Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 18  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
2
y2 z 2
Przykład Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f (x, y, z) = x + + + ( x Å" y Å" z `" 0 )
4x y z
Å„Å‚"f y 2
2
=1 - = 0 Ô! y = 4x2 Ô! y = 2x (" y = -2x
ôÅ‚
ôÅ‚"x 4x2
ôÅ‚"f y z 2
ôÅ‚
2 2 2
WK: = - = 0 Ô! (z = y2 Ò! z = y (" z = - y) (" (z = - y sprz.)
òÅ‚
2
ôÅ‚"y 2x y
ôÅ‚"f 2z 2
= - = 0
ôÅ‚
2
ôÅ‚ "z y
z
ół
y = 2x '" z = y Ò! z = Ä…1
üÅ‚
1
Ò! P1 = (1 ,1,1) P2 = (- ,-1,-1)
żł
2 2
2
y = 2x '" z = - y Ò! z = -1 sprz.þÅ‚
WW: budujemy macierz drugiej różniczki d2f
îÅ‚ Å‚Å‚
"2 f "2 f "2 f îÅ‚ Å‚Å‚
y2 y
- 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"x"y "x"z
"x2
2x3 2x2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚ "2 f "2 f "2 f śł y 1 2z 2z
ïÅ‚ śł
= + -
ïÅ‚"y"x "y "y"z śł
2 ïÅ‚- 2 śł
2x
2x2 y3 y
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2z 2 4
"2 f "2 f "2 f
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 - +
2
ïÅ‚ 2 śł
ïÅ‚
y
y z3 śł
"z"x "z"y
"z
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
4
îÅ‚ - 2 0
Å‚Å‚
ïÅ‚
W punkcie P1 macierz drugiej różniczki ma postać 2 3 - 2śł . Z kryterium Sylwestera
ïÅ‚- śł
ïÅ‚ - 2 6
śł
0
ðÅ‚ ûÅ‚
(obliczamy minory) (+,+,+) w P1 jest minimum lokalne właściwe fmin = f (P1) = 4
îÅ‚- 4 2 0
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
dla P2 = 2 - 3 2 ( -,+,- )(ujemnie określona) w P2 jest fmax = f (P2 ) = -4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 2 - 6ûÅ‚
ðÅ‚
Ekstrema funkcji uwikłanych
Przykład (wprowadzający) Zbadać ekstrema funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem
f (x, y) = 0 .
Zakładamy regularność funkcji f tak, aby wyliczone poniżej pochodne miały sens, czyli, że są
spełnione założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej.
d
f (x, y(x))= 0
dx
"f
"f "f "f
"x
2 2
+ y (x) = 0 Ò! y (x) = - o ile `" 0
"f
"x "y "y
"y
"f
2
y(x) ma ekstremum w punkcie x Ô! (z WK) y (x) = 0 Ô! = 0
"x
Otrzymaliśmy więc WK istnienia ekstremum funkcji uwikłanej
1
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 18  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Å„Å‚ "f
Å„Å‚
ôÅ‚ôÅ‚"x = 0 RozwiÄ…zujemy pierwszy ukÅ‚ad i dostajemy punkty krytyczne Pi ,
ôÅ‚òÅ‚
ôÅ‚ôÅ‚ f (x, y) = 0
dla których sprawdzamy ostatni warunek.
WK:
òłół
ôÅ‚"f
ôÅ‚ `" 0
ôÅ‚
ół"y
2
Badanie rodzaju ekstremum może przebiegać za pomocą badania znaku y (x) w otoczeniu punktu
2 2
krytycznego Pi lub badania znaku y (x) . Pierwszy sposób jest nieco kłopotliwy. Nawet badanie
znaku formy kwadratowej wymagało specjalnego narzędzia  kryterium Sylvestera ( są też inne).
Różniczkując ponownie otrzymamy
"f "f d
2
+ y (x) = 0
"x "y dx
ëÅ‚ öÅ‚
"2 f "2 f "2 f "2 f "f
ìÅ‚
2 2 2 2 2
+ y (x) + + y (x)÷Å‚y (x) + y (x) = 0
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
"y"x "x"y "y
"x2 "y
íÅ‚ Å‚Å‚
"2 f "2 f "2 f "f
2
2 2 2 2
+ 2 y (x) + (y (x)) + y (x) = 0
2
"y"x "y
"2 x2 "y
2
w punktach krytycznych y (x) = 0 wiec
"2 f
"2x2
2 2
y (x) = - - tylko w punkcie krytycznym
"f
"y
2 2
y (Pi ) > 0 Ò! y(x) ma w punkcie xi minimum lokalne wÅ‚aÅ›ciwe y(xi ) = yi
Podobnie postępujemy wyznaczając ekstrema funkcji uwikłanej wielu zmiennych
Przykład. Znalez
ć ekstrema funkcji uwikłanej z(x, y) zadanej równaniem f (x, y, z) = 0 .
Przypuśćmy, że są spełnione odpowiednie założenia regularności (gwarantujące sens)
" "
f (x, y, z(x, y))= 0 f (x, y, z(x, y))= 0
"x "y
"f "f "z
"f "f "z
+ = 0
+ = 0
"y "z "y
"x "z "x
"f "f
"z
"z
"x "y
= -
= -
"f
"f
"x
"y
"z
"z
Å„Å‚ "f
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚"x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚òÅ‚"y = 0
ôÅ‚ôÅ‚
Ò! punkty krytyczne Pi(xi,yi,zi)
òÅ‚ôÅ‚
ôÅ‚ôÅ‚ f (x, y, z) = 0
ôłół
ôÅ‚"f
ôÅ‚
`" 0
ôÅ‚
ół "z
2
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 18  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
îÅ‚ Å‚Å‚
"2 z "2 z
ïÅ‚ śł
"y"x
"x2
ïÅ‚ śł
WW: Badamy określoność macierzy drugiej różniczki w punktach krytycznych .
ïÅ‚ "2 z "2 z śł
ïÅ‚"x"y "y śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
W celu wyliczenia powyższych pochodnych cząstkowych różniczkujemy jeszcze raz odpowiednie
"f ( x, y , z ( x, y )) "f ( x, y , z ( x, y )) "z( x, y ) "f ( x, y , z ( x, y )) "f ( x, y , z ( x, y )) "z( x, y )
równania + = 0 , + = 0 po odpowiednich
"x "z "x "y "z "y
zmiennych. W punkcie krytycznym Pi dostajemy macierz liczbowÄ…
"2 f
"2 f
îÅ‚ Å‚Å‚
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
" z " z "x2 "y"x
ïÅ‚- - śł
"f "f
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
"y"x
"x2
"z "z
ïÅ‚ śł
= ïÅ‚ śł
2 2
"2 f
"2 f
ïÅ‚ " z " z śł
ïÅ‚ śł
"y"x "y2
ïÅ‚"x"y "y śł
2
ïÅ‚- - śł
"f "f
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ "z "z ûÅ‚
Pi
i badamy jej określoność stosując kryterium Sylvestera Jeżeli np. oba minory kątowe są dodatnie (++),
to w punkcie Pi(xi,yi) funkcja uwikłana z(x,y) określona w otoczeniu Pi ma minimum lokalne
właściwe równe zi ).
Ekstrema warunkowe
Np.: f : R2 ƒ" E R E  otwarty
g : R2 ƒ" E R ciÄ…gÅ‚a
Oznaczmy E0 = {(x, y)" E : g(x, y) = 0}
i niech (x0 , y0 ) " E0 , czyli E0 - niepusty.
Rozpatrzmy funkcję f obciętą do E0 :
Ekstremum funkcji f obciętej do E0 nazywać będziemy ekstremum warunkowym funkcji f pod
warunkiem g(x, y) = 0
Def. Funkcja f ma w punkcie (x0 , y0 ) maksimum lokalne warunkowe właściwe
Ô! "S ( x0 , y0 )"( x, y)"S ( x0 , y0 ))"E0 f (x, y) < f (x0 , y0 )
Jak znalez
ć ekstremum warunkowe? (wprowadzenie do metody Lagrange a)
Zakładając, że równanie g(x, y) = 0 określa funkcje uwikłaną y(x) problem sprowadza się do
szukania ekstremum funkcji jednej zmiennej Õ(x) = f (x, y(x)) . ZakÅ‚adajÄ…c regularność
"f "f
2
z WK istnienia ekstremum otrzymujemy Õ (x) = 0 Ô! + y'(x) = 0 ,
"x "y
d "g "g
2 2
a z warunku g(x, y(x)) = 0 Ô! + y (x) = 0 obliczamy y (x) . StÄ…d otrzymujemy
dx "x "y
"f "g "f "g
Å„Å‚
ôÅ‚"x - = 0 Ô! Õ2 (x) = 0
WK: "y "y "x
òÅ‚
ôÅ‚g(x, y(x)) = 0
ół
3
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 18  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Można zauważyć, że równanie pierwsze WK jest wynikiem rugowania parametru  z następującego
"f "g
Å„Å‚
ôÅ‚"x +  = 0
ôÅ‚ "x
układu równań:
òÅ‚"f "g , gdzie
ôÅ‚
+  = 0
ôÅ‚
ół"y "y
Lewe strony sÄ… pochodnymi czÄ…stkowymi funkcji L(x, y,) = f (x, y) + g(x, y)
Å„Å‚
"L
= 0
ôÅ‚
"x
ôÅ‚
"L
ôÅ‚
WK jest wiÄ™c Ô! = 0
òÅ‚
"y
ôÅ‚
ôÅ‚"L
= 0
ôÅ‚
"
ół
Badanie sprowadza się do badania funkcji Lagrange a L(x, y,) z mnożnikiem Lagrange a  .
Metodę tę można uogólnić dla funkcji wielu zmiennych.
Metoda mnożników Lagrange a
f : Rn ƒ" E R
g : Rn ƒ" E Rm m < n
r
E0 ={x " E : g(x) = 0}= {(x1,..., xn )" E : g1(x1,..., xn ) = 0,..., gm (x1,..., xn ) = 0}
Szukanie ekstremum funkcji f pod warunkiem g(x)=0
Algorytm: Tworzymy funkcjÄ™ Lagrange a
L(x1,..., xn ,1,...,m ) = f (x1,..., xn ) + 1g1(x1,..., xn ) + ... + m gm (x1,..., xn )
"L
Å„Å‚
ôÅ‚"x = 0
1
ôÅ‚
ôÅ‚M
ôÅ‚
"L
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚"x
n
Warunek konieczny: P(x1,..., xn ,1,...,m ) = P(x,)
òÅ‚
"L
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚"1
ôÅ‚
ôÅ‚M
ôÅ‚
"L
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚"m
ół
Warunek wystarczający. traktując mnożniki  jako parametry wyznaczyć w punktach krytycznych
2
drugą różniczkę d L((x,),"x) , przy czym przyrosty "x spełniają układ równań
P(x,)
2
[g (x,)] ["x]= [0].
m×n
Wyznaczając m przyrostów jako funkcję n-m pozostałych przyrostów badamy określoność
2
d L((x,),"x) jako funkcję n-m przyrostów, czyli formę kwadratową n-m zmiennych, czyli badamy
określoność macierzy tej formy.
4