PRz  AiS  W6
UKA
ADY REGULACJI I DYNAMIKA
Transmitancja układu ze sprzężeniem zwrotnym. Serwomechanizm ze sterowaniem
prądowym. Układ elektro pneumatyczny. Dwa układy regulacji. Transformaty Laplace a.
Przebieg aperiodyczny. Przebieg aperiodyczny krytyczny. Przebieg oscylacyjny. Ekstrema
odpowiedzi oscylacyjnej. Wpływ dodatkowego zera i bieguna. Urządzenia.
TRANSMITANCJA UKA
ADU ZE SPRZ
ŻENIEM ZWROTNYM
1. Połączenia szeregowe i równoległe
2. Sprzężenie zwrotne
Y (s)
" Szukane
W (s)
Y = RGo E = RGoW - RGo HY , ponieważ E = W - HY
Y (s) RGo
=
W (s) 1+ RGo H
Transmitancja układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym jest równa stosunkowi
transmitancji toru głównego przez  jeden plus iloczyn transmitancji toru głównego i
transmitancji sprzężenia.
" Pytanie. W jaki sposób zakłócenia wpływają na wyjście?
Yz
H(s) 1
Yz = Go (Z + U ) = GoZ + GoU = GoZ - Go HRYz , ponieważ U = -RHYz .
Yz (s) Go
=
Yz (1+ RGoH ) = GoZ
Z(s) 1+ RGoH
Tym razem w torze głównym znajduje się Go , a w torze sprzężenia RH.
SERWOMECHANIZM ZE STEROWANIEM PR
DOWYM
1. Konstrukcja i połączenia
" Serwomechanizm jest układem stabilizacji położenia silnika (elektrycznego,
hydraulicznego, pneumatycznego). Serwomechanizm z silnikiem elektrycznym
wykonuje ruch o zadany kąt lub liczbę obrotów.
Zastosowanie: obrabiarki (3D), suwnice, podajniki, roboty (5D, 6D), stacje radarowe
itp.
" Mechanika serwomechanizmu
Realizacja nadajnika położenia:
 enkoder (tarcza kodowa +
licznik fotoelektryczny)
 potencjometr wieloobrotowy
 rezolwer (maszyna elektryczna,
rodzaj selsyna)
" Schemat elektryczny serwomechanizmu analogowego
2
" Problem nastawienia sprzężenia zwrotnego
Jakie wartoÅ›ci r, ² należy ustawić, aby przebiegi regulacyjne byÅ‚y aperiodyczne
krytyczne o stałej czasowej T = 0.2s ?
Typowe przebiegi wielkości regulowanych:
Przebieg aperiodyczny  pierwiastki rzeczywiste jednokrotne (różne)
Przebieg aperiodyczny krytyczny  pierwiastki rzeczywiste wielokrotne
Przebieg oscylacyjny  pierwiastki zespolone w mianowniku transmitancji
2. Elementy układu regulacji
" Sterownik prÄ…du
U+ -U E" 0
-
e i
1
e - ir E" 0
1
r
i E" e
r
ir
" Silnik prądu stałego
Dane: MemN = 20 Nm, iN = 10 A,
J = 0.0005 kg m2 (moment bezwładności wirnika i przekładni)
Równanie momentów
dÉ
J = M - M , M E" 0
em o o
dt
20 Nm
Mem = ks i, ks = = 2
10 A
Mo
-
Mem
i
É Ć
1 1
ks
Js s
Silnik sterowany prÄ…dowo  schemat blokowy
3
" Przekładnia redukcyjna
Ä… = 0.01
Ć
¸
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
" Nadajnik położenia (potencjometr)
ÅšM  maksymalny kÄ…t obrotu, np. 5 obrotów  zakres wejÅ›cia, ÅšM = 5 · 2Ä„ rd
Up = 12 V  napięcie na potencjometrze  zakres wyjścia
Proporcja:
Åš Ò! y
U
, stÄ…d p
ÅšU = ÅšM y
Ò!
p
y = Åš
ÅšM Ò! U
p
ÅšM
y
¸ U
p
ÅšM
Współczynnik przeliczeniowy prostego elementu układu regulacji
oblicza siÄ™ jako  zakres WY  przez  zakres WE .
 zakres wyjścia  przez  zakres wejścia .
" Tachogenerator
2Ä„
nN = 12000 obr/min , UTGN = 10 V , ÉN = 12 000 rd/s
60
UTG
É UTGN
kTG = = 7.95Å"10-3 V/rd/s
kTG
ÉN
 zakres  przez  zakres
" Potencjometr tachogeneratora
UTG
²UTG
² d" 1
²
" Sumator  połączenie przewodów elektrycznych
e = w  y - ²UTG  bÅ‚Ä…d regulacji, w  wielkość zadana
y  wyjście układu (zmienna procesowa)
Rolę sumatora w układzie zrealizowanym cyfrowo pełni procesor sterownika.
4
3. Transmitancja serwomechanizmu
" Schemat blokowy
Ć
I &! Åš
E
max
Sprzężenie
tachometryczne
²
Sprzężenie pozycyjne
Schemat blokowy serwomechanizmu sterowanego prÄ…dowo
" Simulink
Gain  1/r, Gain2  1/0.0005, Gain3  0.01, Gain4  12/(5*2*pi), Gain5  ß*0.00795
" Upraszczanie schematu
Y (s)
Szukane dla M = 0 - oddziaływanie sygnałów W i Mo można rozpatrywać
o
W (s)
niezależnie ze względu na zasadę superpozycji obowiązującą w układzie liniowym.
1) Połączenia szeregowe
max
²
2)  Zwinięcie sprzężenia wewnętrznego 3) Standardowy układ ze sprzężeniem
zwrotnym
W
5
Tor główny dla sprzężenia pozycyjnego
ksÄ… U
1
p
AB Jr Åšmax Én 2
s2
= =
1 ks ² kTG s2 + 2¾Éns
1+ AC
1+
s Jr
Zbiorcze oznaczenia
ksÄ…U
ks²kTG
p
2
Én = , 2¾Én =
JrÅšmax
Jr
Transmitancja
Én 2
Y (s) s2 + 2¾Éns Én 2
= =
W (s)
Én 2 s2 + 2¾Éns + Én 2
1+ Å"1
s2 + 2¾Éns
2
É
¾  współczynnik tÅ‚umienia
n
Y (s) = W (s)
2
É  czÄ™stotliwość naturalna
n
s2 + 2¾É s + É
n n
4. Projektowanie  dobór nastaw
Wymagania: a) przebiegi aperiodyczne krytyczne
b) stała czasowa 0.2
" = 0  pierwiastek podwójny (przebiegi aperiodyczne krytyczne)
" < 0  pierwiastki zespolone (przebiegi oscylacyjne)
" > 0  pierwiastki rzeczywiste różne (przebiegi aperiodyczne zwykłe)
Serwomechanizmy nastawia siÄ™ na przebiegi aperiodyczne krytyczne.
" " = 0:
2 2 2 2 2
" = 4¾ Én - 4Én = 4Én (¾ -1) = 0 Ò!
¾ = 1
" Tzam = 0.2  stała czasowa układu zamkniętego
2
2
É
É 1
n
n
¾ = 1 :
= =
2 2
2
1
2
s + 2¾É s + É (s + É )
n n n
( s + 1)
É
n
1
= Tzam = 0.2 ,
Én = 5
Én
Wniosek. Z warunków ¾ = 1, É = 5 należy wyznaczyć dwie niewiadome r, ².
n
6
" Obliczenia
k Ä…U
2 Å" 0.01 Å"12
s p
2
É = 25 = Ò! r = = 0.61
n
Jr Åš 25 Å" 0.0005 Å"10Ä„
M
Rezystor 0.61 &! w torze sprzężenia sterownika prądu.
ks²kTG
2 Å" 5 Å" 0.0005 Å" 0.61
2¾Én = 2Å"1Å"5 = Ò!
² = = 0.192
-3
Jr 2 Å" 7.95 Å"10
Potencjometr należy ustawić na 19.2 %.
" Simulink (schemat jak poprzednio)
Zmiany wielkości zadanej
Pulse Generator:
Amplitude  1
Period  5
Pulse Width (% of period)  50
Zakłócenie skokowe
Step
Final value  1
7
5. Transmitancja względem zakłócenia
Yz (s)
" Szukane dla W=0
Z(s)
1) Schemat wyjściowy
Z
Yz
2) Przesunięcie Z na początek 3) Zwinięcie pętli wewnętrznej
Z
AB Én 2
=
1 ks
Z
1+ AC s2 + 2¾Éns
A =
s Jr
Yz
Yz
Pętla ze sprzężeniem zwrotnym jest taka sama jak poprzednio. Transmitancja względem
zakłócenia ma więc postać:
Yz (s) r 1
= - Å"
Z(s) ks 1 2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
s +1
ìÅ‚ ÷Å‚
Én
íÅ‚ Å‚Å‚
1
Dane: r = 0.61, ks = 2, Én = = 5 (¾ = 1)
0.2
8
6. Matlab
omn=5
dwaksiomn=10
ks=2
r=0.61
l=omn^2
m=[1 dwaksiomn 0]
l=[0 0 l]
t=0:0.02:2;
y=step(l,l+m,t);
plot(t,y), grid
yz=step(-(r/ks)*l,l+m,t);
plot(t,y,t,yz), grid
Sprzężenie zwrotne w prostym serwomechanizmie zmniejsza wpływ zakłócenia, ale
go całkiem nie eliminuje (wada). Mówi się, że pozostaje błąd ustalony (uchyb).
" Wyjaśnienie l+m w step():
l = Én 2
m = s2 + 2¾Éns
l
Licznik układu zamkniętego z jednostkowym
l
m
Gzam = =
sprzężeniem zwrotnym jest taki sam jak licznik
l
l + m
1+ Å"1
układu otwartego, a mianownik jest sumą
m
licznika i mianownika  y = step(l, l+m, t).
Sumowany licznik i mianownik muszą mieć w Matlabie taką samą długość.
UKA
AD ELEKTRO PNEUMATYCZNY
1. Realizacja techniczna
" Zastosowanie układów elektro pneumatycznych
Regulacja poziomu w strefie zagrożonej wybuchem (petrochemia), strefie
zawilgoconej (cukrownictwo) i innych aplikacjach, gdzie nie jest wskazane lub wręcz
zabronione stosowanie aparatury elektrycznej.
9
0.02 ... 0.1 MPa
do 1.5 km 4 ... 20 mA
STEROWNIA
Y
do 1.5 km 4 ... 20 mA
6 mm
q
A
PPP
0.14 MPa
Elektro pneumatyczny układ regulacji poziomu
s
s
" Elementy składowe
ZR  zawór regulacyjny z grzybkiem stożkowym
SP  siłownik pneumatyczny
PPP  pneumatyczny przetwornik poziomu
WZDP  wzmacniacz dysza przesłona (odpowiednik wzmacniacza operacyjnego)
PE  przetwornik pneumatyczno elektryczny
EP  przetwornik elektro pneumatyczny
" Trendy rozwojowe
- Inteligentne przetworniki i urządzenia wykonawcze z własnymi procesorami do
prostych obliczeń, diagnostyki i komunikacji HART (1100/2200 Hz)
- Zastępowanie sygnału analogowego 0/4...20 mA przez sygnał cyfrowy, np.
31.25 kbit/s (standardy protokołów: Profibus PA, Foundation Fieldbus, WFIP)
" Przegląd urządzeń automatyki przemysłowej
www.katalogautomatyki.pl
2. Elementy układu na schemacie blokowym
"  Zakres WY - przez - zakres WE
0.08
- Przetwornik poziomu PPP: 10 m 0.02...0.1 MPa  kPPP = = 8 Å"10-3 MPa/m
10
16
- Przetwornik PE: 0.08 MPa 4...20 mA  kPE = = 2Å"102 mA/MPa
0.08
- Przetwornik EP: 16 mA 0.08 MPa  kEP = 0.5 Å"10-2 MPa/mA
3
- Siłownik SP: 0.08 MPa 3 cm  kSP = = 37.8 cm/MPa
0.08
10
108
- Zawór ZR: 3 cm 108 m3/h  kZR = = 36 m3/h cm
3
Dane zbiornika (poprzedni wykład): ę = 5 m2 , h = 10 m, q = 108 m3/h
k kz
"H (s) = "Qwe(s) - "S(s)
Ts +1 Ts +1
k = 0.194 m m3/h , T = 0.939 h, kz = 0.8037 m/cm2 (8037 m/m2 )
" Schemat blokowy uwzględniający
urzÄ…dzenia
kZ
k1=1.309
E
"H
1
kEP kSP kZR k
PID
Ts +1
[mA]
kPE kPPP
k2=1.6
k1 = kEP kSP kZR k = 0.5Å"10-2 Å"37.8Å"36Å"0.194 = 1.309 m/mA
k2 = kPE kPPP = 2 Å"102 Å"8 Å"10-3 = 1.6 mA/m
" Simulink
Simulink Extras Additional Linear PID Controller
Gain  1.309, Gain2  0.8037
Parametry  zob. dalej
11
3. Regulator PID
" Transmitancja
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
k
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
p
ìÅ‚1 1 Td s ÷Å‚
ìÅ‚
k + + E" k + + Td s÷Å‚ = k + + k T s = k + ki + kd s
p p p p
ìÅ‚1 Ti s ÷Å‚ { s T 1 3 p s
ìÅ‚ Td ÷Å‚ 2d
Tis
Å‚Å‚
2i D
s + 1÷Å‚ D>1 íÅ‚ 1 3
P
ìÅ‚
íÅ‚ D Å‚Å‚ I
kp  wzmocnienie, kp, ki, kd  wzmocnienia P, I, D
Ti  czas całkowania, Simulink
Td  czas różniczkowania,  PID Controller (idealny)
D  dzielnik Td (5& 10)  PID Controller (with Approximate Derivative)
" Regulator PI
Regulator PID przeważnie występuje jako PI. Otrzymuje się go poprzez ustawienie Td = 0.
1 kP Tis +1
kp (1+ ) = kp + = kp , Ti  czas całkowania
{
Tis Tis Tis
{
P
I
Do sterowania obiektami inercyjnymi I rzędu, także z opóz
nieniem,
wystarczajÄ… regulatory PI.
4. Projektowanie
" Schemat blokowy
kZ
ëÅ‚ öÅ‚ k2
1
ìÅ‚ ÷Å‚
k +
k1
P
ìÅ‚1 Tis ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ts+1
[mA]
k , Ti
" Jak dobrać ?
p
Najprostszym sposobem doboru Ti jest eliminacja stałej czasowej.
P
Y (s)
Transmitancja (Z=0)
W (s)
Eliminacja: Ti a" T
Tis+1 k1k2
kP
Tis Ts+1
12
kPk1k2
k1 k2 = 1.309 Å"1.6 = 2.1, K =
T
K
K 1
s
Gzam = = =
K 1
s + K
1+ s +1
s K
1
" Dane. Niech Tzam = = 0.1, co spowoduje, że układ zamknięty będzie prawie 10 razy
K
szybszy niż układ otwarty (T=0.939 h; zwykle jednak poprzestaje się na kilkukrotnym,
a nie 10 krotnym zwiększeniu szybkości).
1
Zatem = 0.1 Ò! K = 10  wzmocnienie ukÅ‚adu otwartego
K
k k1 k2
T K 0.939 Å"10
p
Wzmocnienie kP regulatora PI K = Ò! kP = = = 4.5
T k1 k2 2 Å"1
Nastawami regulatora PI są k = 4.5, Ti = 0.939 (eliminacja stałej czasowej)
p
" Simulink
Skok wielkości zadanej, a potem skok zakłócenia
13
Y (s)
" Transmitancja zakłóceniowa (W = 0)
"S(s)
Y (s) kz Ts 1
= -
1
"S(s) kP k1 Ts +1
s +1
K
" Matlab
k1=1.309
kz=0.8037
T=0.939
kp=4.5
K=10
t=0:0.025:2.5;
l=[0 K]
m=[1 0]
y=step(l, l+m, t);
plot(t,y), grid
Odpowiedz
zakłóceniowa:
lz=-kz*T*conv([1 0], l)
mz=kp*k1*conv([T 1], l+m)
yz=step(lz, mz, t);
plot(t, y, t, yz), grid
Regulator stopniowo eliminuje wpływ zakłócenia, ale trwa to wyraz
nie dłużej niż
czas regulacji tr E" 4 Å"Tzam = 0.4 . DominujÄ…cÄ… staÅ‚Ä… czasowÄ… jest bowiem T, a nie
1/ K.
14
DWA UKA
ADY REGULACJI
1. Serwomechanizm ze sterowaniem prÄ…dowym
" Schemat uproszczony
y
w k
s2
k
p
k = , Ä… = Td
J
1+ Ä…s
sprzężenie pozycyjne i tachometryczne
" Transmitancja układu
k
2
Y (s) Én
s2 = k =
=
2
(1+Ä…s) k
s2 + 2¾Éns + Én
W (s) s2 + Ä…ks + k
1+
s2
gdzie:
Én - czÄ™stotliwość drgaÅ„ naturalnych (niegasnÄ…cych), 1
2
Én = k, ¾ = Ä… k
2
¾ - współczynnik tÅ‚umienia,
2. Układ regulacji poziomu
"  Rozdzielony regulator PI
y
I w
O
I O
k
1 k
p
w y
s Ti
Ts +1
P
kp
P
k k
1 1 1
p p
PI: k (1+ ) = k + = k + ki , gdzie ki =
p p
Tis s Ti p s Ti
" Transmitancja układu
O ki k
I
Y (s) IO
1+ OP s Ts +1
= = = =
O k ki k
W (s) 1+ PO + IO
1+ I 1+ k +
p
1+ OP Ts +1 s Ts +1
15
kik
2
kik Én
T
= = =
2
1+ k k
Ts2 + s(1+ k k) + kik kik s2 + 2¾É s + Én
p
p n
s2 + s +
T T
Gdyby cały regulator PI umieścić w torze głównym, to nie otrzymalibyśmy
standardowej transmitancji 2-go rzędu (nastąpiłaby zmiana w liczniku). Struktura
rozdzielona jest preferowana przez praktyków dla uniknięcia przeregulowania (zob.
dalej). Przeregulowania można też uniknąć filtrując wielkość zadaną.
Wniosek. Proste serwomechanizmy i układy automatyzacji procesów są opisane
standardowymi transmitancjami 2-go rzędu.
1. Pierwiastki mianownika  bieguny
" Transformata Laplace a odpowiedzi skokowej
2
1 Én 1
2 2 2 2 2
W (s) = , Y (s) = Å" , " = 4¾ Én - 4Én = 4Én (¾ -1)
2
s s2 + 2¾É s + Én s
n
" Zależnie od współczynnika tÅ‚umienia ¾ pierwiastki mianownika sÄ…:
¾ > 1  rzeczywiste różne
¾ = 1  jednakowe (pierwiastek podwójny)
¾ < 1  zespolone
KsztaÅ‚t odpowiedzi zależy przede wszystkim od współczynnika tÅ‚umienia ¾, a czas od
czÄ™stotliwoÅ›ci Én .
TRANSFORMATY LAPLACE2 A
1. Wzory ogólne
t
F(s)
f (Ä )dÄ
+"
o
s
16
2. Transformaty elementarne
3. Funkcje trygonometryczne
4. Stała czasowa
17
PRZEBIEG APERIODYCZNY
1. ¾ > 1 Ò!
Ò! " > 0
Ò!
Ò!
2
" Dwa pierwiastki rzeczywiste różne s1, s2 , takie że s1 Å" s2 = Én
Rozkład na ułamki proste:
2
Én 1 R0 R1 R2
Y (s) = = + +
(s - s1)(s - s2 ) s s s - s1 s - s2
Residua R0 , R1, R2 oblicza się metodą przysłaniania.
2. Pierwiastki jednokrotne
" Przypadek ogólny
 tzw. metoda przysłaniania
Kropki po prawej stronie rozwinięcia F(s) reprezentują ułamki odpowiadające
pierwiastkom pozostałej części mianownika.
3. Obliczenia
" p1 = 0, p2 = s1 , p3 = s2
2 2 2 2
Én Én Én Én
R0 = |s=0 = = = = 1
2
(s - s1)(s - s2) (-s1) Å" (-s2) s1s2 Én
1 1
" Oznaczmy: s1 = - , s2 = -
T1 T2
1
-
2
Én s1s2 s2 T2 T1
R1 = |s=s = = = = -
s(s - s2 ) 1 s1 (s1 - s2 ) s1 - s2 - 1 + 1 T1 -T2
T1 T2
Podobnie
1
-
2 2
Én Én s1 T1 T2
R2 = | = =
s=s2 s2 (s2 - s1) = s2 - s1 =
1 1 - T2
s(s - s1) T1
- -
T2 T1
18
" Odpowiedz

t t
T1 -T1 T2 -T2
y(t) =1 - e + e
T1 - T2 T1 - T2
Jest to tzw. przebieg aperiodyczny zwykły (o dwóch stałych czasowych).
PRZEBIEG APERIODYCZNY KRYTYCZNY
1. ¾ = 1 Ò!
Ò! " = 0
Ò!
Ò!
" Jeden pierwiastek podwójny -Én
s1,2 =
2
Én 1 R0 R1 R2
Y (s) = = + +
(s + Én )2 s s s + Én (s + Én )2
2. Pierwiastki wielokrotne
" Przypadek ogólny
Rezidua Ri oblicza się również metodą przesłaniania, ale zaczynając  od końca , tj.:
,
&
" Ponieważ , więc
W szczególności dla m=3 mamy
,
19
1
gdzie R3 = Ä…1( p), R2 = Ä…2 ( p), R1 = Ä…3( p),
2
3. Obliczenia
2
Én 1
" p0 = 0, p = -Én, Y (s) = Å"
(s + Én )2 s
2 2
2 2
Én Én Én Én
1 d
R0 = |s=0 =1, R2 = |s=-É = -Én , R1 = ( ) | = - |s=-Én = -1
s=-Én
1! ds s
(s + Én )2 s s2
n
1 1 Én
Y (s) = - -
s s + Én
(s + Én )2
Na podstawie drugiej tabeli transformat mamy
n n
y(t) =1- e-É t -Énte-É t
1
" Niech T = . Wtedy
Én
t
-
t
T
y(t) = 1- (1+ )e
T
Jest to przebieg aperiodyczny krytyczny. W nastawianiu serwomechanizmów chodzi o
uzyskanie właśnie takiego przebiegu.
" Zapisując Y (s) za pomocą stałej czasowej T jako
1 1
Y (s) =
(Ts +1)2 s
powyższy wzór otrzymuje się wprost z czwartej tabeli transformat Laplace a.
PRZEBIEG OSCYLACYJNY
1. ¾ < 1 Ò!
Ò! " < 0
Ò!
Ò!
Dwa pierwiastki zespolone
2
s1,2 = -¾É Ä… jÉn 1-¾ = à ą jÉ ,
n
2
gdzie: ´ = -¾Én, É = Én 1-¾  czÄ™stotliwość drgaÅ„ tÅ‚umionych
2
" Ponieważ (s - s1)(s - s2 ) = (s - à )2 + É , wiÄ™c
2
Én 1
Y (s) =
2
(s - Ã )2 + É s
2. Pierwiastki zespolone
" Przypadek ogólny
20
 gdzie
Ponieważ , więc
" PrzysÅ‚aniajÄ…c obydwa czynniki i podstawiajÄ…c s = ´ + jÉ otrzymuje siÄ™
,
zatem
" Na podstawie trzeciej tabeli transformat
Dlatego S i C sÄ… nazywane  amplitudami sinusa i cosinusa .
3. Obliczenia
" Zapis wyjściowy
R0 -Ã ) + SÉ
C(s
Y (s) = +
2
s (s -Ã )2 + É
2 2 2 2
Én Én Én Én
R0 = |s=0 = = = = 1
2 2 2 2
2
(s -Ã )2 + É Ã + É
(-¾Én )2 + (Én 1- ¾ )2 Én
" Amplitudy S, C
SÉ C(s -Ã )
Ò! SeÃt sin Ét Ò! CeÃt cosÉt
,
(s -Ã )2 + É2 (s -Ã )2 + É2
Według wzoru ogólnego
2 2
1 1 Én 1 Én
2
S + jC = {[(s -Ã )2 +É ]Y (s)} = ( ) = =
É É s É Ã + jÉ
s=Ã + jÉ
s=Ã + jÉ
2
-¾
Én - jÉ 1 à - ¾É
Ã
n
= = (Ã - jÉ) = - j = - j = - j = S + jC
2 2
2
2
É É É
à + É
Én 1- ¾ 1-¾
Zatem
- ¾
S = , C = -1
2
1- ¾
" Odpowiedz
skokowa
y(t) =1+ eà t (S sinÉt + C cosÉ t)
" Przekształcenia trygonometryczne:
21
sin(Ä… + ² ) = sinÄ… cos ² + cosÄ… sin ² , gdzie Ä… = Ét
S C
2 2
2 2
S sinÉt + C cosÉt = S + C (sinÉt + cosÉt ) = S + C sin(Ét +Ć) ,
2 2 2 2
1S + C3 1S + C3
424 424
cos ² sin ²
² a" Ć
gdzie
2
1 - ¾
sin ² C 1
2 2
Ć = arctg = arctg = arctg , S + C =
2
cos ² S ¾
1-¾
1
y( t ) = 1 - e-¾Ént sin(Ét + Ć )
2
1 - ¾
Jest to przebieg oscylacyjny.
4. Matlab
omn=1
y
l=omn^2
% ¾ >1
ksi=2
m=[1 2*ksi*omn omn^2]
t=0:0.1:20;
y=step(l,m,t);
% ¾ =1
ksi=1
m=[1 2*ksi*omn omn^2]
y1=step(l,m,t);
% ¾ <1
ksi=0.5
t
m=[1 2*ksi*omn omn^2]
y2=step(l,m,t);
plot(t,y,t,y1,t,y2),grid
Uwaga. Na lekko oscylacyjne przebiegi nastawia się układy automatyzacji
procesów technologicznych (ciśnienie, poziom, przepływ) ze względu na dobre
tłumienie zakłóceń.
EKSTREMA ODPOWIEDZI OSCYLACYJNEJ
1. Wyznaczenie ekstremum
W celu wyznaczenia ekstremów odpowiedzi oscylacyjnej II rzędu można zastosować jedną z
dwóch metod:
dy
 określenie wyrażenia na pochodną w sposób tradycyjny i przyrównanie jej do zera
dt
(metoda często pracochłonna),
 skorzystanie z właściwości transformaty Laplace a, tzn. ze wzoru na transformatę pochodnej:
22
1
îÅ‚ Å‚Å‚
2
Én É
2
ïÅ‚ śł
dy Én
= L-1[s Y (s)]= L-1ïÅ‚ É 2 śł = eÃt sinÉt = 0
dt É
ïÅ‚(s -à )2 +É śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„ Ä„
É ti = Ä„ , 2Ä„ , 3Ä„ ..., É ti = iÄ„ , ti = i , ti = i , i = 1, 2, 3...
2
É
Én 1-¾
Ä„ Ä„
t1 = =
2
É
Én 1-¾
-Ä„¾
2
1-¾
1 1 1 1
e
A1 = y(t1) -1 = eÃt (S sinÉt1 + C cosÉt1) = eÃt (S sinÄ„ + C cosÄ„ ) = - C eÃt = eÃt = ,
Ä„
ponieważ à = - ¾É , C = -1, t1 =
n
2
Én 1-¾
2. Parametry odpowiedzi oscylacyjnej
 czas narastania tn (10 do 90%)
 przeregulowanie p% = A1 Å"100% ,
A3
 czas regulacji tr ,
 stopień tłumienia d =
A1
Podstawowe znaczenie majÄ… p% i tr.
Przykład
Én = 1
¾ = 0.3
1
T = = 3.333
¾Én
tr H" 4T = 13.332
23
3. Przeregulowanie p%
p%
Ä„¾ ln
-
2
100
1-¾
p% = A1 Å"100% = e Å"100% ¾ =
p%
2
Ä„ + ln2
100
100
" Matlab p%(¾)
p% 90
80
70
ksi=0.01:0.01:0.99;
60
p=exp(-pi*ksi./sqrt(1-ksi.*ksi))*100;
50
plot(ksi,p),grid
40
30
20
Dzielenie i mnożenie  z kropką
10
(wektory).
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
¾
¾
Wzór przybliżony p% H" (1- ) Å"100% , ¾ < 0.6
0.6
100
p%
90
80
" Matlab
70
60
ksi=0.01:0.01:0.6;
50
p=exp(-pi*ksi./sqrt(1-ksi.*ksi))*100; 40
30
paproks=(1-ksi/0.6)*100;
20
plot(ksi,p,ksi,paproks),grid
10
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
¾
4. Czas regulacji tr
t
t
-
T
e
4
T
tr E"
0.0 1.0 2%
¾É
n
1.0 0.3679
2.0 0.1353
3.0 0.0495
E" 5%
3 4.6
tr E" , tr E"
4.0 0.0183
E" 2%
5% 1%
¾É ¾É
n n
4.6 0.0100 1%
5. Serwomechanizm i regulator PI
" Dla serwomechanizmu prądowego (zob. wcześniej) znalez
ć k i ą, gdy dane są Tzam= 0.1, p%= 0.
p% = 0 oznacza ¾ = 1  przebiegi aperiodyczne krytyczne.
4 4
tr = = = 4 Tzam = 0.4 Ò! Én = 10
¾É Én
n
24
2
k Én
2
Gzam = = , 2¾Én = kÄ…, k = Én Ò! k = 100, Ä… = 0.2
2
s2 + kÄ…s + k s2 + 2¾É s + Én
n
" Dobrać nastawy regulatora PI w układzie regulacji poziomu dla danych p% = 20%, tr = 0.5.
1
ki k
s Ts +1
k
p
ki k
2
Én
T
k , k = ?
Gzam = = , (k = 2.1, T = 0.939 h)
p i
2
1 + k k
ki k
p s2 + 2¾Éns + Én
s2 + s +
T T
p%
ln
100
4
¾ = = 0.456 , tr = 0.5 = Ò! Én = 17.54
¾Én
p% 20%
2
Ä„ + ln2
100
1 + k k
ki k
p
2
Én = = 17.542 Ò! ki = 137.6 , 2¾Én = Ò! k = 6.7
p
T T
k
6.7
p
Ti = = = 0.0487 h = 2.92 min = 175 s
ki 137.6
WPA
YW DODATKOWEGO ZERA I BIEGUNA
1. Wpływ zera
" Układ regulacji poziomu ze standardowym regulatorem PI (nierozdzielonym) ma postać jak
niżej
k
ëÅ‚ öÅ‚
1 k = 2.1, Én = 17.54
ìÅ‚ ÷Å‚
k
p
ìÅ‚1+ Tis ÷Å‚
Ti = 0.0487, ¾ = 0.456
Ts +1
íÅ‚ Å‚Å‚
k = 6.7
p
1
s +
ëÅ‚ öÅ‚ Ti
1
ìÅ‚ ÷Å‚
kp ìÅ‚1+ ÷Å‚ = k
PI:
p
Tis s
íÅ‚ Å‚Å‚
kk
p
s + 1/ Ti k
(Ti s + 1)
k
p
k k(s +1/ Ti )
TTi
p
s Ts +1
Gzam = = =
s + 1/ Ti k 1 + kk kk
Ts2 + s + kk (s + 1/Ti ) p p
p
1 + k
s2 + s +
p
s Ts + 1
T TTi
25
kk 1+ kk
p p
2
= Én , = 2¾Én
TTi T
17.542(0.0487s + 1)
Gzam =
 dodatkowe zero w liczniku
s2 + 2 Å" 0.456 Å"17.54 Å" s + 17.542
" Matlab
y
omn=17.54
ksi=0.456
l=omn^2
m=[1 2*ksi*omn omn^2] pierwotnie
t=0:0.01:2;
y=step(l,m,t);
Ti=0.0487
% dodatkowe zero
l=conv(l,[Ti 1])
t
y1=step(l,m,t);
plot(t,y,t,y1), grid
Jak widać przeregulowanie wzrosło (niekorzystnie).
Uwaga. Przez rozdzielenie PI na P+I, a PID na PI+D (ewentualnie I+PD) można uniknąć
wprowadzania zer do licznika transmitancji układu zamkniętego, czyli nadmiernych
przeregulowań.
2. Wpływ bieguna
2
1 Én
Gzam = Å"
2
Ts +1 s2 + 2¾Éns + Én
" Matlab
y
omn=17.54
ksi=0.456
T=0.125
l=omn^2
m=[1 2*ksi*omn omn^2]
t=0:0.01:2;
y=step(l,m,t);
% dodatkowy biegun
m=conv(m,[T 1])
y2=step(l,m,t);
plot(t,y,t,y2),grid
t
Uwaga. Pojawienie siÄ™ dodatkowego bieguna powoduje eliminacjÄ™, a przynajmniej
zmniejszenie przeregulowania (korzystnie). Zatem przeregulowanie można
wyeliminować przez dodanie filtru wielkości zadanej przed wprowadzeniem jej na
układ ze sprzężeniem zwrotnym.
26
URZ
DZENIA
www.katalogautomatyki.pl
1. Serwomechanizm
" Enkodery obrotowe
" Silniki napędowe " Sterownik napędu
" Robot
27
2. Układ regulacji
" Radarowe przetworniki " Regulatory PID
poziomu
" Siłownik pneumatyczny " Siłowniki elektryczne
28