Ekstrema funkcji wielu
zmiennych
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
2
Niech f (�x, y)� będzie funkcją określoną na zbiorze D �� R , o wartościach w R. Niech
f
(�x , y )��� D .
0 0 f
Mówimy, że funkcja f (�x, y)� ma w punkcie (�x , y )��� D maksimum (minimum) lokalne,
0 0 f
gdy istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla każdego punktu (�x, y)� należącego do tego
otoczenia zachodzi nierówność:
f (�x, y)�Ł� f (�x , y )� (�f (�x, y)�ł� f (�x , y )�)�.
0 0 0 0
Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Jeżeli funkcja f (�x, y)� ma w punkcie (�x0, y0)��� Df ekstremum, a obie pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu w tym punkcie i jego otoczeniu istnieją, to pochodne te są w tym punkcie
równe zeru:
fx'(�x0, y0)� =� 0 fy'(�x0, y0)�=� 0 .
i
Warunek dostateczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Załóżmy, że funkcja dwóch zmiennych f (�x, y)� ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu
w otoczeniu punktu (�x , y )��� D .
0 0 f
Niech wyróżnik funkcji f (�x, y)� ma postać
'' '' '' ''
W(�x, y)�=� f (�x, y)�f (�x, y)�-� f (�x, y)�f (�x, y)�,
xx yy xy yx
to znaczy
'' ''
f (�x, y)� f (�x, y)�
xx yx
W(�x, y)� =� .
'' ''
f (�x, y)� f (�x, y)�
xy yy
Załóżmy, że w punkcie (�x , y )��� D spełniony jest warunek konieczny istnienia
0 0 f
ekstremum funkcji, tzn.
' '
f (�x , y )�=� 0 i f (�x , y )�=� 0 .
x 0 0 y 0 0
o� ''
1 Jeżeli W(�x , y )�>� 0 i f (�x , y )�>� 0 , to funkcja f (�x, y)� ma w punkcie (�x , y )� minimum.
0 0 xx 0 0 0 0
o� ''
2 Jeżeli W(�x , y )�>� 0 i f (�x , y )�<� 0, to funkcja f (�x, y)� ma w punkcie (�x , y )� maksimum.
0 0 xx 0 0 0 0
o�
3 Jeżeli W(�x , y )�<� 0 , to funkcja f (�x, y)� nie ma w punkcie (�x , y )� ekstremum.
0 0 0 0
o�
4 Jeżeli W(�x , y )�=� 0 , to funkcja f (�x, y)� może mieć lub nie mieć ekstremum w punkcie (�x , y )�
0 0 0 0
Przykład
Zbadać ekstremum funkcji
3 2 3
f (�x, y)�=� 3x +� 3x y -� y -�15x