia warunek Lipschitza
wzgledem drugiej zmiennej na zbiorze I � B tzn.:
f(t, y) - f(t, z) d" y - z ,
" " "
L>0 t"I y,z"B
3. rozważamy równanie różniczkowe postaci:
(RR) x (t) = f(t, x(t)) t " I,
(WPC) x (t0) = x0,
to równanie (RR) z zadanym warunkiem poczatkowym Cauchy ego (WPC) ma
dokladnie jedno rozwiazanie x = x(t) na przedziale J = I )" [t0 - r, t0 + r], gdzie
+" gdy R = +" czyli B = X
r :=
R
gdy R < +"
M
i M := sup { f(t, y) : t " T, y " B}.
Definicja 10 Niech
(X, d), (Y, �) przestrzenie metryczne,
U �" X,
11
Rozdzial 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
f : I � U (t, x) f(t, x) " Y .
Mówimy, że f spelnia lokalnie warunek Lipschitza wzgledem zmiennej x, jeżeli
� (f(t, y), f(t, z)) d" L � d(y, z).
" " " " " " "
t0"I x0"U t"J y,z"B)"U
J"top(t0) B=B(x0,R) L=L(J,B)
Twierdzenie 4 Jeżeli U " topX, f = f(t, x) " C(I � U, X), f spelnie lokalnie
warunek Lipschitza wzgledem zmiennej x, to dla każdego (t0, x0) " I �U równanie
x = f(t, x) z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x (t0) = x0 ma dokladnie jedno
rozwiazanie określone w pewnym otoczeniu punktu t0.
Twierdzenie 5 (Zasada identyczności) Przyjmijmy zalożenia poprzedniego twier-
dzenia. Niech P przedzial, P �" I. Niech x = x(t), y = y(t) beda dwoma
rozwiazaniami tego samego równania różniczkowego x = f(t, x) określonymi na
P i spelniajacymi warunki poczatkowe Cauchy ego x (t1) = x0, y (t2) = y0. Jeśli
istnieje taki punkt p " P , w którym x(p) = y(p), to x(t) = y(t) dla t " P .
Twierdzenie 6 Niech Y = Xn, U " topY , f " C(I � U, X) i niech f = f(t, y)
spelnia lokalnie warunek Lipschitza wzgledem zmiennej y. Wtedy dla każdego
t0 " I, dla każdego x0 = (x01, . . . , x0n) " U równanie różniczkowe
x(n) = f t, x, x , . . . , x(n-1)
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
x(j) (t0) = x0j j = 0, 1, . . . , n - 1
ma dokladnie jedno rozwiazanie x = x(t) w pewnym otoczeniu punktu t0.
Dowód. Równanie sprowadzamy do ukladu równań. Niech y1 := x oraz
y1 = y2 =: f1 (t, y1, . . . , yn)
y2 = y3 =: f2 (t, y1, . . . , yn)
. . . . . .
yn-1 = yn =: fn-1 (t, y1, . . . , yn)
yn = f (t, y1, . . . , yn) =: fn (t, y1, . . . , yn)
Uklad ten można zapisać w postaci
Y = F(t, Y),
gdzie Y = (y1, . . . , yn)T , F = (f1, . . . , fn)T .
c.k.d
Definicja 11 Rozwiazanie określone na calym przedziale I określoności równania
różniczkowego nazywamy rozwiazaniem globalnym tego równania.
Twierdzenie 7 (o rozwiazaniu globalnym) Niech t0 " I = |a, b| �" R i niech
f " C(I � X, X) i niech dane bedzie równanie
x = f(t, x), t " I
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
12
x (t0) = x0.
Jeśli
f(t, x) - f(t, y) d" L x - y ,
" " " "
t"J x,y"X
J=[a ,b ]�"I L=L(J)>0
to powyższe równanie różniczkowe z dowolnie zadanym warunkiem poczatkowym
Cauchy ego ma dokladnie jedno rozwiazanie globalne tj. określone na przedziale
I.
Podobne twierdzenie ma miejsce dla ukladów równań.
Przyklad 2 Równanie x = x2 nie spelnia zalożeń powyższego twierdzenie. Calka
1
ogólna tego równania jest określona wzorem x(t) = - (C " R) i nie jest
t+C
określona na X = R.
Rozdzial 4
Proste typy równań różniczkowych
skalarnych
4.1. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Równanie różniczkowe postaci
f(t)
x (t) = , (4.1)
g(x)
gdzie f " C(I, R), g " C(J, R), x " C1(I, J), I, J przedzialy, t " I, g(x) = 0 dla

x " J nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych. Równanie to możemy
zapisać w postaci
g(x)x (t) = f(t).
Niech G = G(x) oraz F = F (t) beda dowolnymi funkcjami pierwotnymi odpo-
wiednio funkcji g = g(x) i f = f(t). Wówczas równanie (4.1) można przepisać w
postaci
d d
(G ć% x)(t) = F (t),
dt dt
czyli
d
[G(x) - F (t)] = 0, x = x(t), t " I.
dt
Ponieważ I przedzial, to równanie to na podstawie twierdzenia Lagrange a jest
równoważne równaniu
G(x) - F (t) = C, x = x(t), t " I, C " R,
15
Rozdzial 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych
które możemy zapisać w postaci
g(x)dx = f(t)dt, x = x(t). (4.2)
4.2. Równanie jednorodne
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci
x
x = f , (4.3)
t
gdzie t " I, x = x(t), f " C(J, R), I, J - przedzialy. Podstawienie
x(t) = ty(t)
sprowadza równanie (4.3) do równania różniczkowego
f(y) - y
y =
t
o zmiennych rozdzielonych. Dodatkowo należy sprawdzić, czy rozwiazaniem
równania (4.3) jest funkcja x(t) := y0t, gdzie y0, jest rozwiazaniem równania
f (y0) - y0 = 0.
Równanie
dx a1t + b1x + c1
= f , (4.4)
dt a2t + b2x + c2
gdzie f jest funkcja ciagla oraz a1b2 - a2b1 = 0 można przez stosowna zmiane

Ż
zmiennych sprowadzić do równania jednorodnego. Jeśli bowiem wektor (t, x) jest
Ż
rozwiazaniem ukladu równań
a1 b1 t -c1
=
a2 b2 x -c2
to zmiana zmiennych
Ż+
t = t �, x = x + �
Ż
x)
d� d(x-Ż
dt dx
przy której = = sprowadza równanie (4.4) do równania jednorod-
d� dt d� dt
nego
a1 + b1 �
d� a1� + b1� �
�
= f = f =: g .
d� a2� + b2� a2 + b2 � �
�
Gdy a1b2 - a2b1 = 0, to istnieje takie  " R, że a2t + b2x =  (a1t + b1x) lub
a1t + b1x =  (a2t + b2x). Równanie (4.4) przeksztalca sie w równanie postaci
Ż(a1t Ż(a2t
x = f + b1x) lub x = f + b2x) .
Podstawienie odpowiednio
u(t) = a1t + b1x(t) lub u(t) = a2t + b2x(t)
sprowadza je do równania o zmiennych rozdzielonych.
16
4.3. Równanie różniczkowe zupelne
4.3. Równanie różniczkowe zupelne
Niech D �" R2 bedzie obszarem tj. zbiorem otwartym i spójnym. Niech
P, Q " C(D, R) oaz Q(t, x) = 0 dla (t, x) " D.

Definicja 12 Równanie różniczkowe
P (t, x)
x = - (4.5)
Q(t, x)
czyli
P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (4.6)
nazywamy zupelnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja U " C1(D, R),
że
d(t,x)U = P (t, x)dt + Q(t, x)dx dla (t, x) " D. (4.7)
Ponieważ zbiór D jest obszarem, zatem jeśli (4.6) jest równaniem różniczkowym
zupelnym, to calka ogólna tego równania ma postać
U(t, x) = C, C " R.
Z twierdzenia PoincarŁ go wynika nastepujace
Twierdzenie 8 Jeśli D jest obszarem ściagalnym w R2, P, Q " C(D, R) oraz
"Q
"P
= w D, to (4.6) jest równaniem różniczkowym zupelnym,
"x "t
przy czym:
Definicja 13 Obszar D nazywamy ściagalnym w R2 wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieja obszar obszar gwiaz
dzisty G �" R2 oraz dyffeomorfizm h : G D (tzn. h
bijekcja, H, h-1 klasy C1).
Definicja 14 Zbiór G �" R2 nazywamy zbiorem gwiaz
dzistym wtedy i tylko wtedy,
gdy
[x0, x] �" G,
" "
x0"G x"G
Wiedzac, że (4.6) zupelne z warunku (4.7) mamy:
"U "U
= P, = Q.
"t "x
Calkujac pierwszy z tych zwiazków wzgledem zmiennej t dostajemy:
U(t, x) = P (t, x)dt + C(x) (t, x) " D.
Z kolei
"U "P (t, x)
Q(t, x) = (t, x) = dt + C (x),
"x "x
17
Rozdzial 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych
skad
"P
C (x) = Q(t, x) - (t, x)dt.
"x
i w konsekwencji
"P
C(x) = Q(t, x)dx - (t, x)dt dx.
"x
Ostatecznie
"P
U(t, x) = P (t, x)dt + Q(t, x)dx - (t, x)dt dx,
"x
tak wiec rozwiazanie ogólne równania różniczkowego zupeLnego (4.6) wyraża sie
wzorem:
"P
P (t, x)dt + Q(t, x)dx - (t, x)dt dx = C, C " R. (4.8)
"x
4.3.1. Czynnik calkujacy
"Q
"P
Jeżeli równanie (4.6) nie spelnia warunku = w zadanym obszarze
"x "t
ściagalnym D, to szukamy takiej funkcji � = �(t, x) " C1(D, R), aby
"(�P ) "(�Q)
= (t, x) " D (4.9)
"x "t
Definicja 15 Funkcje � " C1(D, R), dla której zachodzi warunek (4.9) nazy-
wamy czynnikiem calkujacym równania (4.6).
Twierdzenie 9 Jeśli funkcje P, Q " C1(D, R) i D obszar ściagalny, to istnieje
� " C1(D, R) czynnik calkujacy równania (4.6).
Efektywne wyznaczenie czynnika calkujacego jest możliwe zawsze, gdy zależy on
od jednej zmiennej oraz w sytuacji, gdzy � = �(�(t, x)), gdzie �(t, x) jest znana
funkcja klasy C1(D, R). W pozostalych przypadkach jest to zagadnienie trudne
czesto niemożliwe do zrealizowania.
Zaóżmy zatem, że istnieje czynnik calkujacy równania (4.6) postaci � =
�(�(t, x)). Warunek
"(�P ) "(�Q)
= (t, x) " D
"x "t
jest równoważny warunkowi
"� "P "� "Q
� P + � = � Q + � ,
"x "x "t "t
który można zapisać w postaci
"P
� "Q -
"t "x
= . (4.10)
"� "�
�
P - Q
"x "t
18
4.4. Równanie Clairauta
Ponieważ lewa strona, z zalożenia, zależy od �(t, x), zatem warunkiem istnienia
czynnika calkujacego postaci � = �(�(t, x)) jest aby prawa strona równania (4.10)
byla zależna od �(t, x). Wtedy też dostajemy wzór:
"Q
"P
-
"t "x
ln |�(�)| = (�) d� =: �(�)
"� "�
P - Q
"x "t
z którego wynika, że każda z funkcji
�(t, x) := �(�(t, x)) = Ce�(�(t,x)) (C " R \ {0}) (4.11)
jest szukanym czynnikiem calkujacym.
Poszukujac czynnika calkujacego należy rozpoczac od najprostszych przy-
padków tj. �(t, x) = t lub �(t, x) = x, potem rozważyć kolejno �(t, x) = t + x,
t
�(t, x) = t - x, �(t, x) = tx, �(t, x) = . Gdy nie przyniesie to rezultatu szanse
x
na znalezienie czynnika calkujacego sa znikome.
Przyklad 3 Istnieje czynnik calkujacy � = �(t) równania (t + t2 + x2) dt +
� (t)
d
xdx = 0, gdyż = 2. Rozwiazujac ostatnie równanie dostajemy ln |�(t)| = 2
�(t) dt
i w konsekwencji �(t) = Ce2t (C " R\{0}) jest szukanym czynnikiem calkujacym.
4.4. Równanie Clairauta
Definicja 16 Równaniem Clairauta nazywamy równanie różniczkowe
x - tx - f (x ) = 0, (4.12)
gdzie t " I, I - przedzial, x " C2(I, J), J - przedzial, f " C1(J, R) i funkcja f
nie jest postaci f(�) = A� + B.
Różniczkujac (4.12) stronami dostajemy:
x - x - tx - f (x ) x = 0
czyli
x (t + f (x )) = 0.
Jeśli istnieje x = x(t) rozwiazanie równania (4.12) klasy C2(I, R), to
x = 0 lub t + f (x ) = 0.
Jeśli x (t) = 0, to x (t) = C, x(t) = Ct + b. Wstawiajac funkcje x(t) = Ct + b
do równania (4.12) dostajemy b = f(C). Tak wiec każda prosta
x(t) = Ct + f(C), C " J (4.13)
jest rozwiazaniem (4.12).
Rozdzial 4. Proste typy równań różniczkowych skalarnych
W sytuacji t + f (x ) = 0, traktujemy pochodna x jak parametr i oznaczamy
go symbolem p. Tak wiec t = -f (p). Równanie (4.12) możemy przepisać w
postaci x = tp + f(p) = -f (p)p + f(p). Równanie parametryczne
t = -f (p)
(4.14)
x = f(p) - pf (p)
jest równaniem obwiedni rodziny prostych (4.13).
20
Rozdzial 5
Liniowe równania różniczkowe
5.1. Równania i uklady równań różniczkowych liniowych
Niech (X, � ) przestrzeń Banacha, I = |a, b| �" R - dowolny przedzial,
L(X, X) := {T : X X : T operator liniowy i ciagly}. Niech
A : I t A(t) " L(X, X) ciagle,
g " C(I, X),
x = x(�) " C1(I, X).
Definicja 17 Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzedu pierwszego
(RRLJ) nazywamy równanie postaci
x (t) = A(t) (x(t)) , t " I, (5.1)
krótko x = A(t)x, x = x(t), t " I.
Definicja 18 Równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzedu pierw-
szego (RRLN) nazywamy równanie postaci
x (t) = A(t) (x(t)) + g(t), t " I, (5.2)
krótko x = A(t)x + g(t), x = x(t), t " I.
Definicja 19 W sytuacji X = Rn (RRLJ), (RRLN) nazywamy ukladem równań
różniczkowych liniowych.
Definicja 20 Równanie rózniczkowe
x(n) = A(t) x, x , . . . , x(n-1) + g(t), (5.3)
21
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
gdzie x = x(t), t " I, I - przedzial, A " C (I, L (Xn, X)), g " C(I, X), X
- przestrzeń Banacha, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzedu n -
tego. Jeśli g = 0, to równanie (5.3) nazywamy równaniem jednorodnym, w prze-
ciwnym wypadku niejednorodnym.
Jak wiadomo z wcześniejszych rozważań, równanie to można sprowadzić do
równania rzedu pierwszego w przestrzeni Banacha Xn.
Twierdzenie 10 (Twierdzenie o istnieniu rozwiazania globalnego) Standardowe
równanie różniczkowe liniowe (5.2) ma zawsze rozwiazanie globalne przy dowol-
nym warunku poczatkowym Cauchy ego.
Twierdzenie 11 Zbiór rozwiazań równania różniczkowego liniowego jednorod-
nego (5.1) (calka ogólna) jest przestrzenia liniowa.
Dowód. Wystarczy pokazać, że jeśli funkcje x i y sa rozwiazaniami (5.1) to ich
dowolna kombinacja liniowa także. Niech ą, � " R. Mamy
(ąx + �y) = ąx + �y = ąA(t)x + �A(t)y =
= A(t)(ąx) + A(t)(�y) = A(t)(ąx + �y)
c.k.d
Twierdzenie 12 Rozwiazanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejed-
norodnego (5.2) jest suma rozwiazania szczególnego (5.2) i rozwiazania ogólnego
równania różniczkowego liniowego jednorodnego(5.1), a dokladniej:
Każde rozwiazanie (5.2) jest suma pewnego ustalonego rozwiazania (5.2) i
pewnego rozwiazania (5.1).
Dowód. Niech
R := x " C1(I, X) : x = A(t)x + g(t) ,
Y := y " C1(I, X) : y = A(t)y .
Ustalmy x " R i zdefiniujmy
Z := z " C1(I, X) : z = x + y, y " Y = x + Y.
Mamy pokazać, że R = Z.
Udowodnimy najpierw, że Z �" R.
Wez
my z " Z. Z definicji zbioru Z wynika, że istnieje y " Y , że z = x + y.
Ponieważ
z = x + y = (A(t)x + g(t)) + A(t)y = A(t) (x + y) + g(t) = A(t)z + g(t)
zatem z " R.
22
5.2. Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
Teraz udowodnimy, że R �" Z.
Wez
my x " R. Wektor x możemy zapisać w postaci x = x+(x - x). Zdefiniujmy
y := x - x. Zauważmy, że
y = (x - x) = x = x = (A(t)x + g(t)) - (A(t)x + g(t)) =
= A(t)x - A(t)x = A(t) (x - x) = A(t)y,
co oznacza, że y " Y . W takim razie x " Z.
c.k.d
5.2. Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
x + f(t)x = 0, (5.4)
gdzie x = x(t), t " I, I - przedzial, f " C(I, R), jest równaniem o zmiennych
rozdzielonych. Calka ogólna tego równania jest rodzina funkcji
R
x(t) = Ce- f(t)dt C = const " R, t " I.
Calke szczególna równania niejednorodnego
x + f(t)x = g(t) t " I, (5.5)
możemy znalez
ć metoda uzmienniania stalej. Przypuśćmy bowiem, że istnieje
rozwiazanie równania (5.5) postaci
R
x(t) = C(t)e- f(t)dt = C(t)e-F (t),
gdzie F (t) := f(t)dt. Jeśli funkcja ta jest rozwiazaniem równania (5.5), to
g(t) = x +f(t)x = C (t)e-F (t)+C(t) (-F (t)) e-F (t)+f(t)C(t)e-F (t) = C (t)e-F (t),
skad
g(t)
C (t) = = g(t)eF (t).
e-F (t)
Rozwiazaniem tego równania jest funkcja
C(t) = g(t)eF (t)dt, t " I.
Tak wiec calka szczególna równania (5.5) jest funkcja
R R
f(t)dt
x(t) = g(t)e dt e- f(t)dtdt
23
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
5.3. Równanie Bernoulliego
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci
x + f(t)x = g(t)xp, p = const " R \ {1}, (5.6)
przy czym w stosunku do funkcji f i g przyjmujemy takie same zalożenia jak w
przypadku równania liniowego. Przez zmiane zmiennych
y(t) := x1-p(t)
równanie to można sprowadzić do równanie różniczkowego liniowego. Zauważmy
bowiem, że skoro y = (1 - p)x-px , to obustronnie mnożac równanie (5.6) przez
(1 - p)x-p dostajemy
(1 - p)x-px + (1 - p)f(t)x1-p = (1 - p)g(t),
czyli równanie różniczkowe liniowe niejednorodne
y + (1 - p)f(t)y = (1 - p)g(t).
5.4. Równanie Riccatiego
Równaniem różniczkowym Riccatiego nazywamy równanie postaci
x = a(t)x2 + b(t)x + c(t), (5.7)
gdzie a, b, c : I R ciagle, I - przedzial otwarty.
Z poprzednich twierdzeń latwo pokazać, że każdy punkt zbioru I�R jest punk-
tem globalnej jednoznaczności. Gdy a(t) = 0, to równanie (5.7) jest równaniem
różniczkowym liniowym, a gdy c(t) = 0 równaniem Bernoulliego.
Specjalnym równaniem Riccatiego nazywamy szczególny przypadek równanoa
(5.7) a mianowicie
x = c1x2 + c2tn c1, c2 " R.
Nawet dla tego ostatniego równania można podać efektywne metody dla pewnych
wartości wykladnika n. W ogólnym przypadku zachodzi natomiast nastepujace:
Twierdzenie 13 Niech I = (ą, �) �" R. Jeśli � jest calka szczególna równania
(5.7) określona na I, to dla każdego rozwiazania x tego równania określonego w
przedziale �" I funkcja określona wzorem:
y(t) := x(t) - �(t) (t " ),
jest rozwiazaniem równania Bernoulliego
y = [b(t) + 2a(t)�(t)] y + a(t)y2 (5.8)
24
5.5. Równanie Lagrange a
i na odwrót, dla każdego rozwiazania y równania (5.8) określonego w funkcja
x zdefiniowana wzorem:
x(t) = �(t) + y(t) (t " )
jest rozwiazaniem równania (5.7).
Dowód. Niech � i x beda dwoma rozwiazaniami równania (5.7), czyli
� = a(t)�2 + b(t)� + c(t),
x = a(t)x2 + b(t)x + c(t).
Wówczas
y = x - � = a(t)x2 + b(t)x + c(t) - a(t)�2 + b(t)� + c(t) =
= a(t) x2 - �2 + b(t) (x - �) = a(t) (x + �) (x - �) + b(t) (x - �) =
= (a(t) (x + �) + b(t)) (x - �) = (b(t) + a(t)x + a(t)�) (x - �) =
= (b(t) + 2a(t)� + a(t)x - a(t)�) (x - �) =
= (b(t) + 2a(t)� + a(t) (x - �)) (x - �) = (b(t) + 2a(t)�) y + a(t)y2.
Tak wiec
y = (b(t) + 2a(t)�) y + a(t)y2.
c.k.d
Przyklad 4 Rozważmy równanie Riccatiego
x - 2tx + x2 = 5 - t2,
którego calka szczególna jest funkcja �(t) = t + 2. Przepisujac to równanie w
postaci x = (-1)x2 + (2t)x + (5 - t2), widzimy, że a(t) = -1, b(t) = 2t, c(t) =
5 - t2. Skojarzone równanie Bernoulliego przybiera wiec postać
y = [2t + 2(-1)(t + 2)] y + (-1)y2 = -4y - y2.
Jego rozwiazaniem ogólnym jest rodzina funkcji y(t) = Ce4t (C " R), tak wiec
rozwiazaniem równania wyjściowego jest rodzina funkcji x(t) = Ce4t+t+2(C "
R).
5.5. Równanie Lagrange a
Równaniem Lagrange a nazywamy równanie postaci:
x = a (x ) t + f (x ) . (5.9)
Zakladamy, że funkcje a, f " C1(J, R), x " C2(I, J), I, J przedzialy. Jeśli funkcja
a jest funkcja identycznościowa, to równanie Lagrange a jest równaniem Cla-
irauta. Przyjmijmy zatem dalej, że a(p) = p dla wszystkich p " J. Różniczkujac

25
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
równanie (5.9) stronami i podstawiajac za pocchodna x nowa funkcje p = p(t)
możemy to równanie przeksztalcić do postaci:
x = a (x ) x t + a (x ) + f (x ) x
p = a (p) p t + a (p) + f (p) p
dp
p = (a (p)t + f (p)) + a(p),
dt
dp p - a(p)
= .
dt a (p)t + f (p)
Zamieniajac role zmiennych p i t mamy
dt a (p)t + f (p) a (p) f (p)
= = t + ,
dp p - a(p) p - a(p) p - a(p)
czyli równanie różniczkowe niejednorodne
dt a (p) f (p)
+ t = ,
dp a(p) - p p - a(p)
z niewiadoma funkcja t = t(p). Po wyznaczeniu tego rozwiazania wstawiamy
je do wyjściowego równania (5.9), w którym w miejsce pochodnej x wstawiamy
parametr p. Ostatecznie
t = t(p)
(5.10)
x = a (p) t(p) + f (p) .
jest rozwiazaniem równania (5.9) w postaci parametrycznej.
5.6. Skalarne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu
Definicja 21 Skalarnym równaniem różniczkowym jednorodnym n-tego rzedu
(SRRLJ) nazywamy równanie
x(n) + an-1(t)x(n-1) + . . . + a1(t)x + a0(t)x = 0, (5.11)
w którym aj(t) " C(I, R), (j = 0, 1, . . . , n - 1), I - przedzial.
Niech
dn dn-1 d
L(t) := + an-1(t) + . . . + a1(t) + a0(t), t " I,
dtn dtn-1 dt
wówczas równanie (5.11) można zapisać w zwiezlej postaci
L(t)x = 0, t " I. (5.12)
26
5.6. Skalarne równanie różniczkowe liniowe n-tego rzedu
Definicja 22 Wrońskianem funkcji x1, . . . , xn " Cn-1(I, R) nazywamy funkcje
W (x1, . . . , xn) (t) := det x(k-1)(t) (5.13)
j k = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n
Twierdzenie 14 a) Jeśli wrońskian W (x1, . . . , xn) (t0) = 0 dla pewnego t0 " I,

to funkcke x1, . . . , xn sa liniowo niezależne.
b) Niech x1, . . . , xn beda rozwiazaniami równania (5.11). Jeśli x1, . . . , xn sa
liniowo niezależne, to ich wrońskian W (x1, . . . , xn) (t)) = 0 dla każdego t " I.

Dowód Kolejno udowodnimy obie cześci twierdzenia.
ad a) (nie wprost)
Przyjmijmy, że x1, . . . , xn " Cn-1(I, R) sa liniowo zależne. Zatem istnieja takie
n
2
stale C1, . . . , Cn " R, że Cj = 0 oraz

j=1
n
Cjxj(t) = 0 dla t " I. (5.14)
j=1
Różniczkujac te równość sukcesywnie wzgledem zmiennej t dostajemy zwiazek
n
Cjx(k-1) = 0 k = 1, . . . , n, t " I.
j
j=1
Ponieważ W (x1, . . . , xn) (t0) = 0, zatem uklad (5.14) ma tylko rozwiazanie zerowe

C1 = C2 = . . . = Cn = 0 wbrew zalożeniu.
ad b) (nie wprost) Przypuśćmy, że istnieje taki punkt t0 " I : W (x1, . . . , xn) (t0) =
0.
Polóżmy aj := x(k-1) (t0) , j, k " {1, . . . , n} i zdefiniujmy macierz A := aj .
k j k
Niech wektor C = (C1, . . . , Cn)T bedzie niezerowym rozwiazaniem ukladu
AC = 0.
Takie rozwiazanie istnieje, gdyż
det A = det aj = W (x1, . . . , xn) (t0) = 0.
k
Wez
my
n
x = x(t) := Cjxj(t).
j=1
Funkcja ta jest rozwiazaniem równania (5.11) bo jest kombinacja liniowa rozwiazań
xj(j = 1, . . . , n). Zauważmy, że x(t) spelnia warunek poczatkowy Cauchy ego:
n
x(k-1) (t0) = Cjxk-1 (t0) = 0.
j
j=1
27
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
Z drugiej strony funkcja stala równa zero też spelnoa powyższy warunek poczatkowy
i jest rozwiazaniem równania (5.11). Wobec jedyności rozwiazania problemu
poczatkowego dla równania (5.11) i wobec liniowej niezależności x1, . . . , xn mamy
C1 = C2 = . . . = Cn = 0 co przeczy zalożeniu.
c.k.d
Wniosek 1 Jeżeli x1, . . . , xn sa rozwiazaniami równania (5.11), to
W (x1, . . . , xn) (t) = 0,
"
t"I
lub
W (x1, . . . , xn) (t) = 0.

"
t"I
Definicja 23 Zbiór {x1, . . . , xn} liniowo niezależnych rozwiazań szczególnych równania
(5.11) nazywamy fundamentalnym ukladem rozwiazań (SRRLJ) rzedu n.
Twierdzenie 15 Każde równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzedu n-tego
(5.11) ma fundamentalny uklad rozwiazań.
2
Dowód Niech A = aj " Rn bedzie dowolna macierza nioeosobliwa i niech
k
t0 " I. Wiadomo, że równanie (5.11) ma rozwiazania globalne przy zadanych
warunkach poczatkowych Cauchyego
x(k-1) (t0) = aj , k = 1, . . . , n.
j k
Oznaczmy je symbolami xj, (j = 1, . . . , n). Z konstrukcji tych rozwiazań wynika,
że
W (x1, . . . , xn) (t0) = det A = 0

i wobec poprzedniego twierdzenia rozwiazania x1, . . . , xn tworza fundamentalny
uklad rozwiazań.
c.k.d
Twierdzenie 16 Jeżeli rozwiazania x1, . . . , xn tworza fundamentalny uklad rozwiazań
jednorodnego równania różniczkowego liniowego rzedu n (5.11), to rodzina funkcji
n
x = Cjxj,
j=1
gdzie Cj, (j = 1, . . . , n) jest rozwiazaniem ogólnym tego równania.
Dowód Należy pokazać, że dla dowolnego rozwiazania szczególnego x spelniajacego
warunek poczatkowy Cauchy ego
x(k-1) (t0) = x0k (k = 1, . . . , n)
28
5.7. Obniżanie rzedu równania liniowego
n
istnieja stale Cj (j = 1, . . . , n) takie, że x = Cjxj.
j=1
Rozważmy uklad równań
n
Cjx(k-1) (t0) = x0k (k = 1, . . . , n).
j
j=1
Macierz tego ukladu jest nieosobliwa, bo jej wyznacznik jest równy W (x1, . . . , xn) (t0) =

T
0. Niech rozwiazaniem tego ukladu bedzie wektor C = C1, . . . , Cn . Latwo
zauważyć, że skladowe Cj tego wektora sa poszukiwanymi stalymi.
c.k.d
5.7. Obniżanie rzedu równania liniowego
5.7.1. Wzór Liouville a
Rozważmy teraz jednorodne równanie różniczkowe liniowe (5.11) rzedu dru-
giego. Można pokazać nastepujace twierdzenie Liouville a:
Twierdzenie 17 Jeśli x1, x2 stanowia uklad fundamentalny rozwiazań jednorod-
nego równania różniczkowego liniowego (5.11) rzedu drugiego, to
W (x1, x2) (t) = C exp - a1 (t) dt .
"
C"R
Jeśli x1 jest znanym rozwiazaniem r wnania (5.11), to drugie rozwiazanie
niezależne można znależć nastepujacym sposobem:
x1 (t) x (t)

= 0, (5.15)
"
x1 (t) x (t)
t"R
x1x - x1x = C exp - a1 (t) dt ,
x1x - x1x 1
= C exp - a1 (t) dt ,
x2 x2
1 1
d x 1
= C exp - a1 (t) dt ,
dt x1 x2
1
x 1
= C exp - a1 (t) dt dt,
x1 x2
1
1
x (t) = x1 (t) C exp - a1 (t) dt dt + C1 .(5.16)
x2(t)
1
29
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
5.7.2. Równania wyższych rzedów
Druga metoda, bardziej uniwersalna metoda, to zastosowanie podstawienia:
x (t) = x1 (t) y (t) . (5.17)
Ma bowiem miejsce nastepujace
Twierdzenie 18 Jeżeli x(t) = 0 jest rozwiazanie jednorodnego liniowego

równania różniczkowego (5.11) rzedu n, to po podstawieniu x(t) = x(t)y(t) otrzy-
mujemy równanie, którego rzad można obniżyć do rzedu n - 1.
5.8. Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu
Definicja 24 Niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzedu n na-
zywamy równanie postaci
L(t)x = g(t), (5.18)
gdzie g : R �" I R jest funkcja ciagla.
Zalóżmy, że znamy uklad fundamentalny {x1, . . . , xn} skojarzonego jednorod-
nego równania różniczkowego (5.12). Calke szczególna równania niejednorodnego
(5.18) znajdziemy metoda uzmienniania stalych (metoda Lagrange a).
Zakladamy, że poszukiwane rozwiazanie jest postaci
n
x(t) = Cj(t)xj(t).
j=1
Funkcje Cj(t) wyznaczamy rozwiazujac uklad równań różniczkowych
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1(t) . . . xn(t)
C1(t) 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x 1 . . . x n(t)
C2(t) 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. .
. .
. .
= .
�ł . . �ł �ł �ł �ł �ł
. .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
x(n-2) . . . x(n-2)(t) Cn-1(t) 0
n
1
Cn(t) g(t)
x(n-1) . . . x(n-1)(t)
n
1
Rozwiazujac powyższy uklad dostajemy n równań o zmiennych rozdzielonych
Cj(t) = Fj(t) (j = 1, . . . , n),
gdzie funkcje Fj sa określone wzorami Cramera.
Twierdzenie 19 (Zasada superpozycji) Jeśli funkcja x1(t) jest rozwiazaniem
równania L(t)x = g1(t), a x2(t) rozwiazaniem L(t)x = g2(t), to x1(t) + x2(t)
jest rozwiazaniem równania L(t)x = g1 + g2(t).
Uzasadnienie tego faktu zostanie przedstawiony przy omawianiu metody uzmien-
niania stalych dla ukladu równań różniczkowych liniowych.
30
5.9. Równanie liniowe n-tego rzedu o stalych wspólczynnikach
5.9. Równanie liniowe n-tego rzedu o stalych
wspólczynnikach
Rozważamy równanie postaci
x(n) + an-1x(n-1) + . . . + a1x + a0x = 0, (5.19)
w którym aj " R, (j = 0, 1, . . . , n - 1). Niech
dn dn-1 d
L := + an-1 + . . . + a1 + a0,
dtn dtn-1 dt
wówczas równanie (5.19) można zapisać krótko
Lx = 0. (5.20)
Przewidujemy rozwiazanie równania (5.19) w postaci x(t) = et, gdzie  " C.
Po wsrawieniu pochodnych x(j)(t) = jet do (5.19) i wydzieleniu przez et do-
stajemy:
n + an-1n-1 + . . . + a0 = 0. (5.21)
Wniosek 2 Funkcja x(t) = et jest rozwiazaniem równania różniczkowego (5.19)
wtedy i tylko wtedy, gdy  jest pierwiastkiem równania (5.21) zwanego równaniem
charakterystycznym.
Uwaga 2 Funkcja zespolona x(t) jest rozwiazaniem równania różniczkowego (5.19)
wtedy i tylko wtedy, gdy e x(t) oraz m x(t) sa rozwiazaniami tego równania.
Niech 1, . . . , n " C beda wszystkimi pierwiastkami równania charaktery-
stycznego (5.21), przy czym pierwiastek k-krotny wystepuje w tym ciagu k razy.
j
Funkcje xj(t) = e t maja wrońskian
1 1 . . . 1
1 2 . . . n
1
W (x1, . . . , xn) (t) = e( +...+n)t 2 2 . . . 2 =
1 2 n
. . .
. . .
. . .
n-1 n-1 . . . n-1
1 2 n
n n
1
= e( +...+n)t (j - k) .
k=1 j=k+1
Macierz wyznacznika wystepujacego w ostatnim wzorze nasi nazwe macierzy Van-
dermonde a.
Moga zaistnieć cztery przypadki:
1. Wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków rzeczywistych tj.:
i " R oraz i = j �! i = j.

" "
i"{1,...,n} i,j"{1,...,n}
31
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
Wtedy W (x1, . . . , xn) (t) = 0, zatem rodzina funkcji

"
t"R
n
j
x(t) = Cje t
j=1
jest calka ogólna równania (5.19).
2. Wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków, ale nie wszystkie
pierwiastki sa rzeczywiste tj.:
i " C oraz i = j �! i = j.

" "
i"{1,...,n} i,j"{1,...,n}
Niech np. m = a + ib bedzie jednym z pierwiastków zespolonych. Po-
nieważ wielomian charakterystyczny (5.21) ma wspólczynniki rzeczywiste, za-
tem również m = a - ib musi być pierwiastkiem tego wielomianu. Można
bez szkody dla ogólności przyja ć, że jest to kolejny pierwiastek na liście pier-
wiastków tj. m+1 = m. Pare liniowo niezależnych rozwiazań zespolonych
m m+1 m
y1(t) = e t, y2(t) = e t = e t
zastepujemy para liniowo niezależnych rozwiazań rzeczywistych
m m
xm(t) = e e t = eat cos(bt), xm+1(t) = m e t = eat sin(bt).
3. Wielomian charakterystyczny (5.21) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, ale
1 n
sa wśród nich pierwiastki wielokrotne. W tej sytuacji W e t, . . . , e t = 0.
Niech m " R bedzie pierwiastkiem krotności k > 1. Wówczas funkcje
m m m m
t0e t = e t, t1e t, . . . , tk-1e t
sa liniowo niezależne, ponadto każda z nich jest rozwiazaniem (5.19). Jak
latwo bowiem sprawdzić bezpośrednim rachunkiem
d
-  tset = sts-1et,
dt
skad wniosek, że jeśli  jest pierwiastkiem k krotnym i s d" k - 1, to
k
d
-  tset = 0.
dt
5.10. Metoda przewidywań
W przypadku niejednorodnego równania różniczkowego rzedu n o stalych
wspólczynnikach
x(n) + an-1x(n-1) + . . . + a1x + a0x = g(t), (5.22)
32
5.11. Uklad skalarnych równań różniczkowych liniowych rzedu pierwszego
możliwe jest skonstruowanie calki szczególnej tego równania, jeśli
g(t) = eat (pk(t) cos bt + qm(t) sin bt) ,
gdzie pk i qm sa wielomianami odpowiednio stopnia k i m. Rozwiazanie szczególne
przewidujemy w postaci
x(t) = eattp (rl(t) cos bt + sl(t) sin bt) ,
gdzie:
 p jest krotnościa pierwiastka a + ib wielomianu charakterystycznego równania
jednorodnego skojarzonego z (5.22); gdy a+ib nie jest pierwiastkiem, to p = 0,
 l = max{k, l},
 rl, sl wielomiany stopnia l.
Wspólczynniki wielomianów rl, sl dobieramy metoda wspólczynników nieozna-
czonych.
5.11. Uklad skalarnych równań różniczkowych liniowych
rzedu pierwszego
Rozważamy uklad równań różniczkowych rzedu pierwszego postaci
n
x j(t) = ak(t)xk(t) + gj(t) (j = 1, . . . , n), (5.23)
j
k=1
czyli
x (t) = A(t)x(t) + g(t), (5.24)
gdzie
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1(t) a1(t) . . . an(t) g1(t)
1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . . .
. . . .
x(t) = , A(t) = , g(t) = .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . .
xn(t) a1(t) . . . an(t) gn(t)
n n
Przyjmujemy zalożenia regularnościowe takie jak w teorii dotyczacej zagadnień
liniowych. W tym przypadku oznacza to, że
I t gj(t), I t ak(t) " C (I, R)
"
j
j,k"{1,...,n}
I t xj(t) " C1 (I, R) ,
"
j"{1,...,n}
gdzie I �" R jest przedzialem.
Niech M " Rn�n. Definiujemy
M0 := I
M1 := M
Mj := M � Mj-1
33
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
oraz
"
Mk
eM := .
k!
k=0
2
Szereg ten jest zbieżny w Rn dla każdej macierzy M. Wynika to stad, że wobec
oszacowania
Mk = M � Mk-1 d" M Mk-1 d" M k
mamy nierówność
"
Mk " k
M
d" .
k! k!
k=0 k=0
" M k "
Mk
Szereg jest zbieżny, a zatem szereg jest zbieżny, gdzyż
k=0 k=0
k! k!
w przestrzeniach Banacha zachodzi twierdzenie, że szereg który jest zbieżny
wzgledem normy (czyli jezt zbieżny bezwzglednie) jest zbieżny.
Twierdzenie 20 Jeśli macierze M, N " Rn�n sa przemienne, to znaczy gdy
MN = NM, to eM+N = eMeN.
-1
Wniosek 3 Dla dowolnej macierzy M " Rn�n: eM = e-M.
Dowód. Macierze M i -M sa przemienne, a zatem eMe-M = eM-M = e0 = I.
-1
Mnożac ten zwiazek lewostronnie przez eM dostajemy teze.
c.k.d.
Niech A(t) = ak(t) . Wprowadzamy oznaczenie
j
j,k=1,...,n
A(t) dt := ak(t) dt .
j
j,k=1,...,n
Twierdzenie 21 Jeśli macierze A(t) i A(t) dt sa przemienne, to funkcja
R
A(t) dt
x(t) := e C, (5.25)
gdzie C = (C1, . . . , Cn)T " Rn jest rozwiazaniem jednorodnego ukladu równań
różniczkowych liniowych rzedu pierwszego
x (t) = A(t)x(t). (5.26)
Dowód. Policzmy:
k
"
R R
A(t) dt
A(t) dt A(t) dt
x (t) = e C = e C = C =
k!
k=0
k-1 k-1
" "
k A(t) dt A(t)dt A(t) dt A(t)
= C = C =
k! (k - 1)!
k=1 k=1
k
"
A(t) dt
= A(t) C = A(t)eA(t)C = A(t)x(t).
k!
k=0
34
5.11. Uklad skalarnych równań różniczkowych liniowych rzedu pierwszego
c.k.d.
Wzór (5.25) ma niewielkie znaczenie praktyczne, gdy macierz ukladu A(t)
zależy istotnie od zmiennej t.
Uwaga 3 Jeśli macierz ukladu (5.26) jest stala tj. A(t) = A, to A(t) dt =
A dt = tA, a zatem macierze A i A dt = tA sa przemienne. W konsekwencji
rozwiazaniem ukladu
x = Ax
jest funkcja
x(t) = etAC
Jak sie dalej okaże efektywne obliczenie macierzy etA bedzie możliwe.
W podobny sposób jak przedstawiony powyżej, można pokazać, że funkcja
R R R
A(t) dt A(t) dt
x(t) = e e- A(t) dtg(t) dt + e C (C " Rn),
jest rozwiazaniem ogólnym niejednorodnego ukladu (5.24). Wektor C dla rozwiazania
0
x
spelniajacego warunek poczatkowy Cauchy ego x (t0) = ma postać:
R R
0
x
C = e- A(t) dt - e- A(t) dtg(t) dt.
Twierdzenie 22 Niech funkcje xk " C1(I, R) (j, k = 1, . . . , n), niech xk oznacza
j
T
wektor xk := xk, . . . , xk i niech
1 n
D x1, . . . , xn (t) := det xk(t) .
j
j,k=1,...,n
a) Jeśli D (x1, . . . , xn) (t) = 0 dla pewnego t0 " I, to x1, . . . , xn sa liniowo

niezależne.
b) Jeśli x1, . . . , xn sa liniowo niezależnymi rozwiazaniami jednorodnego ukladu
(5.26), to D (x1, . . . , xn) (t) = 0.

"
t"I
Dowód. Ad a). (Nie wprost) Przyjmijmy, że x1, . . . , xn liniowo zależne tzn.
n n
2
istnieja takie stale C1, . . . , Cn, że Ck = 0 oraz Ckxk(t) = 0.

"
k=1 k=1
t"I
To jednak oznacza, że det xk(t) = D (x1, . . . , xn) (t0) = 0, wbrew
j
j,k=1,...,n
zalożeniu.
Ad b). (Nie wprost) Dla dowodu nie wprost przyjmijemy, że D (x1, . . . , xn) (t0) =
0 dla pewnego t0 " I. Niech wektor (C1, . . . , Cn)T bedzie niezerowym rozwiazaniem
ukladu
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1 (t0) , . . . xn (t0) C1 0
1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . . .
. . . .
� = .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . .
x1 (t0) , . . . xn (t0) Cn 0
n n
35
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
Zdefiniujmy funkcje x(t) jako
n
x(t) := Ckxk(t), t " I.
k=1
Jako kombinacja liniowa rozwiazań xk funkcja x jest rozwiazaniem ukladu (5.24).
Ponadto spelnia ona warunek poczatkowy Cauchy ego
x (t0) = 0.
Funkcja y(t) a" 0 jest również rozwiazaniem ukladu (5.24) spelniajacym ten sam
warunek poczatkowy. Wobec jednoznaczności rozwiazania funkcje te musza być
równe, czyli x = 0. Oznacza to jednak wbrew zalożeniu, że funkcje x1, . . . , xn sa
liniowo zależne.
c.k.d.
Uwaga 4 Jeżeli x1, . . . , xn sa rozwiazaniami ukladu (5.26), to
D x1, . . . , xn (t) = 0,
"
t"I
lub
D x1, . . . , xn (t) = 0.

"
t"I
Definicja 25 Zbiór {x1, . . . , xn} liniowo niezależnych rozwiazań ukladu (5.26)
nazywamy fundamentalnym ukladem rozwiazań.
Twierdzenie 23 Każdy jednorodny uklad równań różniczkowych liniowych ma
fundamentalny uklad rozwiazań i jeśli funkcje x1, . . . , xn tworza fundamentalny
n
uklad rozwiazań, to rodzina odwzorowań x(t) = Ckxk(t), gdzie Ck " R jest
k=1
rozwiazaniem ogólnym tego ukladu.
Jeśli {x1, . . . , xn} tworza fundamentalny uklad rozwiazań (5.26), to calke
szczególna niejednorodnego ukladu (5.24) znajdujemy metoda uzmienniania stalych.
Przewidujemy ja w postaci
n
x(t) := Ck(t)xk(t).
k=1
n n
Dalej mamy x (t) := Ck(t)xk(t) + Ck(t) xk (t) i po wstawieniu do
k=1 k=1
równania otrzymujemy:
n n n
Ck(t)xk(t) + Ck(t) xk (t) = A(t) Ck(t)xk(t) + g(t),
k=1 k=1 k=1
czyli
n
Ck(t)xk(t) = g(t),
k=1
36
5.12. Uklady równań liniowych o stalych wspólczynnikach
to jest
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1(t) x2(t) � � � xn(t) C1(t) g1(t)
1 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
x1(t) x2(t) � � � xn(t) C2(t) g2(t)
�ł 2 2 2 �ł �ł �ł �ł �ł
= .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. . . . .
. . . . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . . .
x1 (t) x2(t) � � � xn(t) Cn(t) gn(t)
n n n
Ponieważ dla wszystkich t " I : D (x1, . . . , xn) (t) = 0, stad powyższy uklad

ma dokladnie jedno rozwiazanie określone wzorami Cramera
Ck(t) = pk(t) (k = 1, . . . , n).
Każde z tych równań jest równaniem o zmiennych rozdzielonych zatem
Ck(t) = pk(t) dt + Mk, gdzie Mk " R, (k = 1, . . . , n).
Ostatecznie
n n
x(t) = Mkxk(t) + pk(t) dt xk(t).
k=1 k=1
5.12. Uklady równań liniowych o stalych
wspólczynnikach
Zakladamy teraz, że macierz ukladu (5.26) jest macierza stala tj. ak(t) a" ak "
j j
R. Jak wiadomo z wcześniejszych rozważań, rozwiazanie tego ukladu jest postaci
x(t) = etAC,
gdzie C " Rn.
5.12.1. Metoda wartości i wektorów wlasnych
Jeśli w = 0 jest wektorem wlasnym macierzy A tj. istnieje  " C : Aw = w

i wez
miemy x(t) = y(t) � w, gdzie y(t) " C1(R, R), to po podstawieniu x do
równania (5.26) dostajemy y (t)w = y(t)w co daje (y (t) - y(t)) w = 0. Wobec
w = 0 mamy y (t) = y(t) równanie o zmiennych rozdzielonych z rozwiazaniem

y(t) = Cet, t " R.
Jak wiadomo zbiór rozwiazań ukladu (5.26) jest przestrzenia wektorowa n-wymiarowa.
Poszukujemy zatem fundamentalnego ukladu rozwiazań. Możemy rozważyć przy-
padki:
1. Każdej wartości wlasnej j o krotności kj odpowiada kj liniowo niezależnych
j
wektorów wlasnych wj,1, . . . , wj,k macierzy A (j = 1, . . . , p, k1 + k2 +
. . . + kp = n). Ponieważ wektory wlasne odpowiadajace różnym wartościom
wlasnym sa liniowo niezależne, wiec dla
j
xj,s(t) := e twj,s (s = 1, . . . , kj, j = 1, . . . , p)
37
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
wyznacznik
j,s
p 1
D x1,1, . . . , xp,k (t) = e(k 1+...+kpp)t det wi = 0,

gdzie i = 1, . . . , n, s = 1, . . . , kj, j = 1, . . . , p. W konsekwencji funkcje xj,s
tworza fundamentalny uklad rozwiazań.
Jeśli wartość wlasna i wektor wlasny sa zespolone tj. np. 1 = 2 =  i w =
u+iv = (u1 + iv1, . . . , un + ivn)T jest wektorem wlasnym odpowiadajacym 1
i w = u - iv = (u1 - iv1, . . . , un - ivn)T wektorem wlasnym odpowiadajacym
2, to ponieważ równość Aw = w pociaga równość Aw = Aw = Aw = w =
w, zatem zamiast zespolonych rozwiazań
1 2
y1 = e tw, y2 = e tw
bierzemy
x1 = e y1 = et e  (u cos (t m ) - v sin (t m )) ,
x2 = m y1 = et e  (u sin (t m ) + v cos (t m )) .
2. Niech wartości wlasnej np. 1 =  o krotności k odpowiada tylko r liniowo
niezależnych wektorów wlasnych, gdzie r < k. Tak jest wtedy, gdy
rzad (A - I) = n - r > n - k.
Poszukujemy rozwiazania ogólnego odpowiadajacego wartości wlasnej  po-
staci
x(t) = etP (t),
gdzie P (t) = (P1(t), . . . , Pn(t))T i Pj jest wielomianem stopnia k - 1, j =
1, . . . , n przy czym w rozwiazaniu ogólnym powinno wystapić k stalych do-
wolnych.
3. Rozwiazanie ogólne ukladu (5.26) jest suma rozwiazań szczególnych odpowia-
dajacych poszczególnym wartościom wlasnym.
5.12.2. Sprowadzanie macierzy ukladu do postaci Jordana
Przypadek szczególny Jeśli A jest diagonalizowalna rzeczywista macierza
-1
wymiaru n, tj. istnieje macierz podobieństwa P taka, że P AP = D, gdzie
D jest macierza diagonalna, to podstawiajac x = P y sprowadzamy uklad x (t) =
Ax(t), t " I (" topR) do postaci y (t) = Dy(t), którego rozwiazaniem jest
�ł �ł
11
C1ed t
�ł �ł
.
ii
.
y(t) = eDtC = ed t C = ,
�ł łł
.
nn
Cned t
38
5.12. Uklady równań liniowych o stalych wspólczynnikach
a zatem
�ł �ł
11
C1ed t
�ł �ł
.
.
x (t) = P .
�ł łł
.
nn
Cned t
W sczególności, jeśli macierz A ma n różnych wartości wlasnych i (i = 1, . . . , n),
to jest diagonalizowalna i D = diag{1, . . . , n}. Wtedy też macierz podo-
bieństwa P jest równa
P = (v1, . . . , vn) ,
gdzie vi jest wektorem wlasnym odpowiadajacym wartości wlasnej i (i = 1, . . . , n).
Przypadek ogólny Niech A bedzie dana rzeczywista macierza kwadratowa
wymiaru n. Niech r (r = 1, . . . , q) beda wartościami wlasnymi tej macie-
rzy, przy czym przyjmujemy, że wartość wlasna r ma krotność kr. Oczywiście
q
kr = n. Niech P bedzie taka macierza nieosobliwa, że macierz J =
r=1
-1
P AP jest macierza Jordana, tzn.
�ł �ł
J11 0 � � � 0 � � � 0 � � � 0
�ł �ł
0 J12 � � � 0 � � � 0 � � � 0
�ł �ł
. . .
�ł ... �ł
. . .
�ł . . . �ł
�ł �ł
�ł 0 0 J1i(1) 0 0 �ł
�ł �ł
J = ,
. . .
...
�ł �ł
. . .
. . .
�ł �ł
�ł �ł
0 0 0 Jq1 0
�ł �ł
�ł
. . .
... . �ł
. .
�ł łł
. . .
0 0 � � � 0 � � � 0 � � � Jq,i(q)
gdzie
�ł �ł
r 0 0 � � � 0 0
�ł �ł
1 r 0 0 0
�ł �ł
�ł �ł
0 1 r 0 0
�ł �ł
Jrj =
�ł
. . .
... . . �ł lub Jrj = (r)
.
�ł �ł
. . .
�ł �ł
�ł łł
0 0 0 � � � r 0
0 0 0 � � � 1 r
(macierze Jrj nazywamy klatkami Jordana). Oznaczmy przez krj liczbe wierszy i
kolumn macierzy Jrj. Obliczajac wielomian charakterystyczny macierzy J, równy
wielomianowi charakterystycznemu macierzy A latwo można sie przekonać, że
maja miejsce nastepujace równości:
i(r)
kr = krj (r = 1, . . . , q) .
j=1
Liczby krj można wyznaczyć np. metoda przedstawiona w [6].
39
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
Niech Dm () oznacza najwiekszy wspólny dzielnik wszystkich minorów stop-
nia m macierzy A - I. Można pokazać, że Dm () dzieli sie przez Dm-1 ().
Zatem z dokladnościa do czynnika a, takiego że |a| = 1:
11 21 q1
Dn () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
12 22 q2
Dn-1 () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
. . . ........................................................
1n 2n qn
D1 () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
przy czym ui1 e" ui2 e" ui3 e" . . . e" uin co można zapisać krótko uik e" uij
dla k d" j . Nie wykluczamy przypadku, gdy pewne uik = 0. W tym przypadku
jednak uij = 0 dla wszystkich j e" k. Przy tych oznaczeniach:
k11 = u11 - u12, k12 = u12 - u13, . . . , kij = uij - ui,j+1, . . .
Mamy wówczas i (r) = max {j : krj = 0}.

Jeżeli km = 1 dla pewnego m, to i (m) = 1 oraz Jm1 = (m) jest macierza
wymiaru 1 � 1. Bez straty ogólności możemy przyja ć, że jeśli istniej a pierwiastki
jednokrotne, to maja one kolejne numery rozpoczynajace sie od 1. Macierz Jor-
dana J jest wiec postaci
�ł �ł
1 0 � � � 0 0 � � � 0
�ł �ł
0 2 � � � 0 0 � � � 0
�ł �ł
. . .
...
�ł �ł
. . .
. . .
�ł �ł
�ł �ł
0 0 p 0 0 .
�ł �ł
�ł �ł
0 0 0 Jp+1,1 0
�ł �ł
�ł
. . .
... . �ł
�ł . . łł
. . .
0 0 � � � 0 0 � � � Jq,i(q)
Dowodzi sie, że jeśli
-1
A = P JP ,
to
-1
eAt = P eJtP .
Z kolei
�ł �ł
1
e t � � � 0 0 � � � 0
. .
...
�ł �ł
. .
. .
�ł �ł
�ł �ł
p
0 e t 0 0
�ł �ł
eJt = ,
�ł �ł
p+1,1
0 0 eJ t 0
�ł �ł
�ł
. .
... . �ł
�ł . łł
. .
q,i(q)
0 0 � � � 0 � � � eJ t
gdzie 1, . . . , p sa jednokrotnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.
40
5.12. Uklady równań liniowych o stalych wspólczynnikach
Niech Jrj wymiaru krj bedzie jedna z klatek Jordana odpowiadajacych wartości
wlasnej r o krotności kr. Wprost z definicji można pokazać, że
�ł �ł
1 0 � � � 0
t
�ł �ł
1 � � � 0
1!
�ł �ł
t2 t
�ł
rj r 0
eJ t = e t �ł 2! 1! .
�ł �ł
. .
�ł ... . �ł
.
�ł . . łł
tkrj -1 tkrj -2
� � � 1
(krj-1)! (krj-2)!
Niech P bedzie macierza sprowadzajaca macierz A do postaci Jordana tj. J =
-1
P AP . Ostatni zwiazek jest równoważny równości P J = AP . Wprowadzajac
nowa funkcje niewiadoma y (t) określona równościa
x(t) = P y(t),
sprowadzamy ostatni URRLJ do równoważnego ukladu
y (t) = Jy(t),
którego rozwiazaniem ogólnym jest funkcja
y(t) = eJtC, C " Rn.
Tak wiec rozwiazaniem ogólnym wyjściowego URRLJ jest funkcja
x(t) = P eJtC, C " Rn.
Przyklad 5 Rozważmy uklad równań:
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
x (t) = 0 1 1 x (t)
0 0 2
Jak latwo  2 2 =�ł k2 = 1
2,
�łsprawdzić�ł1 = 1, k1 = �ł
1 1 3 1 0 0
�ł łł �ł łł
P = 1 0 1 J = 1 1 0
0 0 1 0 0 2
Stosujac standardowe podstawienie x (t) = P y (t) rozwiazujemy uklad równań
y (t) = Jy(t). Jego rozwiazaniem jest
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 C1 et 0 0 C1
et 0
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
y(t) = eJtC = t 1 C2 = tet et 0 C2 ,
0 e2t C3 0 0 e2t C3
41
Rozdzial 5. Liniowe równania różniczkowe
zatem
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 3 et 0 0 C1
�ł łł �ł łł �ł łł
x(t) = 1 0 1 tet et 0 C2 =
0 0 1 0 0 e2t C3
�ł �ł �ł �ł
(1 + t) et et 3e2t C1
�ł
= et 0 e2t łł �ł C2 łł .
0 0 e2t C3
5.13. Równanie ruchu harmonicznego
Równanie ruchu pod dzialaniem sily elastycznej, tj. równanie ruchu harmo-
nicznego jest opisane równaniem różniczkowym wektorowym:
..
r
m = -k2r,
k
"
gdzie r = r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Podstawiajac � = dostajemy uklad
m
separowanych równań skalarnych:
ńł
..
x +�2x = 0
�ł
..
y
+�2y = 0 .
..
ół
z +�2z = 0
Calka ogólna pierwszego z nich ma postać:
x (t) = C1 sin �t + C2 cos �t = A sin (�t + ł) ,
2 2
gdzie A = C1 + C2, ł = arctan (C1/C2). Latwo zauważyć, że rozwiazanie x (t)
2Ą
jest okresowe o okresie T = . Stala � nazywamy czestościa kolowa lub pulsacja,
�
1
� = czestościa, �t + ł faza, zaś ł stala fazowa.
T
Jeżeli na punkt materialny oprócz sily elastycznej -k2x dziala dodatkowa sila
.
x
-� (� > 0), to otrzymujemy drgania tlumione.
Rozdzial 6
Rozwiazania w postaci szeregów
funkcyjnych
Jak wiadomo nie zawsze można efektywnie rozwiazać równanie różniczkowe,
nie zawsze można otrzymać rozwiazanie przez skończona liczbe kwadratur. Cza-
sami trzeba siegna ć do sposobów bardziej wyrafinowanych - jednym z nich jest
wyrażenie rozwiazania w postaci szeregu funkcyjnego. Poniżej omówione sa dwa
przypadki takiego postepowania.
6.1. Rozwiazania w postaci szeregów potegowych
Niech bedzie dane zagadnienie poczatkowe Cauchy ego
x = f(t, x) (t " I) ,
x (t0) = x0,
ć%
gdzie I �" R przedzial, taki że t0 " , x : I t x(t) " U �" R, U zbiór
I
otwarty w R, x0 " U. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej orzeka, że jeśli funkcja
f : I � U R jest analityczna w otoczeniu punktu (t0, x0), to istnieje dokladnie
jedno analityczne rozwiazanie tego równania w pewnym otoczeniu punktu t0.
43
Rozdzial 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych
6.1.1. Uklad równań liniowych rzedu pierwszego o stalych
wspólczynnikach
Rozważamy uklad równań różniczkowych rzedu pierwszego (5.23) o stalych
wspólczynnikach czyli uklad postaci
n
x j(t) = akxk(t) + gj(t) (j = 1, . . . , n). (6.1)
j
k=1
Przyjmijmy, że
"
gj(t) = cj�(t - t0)� (j = 1, . . . , n).
�=0
Szukamy rozwiazania x : R �" I Rn, którego wszystkie skladowe sa szeregami
potegowymi o środku w punkcie t0:
"
xj(t) = bj�(t - t0)� (j = 1, . . . , n).
�=0
Podstawiajac szeregi gj(t), xj(t) i
"
x j(t) = (� + 1)bj,�+1(t - t0)�
�=0
(j=1,. . . ,n) do równania (6.1), przegrupowujac wyrazy i korzystajac z definicji
równości szeregów potegowych dostajemy zwiazki rekurencyjne na wspólczynniki
szeregów xj(t):
n
1
bj,�+1 = akbk� + cj� . (6.2)
j
� + 1
k=1
Wspólczynniki bj0 sa wyznaczone przez warunek poczatkowy Cauchy ego.
Jeśli gj(t) a" 0, czyli uklad (6.1) jest jednorodny, to wyznaczajac kolejno
n rozwiazań ukladu (6.1) z warunkiem poczatkowym x(t0) = ei, gdzie ei jest
wersorem i-tej osi, otrzymujemy fundamentalny uklad rozwiazań.
6.1.2. Skalarne równania różniczkowe rzedu pierwszego i drugiego
Nieliniowe równanie różniczkowe rzedu drugiego
Rozważmy przypadek szczególny, równanie skalarne postaci:
x = w(g(t), x, x ) t " (t0, T )
x (t0) = x0, x (t0) = x1,
gdzie w(p1, p2, p3) jest wielomianem stopnia co najwyżej drugiego
3 3
w(p1, p2, p3) = a0 + aipi + aijpipj,
i=1
i,j=1
i<=j
44
6.1. Rozwiazania w postaci szeregów potegowych
o wspólczynnikach rzeczywistych, a g jest funkcja analityczna w otoczeniu punktu
t0. Przyjmijmy, że funkcja g ma rozwiniecie w szereg potegowy
"
g(t) = gk (t - t0)k ,
k=0
a szukana funkcja x(t) rozwiniecie
"
x(t) = ck (t - t0)k .
k=0
Pierwsza i druga pochodna funkcji szukanej maja zatem rozwiniecia
"
x (t) = (k + 1)ck+1 (t - t0)k ,
k=0
"
x (t) = (k + 2)(k + 1)ck+2 (t - t0)k .
k=0
Iloczyny g(t)g(t), g(t)x(t), g(t)x (t), x(t)x(t), x(t)x (t), x (t)x (t)
po prawej stronie równania różniczkowego sa iloczynami Cauchy ego:
" " " k
uk (t - t0)k vk (t - t0)k = ujvk-j (t - t0)k .
k=0 k=0 k=0 j=0
Ostatecznie dostajemy równość dwóch szeregów potegowych:
"
(k + 2)(k + 1)ck+2 (t - t0)k =
k=0
"
((�0ka0 + a1gk + a2ck + a3(k + 1)ck+1) +
k=0
k
+ (a11gjgk-j + a12gjck-j + a13(k + 1 - j)gjck+1-j + a22cjck-j +
j=0
+ a23(k + 1 - j)cjck+1-j + a33(j + 1)(k + 1 - j)cj+1ck+1-j)) (t - t0)k ,
która przez porównanie wspólczynników przy tych samych potegach (t - t0) pro-
wadzi do nieskończonego ukladu równań algebraicznych o niewiadomych ck (k "
N).
Uwzgledniajac warunki poczatkowe mamy
c0 = x0, c1 = x1.
Kolejne wspólczynniki ck można wyznaczyć rekurencyjnie:
k
1
ck+2 = �0ka0 + a1gk + a2ck + (k + 1)a3ck+1 + Skj (k " N),
(k + 1)(k + 2)
j=0
gdzie
Skj := a11gjgk-j + ck-j (a12gj + a22cj) +
+(k + 1 - j)ck+1-j (a13gj + a23cj + (j + 1)a33cj+1) ,
a �ij jest delta Kroneckera.
45
Rozdzial 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych
Jednorodne liniowe równanie różniczkowe rzedu drugiego
Wyznaczenie rozwiazania równania liniowego jednorodnego rzedu drugiego
x + p(t)x + q(t)x = 0 t " (t0, T )
x (t0) = x0, x (t0) = x1,
ze wspólczynnikami p(t), q(t) analitycznymi w otoczeniu punktu t0 wyglada po-
dobnie do przedstawionego powyżej. Jeśli
" "
p(t) = ak (t - t0)k , q(t) = bk (t - t0)k ,
k=0 k=0
to równanie rekurencyjne na wspólczynniki ck ma postać:
k
1
ck+2 = - ((j + 1)ak-jcj+1 + bk-jcj) (k " N),
(k + 1)(k + 2)
j=0
(Punkt t0, w otoczeniu którego wspólczynniki równania liniowego jednorodnego
sa funkcjami analitycznymi, nazywamy punktem nieosobliwym tego równania.)
Biorac kolejno dwa warunki poczatkowe Cauchy ego x (t0) = x0, x (t0) = x1
x0 x1
oraz x (t0) = x0, x (t0) = x1 takie, że det = 0, można wygenerować

x0 x1
dwa liniowo niezależne rozwiazania tego równania i jego rozwiazanie ogólne. Naj-
prościej przyja ć x0 = 1, x1 = 0 oraz x0 = 0 i x1 = 1.
Specjalne równanie Riccatiego
Jeszcze jednym przykladem niech bedzie sposób wyznaczenia rozwiazania spe-
cjalnego równania Riccatiego x (t) = ax2(t) + btn z warunkiem poczatkowym
Caychy ego x(0) = x0, gdzie a, b " R, n " N. Dla prostoty przyjmijmy
n = 2. Postepowanie takie jak wyżej prowadzi do wzorów rekurencyjnych na
"
wspólczynniki rozwiazania x(t) = cktk:
k=0
c0 = x0,
c1 = ac2,
0
c2 = ac0c1,
1 1
c3 = a 2c0c2 + c2 + c0,
1
3 3
�
1
c�+1 = a ckc�-k � = 3, 4, 5, . . . .
� + 1
k=0
6.2. Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego 
szeregi Frobeniusa
Niech bedzie dane liniowe równanie różniczkowe rzedu drugiego
x + p(t)x + q(t)x = 0 (t " I) ,
46
6.2. Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego  szeregi Frobeniusa
ć%
gdzie I �" R przedzial, taki że t0 " , x : I t x(t) " U �" R, U " topR.
I
Wiadomo, że zbiór rozwiazań równania jednorodnego jest przestrzenia wek-
torowa dwuwymiarowa. W przypadku, gdy p(t) = const, q(t) = const, w pro-
sty i znany sposób można wypisać wzory dwóch liniowo niezależnych rozwiazań
tego równania i w konsekwencji dla zadanego warunku poczatkowego Cauchy ego
wyznaczyć rozwiazanie problemu poczatkowego. Gdy t0 jest punktem nieosobli-
wym równania tj. p(t), q(t) sa funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu t0,
to można wyznaczyć rozwiazanie tego problemu w postaci szeregu potegowego
o środku w punkcie t0, jak to zostalo pokrótce opisane powyżej, a także wy-
znaczyć dwa szeregi potegowe, których sumy sa dwoma liniowo niezależnymi
rozwiazaniami równania jednorodnego. Gdy funkcje p(t), q(t) nie sa analityczne
w otoczeniu punktu t0, to punkt ten nazywamy punktem osobliwym równania, a
nazywamy go punktem osobliwym regularnym, jeśli funkcje (t - t0) p(t), (t - t0)2 q(t)
sa analityczne w otoczeniu t0.
Niech t0 bedzie regularnym punktem osobliwym rozważanego równania i niech
funkcje (t - t0) p(t), (t - t0)2 q(t) analityczne w otoczeniu |t - t0| < R maja roz-
winiecia w szeregi potegowe:
"
(t - t0) p(t) = pk (t - t0)k ,
k=0
"
(t - t0)2 q(t) = qk (t - t0)k .
k=0
Niech 1, 2 beda pierwiastkami równania
( - 1) + p0 + q0 = 0,
zwanego równaniem indeksowym (wyznaczajacym), gdzie p0 = limtt (t - t0) p(t),
0
q0 = limtt (t - t0)2 q(t). W jednym z możliwych przypadków, w sytuacji gdy
0
1, 2 " R, 1 > 2, 1 - 2 " N rozważane równanie ma dwa liniowo niezależne
rozwiazania w przedziale (t0, t0 + R) postaci:
" "
1 2
x1(t) = (t - t0) ak (t - t0)k , x2(t) = (t - t0) bk (t - t0)k .
k=0 k=0
Biorac dowolne a0 = 0, kolejne wspólczynniki ak (k = 1, 2, . . .) wyznaczamy z

zależności:
k
(pj (k - j + 1) + qj) ak-j
j=1
ak = - .
(k + 1) (k + 1 - 1) + p0 (k + 1) + q0
Podobnie, biorac dowolne b0 = 0, kolejne wspólczynniki bk (k = 1, 2, . . .) wyzna-

czamy z zależności:
k
(pj (k - j + 2) + qj) bk-j
j=1
bk = - .
(k + 2) (k + 2 - 1) + p0 (k + 2) + q0
47
Rozdzial 6. Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych
Gdy 1, 2 " R, 1 = 2, rozwiazanie szczególne x2(t) ma postać:
"
1
x2(t) = x1(t) ln (t - t0) + (t - t0) bk (t - t0)k ,
k=0
natomiast, gdy 1, 2 " R, 1 e" 2, 1 - 2 " N jest postaci:
"
2
x2(t) = Cx1(t) ln (t - t0) + (t - t0) bk (t - t0)k ,
k=0
gdzie stala C może być równa zeru.
Podobne wzory można wyprowadzić dla zespolonych pierwiastlów równania
indeksowego.
Rozdzial 7
Stabilność rozwiazań równań
różniczkowych
7.1. Podstawowe definicje
Definicja 26 Niech X bedzie przestrzenia Banacha. Niech dane bedzie (RR):
x = f (t, x) z (WPC): x (t0) = x0, gdzie t " I, I przedzial , x0 " U " top X
Zalóżmy, że
(RR) z (W P C) : x (t0) = y0
"
y0"U
ma rozwiazanie x (t, y0) określone na maksymalnym przedziale istnienia J (y0) =
[t0, R (t0, y0)).
1. Rozwiazanie x (�, x0) nazywamy stabilnym, lub stabilnym w sensie Lapu-
nowa, jeżeli
: y0 - x0 < � �! x (t, y0) - x (t, x0) < �
" "
�>0 �>0
dla t " J (x0) )" J (y0).
2. Mówimy, że rozwiazanie x (t, x0) jest lokalnie asymptotycznie stabilne, jeżeli
I = [0, +"), rozwiazanie jest stabilne i ponadto ma wlasność lokalnego przyciagania,
tzn.
: y0 - x0 < � �!
"
�>0
�! J (y0) = [t0, +") , lim x (t, y0) - x (t, x0) = 0 .
t"
W skrócie piszemy: x (t, x0) jest LAS.
49
Rozdzial 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
3. Mówimy, że rozwiazanie x (t, x0) jest globalnie asymptotycznie stabilne, jeżeli
jest stabilne i ponadto ma wlasność globalnego przyciagania, tzn.
: J (y0) = [t0, +") , lim x (t, y0) - x (t, x0) = 0.
"
t"
y0"U
W skrócie piszemy: x (t, x0) jest GAS.
Przyklad 6 Równianie x -x = 0 z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x(0) =
x0 ma rozwiazanie postaci x(t, x0) = x0et. Rozwiazanie x(t, 0) = 0 nie jest
stabilne, bo dla r > 0 mamy sup {|x(t, x0) - 0| : t e" 0, |x0 - 0| < r} = +".
Przyklad 7 Równanie mx + 2px + kx = 0 z warunkiem poczatkowym Cau-
chy ego x(0) = A, x (0) = � gdy p2 < km, p > 0, m > 0 ma rozwiazanie postaci
2
p qA+�
k
x(t, A, �) = Ce-qt sin(�t + �), gdzie q = , � = - q2, C = A2 + ,
m m �
A
� = arccos . Rozwiazanie zerowe jest, co oczywiste, lokalnie asymptotycznie
C
stabilne.
Twierdzenie 24 Rozwiazanie x (t, x0) = p (t) równania x = f (t, x) jest sta-
bilne (asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiazanie y (t) = 0
równania y = g (t, y) := f (t, y + p (t)) - f (t, p (t)) jest stabilne (asymptotycznie
stabilne).
Dowód. Niech p (t) := x (t, x0) stabilne rozwiazanie równania x = f (t, x).
Funkcja y (t) := x (t) - p (t) spelnia równanie y (t) = f (t, x (t)) - f (t, p (t)) =
f (t, y (t) + p (t)) - f (t, p (t)) =: g (t, y (t)). Funkcje f i g sa tej samej klasy
regularności.
Inaczej. Niech p (t) = x (t, x0), x (t) = x (t, y0), p = f(t, p), x = f(t, x).
Tak wiec x - p = f(t, x) - f(t, p). Zdefiniujmy z := x - p. Mamy z =
f(t, z + p) - f(t, p) =: g(t, z) czyli z = g(t, z). Skoro
y0 - x0 < � =�! x (t, y0) - x (t, x0) < �
zatem
z0 < � =�! x (t) - p (t) = z(t) < �
co jest równoważne
z0 - 0 < � =�! z(t) - 0 < �
Przyklad 8 Rozważmy uklad równań różniczkowych
x 1 = (x1 - 1) (x2 - 1)
x 2 = x1x2 - 2
50
7.2. Twierdzenie Lapunowa
które można zapisać jako jedno równanie w postaci wektorowej
(x1 - 1) (x2 - 1)
x = f(x) :=
x1x2 - 2
x1(t) 1
gdzie x(t) = . Latwo zauważyć, że funkcje x(t) = , x(t) =
x2(t) 2
2
sa rozwiazaniami przykladowego równania (jego polożeniami równowagi).
1
Stabilność pierwszego z tych rozwiazań jest równoważna stabilności rozwiazania
zerowego równania
1 1 y1 (y2 + 1)
y = f y + - f =
2 2 y1y2 + 2y1 + y2
a stabilność drugiego z nich stabilności rozwiazania zerowego równania
2 2 (y1 + 1) y2
y = f y + - f =
1 1 y1y2 + y1 + 2y2
Uwaga 5 Stabilność nie implikuje przyciagania i odwrotnie.
Przyklad 9 Rozważmy równanie x + x = 0 z warunkiem poczatkowym Cau-
chy ego x (0) = x0, x (0) = 0. Jego rozwiazaniem jest funkcja x (t) = x0 cos t.
Rozwiazanie zerowe jest wiec stabilne, ale nie ma wlasności przyciagania.
x1 x2
Przyklad 10 Rozwiazaniem ukladu = z warunkiem poczatkowym
x2 -x1
x1 x0 x1 x0 cos t
(0) = jest funkcja (t) = . Tak wiec zerowe
x2 0 x2 -x0 sin t
rozwiazanie jest stabilne, ale nie ma wlasności przyciagania.
7.2. Twierdzenie Lapunowa
Twierdzenie 25 (Lapunowa) Niech dany bedzie skalarny uklad równań różniczkowych
xj = fj (t, x) (j = 1, . . . , n)
gdzie t " [t0, +"), x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) "
C1 ([t0, +") � U, Rn). Zalóżmy,że
 f (t, 0, . . . , 0) = 0
"fj
 ajk := (t, 0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk
 det (ajk - �jk)j,k=1,...,n = 0 =�! Re  < 0
51
Rozdzial 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
n
 " M : U - R, że lim M (x) = 0 oraz fj (t, x) - ajkxk d"
x-0
k=1
M (x) x dla t e" t0, x " U, j = 1, . . . , n.
Wtedy rozwiazanie zerowe x (�, 0) = 0 powyższego ukladu jest lokalnie asympto-
tycznie stabilne tzn. y0 < r =�! { maksymalny przedzial J (y0) istnienia
"
r>0
rozwiazania x (�, y0) jest równy [t0, +") } oraz : y0 < � =�! lim
" "
t-+"
�>0 �>0
x (t, y0) = 0 i x (t, y0) < � dla t e" t0.
Wniosek 4 Niech dany bedzie skalarny uklad równań różniczkowych
xj = fj (x) (j = 1, . . . , n)
gdzie x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) " C1 (U, Rn).
Zalóżmy, że
 f (0, . . . , 0) = 0
"fj
 ajk := (0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk
 det (ajk - �jk)j,k=1,...,n = 0 =�! Re  < 0
Wtedy rozwiazanie zerowe x (�, 0) = 0 powyższego ukladu jest lokalnie asymp-
totycznie stabilne.
Przyklad 11 Rozważmy pierwsze równanie z przykladu 8 tj.
y1 (y2 + 1)
y = g (y) :=
y1y2 + 2y1 + y2
y2 + 1 y1
"gi
Latwo zauważyć, że g(0) = 0 natomiast (0) = =
"xj
y2 + 2 y1 + 1
|y1=0, y2=0
1 0
. Macierz ta ma wartość wlasna  = 1 o krotności k = 2, a zatem
2 1
rozwiazanie zerowe powyższego równania nie jest lokalnie asymptotycznie stabilne
i nie jest stabilne.
Wniosek 5 Rozważmy równanie skalarne x = f (x). Jeśli f (0) = 0 oraz
f (0) < 0, to rozwiazanie zerowe tego równania jest lokalnie asymptotycznie
stabilne.
Wniosek 6 Rozważamy uklad równań różniczkowych liniowych x = Ax. Jeśli
wszystkie wartości wlasne macierzy A maja ujemne cześci rzeczywiste, to rozwiazanie
zerowe rozważanego ukladu jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
52
7.3. Problem Routha Hurwitza
Twierdzenie 26 Rozwiazanie zerowe ukladu równań różniczkowych liniowych
x = Ax jest stabilne, gdy Re  d" 0 dla każdej wartości wlasnej  macierzy A, a
w przypadku Re  = 0, krotność tej wartości wlasnej jest równa 1.
7.3. Problem Routha Hurwitza
Niech bedzie dany wielomian W o wspólczynnikach rzeczywistych. Podać
takie warunki na jego wspólczynniki, aby pierwiastki wielomianu W leżaly w
lewej pólplaszczyz
nie plaszczyzny zespolonej.
Niech W () = n+a1n-1+� � �+an-1+an = 0, gdzie aj " R (j = 1, . . . , n).
Twierdzenie 27 (Warunek konieczny) ai > 0 . Jeżeli n d" 2, to ten
"
i"{1,...,n}
warunek jest warunkiem wystarczajacym.
Twierdzenie 28 (Warunek Routha Huwitza) Warunkiem koniecznym i wy-
starczajacym na to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu W mialy ujemne cześci
rzeczywiste jest, aby wszystkie minory glówne macierzy Hurwitza
�ł �ł
a1 1 0 0 0 0 � � � 0 0 0
�ł �ł
a3 a2 a1 1 0 0 0 0 0
�ł �ł
�ł �ł
a5 a4 a3 a2 a1 1 0 0 0
�ł �ł
�ł �ł
. .
...
. .
�ł �ł
. .
�ł �ł
�ł
0 0 0 0 0 0 an an-1 an-2 łł
0 0 0 0 0 0 � � � 0 0 an
byly dodatnie.
Twierdzenie 29 Jeśli W () = a0n + a1n-1 + � � � + an-1 + an = 0 jest wielo-
mianem Hurwitza tzn. wszystkie jego pierwiastki maja ujemne cześci rzeczywiste,
1
to V () := nW = ann + an-1n-1 + . . . + a1 + a0 jest także wielomianem

Hurwitza.
Przyklad 12 Wyznaczyć obszar asymptotycznej stabilności dla ukladu
ńł
dx
= -x + ąy
�ł
dt
dy
= �x - y + ąz
dt
ół
dz
= �y - z,
dt
gdzie ą, � sa parametrami rzeczywistymi.
53
Rozdzial 7. Stabilność rozwiazań równań różniczkowych
W rozważanym przypadku wielomian charakterystyczny jest równy
-1 -  ą 0
W () = � -1 -  ą = 3 + 32 + (3 - 2ą�) + (1 - 2ą�).
0 � -1 - 
Macierz Hurwitza dla tego wielomianu ma postać
�ł �ł
3 1 0
�ł łł
1 - 2ą� 3 - 2ą� 3 .
0 0 1 - 2ą�
Jej minory glówne sa równe: = 3, = 8 - 4ą�, = (8 - 4ą�)(1 - 2ą�).
1 2 3
1
Jak latwo zauważyć sa one wszystkie dodatnie dla ą� < .
2
7.4. Punkty osobliwe równania różniczkowego zupelnego
Rozważmy równanie
P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (7.1)
określone w obszarze ściagalnym D �" R2, gdzie P, Q " C1(D, R). Poprzednio
zakladaliśmy, że |P (t, x)| + |Q(t, x)| > 0. Przy tych zalożeniach można bylo
powyższe równanie sprowadzić do postaci
P (t, x)
x = - , x = x(t),
Q(t, x)
lub
Q(t, x)
t = - , t = t(x)
P (t, x)
równań majacych jednoznaczne rozwiazanie przy zadanych WPC.
Definicja 27 Jeśli istnieje taki punkt (t0, x0) " D w którym
P (t0, x0) = Q (t0, x0) = 0
to taki punkt nazywamy punktem osobliwym równania różniczkowego (7.1).
Przez punkt osobliwy może przechodzić wiele krzywych calkowych, lub żadna
krzywa calkowa.
Przyklad 13
Rozwiazaniem ogólnym równania
2t dx - x dt = 0, (x, t) " R2
jest rodzina krzywych
t = Cx2, C " R.
Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym przez który przechodzi nieskończenie wiele
calek  jest to tzw. punkt wezlowy.
54
7.4. Punkty osobliwe równania różniczkowego zupelnego
Przyklad 14
Rozwiazaniem ogólnym równania
2at dt + 2bx dx = 0, (x, t) " R2, a, b > 0
jest rodzina krzywych
at2 + bx2 + C, C " R+.
Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym tzw. punktem wirowym.
Przyklad 15
Rozwiazaniem ogólnym równania
2at dt - 2bx dx = 0, (x, t) " R2, a, b > 0
jest rodzina krzywych
at2 - bx2 + C, C " R.
Przez punkt osobliwy (0, 0) przechodza dwie krzywe calkowe:
a a
x = x(t) = t, x = x(t) = - t, t " R.
b b
Punkt (0, 0) jest to tzw. punktem siodlowy.
Przyklad 16
Równanie
(2t + x) dt + (2x - t) dx = 0, (x, t) " R20
ma rozwiazanie ogólne, które we wspólrzednych biegunowych ma postać
r = Ce�/2 C " R+.
Punkt osobliwy (0, 0) jest w tym wypadku tzw. punktem asymptotycznym.
Rozdzial 8
Transformata Laplace a
8.1. Podstawowe definicje i twierdzenia
Niech �(t) bedzie funkcja zmiennej niezależnej t " R. zaś s := � + i� liczba
zespolona.
Definicja 28 Transformata Laplace a (transformata) funkcji �(t) nazywamy funkcje
�(s) (zmiennej niezależnej s) określona wzorem
"
�(s) := e-st�(t)dt (8.1)
0
Aby transformata funkcji �(t) byla określona, wystarczy aby calka (8.1) istniala
dla pewnego zbioru wartości s, przy czym dla pozostalych s calka ta może nie
istnieć. Może sie zdarzyć, że calka (8.1) nie istnieje dla żadnej wartości s. W tym
przypadku przeksztalcenie Laplace a nie jest możliwe.
Przyklad 17 Niech �(t) a" 1. Latwo policzyć
"
�(s) = e-stdt = limA+" 0A e-stdt =
0
dz
= limA+" -1 e-�A(cos �A-i sin �A) z =
s 1 z
= limA+" -1 e-�A(cos �A - i sin �A) - 1 =
s
1
, gdy � > 0
s
= (8.2)
nie istnieje , gdy � d" 0.
Uwaga 6 Można pokazać, że jeśli �(t) jest w przedziale 0 d" t d" " ograniczona,
albo rośnie ze wzreostem t jak tą lub eąt, gdzie ą > 0, to jej transformata istnieje.
57
Rozdzial 8. Transformata Laplace a
d�
Twierdzenie 30 (Transformata pochodnej) Niech �(t) = . Wówczas �(s) =
dt
s�(s) - �(0), gdzie symbol �(0) oznacza granice prawostronna w zerze funkcji �.
d�
Dowód. Niech �(t) = . Z definicji
dt
" "
d�
�(s) = e-st�(t) dt = e-st (t) dt =
dt
0 0
"
= e-st�(t) |" + s e-st�(t) dt.
0
0
Jeśli e(s) na tyle duże, że limt" e-st�(t) = 0, to �(s) = s�(s) - �(0). Jeśli
�(t) ograniczona, lub wzrost �(t) jest wielomianowy (funkcja rośnie jak tą), to
wystarczy przyja ć � > 0, jeśli �(t) rośnie jak funkcja eąt, to wystarczy przyja ć
� > ą.
c.k.d.
Ostatni wzór jest prawdziwy, gdy funkcja � jest ciagla; jeśli nie, a konkretnie,
jeśli ma nieciaglości skokowe, to we wzorze tym pojawia sie dodatkowe skladniki.
W szczególnym przypadku, gdy �(0) = 0 dostajemy �(s) = s�(s). Otrzymany
rezultat latwo uogólnić.
dn�
Twierdzenie 31 Jeśli �(t) = , to �(s) = sn�(s) - sn-1�(0) - sn-2� (0) -
dtn
. . .-�(n-1)(0), gdzie symbol �(k)(0) oznacza granice prawostronna w zerze funkcji
�(k).
t
�(s)
Twierdzenie 32 Jeśi �(t) := �(�)d�, to �(s) = .
0 s
d�
Dowód. Zauważmy, że �(t) = (t), �(0) = 0. Tak wiec na podstawie
dt
wzoru na transformate pochodnej �(s) = s�(s), skad bezpośrednio wynika teza
twierdzenia.
c.k.d.
Twierdzenie 33 Transformata Laplace a jest operatorem liniowym.
8.2. Wyznaczanie transformaty równania różniczkowego
Niech dane bedzie równanie różniczkowe
x + ax = f(t), a " R
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x(0) = x0. Mnożac obie strony równania
przez e-st i calkujac w granicach od 0 do +" możemy napisać
"
e-stx (t) dt + a x(s) = f(s).
0
Korzystajac ze wzoru na transformate pochodnej i warunku poczatkowego dosta-
jemy równanie
(s + a)x(s) - x0 = f(s),
58
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty
skad
f(s) + x0
x(s) = ,
s + a
"
gdzie f(s) = e-stf(t) dt.
0
Analogicznie dla równania
x + ax + bx = f(t), a, b " R
mnożac je obustronnie przez e-st i calkujac w granicach od 0 do " dostajemy
x s2 + as + b = f(s) + s x(0) + x (0) + a x(0),
skad
f(s) + (s + a) x(0) + x (0)
x = .
s2 + as + b
Te sama metode możemy zastosować do ukladu równań o wspólczynnikach stalych.
Przykladowo rozważmy
x + a1x + b1y + c1y = f1(t)
x + a2x + b2y + c2y = f2(t).
Mnożymy każde z tych równań przez e-st i calkujemy w przedziale od 0 do +".
W konsekwencji po przeksztalceniach otrzymujemy uklad równań algebraicznych
s + a1 b1s + c1 x(s) f1(s) + x(0) + b1y(0)
= .
s + a2 b2s + c2 y(s)
f2(s) + x(0) + b2y(0)
Jeśli macierz tego ukladu jest nieosobliwa, to rozwiazanie tego ukladu jest określone
wzorami Cramera.
Transformate Laplace a można również z powodzeniem stosować do pewnych
równań różniczkowo calkowych np. do równania
t
x (t) + ax(t) + b x(�) d� = f(t).
0
Ogólnie można bez klopotu podać wzory na transformate dowolnego równania
liniowego rzedu n-tego o stalych wspólczynnikach i ukladu równań różniczkowych
o macierzy liczbowej.
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty
Zalóżmy, że dana jest funkcja �(s). Zajmiemy sie problemem wyznaczenia
�(t):
"
e-st�(t)dt = �(s) (8.3)
0
Równanie calkowe powyżej nazywa sie równaniem Laplace a.
59
Rozdzial 8. Transformata Laplace a
Twierdzenie 34 Dla danych ai " R, �i(s), (i = 1, . . . , n) mamy
n n
"
e-st ai�i(t) dt = ai�i(s).
0
i=1 i=1
Stosunkowo latwo jest rozwiazać równanie Laplacea w przypadku, gdy prawa
strona tego równania jest funkcja wymierna.
Twierdzenie 35 Jeśli
U(s)
�(s) =
V (s)
gdzie U(s) i V (s) sa wielomianami, przy czym st.U(s) = m < st.V (s) = n oraz
V (s) = (s - s1) . . . (s - sn), przy czym si = sj jeśli i = j, to

n
U (sk)
k
�(t) = es t. (8.4)
V (sk)
k=1
U(s)
Dowód. Iloraz można przedstawić w postaci sumy ulamków prostych
V (s)
n
U(s) ck
= .
V (s) s - sk
k=1
Mnożac obie strony przez s - s1 mamy
n
U(s) ck
(s - s1) = c1 + (s - s1) .
V (s) s - sk
k=2
Przechodzac obustronnie z s do granicy w s1 i stosujac regule de l Hospitala
dostajemy
U (s1)
= c1.
V (s1)
Podobnie obliczamy wartości pozostalych wspólczynników ci. Tak wiec rozklad
na ulamki proste ma postać:
n
U(s) U(sk) 1
= � .
V (s) V (sk) s - sk
k=1
Latwo sie przekonać, że równanie
"
1
e-st�(t)dt =
s - sk
0
ma rozwiazanie
k
�(t) = es t.
Wobec tych faktów i liniowości transformaty otrzymujemy teze twierdzenia.
c.k.d.
60
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty
Twierdzenie 36 (Twierdzenie o rozkladzie) Niech
U(s)
�(s) = ,
s W (s)
gdzie U(s) i W (s) sa wielomianami odpowiednio stopni m i n, przy czym m d" n.
Zakladamy, że W (0) = 0 i wielomian W nie ma pierwiastków wielokrotnych tj.

W (s) = (s - s1) . . . (s - sn), przy czym si = sj dla i = j. Wtedy

n
U(0) U (si)
i
�(t) = + es t.
W (0) si W (si)
i=1
Dowód. Przyjmujac V (s) = s W (s) możemy na podstawie poprzedniego twier-
dzenia napisać
n
U (si)
i
�(t) = es t,
d
[s W (s)]|s=s
dt
i=0 i
przy czym s0 := 0. Z kolei
d
[s W (s)]|s=s = W (si) + siW (si) .
i
dt
Dla i = 0 drugi skladnik jest równy zeru, a dla i = 0 zeruje sie pierwszy skladnik,

tak wiec
d
[s W (s)]|s=s = W (s0) = W (0),
0
dt
d
[s W (s)]|s=s = siW (si) dla i = 0.

i
dt
Podstawienie tych wzorów do (8.4) kończy dowód.
c.k.d.
Twierdzenie 37 (Twierdzenie o przesunieciu rzeczywistym) Niech �(s) bedzie
transformata funkcji �(t), a � niech bedzie funkcja zdefiniowana wzorem:
0 dla t < t0,
�(t) :=
� (t - t0) dla t > t0.
Wówczas
0
�(s) = e-st �(s).
Dowód. Z definicji transformaty:
" "
�(s) = e-st�(t)dt = e-st� (t - t0) dt =
0 t0
" "
0 0 0
= e-s(�+t )�(�)d� = e-st e-s��(�)d� = e-st �(s).
0 0
c.k.d
61
Rozdzial 8. Transformata Laplace a
Twierdzenie 38 (Twierdzenie o przesunieciu zespolonym) Niech �(t) := e-t�(t),
gdzie  " R, lub  " C. Wowczas �(s) = �(s + ).
Dowód. Wprost z definicji:
" "
�(s) = e-ste-t�(t) dt = e-(s+)t�(t) dt = �(s + ).
0 0
c.k.d
t
Twierdzenie 39 (Twierdzenie o splocie) Niech �(t) := �1(�)�2(t - �) d�.
0
Wówczas �(s) = �1(s)�2(s).
t
d
Obserwacja 1 Jeśli �(t) := �1(�)�2(t - �) d�, to �(s) = s�1(s)�2(s).
dt 0
Rozdzial 9
Dodatek
9.1. Tablice transformat Laplace a
Transformata Laplace a (transformata) funkcji �(t) nazywamy funkcje �(s)
(zmiennej niezależnej s " C) określona wzorem
"
� (s) = e-st�(t)dt.
0
Potegi
� (t) � (s)
1
1
s
1
t
s2
n!
tn , n " N
sn+1
r
Ą
t-1/2
s
"
Ą
t1/2
2s3/2
� (ą + 1)
tą , ą > -1
są+1
63
Rozdzial 9. Dodatek
Funkcje trygonometryczne
� (t) � (s)
� (t) � (s)
k
sin kt
2ks2
s2 + k2 sin kt + kt cos kt
(s2 + k2)2
s
cos kt
s2 + k2 2k3
sin kt - kt cos kt
(s2 - k2)2
2k2
sin2 kt
s (s2 + 4k2)
k2
1 - cos kt
s (s2 + k2)
s2 + 2k2
cos2 kt
s (s2 + 4k2)
k3
kt - sin kt
s2 (s2 + k2)
2ks
t sin kt
(s2 + k2)2
a sin bt - b sin at 1
ab (a2 - b2) (s2 + a2) (s2 + b2)
s2 - k2
t cos kt
cos bt - cos at s
(s2 + k2)2
a2 - b2 (s2 + a2) (s2 + b2)
2 (1 - cos kt) s2 + k2
ln
sin at cos bt 1 a + b 1 a - b
t s2
arctan + arctan
  t 2 s 2 s
sin at a
arctan
t s
Funkcje hiperboliczne
� (t) � (s)
� (t) � (s)
k
sinh kt
2ks
s2 - k2 t sinh kt
(s2 - k2)2
s
cosh kt
s2 - k2 s2 + k2
t cosh kt
(s2 - k2)2
2k2
sinh2 kt
s (s2 - 4k2)
2 (1 - cosh kt) s2 - k2
ln
t s2
s2 - 2k2
cosh2 kt
s (s2 - 4k2)
Funkcje wykladnicze
� (t) � (s)
� (t) � (s)
"
1
1 2 e-a s
eat
" e-a /4t "
s - a
Ąt s
"
1 a 2
teat " e-a /4t e-a s
(s - a)2 2 Ąt3
n! eat - ebt 1
tneat , n " N
(s - a)n+1 a - b (s - a) (s - b)
ebt - eat s-a aeat - bebt s
ln
s-b
t a - b (s - a) (s - b)
64
9.1. Tablice transformat Laplace a
Funkcje wykladnicze i trygonometryczne
� (t) � (s)
k
eat sin kt
(s - a)2 + k2
s - a
eat cos kt
(s - a)2 + k2
Funkcje wykladnicze i hiperboliczne
� (t) � (s)
k
eat sinh kt
(s - a)2 - k2
s - a
eat cosh kt
(s - a)2 - k2
Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
� (t) � (s)
2k2s
sin kt sinh kt
s2 + 4k4
` �
k s2 + 2k2
sin kt cosh kt
s4 + 4k4
` �
k s2 - 2k2
cos kt sinh kt
s4 + 4k4
s3
cos kt cosh kt
s4 + 4k4
Funkcja Bessela
� (t) � (s)
1
J0 (kt) "
s2 + k2
Uogólniona funkcja bledu
� (t) � (s)
"
   
e-a s
a a
" "
erfc = 1 - erf
2 t 2 t
s
"
q  
2 e-a s
t a
"
2 e-a /4t - a erfc "
Ą
2 t
s s
"
 
"
2 e-a s
a
" ` �
eabeb t erfc b t + " "
2 t
s s + b
    "
"
2
a a be-a s
" "
-eabeb t erfc b t + + erfc "
2 t 2 t s s+b
( )
Delta Diraca
� (t) � (s)
� (t) 1
� (t - t0) e-st0
65
Rozdzial 9. Dodatek
Funkcja Heaviside a
� (t) � (s)
� (t - a) H (t - a) e-as� (s)
e-as
H (t - a)
s
��
0 dla t < 0
przy czym H(t) := .
1 dla t e" 0
Ogólne prawa
� (t) � (s)
eat� (t) � (s - a)
� (t - a) H (t - a) e-as� (s)
�(n) (t) sn� (s) - s(n-1)� (0) - . . . - �(n-1) (0)
tn� (t) (-1)n dn � (s)
dsn
R
t
� (�) � (t - �) d� � (s) � (s)
0
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia
stacjonarne
Pisemny egzamin z równań różniczkowych najcześciej jest dwucześciowy. Cześć
pierwsza ma na celu sprawdzenie bieglości rachunkowej, a cześć druga, umownie
zwana jest cześcia ,,teoretyczna i nie ma ona charakteru wylacznie rachunko-
wego. Czas trwania egzaminu z cześci zadaniowej: 110 minut. Czas trwania eg-
zaminu z cześci teoretycznej: 50 minut. W przypadku egzaminu jednocześciowego
zazwyczaj jest to 120 - 130 minut. Każde zadanie jest punktowane w skali 0 - 10
punktów. Poniżej zaprezentowane sa zestawy zadań egzaminacyjnych z kilku
sesji. Sa one reprezentatywne, jeśli chodzi o poziom trudności tematów. W po-
szczególnych latach zmienia sie jednak czesciowo zakres wykladanego materialu
materialu, a wiec i tematyczny zakres zadań.
9 czerwiec 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie Ricattiego
1
x = 2t2 + x - 2x2
t
wiedzac, że jedna z jego calek jest wielomian stopnia pierwszego.
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
t2(t + 1)x - 2x = 0
1
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) = 1 + .
t
66
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
3. Wyznacz calke ogólna równania
x + 3x + 2x = e-t cos2 t.
Wskazówka. Tak przeksztalć prawa strone, aby możliwe bylo zastosowanie
metody przewidywań.
4. Metoda Frobeniusa znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań równania
2tx + (1 + t)x + x = 0.
5. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
-3 1 3t
x = x +
2 -4 e-t
1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
-1
6. Zbadaj stabilność polożeń równowagi ukladu równań:
dx
= y - x2 - x
dt
dy
= 3x - x2 - y.
dt
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
2. Znajdz
krzywa o tej wlasności, że trapez utworzony przez osie wspólrzednych
Ox i Oy, styczna do krzywej i prosta prostopadla do osi Ox w punkcie
styczności, ma stale pole równe 3a2.
3. Rozstrzygnij dla jakich a i b rozwiazania równania x + ax + bx = 0 sa
ograniczone na calej prostej?
20 czerwiec 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
t3
3t2 (1 + ln x) dt = 2x - dx
x
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
tx - (2t + 1)x + (t + 1)x = 0
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja postaci eąt.
67
Rozdzial 9. Dodatek
3. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x + tx - 2t2 + 1 x = 0.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
�ł �ł
0 -1 1
�ł łł
x = 0 0 1 x
-1 0 1
�ł �ł
1
1
�ł łł
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
2
1
2
5. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilności dla ukladu
ńł
dx
= -x + ąy
�ł
dt
dy
= �x - y + ąz
dt
ół
dz
= �y - z,
dt
gdzie ą, � sa parametrami rzeczywistymi.
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + 2x + ax + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
ficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspólrzednych
ma stala dlugość d.
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza ukladu z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
�ł �ł
0 -1 1
�ł łł
A = 0 0 1 .
-1 0 1
13 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż problem poczatkowy Cauchy ego
t2 + x2 dt - 2tx dx = 0, x(4) = 0.
2. Rozwia ż równanie
t t
+ 1 dt + - 1 dx = 0.
x x
68
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
3. Znajdz
calke ogólna równania
x(6) + 2x(4) + x(2) = 0.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
�ł �ł
5 -1 -4
�ł łł
x = -12 5 12 x
10 -3 -9
�ł �ł
1
�ł łł
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1 .
1
5. Znajdz
uklad fundamentalny rozwiazań w postaci szeregów potegowych unor-
mowanych w punkcie t0 = 0 równania:
1
x + x = 0
1 - t
i określ rozwiazanie ogólne.
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + 2x + ax + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
ficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspólrzednych
ma stala dlugość d.
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza ukladu z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
�ł �ł
0 -1 1
�ł łł
A = 0 0 1 .
-1 0 1
27 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie
2
x + 2
x = 2
t + x - 1
2. Odgadnij rozwiazanie szczególne, a nastepnie rozwia ż równanie Riccatiego
x - 2tx + x2 = 5 - t2
1
3. Wiedzac, że funkcja x (t) = jest rozwiazaniem szczególnym równania
t
2t2x + 3tx - x = 0 rozwia ż równanie
1
2t2x + 3tx - x =
t
(obniżajac jego rzad jednym z dwóch poznanych sposobów) a nastepnie wskaż
jego calke spelniajaca warunki poczatkowe x (1) = 1, x (1) = -4.
3
69
Rozdzial 9. Dodatek
4. Znajdz
calke ogólna ukladu równań:
-1 2 2et
x = x +
1 1 0
5. Rowia ż równanie
1
x + 3x + 2x =
et + 1
Cześć teoretyczna:
1. Znajdz
krzywa o tej wlasności, że trapez utworzony przez osie ukladu wspólrzednych
Ox, Oy, styczna do krzywej i prosta prostopadla do osi Ox w punkcie styczności,
ma stale pole równe 3a2.
2. Dla jakich a i b równanie x +ax +bx = 0 ma przynajmniej jedno rozwiazanie
x (t) = 0 takie, że lim x (t) = 0.

t+"
3. Zbadaj stabilność wszystkich polożeń równowagi ukladu
x = ln (y2 - x)
y = x - y - 1
Definicja. Niech X przestrzeń Banacha, f : X �" U X, u : R �" I X,
U " topX, I " topR. Polożeniem równowagi ukladu u = f (u) nazywamy
�" " U takie, że f (�") = 0.
10 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
1. Wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
t(x + x2) = x
spelniajaca warunek poczatkowy x(1) = 1.
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
tx - x - 4t3x = 0,
2
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja et .
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
2
x + x + x = 0.
t
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
-1 -6
x = x
3 5
2
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
2
70
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x = xy
y = x2 + y2 - 4
i zbadaj ich stabilność.
6. Przy pomocy transformaty Laplace a rozwia ż równanie
x - 2x + x = 1 + t, x(0) = 0, x (0) = 0.
Cześć teoretyczna:
1. Rozważamy dwuwymiarowy uklad równań:
x = ax + by
y = cx + dy,
gdzie a, b, c, d " R. Wykaż, że jeśli jedno z jego rozwiazań jest funkcja okre-
sowa, to wszystkie rozwiazania, oprócz rozwiazania zerowego, sa funkcjami
okresowymi.
2. Wyznacz równanie krzywej przechodzacej przez punkt (1, 1), dla której pole
trójkata utworzonego przez oś Ot, styczna i wektor wodzacy punktu styczności
jest stale i równa sie 1.
3. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
17 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
1. Wyznacz calke ogólna równania
"
xdx = (tdx + xdt) 1 + x2.
2. Rozwia ż równanie
x - 2tx + x2 = 5 - t2.
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
t(t - 1)x + (1 + t)x - x = 0.
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0, lub t0 = 1.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
5 3
x = x
-3 -1
1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
-1
71
Rozdzial 9. Dodatek
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x = -x + y
y = x + y - 2xy
i zbadaj ich stabilność.
6. Przy pomocy transformaty Laplace a wyznacz calke sczególna ukladu równań
x = -2y + 3t
y = 2x + 4
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 2, y(0) = 3.
Cześć teoretyczna:
1. Jakie warunki musza spelniać wartości i wektory wlasne macierzy ukladu:
x = ax + by
y = cx + dy,
(a, b, c, d " R), aby jego rozwiazanie u(t) = (x(t), y(t)) spelniajace warunek
poczatkowy x(0) = y(0) = 1 mialo wlasność:
a) limt" u(t) = (0, 0),
b) limt" u(t) = ",
c) u jest funkcja ograniczona.
2. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny krzywych x = eCt i równanie różniczkowe
rodziny krzywych ortogonalnych do danych.
3. Oblicz eA dla macierzy:
-2 -4
A = .
1 2
16 wrzesień 2002 Cześć zadaniowa:
1. Wyznacz calke ogólna równania
(1 + t + x + tx) x = 1.
2. Rozwia ż równanie
dx = x2et - x dt.
3. Znajdz
dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
t(t - 1)x + (-1 + 3t)x + x = 0.
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego
t0 = 0, lub t0 = 1.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
3 2
x = x
-5 1
-1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
1
72
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x = 3 - 4 + x2 + y
y = ln (x2 - 3)
i zbadaj ich stabilność.
6. Przy pomocy transformaty Laplace a wyznacz calke sczególna ukladu równań
x = -x + y + et
y = x - y + et
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, y(0) = 1.
Cześć teoretyczna:
1. Jakie warunki musza spelniać wartości i wektory wlasne macierzy ukladu:
x = ax + by
y = cx + dy,
(a, b, c, d " R), aby jego rozwiazanie u(t) = (x(t), y(t)) spelniajace warunek
poczatkowy x(0) = y(0) = 1 mialo wlasność:
a) limt" u(t) = (0, 0),
b) limt" u(t) = ",
c) u jest funkcja ograniczona.
C
2. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny hiperbol x = i równanie różniczkowe
t
rodziny krzywych ortogonalnych do danych.
3. Oblicz eA dla macierzy:
3 -1
A = .
2 0
9 czerwiec 2003 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
6txdt + (4x + 9t2)dx = 0.
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
dx
= e2t + (1 + 2et)x + x2
dt
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja postaci x1(t) = -et.
3. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x + etx - x = 0.
73
Rozdzial 9. Dodatek
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
�ł �ł
0 8 0
�ł łł
x = 0 0 -2 x
2 8 -2
�ł �ł
1
�ł łł
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 0 .
0
5. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
calke szczególna ukladu równań
różniczkowych
d2y
d2x
+ = t2
dt2 dt2
d2y
d2x
- = 4t
dt2 dt2
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 8, x (0) = y(0) = y (0) =
0.
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
x = x + ay + y2
y = bx - 3y - x2.
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci gra-
ficznej.
2. Znajdz
krzywa x = x(t) o tej wlasności, że trójkat utworzony przez oś Ot,
styczna do krzywej oraz promień wodzacy w punkcie styczności jest trójkatem
równoramiennym.
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza ukladu z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
�ł �ł
0 8 0
�ł łł
A = 0 0 -2 x
2 8 -2
16 czerwiec 2003 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
(t2 + 2tx - x2)dt + (x2 + 2tx - t2)dx = 0,
wiedzac, że ma ono czynnik calkujacy postaci � = �(t + x).
2. Rozwia ż równanie
2xx = t(x 2 + 4).
3. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x - t3x + (t + 1)x = 0.
74
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
4. Wyznacz calke ogólna równania
x - x + 4x - 4x = 3e2t - 4 sin 2t.
5. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwia ż równanie
t
x(t) = 3t2 - e-t - x(�)et-�d�.
0
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
2. Znajdz
rodzine krzywych ortogonalnych do krzywych rodziny
x2 = Cet + t + 1,
gdzie C " R.
3. Przeprowadz
dyskusje dla jakich rzeczywistych parametrów p i q wszystkie
rozwiazania równania x + px + qx = 0 sa ograniczone na calej prostej?
Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie Opq.
22 wrzesień 2003 Cześć zadaniowa:
1. Znajdz
calke ogólna równania
1 1
x + t - x - x = 0,
2 t
jeśli x1(t) = t2 jest jego calka szczególna.
2. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x - tx - 2t2 + 1 x = 0.
3. Wyznacz calke ogólna ukladu równań
x = 2y - x,
e3t
y = 4y - 3x + .
e2t+1
4. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwia ż równanie
t
x(t) = 3t2 - e-t - x(�)et-�d�.
0
75
Rozdzial 9. Dodatek
5. Sprowadz
równanie
x + 2rx + �2x = 0 (r > 0, � > 0)
z warunkami poczatkowymi x(0) = x0, x (0) = x1, do równoważnego mu
ukladu równań rzedu pierwszego oraz zbadaj stabilność polożenia równowagi
tego ukladu.
Cześć teoretyczna:
1. Znajdz
krzywe, dla których trójkat utworzony przez oś Oy, styczna i wektor
wodzacy punktu styczności jest równoramienny (o podstawie na osi Oy).
2. Przeprowadz
dyskusje dla jakich rzeczywistych parametrów p i q wszystkie
rozwiazania równania x + px + qx = 0 sa ograniczone na calej prostej?
Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie Opq.
3. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilności dla ukladu
ńł
dx
= -x + ąy
�ł
dt
dy
= �x - y + ąz
dt
ół
dz
= �y - z,
dt
gdzie ą, � sa parametrami rzeczywistymi.
7 czerwiec 2004 Cześć pierwsza:
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
(t2 + tx + 3x2)dt - (t2 + 2tx)dx = 0.
2. Rozwia ż równanie
4 1
x = - - x + x2,
t2 t
2
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x(t) = .
t
3. Metoda Frobeniusa znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań równania
(1 - t2)x - 2tx + 30x = 0
w otoczeniu punktu t0 = -1 (grupa A), t0 = 1 (grupa B).
4. Wyznacz calke ogólna równania
x - x + 4x - 4x = 3e2t - 4 cos 2t.
5. Wyznacz calke ogólna ukladu równań
�ł �ł
0 1 1
�ł łł
x = 1 0 1 x.
2 2 1
Cześć druga:
76
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
1. Zdefiniuj transformate Laplace a funkcji. Oblicz transformate Laplace a calki
szczególnej ukladu równań
2x + y - 2x = 1
x + y - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
2. Obniż rzad równania
x - x tan t + 2x = 0
wiedzac, że funkcja x1(t) = sin t jest jego calka szczególna.
3. Stosujac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilność rozwiazania zerowego ukladu
równań
x = tan(y - x)
Ą
y = 2y - 2 cos - x .
3
15 czerwiec 2004 Cześć pierwsza:
1. Rozwia ż zagadnienie poczatkowe
tx2x + x3 = 1, x(1) = 2.
2. Rozwia ż równanie Lagrange a
tx (x + 2) = x.
3. Metoda Frobeniusa znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań równania
tx - (2t - 1)x + (t - 1)x = 0
w otoczeniu punktu t0 = 0.
4. Wyznacz calke szczególna równania
x - 2x + x = tet + 5, x(0) = 2, x (0) = 2, x (0) = -1.
5. Wyznacz calke ogólna ukladu równań
�ł �ł
5 -4 0
�ł łł
x = 1 0 2 x.
0 2 5
Cześć druga:
1. Stosujac transformate Laplace a rozwia ż problem poczatkowy
x - 6x + 9x = t2e3t, x(0) = 2, x (0) = 6.
2. Wiedzac, że jedno z rozwiazań równania Riccatiego
x - 2tx + x2 = 5 - t2
jest wielomianem, sprowadz
to równanie do równania Bernoulliego.
77
Rozdzial 9. Dodatek
3. Wyznacz wartości parametrów a i b, dla których zerowe rozwiazanie ukladu
x = x + ay + y2
y = bx - 3y - x2
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
13 wrzesień 2004 Cześć pierwsza:
1. Rozwia ż zagadnienie poczatkowe
2
3
x - 9t2x = (t5 + t2)x , x(0) = 0.
2. Rozwia ż równanie
(t sin x + x cos x) dt + (t cos x - x sin x) dx = 0.
3. Znajdz
krzywa, której styczne tworza z osiami wspólrzednych trójkat o po-
wierzchni 2a2.
4. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych o
środku w punkcie t0 = 0 równania:
x + tx - (2t2 + 1)x = 0.
5. Wyznacz calke ogólna ukladu równań
�ł �ł
-3 2 2
�ł łł
x = -3 -1 1 x.
-1 2 0
Cześć druga:
1. Stosujac transformate Laplace a rozwia ż problem poczatkowy
x + 4x + 13x = te-t, x(0) = 0, x (0) = 2.
2. Wiedzac, że jedno z rozwiazań równania Riccatiego
x = -x2 + 1 + t2
jest wielomianem stopnia pierwszego, sprowadz
to równanie do równania Ber-
noulliego.
3. Stosujac twierdzenie Lapunowa zbadaj stabilność rozwiazania zerowego ukladu
równań
x = ln (3ey" 2 cos x)
-
3
y = 2ex - 8 + 12y.
24 wrzesień 2004 Cześć pierwsza:
78
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
1. Rozwia ż równanie
4 1
x = - - x + x2,
t2 t
2
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja �(t) = .
t
2. Znajdz
krzywe, dla których odcinek odciety na osi rzednych Ox (w ukladzie
wspólrzednych Otx) przez styczna, jest równy kwadratowi rzednej punktu
styczności.
3. Znajdz
calke szczególna równania
(t + 1)x - (2 - t)x + x = 0
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 2, x (0) = -1 w postaci szeregu
potegowego o środku w punkcie t0 = 0.
4. Metoda wartości i wektorów wlasnych, lub przez sprowadzenie macierzy ukladu
do postaci Jordana, wyznacz calke szczególna ukladu równań
-1 -2 3
x = x +
3 4 3
spelniajaca warunek poczatkowy
-4
x(0) = .
5
5. Metoda transformaty Laplace a wyznacz calke szczególna ukladu równań
2x + y - y = t
x + y = t2
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, y(0) = 0.
Cześć druga:
1. Obniż rzad równania różniczkowego
(1 + 2t)x + 4tx - 4x = 0
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja �(t) = e-2t.
2. Zbadaj dla jakich parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
3. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny parabol x(t) = at2 + bt.
9 czerwiec 2005 Cześć pierwsza:
1. Wyznacz krzywa leżaca w pierwszej ćwiartce ukladu wspólrzednych, dla której
styczne tworza z osiami ukladu trójkaty o stalym polu równym 2.
79
Rozdzial 9. Dodatek
2. Wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
2t2x + x3
x =
2t3 - tx2
spelniajaca warunek poczatkowy x(1) = 1.
3. Wyznacz calke szczególna równania
(2t - t2)x + (t2 - 2)x + 2(1 - t)x = 0
spelniajaca warunki poczatkowe x(1) = 0, x (1) = 1, jeśli dana jest calka
szczególna tego równania x1(t) = et.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu
2 -1 0
x = x +
1 0 2et
1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
2
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x 1 = x1x2
x 2 = x2 + x2 - 4
1 2
i zbadaj ich stabilność.
(Polożeniem równowagi ukladu autonomicznego x = f(x), f : Rn Rn,
x : R �" I Rn nazywamy wektor x0 " Rn taki, że f(x0) = 0.)
Cześć druga:
1. Podaj definicje transformaty Laplace a i stosujac ja, rozwia ż równanie różniczkowe
x - x = sin t, x(0) = 1.
2. Metoda szeregów potegowych rozwia ż równanie x = x2 + t2, x(0) = 1. Wy-
znacz cztery pierwsze wyrazy rozwiniecia.
3. Rozważamy dwuwymiarowy uklad równań:
x = ax + by
y = cx + dy,
gdzie a, b, c, d " R. Wykaż, że jeśli jedno z jego rozwiazań jest funkcja okre-
sowa, to wszystkie rozwiazania, oprócz rozwiazania zerowego, sa funkcjami
okresowymi.
13 czerwiec 2005 Cześć pierwsza:
1. Wyznacz krzywa, dla której rzedna punktu przeciecia dowolnej stycznej z
osia Ox (w ukladzie Otx) jest o dwie jednostki mniejsza od odcietej punktu
styczności.
80
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
2. Rozwia ż równanie
(tx - t2)x + x2 - 3tx - 2t2 = 0
znajdujac czynnik calkujacy zależny od jednej zmiennej.
3. Znajdz
calke ogólna niejednorodnego liniowego równania różniczkowego
tx + 2x - tx = et
wiedzac, że calka szczególna skojarzonego równania jednorodnego jest funkcja
et
x1(t) = .
t
dy dy
dx
4. Wyznacz calke szczególna ukladu + -4y = 1, x+ -3y = t2 spelniajaca
dt dt dt
warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 2, y(0) = -2.
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x 1 = x2 - x2 - x1
1
x 2 = 3x1 - x2 - x2
1
i zbadaj ich stabilność.
(Polożeniem równowagi ukladu autonomicznego x = f(x), f : Rn Rn,
x : R �" I Rn nazywamy wektor x0 " Rn taki, że f(x0) = 0.)
Cześć druga:
1. Metoda szeregów potegowych wyznacz calke szczególna równania
x + t2x + x = t, x(0) = 1, x (0) = 0.
Wyznacz pieć pierwszych wyrazów rozwiniecia.
2. Dla jakich a " R równanie x +x +ax = 0 ma przynajmniej jedno rozwiazanie
x(t) = 0 takie, że limt+" x(t) = 0.

3. Podaj definicje transformaty Laplace a i stosujac ja, rozwia ż równanie różniczkowe
x + 4x = 1, x(0) = 1.
12 wrzesień 2005 Cześć pierwsza:
1. Wyznacz krzywa, której styczne odcinaja na osiach wspólrzednych odcinki,
których suma dlugości jest równa 2a.
2. Rozwia ż równanie
dx
= 1 - t - x + tx2
dt
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) = 1.
3. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych o
1
środku w punkcie t0 = 0 równania x + x = 0.
1-t
4. Wyznacz calke ogólna ukladu
x = 2y - x
e3t
y = 4y - 3x + .
e2t+1
81
Rozdzial 9. Dodatek
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
2 1
x 1 = ex - ex
x 2 = 3x1 + x2 - 2
2
i zbadaj ich stabilność.
(Polożeniem równowagi ukladu autonomicznego x = f(x), f : Rn Rn,
x : R �" I Rn nazywamy wektor x0 " Rn taki, że f(x0) = 0.)
Cześć druga:
1. Ze wzoru Liouville a wyznacz druga liniowo niezależna calke równania
t2(t + 1)x - 2x = 0
1
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) = 1 + .
t
2. Dla jakich a " R równanie x +x +ax = 0 ma przynajmniej jedno rozwiazanie
x(t) = 0 takie, że limt+" x(t) = 0.

3. Podaj definicje transformaty Laplace a i stosujac ja, rozwia ż równanie różniczkowe
x + 2x = t, x(0) = -1.
22 wrzesień 2005 Cześć pierwsza:
1. W pierwszej ćwiartce ukladu wspólrzednych Otx znajdz
równanie krzywej
przechodzacej przez punkt (1, 1), dla której pole trójkata utworzonego przez
oś Ot, styczna i wektor wodzacy punktu styczności jest stale i równa sie 1.
2. Stosujac podstawienie x(t) = z2(t) sprowadz
równanie
t3(x - t) = x2
do równania jednorodnego i rozwia ż go.
3. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych o
środku w punkcie t0 = 0 równania x + (1 - t)x = 0.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu
ńł
x = x - y - z
�ł
y = x + y
ół
z = 3x + z.
5. Z pomoca twierdzenia Lapunowa zbadaj stabilność zerowego rozwiazania ukladu
równań
x 1 = ln(3ey " 2 cos x)
-
3
x 2 = 2ex - 8 + 12y.
Cześć druga:
1. Zredukuj równanie Ricattiego
4 1
x = - - x + x2
t2 t
do równania Bernoulliego, wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) =
2
.
t
82
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
2. Wiedzac że rozwiazaniem ogólnym ukladu
1 3
x = x
5 3
jest
1 3
x(t) = c1 e-2t + c2 e6t,
-1 5
gdzie c1, c2 " R, wyznacz rozwiazanie ogólne ukladu
1 3 1
x = x + .
5 3 0
3. Opisz metode redukcji rzedu jednorodnego równania różniczkowego liniowego
o stalych wspólczynnikach, jeśli znana jest jego calka szczególna.
14 czerwiec 2006
1. Znajdz
krzywe dla których trapez OT SY ograniczony osiami ukladu wspólrzednych,
styczna do krzywej i rzedna punktu styczności ma stale pole równe 3.
2. Rozwia ż metoda operatorowa podany problem poczatkowy:
ńł
x =
�ł -2y + 3t
y = 2x + 4
ół
x(0) = 2, y(0) = 3.
3. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych o
środku w punkcie t0 = 0 równania x + e-tx = 0.
4. Wyznacz wszystkie punkty równowagi ukladu
x = x(7 - x - 2y)
y = y(5 - x - y)
i zbadaj ich stabilność.
(Polożeniem równowagi ukladu autonomicznego z = f(z), f : Rn Rn,
z : R �" I Rn nazywamy wektor z0 " Rn taki, że f(z0) = 0.)
83
Rozdzial 9. Dodatek
5. Rozwia ż równanie
dx
= 1 - t - x + tx2
dt
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) = 1.
6. Rozwia ż równanie
x(t + x + 1)dt + (t + 2x)dx = 0.
7. (Dodatkowo na ocene celujaca) Udowodnij, że dowolne równanie różniczkowe
rzedu pierwszego o zmiennych rozdzielonych jest równaniem różniczkowym
zupelnym.
27 czerwiec 2006
1. Znajdz
krzywe dla których dlugość odcinka, jaki styczna poprowadzona w
dowolnym punkcie krzywej odcina na osi Ox (w ukladzie wspólrzednych Otx),
jest równa kwadratowi rzednej punktu styczności.
2. Znajdz
calke ogólna ukladu niejednorodnego:
dx
+ 5x + y = et
dt
dy
+ 3y - x = e2t.
dt
3. Rozwia ż zagadnienie poczatkowe x + 6x = cos 3t, x(0) = 1, x (0) = 0:
a) metoda operatorowa,
b) metoda wartości wlasnych oraz Lagrange a lub przewidywań.
4. Wyznacz wszystkie punkty równowagi ukladu
x = 1 - y
y = x2 - y2
i zbadaj ich stabilność.
(Polożeniem równowagi ukladu autonomicznego z = f(z), f : Rn Rn,
z : R �" I Rn nazywamy wektor z0 " Rn taki, że f(z0) = 0.)
5. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
2x(x + 2) = t(x )2.
6. Znajdz
uklad fundamentalny rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0 równania
1 + 2t
x + x = 0.
1 - t2
Określ rozwiazanie ogólne.
7. (Dodatkowo na ocene celujaca) Przeprowadz
dyskusje dla jakich rzeczywi-
stych parametrów p i q wszystkie rozwiazania równania x + px + qx = 0 sa
ograniczone na calej prostej? Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie Opq.
84
9.2. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia stacjonarne
26 wrzesień 2006
1. Znajdz
krzywa x = x(t) majaca te wlasność, że odcinek stycznej w dowol-
nym punkcie, którego jednym końcem jest punkt styczności, a drugim punkt
przeciecia z osia Ox ma środek na osi Ot.
2. Znajdz
calke szczególna ukladu niejednorodnego
dx
= x - y + 8t
dt
dy
= 5x - y
dt
spelniajaca warunek poczatkowy x(Ą ) = 1, y(Ą ) = 1.
2 2
3. Rozwia ż zagadnienie poczatkowe x + 2x + x = 1, x(0) = 0, x (0) = 0:
a) metoda operatorowa,
b) metoda wartości wlasnych oraz Lagrange a lub przewidywań.
4. Znajdz
calke ogólna równania
t2x - 2tx + (t2 + 2)x = 0
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) = t sin t.
5. Korzystajac (wylacznie) z definicji, zbadaj lokalna asymptotyczna stabilność
rozwiazania równania
dx
= -4x - t
dt
przy warunku poczatkowym x(0) = 3.
6. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
"
tx = t2 - x2 + x.
16 czerwiec 2007
1. Znajdz
calke ogólna równania
"
t + x2 - tx dx - xdt = 0.
2. Znajdz
krzywa dla której odleglość dowolnej stycznej od poczatku ukladu
wspólrzednych jest stala i wynosi s.
3. Dowolna metoda znajdz
calke szczególna ukladu niejednorodnego
dy
dx
+ - 4y = 1
dt dt
dy
x + - 3y = t2
dt
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 2, y(0) = -2.
4. Rozwia ż zagadnienie poczatkowe x +3x +2x = 1, x(0) = 0, x (0) = 0 dwoma
spośród trzech metod:
a) operatorowa,
b) wartości wlasnych oraz Lagrange a lub przewidywań,
85
Rozdzial 9. Dodatek
c) szeregów potegowych.
5. Znajdz
calke ogólna równania
1 1
x + t - x - x = 0
2 t
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) = t2.
6. Bezpośrednim rachunkiem (tj. korzystajac wylacznie z definicji) sprawdz
sta-
dy
dx
bilność rozwiazania ukladu równań = x, = 2y przy warunku poczatkowym
dt dt
x(0) = 1, y(0) = 2.
13 wrzesień 2007
1. Znajdz
calke ogólna równania
x = tx 2 + x 3.
2. Znajdz
krzywa, dla której dlugość odcinka na osi Ot (w ukladzie wspólrze-
dnych Otx), którego jednym końcem jest poczatek ukladu, a drugim punkt
przeciecia stycznej do krzywej z osia Ot, jest wprost proporcjonalny do kwa-
dratu odcietej punktu styczności.
3. Znajdz
calke ogólna ukladu jednorodnego
�ł �ł
1 1 1
�ł łł
x = 1 1 1 x
1 1 1
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 2, y(0) = -2.
4. Rozwia ż zagadnienie poczatkowe x - 2x + x = t3 + 4t, x(0) = 1, x (0) = 0
dwoma spośród trzech metod:
a) operatorowa,
b) wartości wlasnych oraz Lagrange a lub przewidywań,
c) szeregów potegowych.
5. Znajdz
calke ogólna równania
2
x - 4tx + (4t2 - 3)x = et ,
2
jeśli dana jest calka szczególna x(t) = et +t skojarzonego równania jednorod-
nego.
6. Bezpośrednim rachunkiem (tj. korzystajac wylacznie z definicji) sprawdz

dy
dx
stabilność rozwiazania ukladu równań = -3x, = y przy warunku
dt dt
poczatkowym x(0) = 2, y(0) = 1.
18 wrzesień 2007
1. Znajdz
calke ogólna równania
x
dt + (x2 + ln t)dx = 0.
t
86
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne
2. Znajdz
krzywa, dla której dlugość odcinka na osi Ot (w ukladzie wspólrze-
dnych Otx), którego jednym końcem jest poczatek ukladu, a drugim punkt
przeciecia stycznej do krzywej z osia Ot, jest wprost proporcjonalny do kwa-
dratu rzednej punktu styczności.
3. Znajdz
calke ogólna ukladu jednorodnego
�ł �ł
1 1 1
�ł łł
x = 1 1 1 x
1 1 1
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 2, y(0) = -2.
4. Rozwia ż zagadnienie poczatkowe x - 2x + x = t3 + 4t, x(0) = 1, x (0) = 0
dwoma spośród trzech metod:
a) operatorowa,
b) wartości wlasnych oraz Lagrange a lub przewidywań,
c) szeregów potegowych.
5. Znajdz
calke ogólna równania
2
x - 4tx + (4t2 - 3)x = et ,
2
jeśli dana jest calka szczególna x(t) = et +t skojarzonego równania jednorod-
nego.
6. Bezpośrednim rachunkiem (tj. korzystajac wylacznie z definicji) sprawdz

dy
dx
stabilność rozwiazania ukladu równań = -3x, = y przy warunku
dt dt
poczatkowym x(0) = 2, y(0) = 1.
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia
niestacjonarne
Pisemny egzamin z równań różniczkowych jest jednocześciowy. Czas trwania
egzaminu: zazwyczaj 120 minut. Każde zadanie jest punktowane w skali 0 - 10
punktów. Poniżej zaprezentowane sa zestawy zadań egzaminacyjnych z kilku
sesji.
16 czerwiec 2002
1. Rozwia ż równanie jednorodne
x
x =
t + x
2. Wyznacz calke szczególna równania Bernoulliego
t(x + x2) = x
spelniajaca warunek poczatkowy x(1) = 1.
87
Rozdzial 9. Dodatek
3. Wyznacz 4 pierwsze wyrazy rozwiniecia rozwiazania problemu poczatkowego
x(x + 1) = t, x(0) = 1
w szereg potegowy w otoczeniu punktu t0 = 0.
4. Wyznacz calke ogólna równania
x + 3x + 2x = t.
5. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
-1 -6
x = x
3 5
2
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
2
6. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
20 wrzesień 2002
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
dx x
+ = -tx2.
dt t
2. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x + x + tx = 0.
3. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
0 -1
x = x
3 4
-1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
1
4. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
calke szczególna równania
x - x = sin t
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1, x (0) = 0.
88
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne
5. Wyznacz calke ogólna równania
x - 2x + x = t + et.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + 2x + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
28 wrzesień 2002
1. Rozwia ż równanie
1 + et xx = et.
2. Rozwia ż równanie
tx - x2
x = .
t2
3. Wyznacz calke ogólna równania
x - x = t2 - t + 1.
4. Znajdz
calke szczególna ukladu równań
1 1
x = x
4 1
spelniajaca warunek poczatkowy postaci
1
x(1) = .
0
5. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
14 czerwiec 2003
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
6txdt + (4x + 9t2)dx = 0.
2. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x + tx - x = 0.
89
Rozdzial 9. Dodatek
3. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
0 -3
x = x
1 2
1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
0
4. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
calke szczególna równania
dx
- 3x = e2t
dt
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1.
5. Wyznacz calke ogólna równania
x + 2x + x = tet.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
20 wrzesień 2003
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
dx x
+ = -tx2.
dt t
2. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x + x + tx = 0.
3. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
0 -1
x = x
3 4
-1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
1
4. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz
calke szczególna równania
x - x = sin t
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1, x (0) = 0.
90
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne
5. Wyznacz calke ogólna równania
x - 2x + x = t + et.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + 2x + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
3 paz
dziernik 2003
1. Znajdz
calke szczególna równania
x = -ex+t+1,
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = -1.
2. Znajdz
fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x - x + tx = 0.
3. Wyznacz calke ogólna ukladu równań
0 -1
x = x.
2 2
4. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwia ż zagadnienie poczatkowe
x + x = t, x(0) = 0, x (0) = 1.
5. Wyznacz calke ogólna równania
x - 2x + x = e-t.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
12 czerwiec 2004
1. Rozwia ż jednorodne równanie różniczkowe
(t2 + tx + 3x2)dt - (t2 + 2tx)dx = 0.
91
Rozdzial 9. Dodatek
2. Znajdz
calke szczególna w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
punkcie t0 = 0, równania
x + tx - x = 0, x(0) = 1, x (0) = 0.
3. Wyznacz calke ogólna równania
x - x + 4x - 4x = 3e2t.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
3 -3 4
x = x +
2 -2 -1
0
z warunkiem poczatkowym x(0) = .
0
5. Stosujac transformate Laplace a oblicz x-sowa skladowa calki szczególnej ukladu
równań
2x + y - 2x = 1
x + y - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
6. Dla jakiej wartości parametru a zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + x + 2x + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
17 wrzesień 2004
1. Rozwia ż problem poczatkowy Cauchy ego
x sin t = x ln x, x(Ą/2) = 1.
2. Znajdz
calke szczególna w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
punkcie t0 = 0, równania
x + x - t2x = 0, x(0) = -1, x (0) = 1.
3. Wyznacz calke szczególna równania
x - 2x + 2x = te-t
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = x (0) = 0.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu równań
x = 2x - y,
y = x + 2et.
92
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne
5. Stosujac transformate Laplace a oblicz y-kowa skladowa calki szczególnej ukladu
równań
2x + y - 2x = 1
x + y - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
6. Dla jakich wartości parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
xIV + 2x + 4x + ax + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
27 wrzesień 2004
1. Rozwia ż problem poczatkowy Cauchy ego
x = x ln x, x(0) = e.
2. Znajdz
calke szczególna w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
punkcie t0 = 0, równania
x + (t + 1)x = 0, x(0) = 1, x (0) = 1.
3. Wyznacz calke szczególna równania
x - 6x + 9x = t
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 0, x (0) = 1.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu równań
x = x + 2y,
y = -1x + y.
2
5. Dla jakich wartości parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
xIV + 2x + 4x + ax + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
6. Stosujac transformate Laplace a rozwia ż problem poczatkowy Cauchy ego
x + x = sin t, x(0) = 1, x (0) = -1.
11 czerwiec 2005
1. Rozwia ż równanie
tx
+ x2 = 1.
x
93
Rozdzial 9. Dodatek
2. Wyznacz calke szczególna równania
x
x - = t + 1
1 - t2
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 0.
3. Wyznacz calke ogólna równania
(2t - t2)x + (t2 - 2)x + 2(1 - t)x = 0,
jeśli dana jest calka szczególna tego równania x1(t) = et.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu
2 -1 0
x = x + .
1 0 2et
5. Metoda szeregów potegowych wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
x + tx - x = 0
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, x (0) = 0. Wyznacz cztery pierw-
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakich parametrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + 2x + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
21 wrzesień 2005
1. Rozwia ż jednorodne równanie różniczkowe
2t3x = x(2t2 - x2).
2. Rozwia ż równanie różniczkowe zupelne
x
dt + (x2 + ln t) dx = 0.
t
3. Wyznacz calke ogólna równania
x - 5x = 3t2.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu
4 1 -e2t
x = x + .
-2 1 0
94
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne
5. Metoda szeregów potegowych wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
x - (t + 1)x = 0
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, x (0) = 1. Wyznacz cztery pierw-
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwiazanie równania
xIV + 2x + 3x + 2x + ax = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
24 wrzesień 2005
1. Rozwia ż równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
t(1 + x2)dt + x(1 + t2)dx = 0.
2. Wyznacz calke szczególna równania Bernoulliego
x - 2tx = 2t3x2
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1.
3. Wyznacz calke ogólna równania
x - 5x = et.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu
3 -2
x = x.
1 1
5. Metoda szeregów potegowych wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
x + tx = 0
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, x (0) = 2. Wyznacz cztery pierw-
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwiazanie równania
xIV + 2x + 3x + ax + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
16 czerwiec 2006
1. Wyznacz rozwiazanie zagadnienia poczatkowego:
tx + x = t + 1, x(1) = 0.
95
Rozdzial 9. Dodatek
2. Rozwia ż równanie różniczkowe niejednorodne:
x - 4x + 4x = t2.
3. Rozwia ż równanie:
(cos t sin t - tx2)dt + x(1 - t2)dx = 0.
4. Rozwia ż problem poczatkowy:
-6 2 1
x = x, x(0) = .
-3 1 0
5. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyz
nie
Oab.
27 czerwiec 2006
1. Wyznacz rozwiazanie zagadnienia poczatkowego:
(1 + et)xx = et, x(0) = 2.
2. Rozwia ż problem poczatkowy:
(t - x)dt + (5x - t)dx = 0, x(0) = 0.
3. Rozwia ż równanie różniczkowe niejednorodne:
t2 + 2t + 2
x - 2x + x = .
t3
4. Znajdz
calke ogólna ukladu niejednorodnego:
dx
- y = cos t
dt
dy
= 1 - x
dt
5. Znajdz
rozwiazanie szczególne problemu
x - tx = 0, x(0) = 0, x (0) = 1
w postaci szeregu potegowego unormowanego w punkcie t0 = 0.
22 wrzesień 2006
96
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne
1. Znajdz
calke szczególna ukladu
dx
= 2x - 4y
dt
dy
= x - 3y
dt
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, y(0) = 0.
2. Wyznacz rozwiazanie zagadnienia poczatkowego
(1 + et)xx = 1, x(0) = 1.
3. Znajdz
rozwiazanie szczególne równania
x + 2x + x = 1.
spelniajace warunki poczatkowe x(0) = 0, x (0) = 0.
4. Znajdz
rozwiazanie szczególne problemu
x - x = 0, x(0) = 1, x (0) = 0
w postaci szeregu potegowego unormowanego w punkcie t0 = 0.
5. Zbadaj stabilność rozwiazania zerowego równania
x(4) + 3x + 26x + 74x + 85x = 0.
28 styczeń 2007
1. Rozwia ż równanie
1 1
x - x + x3 = 0.
2 2t3
2. Rozwia ż równanie różniczkowe zupelne
(3x2 + 2tx + 2)dt + (6tx + t2 + 3)dx = 0
i znajdz
calke szczególna tego równania spelniajaca warunek poczatkowy
x(0) = 1.
3. Wyznacz calke ogólna równania
3x + 2x + 7x = 5 + cos t.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu
1 -1
x = x
-4 1
1
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = .
1
97
Rozdzial 9. Dodatek
5. Metoda szeregów potegowych wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
x + tx + 1 = 0
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, x (0) = 1. Wyznacz cztery pierw-
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwiazanie równania
xIV + 2x + 3x + 2x + ax = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
3 luty 2007
1. Rozwia ż równanie
dx
t2 + x2 = tx.
dt
2. Rozwia ż równanie różniczkowe zupelne
3 3
(1 - + x)dt + (1 - + t)dx = 0
t x
i znajdz
calke szczególna tego równania spelniajaca warunek poczatkowy
x(1) = 1.
3. Wyznacz calke ogólna równania
x + 6x + 9x = -te4t.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu
2 1
x = x.
-1 0
5. Metoda szeregów potegowych wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
x + tx + t = 0
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 2, x (0) = 1. Wyznacz cztery pierw-
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + x + 2x + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
18 luty 2007
98
9.3. Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych  studia niestacjonarne
1. Znajdz
rozwiazanie równania
dx
= x2 - 4, x(0) = 1.
dt
2. Rozwia ż równanie różniczkowe Bernoulliego
dx
- x = etx2.
dt
3. Wyznacz calke ogólna równania
x + 6x + 9x = -t.
4. Wyznacz calke ogólna ukladu
4 1
x = x.
6 5
5. Zbadaj dla jakich parametrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Naszkicuj znaleziony zbiór w ukladzie
wspólrzednych Oab.
Bibliografia
[1] F.Bierski, Funkcje zespolone, Szeregi i przeksztalcenia Fouriera, Przeksztalcenia
calkowe Laplace a, Przeksztalcenia Laurenta (Z), wyd. piate poprawione, Uczel-
niane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 1999.
[2] B.P.Conrad, Differential Equations, A Systems Approach, Pearson Education,
Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 2003.
[3] B.P.Demidowicz, Matematyczna teoria stabilności, Wyd. Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1972.
[4] L.Drużkowski, Analiza Matematyczna dla fizykow, Cześć II, Wybrane zagadnie-
nia, Wyd. UJ, Kraków 1997.
[5] A.F.Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
[6] I.M. Gelfand, Wyklady z algebry liniowej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1977.
[7] R.Gutowski, Rownania różniczkowe zwyczajne, Wyd. Naukowo-Techniczne, War-
szawa 1971.
[8] M.I.Kontorowicz, Rachunek operatorowy i procesy w ukladach elektrycznych,
Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1968.
[9] N.M.Matwiejew, Metody calkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN,
Warszawa 1972.
[10] J.Niedoba, W.Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i czastkowe, Zadania z
matematyki, Wydanie trzecie, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne
AGH, Kraków 2001.
[11] J.Ombach, Wyklady z równań różniczkowych, Wyd. UJ, Kraków 1996.
[12] A.Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne
z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych), Wyd.
Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.
[13] A.Pelczar, J.Szarski, Wstep do teorii równań różniczkowych, Cześć I, PWN, War-
szawa 1987.
[14] A.Pelczar, Wstep do teorii równań różniczkowych, Cześć II, PWN, Warszawa
1989.
[15] K.K.Ponomariew, Ukladanie i rozwiazywanie równań różniczkowych w zagadnie-
niach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.
[16] W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni tech-
nicznych, Cześć II, PWN, Warszawa 1983.
101
Bibliografia
[17] F.G.Tricomi,Differential Equations, Blackie&Son Limited, 1961.
[18] D.G.Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Pu-
blishing Company, Boston, 1986.
102