LISTA 4. Ekstremum funkcji wielu zmiennych.
Zad 1: Wyznaczyć ekstremum funkcji:
a) f (x, y) = 3(x -1)2 + 4(y + 2)2,
b) f (x, y)=x3 y2 (6-x-y) (x>0, y>0),
2 2 2
c) f (x, y, z)=x +y +z -xy+x-2 z,
y2 z2 2
d) f (x, y, z)=x+ + + (x>0, y>0, z>0).
4x y z
Zad 2: Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji:
x y
a) z=xy przy x+y=1, b) z=x2+y2 przy + =1,
2 3
c) z=x+2y przy x2+y2=5,
d) u=xy2z3 przy x+y+z=12 (x>0, y>0, z>0),
x2 y2 z2
e) u=x2+y2+z2 przy + + =1 (a>0, b>0, c>0),
a2 b2 c2
f ) u=xyz przy x+y+z=5 oraz xy+yz+zx=8.
Zad. 3: Znalez
ć najmniejsze i największe wartości funkcji w podanych
obszarach D:
a) z =1+x+2y D={(x, y): xe"0, y e"0, x+ y d"1},
b) z =x2 -y2 D={(x,y): x2 + y2 d"1},
Ą Ą
c) z=sinx+siny+sin(x+y) D={(x, y): 0d"xd" , 0d"yd" },
2 2
d) z=x3+y3-3xy D={(x,y): 0d"xd"2,-1d"yd"2}.