9. Ocena jakości pracy układu regulacji
9. OCENA JAKOÅšCI PRACY UKA
ADU REGULACJI
Mamy zredukowany układ regulacji:
Z(s)
R(s) E(s)
-
C(s)
G(s)
-
H(s)
Rys. 9.1
Mamy trzy typy UAR ze względu na relacje między R(s), C(s) i Z(s):
a) Układy stabilizujące (stałowartościowe):
- stały sygnał sterujący R(s);
- możliwie dobrze nie reagować na zakłócenia;
- szybko kompensować ich wpływ.
b) Układy programowe:
- programowany (znany) sygnał sterujący R(s)  deterministyczny;
- wiernie odtwarzać ten sygnał;
- wpływ na zakłócenia na drugim planie.
c) Układy nadążne (śledzące):
- serwomechanizm  odtwarzanie z dużą dokładnością prędkości i mocy  ruchów
zadawanych;
- R(s)  stochastyczny;
- reagować na sygnał o nieznanym charakterze;
- w miarę możliwości kompensować działanie zakłóceń.
Dla sprawdzenia czy układ spełnia postawione przez nas wymagania stosuje się
następujące kryteria jakości pracy:
1. Parametry odpowiedzi skokowej na sygnał sterujący lub zakłócający.
2. Kryterium stabilności aperiodycznej.
3. Kryteria częstotliwościowe:
a) kryterium optymalnego modułu;
b) kryterium amplitudy rezonansowej;
c) kryterium zapasu wzmocnienia i fazy.
4. Kryterium rozmieszczenia pierwiastków równania charakterystycznego.
5. Kryteria (wskaz
niki) całkowe:
a) całka z sygnału uchybu;
b) całka z kwadratu sygnału uchybu;
c) całka z bezwzględnej wartości sygnału uchybu;
d) całka z bezwzględnej wartości sygnału uchybu mnożonej przez czas.
Układy rzeczywiste na ogół nie spełniają wymagań precyzowanych przez
poszczególne kryteria i dlatego ocenę jakości łączy się z syntezą układu. Synteza polega na
wprowadzeniu do układu dodatkowego członu dobranego tak, aby układ zachowywał się
zgodnie z wymaganiami. Ten dodatkowy człon nosi nazwę regulatora i w większości
przypadków umieszcza się go w torze głównym.
Założenia upraszczające:
- w układzie występuje jednostkowe sprzężenie zwrotne;
122
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
- w torze sprzężenia zwrotnego występuje człon proporcjonalny o znanym
wzmocnieniu H(s) = const, który przenosimy do toru głównego według
klasycznych zasad, tak aby sprzężenie było jednostkowe.
9.1. Parametry odpowiedzi skokowej na sygnał sterujący
i zakłócający
Tabela 9.1.
Na sygnał sterujący Na sygnał zakłócający
r(t) z(t)
"cmz
"cmr
r
"r
"cur
cr
cz
A
cmz
cur
cmr
z
trr trz
a) czas regulacji trr (charakteryzuje a) czas regulacji trz
właściwości dynamiczne).
Najkrótszy czas po upływie którego wartość
odpowiedzi układu nie różni się od swej
wartości ustalonej więcej niż o zadaną
wartość odchylenia regulacji
cur - "r d" cr (t)d" cur + "r
Zwykle "r = (0,03÷0,05)cur = (3÷5)%cur )
b) przeregulowanie "cmr (charakteryzuje b) wartość maksymalna odpowiedzi
właściwości dynamiczne). cmz = A
Przeregulowaniem nazywamy liczbÄ™
charakteryzującą nadwyżkę dynamiczną w
stosunku do wartości ustalonej.
cmr - cur
"cmr [%]= Å"100
cur
Ze względu na procesy technologiczne można
wyróżnić trzy typy układów:
- mogą wystąpić duże przeregulowania
do 25%;
- średnie przeregulowania około 15%;
- małe przeregulowania (5%) lub ich
brak.
c) błąd statyczny "cur. c) błąd statyczny "cuz
Błędem statycznym nazywamy różnicę w
"cuz = lim[0 - cz (t)]= - lim cz (t)=
t" t"
stanie ustalonym między wymaganą wartością
= - lim scz (s)
sygnału wyjściowego a rzeczywistą wartością
t"
tego sygnału.
"cur = lim[r(t)- cr (t)]= limc1(t)= lim sE1(s)
t" t" t"
E1(s)  transformata sygnału uchybu.
123
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
Wartość błędu statycznego zależy od liczby
członów idealnie całkujących w głównym
torze regulacji.
Klasa 0  układ statyczny, 0 członów idealnie
całkujących.
Klasa 1  układ astatyczny 1. stopnia, 1 człon
idealnie całkujący.
Klasa 2  układ astatyczny 2. stopnia, 2
człony idealnie całkujące.
Wartości błędu statycznego w zależności od
klasy układu są następujące:
Kr  wzmocnienie regulatora;
K  współczynnik wzmocnienia w funkcji
G(s).
Kz  współczynnik wzmocnienia w torze
sprzężenia zwrotnego.
Sygnał Sygnał
r z
sterujÄ…cy sterujÄ…cy
Ar Az
Klasa Klasa
Ar Az
"Cur = "Cuz =
0 0
1 + Kr KK 1 + Kr KK
z z
101 0
202 0
W praktyce w UAR z jednym sprzężeniem zwrotnym trr H" trz = tr ; "cur = "cuz = "cu
9.2. Kryterium stabilności aperiodycznej [6]
Aperiodyczny charakter odpowiedzi układu na sygnał sterujący lub zakłócający,
zależy od wartości pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego.
Pierwiastek dominujący tego równania powinien być rzeczywisty ujemny. Kryterium to
polega na narzuceniu takich warunków na współczynniki funkcji przejścia regulatora, aby
pierwiastek dominujący równania charakterystycznego był rzeczywisty ujemny i miał
maksymalną krotność. Warunki te wynikają z twierdzenia: Jeżeli równanie
charakterystyczne układu zamkniętego ma n- krotny pierwiastek rzeczywisty ujemny to
pochodne lewej strony tego równania, aż do n  1 włącznie mają ten sam pierwiastek.
1 + H(s)G(s)= an sn + an-1sn-1 + & + a1s + a0 = 0
pochodne:
Å„Å‚
nan sn-1 + (n -1)an-1 sn-2 +& + a1 = 0
Z tego układu równań wyznacza się wartość
ôÅ‚
pierwiastka n- krotnego i wartości
òÅ‚
ôÅ‚n!a s + -1)!an-1 +& = 0
pozostałych parametrów regulatora.
(n
n
ół
Kryterium to umożliwia:
- odpowiedz
bez przeregulowania;
- minimalny czas regulacji spośród odpowiedzi aperiodycznych.
Stosuje się do układów, gdzie wymagane są powyższe zalety.
124
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
9.3. Kryterium optymalnego modułu (optimum modułu bez
bieguna zerowego; optimum symetryczne z biegunem zerowym)
Funkcja przejścia układu zamkniętego
C(s) Gr (s)Kz G(s)
Gz (s)= =
R(s) 1+ Gr (s)Kz G(s)
Zakładając chwilowo że znane są parametry regulatora, można wyznaczyć
charakterystykę amplitudową układu zamkniętego.
%Gz(jÉ)% = M
Mr
1
Ér t
Rys. 9.2
Kryterium to polega na takim doborze współczynników funkcji przejścia regulatora,
aby były spełnione dwa wymagania:
1. Pasmo pulsacji sygnału użytecznego powinno być możliwie szerokie, czyli że
pulsacja rezonansowa Ér powinna być duża, a to oznacza, że bÄ™dÄ… maÅ‚e czasy
regulacji tr.
duża Ér maÅ‚y tr
2. Charakterystyka amplitudowa powinna mieć małą amplitudę rezonansową, co
sprowadza się do małych przeregulowań w układzie.
mały Mr małe "cm
Powyższe warunki można ująć w postaci następującego wzoru:
2
W
[DÉ Gz (jÉ) ] = 0
É =0
d
Gdzie: DÉ = ;
dÉ
W  rzÄ…d pochodnej, przy czym W=2n a n=1,2,3,... ;
n  liczba poszukiwanych parametrów regulatora.
Symbol W=2n oznacza, że dla jednego parametru regulatora obliczamy pochodną II rzędu;
dla dwóch parametrów regulatora obliczamy pochodną II i IVrzędu
dla trzech parametrów regulatora obliczamy pochodną II IV i VI rzędu
Lz (jÉ)
Z powyższych ogólnych warunków, za pomocÄ… podstawienia Gz (jÉ)= można
M (jÉ)
z
otrzymać następujący wzór praktyczny:
W
îÅ‚ W Å‚Å‚
ëÅ‚
W -K
K W -K
÷Å‚DÉ
ïÅ‚ "(-1) Å"ìÅ‚ K öÅ‚ Å" Lz (jÉ)Å" DÉ Å" Lz (jÉ) śł
ìÅ‚ ÷Å‚
îÅ‚ Lz (jÉ)Å" Lz (- jÉ)
Å‚Å‚
K =0
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚M
W
ïÅ‚ śł
W (jÉ)M (- jÉ)śł
W -K
K W -K z z ûÅ‚É =0
ìÅ‚ ÷Å‚DÉ z
ïÅ‚ śł
"(-1) Å" ëÅ‚ K öÅ‚ Å" M (jÉ)Å" DÉ Å" M (jÉ)śłÉ ðÅ‚
z
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ K =0
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
=0
Kryterium umożliwia :
- małe czasy regulacji;
- małe przeregulowanie.
Do projektowania układów nadążnych i programowych.
125
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
9.4. Kryterium amplitudy rezonansowej
Dobór parametrów regulatora przeprowadza się w sposób uproszczony w dwóch
etapach:
1. Na podstawie doświadczenia o projektowaniu UAR zakłada się stałe czasowe
regulatorów.
2. Współczynnik wzmocnienia regulatora wyznacza się tak, aby amplituda
rezonansowa, spełniała warunki zapasu stabilności:
1,1 d" M d" 1,5 lub 1dB d" LM d" 4dB
r r
Zastosowanie monogramów
Dobór współczynnika wzmocnienia przeprowadza się na ogół na drodze graficznej
wykorzystując monogramy, wiążące charakterystyki częstotliwościowe w układzie
otwartym i układzie zamkniętym. Nomogramy te pozwalają wyznaczyć charakterystykę
częstotliwościową układu zamkniętego na podstawie charakterystyki w układzie otwartym.
H(jÉ)G(jÉ)= Gr(jÉ)KzG(jÉ)= X + jY
X = X (É)= Re H(jÉ)G(jÉ)
Y = Y(É)= Im H(jÉ)G(jÉ)
Widmowa funkcja przejścia układu zamkniętego:
H(jÉ)G(jÉ) X + jY
Gz (jÉ)= =
1 + H(jÉ)G(jÉ) (1 + X )+ jY
2 2
X + Y
M = Gz (jÉ) =
2
2
(1 + X ) + Y
Dla danej wartoÅ›ci É można na podstawie charakterystyki w ukÅ‚adzie otwartym
wyznaczyć współrzędne X,Y a następnie wartości M. Zatem każdemu punktowi
płaszczyzny X,Y (czyli w układzie otwartym) można przyporządkować odpowiednią
wartość M. W celu przyporządkowania powyższy wzór przedstawia się w innej formie,
zakładając że M jest parametrem.
Dla M <1 otrzymujemy równanie okręgu:
2
2
2
îÅ‚ Å‚Å‚
M M
îÅ‚ Å‚Å‚
2
+ Y =
ïÅ‚X - 1 - M śł
2 ïÅ‚1 - M śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2
M
X = ,
M
2
1 - M
współrzędne środka YM = 0 ,
M
rM =
2
1 - M
Dla M = 1 jest to prosta:
1
X = -
2
Dla M >1 jest to równanie okręgu:
2
2
2
îÅ‚ Å‚Å‚
M M
îÅ‚ Å‚Å‚
2
ïÅ‚X + M -1śł + Y = ïÅ‚ M -1śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
126
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
2
M
X = - ,
M
2
M -1
współrzędne środka YM = 0 ,
M
rM =
2
M -1
Na podstawie powyższych równań w układzie współrzędnych X,Y otrzymujemy krzywe:
Y = jImHG
LmHG(jÉ)
M = 0
M = 0,25
Ć
X = ReHG
M = 0,5
M = 0,75
Rys. 9.3
Krzywe M, lub linie stałych wartości modułu lub Monogram Bleacka (Nicholsa)
monogram Halla stosowany do wykresów Bleacka
a) amplituda rezonansowa Mr i pulsacja rezonansowa Ér ukÅ‚adu zamkniÄ™tego na
podstawie charakterystyk w układzie otwartym.
LmHG(jÉ)
Y = jImHG
M4
M5
M6
M3
M7
X = ReHG Ć
-1
-90
-360 -270 -180
M2
Ér
M1
Rys. 9.4
M
M2
M3
M4
É1 É2 É3 É4
É
Rys. 9.5
Dla znalezienia amplitudy rezonansowej
spośród okręgów M = const, należy znalez
ć
okrÄ…g styczny do charakterystyki
amplitudowo fazowej w układzie otwartym.
127
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
Pulsacja odpowiadająca punktowi styczności
jest pulsacjÄ… rezonansowÄ….
b) ogólne wytyczne doboru wzmocnienia:
I sposób:
a) buduje siÄ™ wykres Bleacka przyjmujÄ…c
wstępnie współczynnik wzmocnienia np.
równy 1
Kr KK =1
z
LmHG(jÉ)
jImHG
LMr
Mr=const
Ć
-360 -270 -180
ReHG
-90
"L
wykres dla
K  K K 
K  
KrKKz=1
Rys. 9.6
K    jest wymaganą wartością
współczynnika wzmocnienia w układzie
otwartym, zapewniającą osiągnięcie przyjętej
b) bada się położenie wykresu Blecka
amplitudy Mr.
względem monogramu.
II sposób:
Aby uzyskać styczność charakterystyki z
Przy doborze współczynnika dla zadanej
zadaną krzywą LMr = const, należy zwiększyć
wartości Mr można wykorzystać następujące
lub zmniejszyć wzmocnienie w układzie
własności okręgów M = const.
otwartym.
jImHG Wzrost wzmocnienia odpowiada
M > 1
równoległemu przesunięciu charakterystyki w
górę i na odwrót.
XM Xs
ReHG
c) na podstawie wymaganego przesunięcia
rm
È
"L wyznacza siÄ™ wymagany
współczynnik wzmocnienia a stąd
s
wymagane wzmocnienie regulatora:
(Kr KK )wymagane
z
Kr =
Rys. 9.7
KK
z
Dla powyższego rysunku:
1
sinÈ = oraz X = -1
s
M
c) przeregulowanie i czas regulacji.
Amplituda rezonansowa Mr i pulsacja rezonansowa Ér, pozwalajÄ… na oszacowanie
przeregulowania i czasu regulacji układu skorygowanego dowolnego rzędu. Oszacowanie
to opiera się na założeniu, że o własnościach układu (nawet wyższych rzędów) decydują
128
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
dominujące pierwiastki zespolone. W związku z tym dla układu II rzędu, zawierającego
tylko dwa pierwiastki dominujące zespolone, opracowano następujące związki:
M = f1(¾ ) , Ér tr = f2 (¾ ) , "cmr = f3(¾ ) , Å‚ = fn (¾ )
r z z z z
liczba
przeregulowanie zapas fazy
tłumienia
Ér tr
"cmr [%]
Å‚ Mr
[%]
2,25
100 20 100
Ér tr Mr
"cmr
Å‚
80 2,0 16 80
1
60 1,75 60
12
3
4
40 1,5 8 40
2
3
1
20 1,25 4 20
0 1,0 0 0
0 0,2 0,4 0,5
0,1 0,3
¾z
Rys. 9.8
a) za pomocÄ… funkcji Å‚ = fn (¾ ) można oszacować liczbÄ™ tÅ‚umienia pierwiastków
z
dominujących i wynikające stąd wartości przeregulowania, mianowicie:
30° d" Å‚ d" 60° otrzymuje siÄ™ :
0,23 d" ¾ d" 0,6
z
8% d" "Cmr d" 50%
b) za pomocÄ… funkcji Értr = f (¾ ) można oszacować czas regulacji przyjmujÄ…c, że:
z z
Ér H" ÉÕ , Év = ÉÄ„ ,
(Értr )
tr = ,
Év
Å‚ ¾ Értr tr
z
Przedstawione kryterium dopuszcza średnie i duże przeregulowanie; do układów
programowych i nadążnych. Dla szybkiej, lecz mało dokładnej oceny stosuje się wzór:
Ä„
tr H" (1÷ 4)
Ér
9.5. Kryterium zapasu wzmocnienia i fazy
Dobór parametrów regulatora przeprowadza się w sposób uproszczony:
a) na podstawie doświadczenia w projektowaniu układów, zakłada się wartości
stałych czasowych.
129
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
b) współczynnik wzmocnienia ustala się w ten sposób aby uzyskać wymagany zapas
wzmocnienia i fazy, a więc:
6dB d" "L30° d" Å‚ d" 60°
Dobór wzmocnienia:
a) wykonanie charakterystyki amplitudowej i fazowej przy założeniu, że
współczynniki wzmocnienia Ko K Kz = 1;
b) analiza położenia charakterystyki amplitudowej względem zadanego zapasu fazy;
LM
KoKKz=1
"LM
"L
Ć
Å‚
180Ú
Rys. 9.9
c) należy przyjąć wartość liczbową wymaganego zapasu fazy i przesunąć równolegle
charakterystykę amplitudową w górę lub w dół. Na podstawie wielkości
przesunięcia "L można znalez
ć wzmocnienie regulatora.
d) w przypadku wystąpienia dużych rozbieżności w zapasie wzmocnienia, należy
zmienić wartości stałych czasowych i powtórzyć wszystko.
W identyczny sposób można korzystać z wykresu Blacka.
9.6. Kryterium rozmieszczenia pierwiastków równania
charakterystycznego (metoda Evansa)
Kryterium to polega na uproszczonym doborze parametrów regulatora:
a) zakłada się wartości stałych czasowych;
b) buduje się wykres kolejnych położeń pierwiastków równania charakterystycznego,
w którym współczynnik wzmocnienia przyjmuje wszystkie fizycznie możliwe
wartości. Wykres ten nosi nazwę miejsca geometrycznego pierwiastków równania
charakterystycznego (mgp).
c) Wymagane wzmocnienie wyznacza się z mgp dla zapasu stabilności określonego
liczbą tłumienia pierwiastków dominujących.
0,4 d" ¾ d" 0,8
z
9.7. Całkowe wskaz
niki jakości
Wskaz
niki całkowe są wartościami całek z nieustalonej części sygnału uchybu,
występującego w układzie regulacji przy skokowym sygnale sterującym lub zakłócającym.
130
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
"
1) Całka z sygnału uchybu: I1 = (t)dt
n
+"µ
0
"
2
2) Całka z kwadratu sygnału uchybu: I = (t)] dt ;
2 n
+"[µ
0
"
3) CaÅ‚ka z bezwzglÄ™dnej wartoÅ›ci sygnaÅ‚u uchybu: I3 = µ (t)dt ;
n
+"
0
"
4) CaÅ‚ka z bezwzglÄ™dnej wartoÅ›ci sygnaÅ‚u uchybu mnożonej przez czas: I = µ (t)tdt ;
4 n
+"
0
Metoda dokładna doboru parametrów regulatora polega na minimalizacji wybranego
wskaz
nika ze względu na wartość poszukiwanych parametrów np.:
´I ´I ´I
= 0 , = 0 , = 0 itp.
´Kr ´Ti ´Td
Minimalizacja wartości wybranego wskaz
nika ma pewne uzasadnienie fizyczne, gdyż
stanowi on pewną miarę strat energetycznych układu. W praktyce otrzymanie
zadowalających wyników jest utrudnione ze względu na trudności z rozwiązaniem
powyższego układu równań.
Metoda uproszczona doboru parametrów regulatora polega na założeniu wartości
stałych czasowych na podstawie doświadczenia, a następnie na minimalizacji wskaz
nika
ze względu na współczynnik wzmocnienia.
Uwagi: W praktyce dość często straty energetyczne są proporcjonalne do kwadratu
sygnału uchybu, stąd wynika stosowanie kryterium I2. Wskaz
nik ten prowadzi do układów
mało wrażliwych na zakłócenia przypadkowe, mające odpowiedzi o stosunkowo krótkim
czasie regulacji, lecz należy się liczyć z wystąpieniem dużych przeregulowań ok. 45%.
Ponadto często stosuje się wskaz
nik I4, Który ogólnie zapewnia mniejsze wartości
przeregulowania przy nieco większym czasie regulacji.
Nieustalona część sygnału uchybu:
µ(t)= µ (t)+ µ (t)
p n
µ (t)= µ(t)- µ (t)
p n
gdy sygnaÅ‚ sterujÄ…cy jest funkcjÄ… skokowÄ… µn (t)=const.
1
ep(s)= e(s)- en(s) przy skokowym sygnale sterujÄ…cym, na podstawie schematu
s
blokowego mamy:
1
e(s)= R(s)- c(s)= R(s)- R1(s)1 Gr(s)Kz G(s) = R(s)1 (s)Kz
+ Gr(s)Kz G(s) + Gr G(s)
A A
dla R(s)= ; e(s)=
s s[1+ Gr(s)Kz G(s)].
en = "cn  błąd statyczny, wobec tego:
A 1 cn-1sn-1 +& + c1s + c0
ep(s)= "cn =
s[1+ Gr(s)KzG(s)]- s dnsn + dn-1sn-1 +& + d1s + d0
Wskaz
nik I2. Całkowanie wymagane przez wskaz
nik I2, można również wykonać w
obszarze zmiennej zespolonej lub w obszarze częstotliwości:
+ jÉ
" "
2
1 1
2
I = [µ (t)] dt = µ (jÉ) dÉ
2 p p n p
+"+"µ (s)µ (- s)ds = Ä„ +"
2Ä„j
0 - jÉ 0
131
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
Na podstawie powyższego wzoru można otrzymać następujące wartości wskaz
nika I2:
Tabela 9.2.
Rząd równania n Wartość I2
2
c0
1
2d1 d0
d2 2
2
c1 + c0
d0
2
2d2 d1
d3d2 2
2 2
d1c2 + d3(c1 - 2c0c2)+ c0
d0
3
2d3(d1d2 - d0d3 )
Po wyznaczeniu parametrów regulatora należy oszacować przeregulowanie i czas
regulacji. W tym celu można wykorzystać charakterystyki logarytmiczne, amplitudowe i
fazowe, tak jak w kryterium zapasu wzmocnienia i fazy. Za pomocą całki I2 można
projektować wszystkie trzy typy układów.
Wskaz
nik I4. Obliczenie całki I4 jest utrudnione z uwagi na konieczność stosowania fazy
czasowej. W związku z tym najwygodniej jest minimalizować całkę I4 za pomocą maszyny
analogowej lub cyfrowej. W przypadku skokowego sygnału sterującego oraz dla pewnych
typowych funkcji przejścia układu zamkniętego można literaturze znalez
ć następujące
wyniki badań:
Tabela 9.3.
nGz(s) Równanie charakterystyczne Odpowiedz
układu
przy którym I4=I4 min
2
2
s2 + 1,4É0s + É0
cn n=2 n=3
n=4
Gz (s)=
2 3
n
3
s3 + 1,75É0s2 + 2,15É0 s + É0
É0
=
n-1 n-1 n
sn + an-1É0s + a1É0 s + É0
4 2 2
4
s + 2,1É0s3 + 3,4É0 s +
tr
3 4
+ 2,7É0 s +É0
Dla wyznaczenia parametrów regulatora, należy posłużyć się równaniem
charakterystycznym, którego współczynniki zapewniają minimum całki I4. Dla
wyznaczenia przeregulowania i czasu regulacji można wykorzystać odpowiedz układu we
współrzędnych bezwymiarowych, mianowicie : przeregulowanie można odczytać wprost z
tbr
wykresu a czas regulacji obliczyć ze wzoru tr = , gdzie tbr  bezwymiarowy czas
É0
c(t) - bezwymiarowa wartość odpowiedzi, tn = É0t - bezwymiarowy czas.
regulacji. cn =
cn
Przykład 9.1
Transmitancja układu zamkniętego ma postać:
132
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
bmsm + bm-1sm-1 + & + b1s + b0
Gz (s)= .
ansn + an-1sn-1 + & + a1s + a0
Określić warunki otrzymania:
a) astatyzmu rzędu zerowego; b0 `" a0
b) astatyzmu rzędu pierwszego; b0 = a0 , b1 `" a1
c) astatyzmu rzędu drugiego. b0 = a0 , b1 = a1 , b2 `" a2
Przykład 9.2
Transmitancja operatorowa układu otwartego ma postać:
Amsm + Am-1sm-1 + & + A1s + A0
Gz (s)=
Bnsn + Bn-1sn-1 + & + B1s + B0
Określić warunki uzyskania przez układ zamknięty z H(s)= 1:
a) astatyzmu rzędu zerowego; B0 `" 0
b) astatyzmu rzędu pierwszego; B0 = 0
c) astatyzmu rzędu drugiego. B0 = 0 ; B1 = 0
Przykład 9.3
Transmitancja operatorowa układu otwartego wyraża się wzorem:
K
Go(s)= ;
s(1 + T1s)(1 + T2s)
gdzie K = 20 ; T1 = 0,02s ; T2 = 0,03s .
Na wejście doprowadzono sygnał sinusoidalny o amplitudzie Rmax = 10 i okresie
TR = 7 . Wyznaczyć amplitudę uchybu.
RozwiÄ…zanie:
1
Gµ (s)= µ = Gµ (jÉR )Rmax
max
1 + Go(s)
2Ä„ rad
gdzie ÉR = = 0,9îÅ‚ Å‚Å‚
śł
TR ïÅ‚ sek
ðÅ‚ ûÅ‚
Rmax
lub Go (jÉ ) µ = .
R max
Go(jÉ )
R
Przykład 9.4
Wyznaczyć amplitudę rezonansową z wykresu.
G(jÉ)
4
2
G(jÉ)
4
max
M = = = 1,33
r
Go 3
0 10 20 30
É
Rys. 9.10
133
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
Przykład 9.5
K
Transmitancja operatorowa układu otwartego ma postać: Go(s)= ,
s(1 + T1s)(1 + T2s)
określić wartość uchybu w stanie ustalonym, jeżeli sygnał wejściowy zmienia się ze stałą
1
prędkością 12t, K =100 ; T1 = 0,01s ; T2 = 0,005s .
s
12
E(s) 1 X (s)
s2
Transmitancja uchybowa = µ(s)= =
X (s) 1+ Go(s) 1+ Go(s) 1+ Go (s)
12
µust (t)= lim s•(s)= lim = 0,12
s0 s0
100
t "
s +
(1 + 0,01s)(1 + 0,005s)
Przykład 9.6
Transmitancja operatorowa układu zamkniętego ma postać:
5s + 200
Gz (s)=
0,001s3 + 0,5s2 + 6s + 200
Znalez
ć wartość uchybu w stanie ustalonym, jeżeli sygnał wejściowy zmienia się zgodnie
2
ze wzorem X (t)= 5 + 20t +10t
Transmitancja uchybowa :
Gµ (s)=1 - Gz (s)
E(s)= X (s)Å" G(s)
µ = lim sE(s)= "
ust
s0
Przykład 9.7
K
Transmitancja obiektu ma postać: Go(s)=
s(1 + T1s)(1 + T2s)
Określić transmitancję elementu H(s) sprzężenia zwrotnego, przy której układ zamknięty
będzie astatyczny rzędu pierwszego.
Go(s)
K
Gz (s)= =
1 + Go (s)H(s) T1T2s2 + (T1 + T2 )s + 1 + H(s)K
Astatyzm rzędu pierwszego (brak uchybu statycznego) wystąpi gdy:
K -1 1
K =1 + H(s)K H(s)= =1 -
K K
K
wtedy: G(s)=
T1T2s2 + (T1 + T2 )s + K
a transmitancja obiektu równoważnego z jednym sprzężeniem zwrotnym
Gzo (s)
G(s)= Gzo (s)G(s)+ G(s)= Gzo (s)
1 + Gzo (s)
G(s)
Gzo (s)=
1 - G(s)
134
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
K K&!
Gzo (s)= =
s(Tzo + 1)
ëÅ‚ T1T2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(T1 + T2 )sìÅ‚ s + 1÷Å‚
T1 + T2 Å‚Å‚
íÅ‚
K T1T2
gdzie K&! = ; Tzo =
T1 + T2 T1 + T2
Przykład 9.8
Znalez
ć współczynnik wzmocnienia i stałą czasową filtru, który włączony w pętlę
sprzężenia zwrotnego z zadania poprzedniego spowoduje, że w układzie nie wystąpi
Ksz
dodatkowy uchyb prędkościowy. H(s)=
1+Ä s
z
Przykład 9.9
Znalez
ć transmitancję układu, odpowiedz
y(t) oraz jej wartość ustaloną yust.
Y(s)
X(s)
G1 G3
G2
-
- -
Rys. 9.11
K3
G1(s)= K1 ; G2 (s)= K2 ; G3(s)= ;
T3s + 1
K K
z z
Gz (s)= ; y(s)= ;
Tz s +1 s(Tz s +1)
Kz
lim s = Kz ;
s0
s(Tz s +1)
t
-
Tz
y(t)= Kz Å"u(t)- K e
z
Przykład 9.10
Sporządzić schemat blokowy do układu z zadania 2.10.
Wejście F(t), wyjście x3
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚m1s2 ÷Å‚x1 - 1 x2 - 1 x3
F(t)= + Bp1s + + +
ìÅ‚ ÷Å‚
Cp1 Cp2 C Cp 2 C
pn p4
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚m2s2 1 1 ÷Å‚x2 - 1 x1 - 1 x3
0 = + +
ìÅ‚
C Cp3 ÷Å‚ C C
p2 p2 p3
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚m3s2 ÷Å‚x3 - 1 x2 - 1 x1
0 = + Bp2s + + +
ìÅ‚ ÷Å‚
Cp5 Cp3 C C Cp4
p 4 p3
íÅ‚ Å‚Å‚
135
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
x2
1
1
C
Cp2
p4
x1 1
F(t) x2 1
x3
A B C
Cp2 C
p3
1
Cp4
Cp3
x3
Rys. 9.12
Przykład 9.11
Dany jest układ regulacji nadążnej, którego transmitancja układu otwartego ma postać:
K
Go(s)=
s(1 + 0,1s)(1 + 0,02s)(1 + 0,01s)(1 + 0,005s)
Należy dobrać korektor szeregowy tak aby układ był astatyczny rzędu pierwszego
i spełniał następujące warunki dotyczące jakości regulacji:
1
a) wartość współczynnika odchylenia prędkościowego C1 =
200[s]
b) czas trwania regulacji tr d" 0,8 s
RozwiÄ…zanie:
1
1) Warunek a) narzuca wartość współczynnika wzmocnienia K = = 200
C1
2) Dla tego współczynnika wyznaczamy charakterystyki logarytmiczne:
LmGo(jÉ)= 20log K - 20logÉ - 20log 1+ T12É2 - 20log 1+ T22É2 +
+ 20log 1+ T3É2 - 20log 1+ T4É2
ArgG0(jÉ)= -90° - arctgT1É - arctgT2É - arctgT3É - arctgT4É
É1 =10 , É2 = 50 , É3 =100 , É4 = 200
136
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
Lm
É1 É2 É3
É4
Éc
É
É 3
É 4
100 200
É'2
É 1 10
1
Ć(É) É
-90Ú
-180Ú
Rys. 9.13
2 ÷ 4Ä„ rad rad
3) Pulsacja odciÄ™cia Éc = = 7,86 ÷15,7 przyjmujemy 14
tr s s
' '
4) Punkt zaÅ‚amania charakterystyki Éc - É2 = 0,2 ÷ 0,9 dekady = É3 - Éc
É 1 É 4
É'2 É1 É B=É2
Rys. 9.14
9.8. Błędy statyczne w układach regulacji
Przykład 9.12
Dany jest układ regulacji o schemacie pokazanym na rysunku 9.15.
R(s) E(s) C(s)
G(s)
-
H(s)
Rys. 9.15
Wyznaczyć wartość błędu statycznego w przypadku sygnału sterującego r(t) = A1(t), dla
danych:
K
G(s)=
(T1s + 1)(T2s + 1)
K = 6 [cm/V]
Kz= 0,5 [cm/V]
137
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
A = 1 [V]
Obliczenie błędu statycznego, a następnie porównywanie w stanie ustalonym
sygnału wyjściowego z wejściowym, jest bardzo wygodne w przypadku jednostkowego
sprzężenia zwrotnego. W związku z tym włączymy człon sprzężenia zwrotnego przed
węzeł sumacyjny otrzymując schemat blokowy w postaci pokazanej na rysunku 9.16.
R(s) E1(s) C(s)
R1(s)
1
KzG(s)
Kz
-
Rys. 9.16
Blok zawierający odwrotność współczynnika wzmocnienia Kz nie wprowadza
deformacji kształtu sygnału wejściowego, dzieli jedynie jego wartość chwilową przez stałą
liczbę. Można zatem rozpatrywać zastępczy sygnał wejściowy, dochodzący do węzła
sumacyjnego.
r1(t) = A11(t)
gdzie: A1  wartość zastępczego sygnału wejściowego obliczona ze wzoru:
A 1
A1 = = = 2[cm]
K 0,5
z
W związku z tym dalsze rozważania można zawęzić do układu z zastępczym sygnałem
wejściowym i posługiwać się schematem blokowym jak na rysunku 9.17.
R1(s) E1(s) C(s)
KzG(s)
-
Rys. 9.17
Błąd statyczny reprezentuje w stanie ustalonym różnicę między wymaganą
wartością sygnału wyjściowego a rzeczywistą wartością tego sygnału: jest to inaczej
mówiąc miara zdolności układu regulacji do odtworzenia w stanie ustalonym
wprowadzonego sygnału sterującego. A zatem:
"cu = lim[r1(t)- c(t)]= limµ1(t)= lim sE1(s)
t" t " s0
Z powyższego wzoru wynika, że dla układu z jednostkowym sprzężeniem
zwrotnym, błąd statyczny jest jednocześnie wartością końcową sygnału uchybu. Dla
układu o schemacie blokowym według rysunku 9.17 sygnał uchybu wynosi:
E1(s) = R1(s)  C(s) = R1(s)  R1(s)GZ(s) = R1(s)[1  GZ(s)] =
K G(s) Å‚Å‚
1
z
= R1(s)îÅ‚1 - = R1(s)
ïÅ‚
1 + K G(s)śł 1 + K G(s)
ðÅ‚ z ûÅ‚ z
A zatem
(T1s + 1)(T2s + 1)
E1(s)= R1(s)
(T1s + 1)(T2s + 1)+ KK
z
138
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
Wobec tego
A1 (T1s + 1)(T2s + 1) A1
"cu = lim s = =
s0
s (T1s + 1)(T2s + 1)+ KK 1 + KK
z z
A1
= = 0,25A1 = 0,25 Å" 2 = 0,5[cm]
1 + 6 Å" 0,5
Jak wynika z przeprowadzonych obliczeń, odpowiedz
układu w stanie ustalonym
różni się od wartości wymaganej A1 = 2 [cm] o wartość błędu statycznego "cu = 0,5 [cm] i
wynosi cu = 1,5 [cm]. Zakładając przykładowo stabilny i inercyjny charakter odpowiedzi
można sporządzić wykres porównawczy pokazany na rysunku 9.18.
r1, c [cm]
2,0 r1 (t)
1,5
c (t)
1,0
"cU =0,5[cm]
0,5
t
Rys. 9.18
Jak widać, w stabilnym stanie pracy, układy klasy 0, czyli nie zawierające członów
idealnie całkujących, generują sygnał wyjściowy w stanie ustalonym zaniżony w stosunku
do wymagań o wartość błędu statycznego. Wymagania reprezentuje tu skokowy sygnał
sterujÄ…cy r1(t) = A11(t).
Przykład 9.13.
Wyznaczyć wartość błędu statycznego w przypadku skokowego sygnału sterującego r1(t) =
A11(t), wprowadzonego do układu o schemacie blokowym sprowadzonym do postaci
pokazanej na rysunku 9.19. Przyjąć dane:
K
G(s)= , A1 = 2 [cm]
s(Ts + 1)
R1(s) E1(s) C(s)
Kz G(s)
-
Rys. 9.19
Na podstawie wyników z poprzedniego zadania wyznaczymy sygnał uchybu
1 s(Ts + 1)
E1(s)= R1(s) = R1(s)
1 + K G(s) s(Ts + 1)+ KK
z z
oraz obliczymy błąd statyczny
A1
s(Ts + 1)
"cu = lim sE1(s)= lim s = 0
s0 s0
s s(Ts + 1)+ KK
z
Ponieważ błąd statyczny jest równy zero, więc w stanie ustalonym odpowiedz

układu będzie pokrywać się z wartością sygnału sterującego. Zakładając przykładowo
stabilny i inercyjny charakter odpowiedzi możemy naszkicować wykres porównawczy
pokazany na rysunku 9.20.
139
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
r1, c [cm]
2,0
r1 (t)
1,5
1,0
c (t)
"cu=0 [cm]
0,5
t
Rys. 9.20
Jak widać, w stabilnym stanie pracy, układy klasy 1, czyli zawierające jeden człon idealnie
całkujący, generują w stanie ustalonym sygnał wyjściowy odpowiadający wymaganiom
sygnału sterującego r1(t) = A11(t).
Przykład 9.14.
Wyznaczyć wartość błędu statycznego w przypadku liniowego sygnału sterującego r1(t) =
A1t, wprowadzonego na wejście układu regulacji o schemacie blokowym według rys. 9.19
zamieszczonym w poprzednim przykładzie. Założyć, że w głównej linii regulacji znajduje
K
się funkcja przejścia.: G(s)= oraz, że A1 = 1 [cm/s].
(T1s + 1)(T2s + 1)
Na podstawie wyników uzyskanych w przykładzie 1 możemy od razu napisać wzór
na błąd statyczny
1 A1 (T1s + 1)(T2s + 1)
"cu = lim sE1(s)= lim sR1(s) = lim s = "
s0 s0 s0
1 + K G(s) s2 (T1s + 1)(T2s + 1)+ KK
Z Z
Przyjmując następnie przykładowo stabilny oraz inercyjny charakter odpowiedzi układu,
można sporządzić wykres porównawczy pokazany na rysunku 9.21.
r1, c [cm]
r1 (t)
3,0
c (t)
2,0
"cU "[cm]
1,0
t [s]
4,0
1,0 2,0 3,0
Rys. 9.21
Jak widać, w stabilnym stanie pracy, układy klasy 0 nie są zdolne do odtwarzania
w stanie ustalonym liniowego sygnału sterującego r1(t) = A1t, czyli nie spełniają wymagań
reprezentowanych przez ten sygnał.
140
9. Ocena jakości pracy układu regulacji
Przykład 9.15.
Wyznaczyć wartość błędu statycznego w przypadku liniowego sygnału sterującego r1(t) =
A1t, wprowadzonego na wejście układu regulacji o schemacie blokowym według rysunku
9.19. Przyjąć dane:
K
G(s)=
s(Ts + 1)
K = 4 [cm/Vs]
Kz = 0,5 [cm/Vs]]
A1 = 1 [cm/s]
Wykorzystując ponownie wyniki przykładu 1 otrzymamy następujący wzór na błąd
statyczny
1 A1
s(Ts + 1)
"cu = lim sE1(s)= lim sR1(s) = lim s =
s0 s0 s0
1 + K G(s) s2 s(Ts + 1)+ KK
Z Z
A1 1
= = A1 = 0,5A1 = 0,5[cm]
KK 4 Å" 0,5
Z
Zakładając przykładowo stabilny oraz inercyjny charakter odpowiedzi układu, można
sporządzić wykres porównawczy pokazany na rysunku 9.22.
r1, c [cm]
r1 (t)
1,5
c (t)
1,0
"cU =0,5 [cm]
0,5
t [s]
2,0
0,5 1,0 1,5
Rys. 9.22
Jak widać, w stabilnym stanie pracy, układy klasy 1 są zdolne do odtworzenia
w stanie ustalonym liniowego sygnału sterującego r1(t) = A1t ze stałym błędem; zatem
w ograniczonym zakresie spełniają wymagania reprezentowane przez sygnał liniowy.
141