4.1. Funkcje wielu zmiennych
Oznaczmy symbolem Rn zbiór wszystkich mo\
liwych ciągów liczb rzeczywistych o n 
n = 1, 2, 3, & . wyrazach (x1, x2, ..., xn).
Napiszemy więc, \
e:
(2,-1,0) " R3 ; (0, 5 , 2,-1,0) " R5 ; (2,-1,0, 1,0, 4,-12,0) " R8 .
Ka\
dy taki ciÄ…g zbiory Rn mo\
na traktować jako punkt P o n - współrzędnych w ukła-
dzie współrzędnych kartezjańskich o n osiach. Oznaczamy go P(x1, x2, ..., xn).
Definicja
Niech D bÄ™dzie podzbiorem zbioru Rn, czyli D ‚"
‚" Rn. Ka\
demu ciÄ…gowi zbioru D, a
‚"
‚"
więc te\
ka\
demu punktowi P(x1, x2, ..., xn) przyporzÄ…dkowujemy jednoznacznie pewnÄ… licz-
bę z. W ten sposób definiujemy funkcję (nazwijmy ją f) n zmiennych rzeczywistych, okre-
śloną w zbiorze D, którą zapisujemy z = f (x1, x2, .... xn).
Z takimi funkcjami (przyporzÄ…dkowaniami) mamy do czynienia wtedy, gdy do jedno-
znacznego opisu pewnej wielkości z potrzebujemy innych wielkości: x1, x2, ..., xn.
Na przykład:
a) Kapitał F, który uzyskamy lokując w banku kwotę K na n lat, przy rocznej stopie procen-
towej równej r%, jeśli kapitalizacja odbywa się raz w roku obliczamy wg wzoru
F = K(1+r)n . Jest to przykład funkcji 3 zmiennych. Jej dziedziną jest zbiór trójek liczb K,
r, n takich, \
e r e" 0, K e" 0, n jest liczba naturalnÄ….
b) Znany wzór na pole trapezu S = ½ (a + b)h definiuje funkcjÄ™ trzech zmiennych a, b, h. Jej
dziedziną jest zbiór trójek liczb a, b, h, z których ka\
da z tych liczb jest liczbÄ… dodatniÄ….
c) Funkcja µ = A + B + C - Ä„ - nadmiar sferyczny jest tak\
e funkcjÄ… trzech zmiennych A, B,
C, przy czym Ä„ < A + B + C < 3 Ä„.
d) z = -12 + 3x1 + 2x2 - 5x3  x4 jest funkcjÄ… 4 zmiennych.
e) f(x, y) = 3x  5xy + y2 jest funkcją dwóch zmiennych określoną w zbiorze par liczb rze-
czywistych.
Wykresem funkcji n  zmiennych z = f (x1, x2, .... xn) nazywamy zbiór punktów P
przestrzeni Rn+1 o współrzędnych P(x1, x2, .... xn, z). Wykres taki nazywamy hiperpo-
wierzchnią. Oczywiście przy n > 2 nie mo\
emy tej figury przedstawiać na płaszczyz
nie.
Funkcje dwóch zmiennych
Niech Oxyz będzie prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych.
Rozwa\
amy zbiory Dg = {(x, y): 1d" x d" 2 i 1d" y d" 3}, Df = {(x, y): x, y " R i y = x2}.
PrzedstawiajÄ… je poni\
sze rysunki.
y
y
3
1
x
x
1 2 0
0
Ka\
demu punktowi zbioru Dg przyporzÄ…dkowujemy liczbÄ™:
a) z = 2, b) z = 5  x  y.
Otrzymujemy funkcje:
a) g1 (x, y) = 2, b) g2 (x, y) = 5  x  y.
Ich wizualne przedstawienia zawierajÄ… rysunki.
z
z 5
2
5
y
5
x
x
y
Wykresem funkcji g1 jest prostokąt zawarty w płaszczyz
nie równoległej do Oxy o
równaniu z = 2, zaś wykresem g2 jest równoległobok zawarty w płaszczyz
nie o równaniu
z = 5  x  y.
Uwagi:
a) Funkcje dwóch zmiennych mo\
na traktować jako odwzorowanie płaskiego zbioru
punktów w zbiór liczb  przyporządkowania punktom płaszczyzny (jej podzbioru) liczb rze-
czywistych.
b) Je\
eli, określając funkcję wzorem nie wskazano wprost zbioru, z którego nale\
y czer-
pać pary (x, y), to umawiamy się, \
e do dziedziny funkcji nale\
ą te pary liczb, na których
mo\
na wykonać działania występujące w jej wzorze.
Przykłady
1. Dana jest funkcja określona wzorem z = log(x2 + y2  4). Wyznacz jej dziedzinę.
Wiemy, \
e jedynie liczby dodatnie mają logarytmy. Zatem liczby x oraz y muszą speł-
niać warunek: x2 + y2  4 > 0. Warunek ten mo\
na zapisać następująco x2 + y2 > 1.
Równanie x2 + y2 = 4 jest równaniem okręgu o środku w początku układu współrzęd-
nych Oxy i promieniu r = 2. Zatem nierówność x2 + y2 > 4 przedstawia te punkty płaszczy-
zny, które le\
ą na zewnątrz tego okręgu ( zob. rys.).
Dziedziną tej funkcji jest zbiór punktów płaszczyzny, które le\
ą na zewnątrz okręgu o
równaniu x2 + y2 = 4
2. Dana jest funkcja określona wzorem z =  x  2y + 6 (inaczej f(x, y) =  x  2y + 6 ).
Jej dziedzinÄ…, zgodnie z powy\
szą umową jest zbiór wszystkich par liczb rzeczywistych.
Wybierzemy z jej dziedziny, np. parę, (2,  1), czyli punkt P (2,  1). Wartość funkcji dla tej
pary (lub w tym punkcie) obliczamy przez podstawienie we wzorze funkcji w miejsce x licz-
by 2, zaÅ› w miejsce y liczby  1.
Mamy: f(2,  1) = z(P) =  2  2Å" ( 1) + 6 = 6.
Ta funkcja w rozwa\
anym punkcie (lub dla tej pary argumentów) ma wartość 6.
Powstała w ten sposób trójka (2,  1, 6) jest punktem przestrzeni R3 (trójwymiarowej).
W ten sposób funkcja dwóch zmiennych tworzy trójki liczb, czyli punkty przestrzeni trójwy-
miarowej. Naszą trójkę oznaczymy przez M, a więc M (2,  1, 6). Zbiór wszystkich trójek
utworzonych przez funkcjÄ™, to jej wykres.
Jak wiemy równanie z =  x  2y + 6 jest równaniem płaszczyzny. Jest to wykres funk-
cji f(x, y) =  x  2y + 6.
Ogólnie
Niech Oxyz będzie prostokątnym układem współrzędnych w przestrzeni R3 oraz funk-
cja dwóch zmiennych z = f(x, y) będzie określona w pewnym zbiorze płaskim D.
PrzyporzÄ…dkujmy ka\
demu punktowi
(x, y) " D punkt przestrzeni o współrzęd-
nych (x, y, f(x,y)). Zbiór tych punktów
nazywamy wykresem funkcji z = f(x, y).
Jest nim na ogół pewna powierzchnia.
Równanie z = f(x, y) o trzech niewiado-
mych x, y z nazywamy wówczas równa-
niem tej powierzchni.
Jeśli ustalimy wartość x = x0 i wez
miemy funkcję z = f(x0, y), to jej wykresem będzie
krzywa MN, wzdłu\
której płaszczyzna x = x0 przecina powierzchnię o równaniu
z = f(x, y). Podobnie wykresem funkcji z = f(x, y0), gdzie y0 jest pewnÄ… liczbÄ…, jest krzywa
KL, wzdłu\
której płaszczyzna y = y0 przecina powierzchnię o równaniu z = f(x, y). Krzywe
te przedstawia rysunek powy\
ej.
Przykłady
3. Dana jest funkcja określona wzorem f(x, y) =  x2  2y2 + 10.
Z funkcjÄ… f mo\
na związać dwie funkcje z = f(x0, y), z = f(x, y0), gdzie x0, y0 są kon-
kretnie danymi liczbami.
Na przykład, gdy x0 = -3 , y0 = 2 mamy z = f(-3, y) = 1 2y2 , z = f(x, 2) = 2  x2.
Wykresem funkcji f jest paraboloida eliptyczna o równaniu z =  x2  2y2 + 10.
Wykresem funkcji f(-3, y) = 1 2y2 jest parabola o równaniu z = 1 2y2 poło\
ona w
płaszczyz
nie o równaniu x = -3 zaś wykresem funkcji f(x, 2) = 2  x2 jest parabola o równa-
niu z = 2  x2 poło\
ona w płaszczyz
nie o równaniu y = 2.
4. Przykładem funkcji dwóch zmiennych jest funk-
cja liniowa (na zmiennych x oraz y mo\
na wyko-
nać jedynie mno\
enie przez liczbÄ™ i dodawanie)
postaci: z = ax + by + c.
Jej wykresem w układzie współrzędnych
Oxyz jest płaszczyzna.
Na rysunku obok mamy część płaszczyzny będącej
wykresem funkcji f(x, y) =  x  2y + 6.
Przy a = 0 i b = 0 funkcja z = ax + by + c,
przyjmuje postać: z = c i nazywa się funkcją
stałą, a jej wykresem jest płaszczyzna po-
zioma (równoległa do płaszczyzny Oxy)
przecinajÄ…ca oÅ› Oz w punkcie c (zob. rys.)
Warstwice (poziomice), plan warstwicowy powierzchni
Niech wykresem (obrazem geometrycznym) funkcji z = f(x, y) będzie pewna po-
wierzchnia. Tę powierzchnię przecinamy rodziną płaszczyzn o równaniach z = h (równole-
głych do płaszczyzny Oxy). Otrzymane przekroje są pewnymi krzywe kh, le\
Ä…cymi na tych
poziomych płaszczyznach.
Krzywe te rzutujemy prostopadle na płaszczyznę Oxy; na płaszczyz
nie Oxy otrzymu-
jemy rodzinÄ™ krzywych nazywanych poziomicami (warstwicami, izokwantami) funkcji
z = f(x, y). Przez ka\
dy punkt dziedziny funkcji przechodzi tylko jedna warstwica.
z = f (x, y)
Å„Å‚
Krzywą kh opisuje układ równań ; wszystkie warstwice (izokwanty) wy-
òÅ‚
z = h
ół
znacza równanie f(x, y) = h z parametrem h. Nadając parametrowi h konkretną wartość licz-
bową, otrzymamy konkretną izokwantę, czyli krzywą na płaszczyz
nie Oxy . KrzywÄ… tÄ™
oznaczymy zh. W ka\
dym punkcie warstwicy funkcja z = f(x, y) ma tę samą wartość.
Zatem poziomica (izokwanta) jest
krzywą, na której funkcja (opisywana
wielkość) ma ustaloną wartość. Obrazowo
tę sytuację opisuje Z. Dulewicz mówiąc,
\
e  ludzik" chodzÄ…c po izokwancie i pa-
trząc pionowo w górę widzi punkty po-
wierzchni na tej samej wysokości h; zob.
rysunek.
Zbiór warstwic danej powierzchni, odpowiadających dowolnemu skończonemu ciągowi
liczb h1, h2, & , hn nale\
Ä…cych do dziedziny funkcji nazywa siÄ™ planem warstwicowym tej
powierzchni. Mapa topograficzna pewnego terenu jest planem warstwicowym wysokości
punktu ponad poziom morza jako funkcji długości i szerokości geograficznej tego punktu.
Przykłady
5. Dana jest funkcja określona wzorem z = 3x + 4y  5. Jest to funkcja liniowa
dwóch zmiennych. Jej wykresem jest płaszczyzna o równaniu 3x +4y  z  5.
Poziomice funkcji z = 3x + 4y  5
opisuje układ równań
3x + 4y  5 = h, z = h , gdzie h " R.
Ka\
da poziomica jest prostą zh o równaniu
3x + 4y = m, gdzie m = h +5. Geome-
trycznie plan warstwicowy tej powierzchni
to rodzina prostych równoległych.
x2 y2
6. Dana jest funkcja f określona wzorem z = 1- - . Jej dziedziną jest zbiór punktów
4 9
x2 y2
płaszczyzny Oxy, których współrzędne spełniają warunek + d" 1. Jest to zbiór punktów
4 9
ograniczonych elipsą o osiach 4 i 6 (rys.). Wykresem funkcji f jest  górna część powierzchni
x2 y2 z2
elipsoidy o równaniu + + = 1.
4 9 1
X-Axis
x2 y2
Plan warstwicowy tej powierzchni to rodzina krzywych o równaniach 1- - = h,
4 9
h e" 0 - parametr.
Przyjmując za h kolejno liczby, np. 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 otrzymamy rodzinę elips o rów-
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
naniach: + = 1; + = 0,92 ; + = 0,84 ; + = 0,64 ; + = 0,36
4 9 4 9 4 9 4 9 4 9
Zadania
Dane sÄ… funkcje: a) f(x,y) = 4y  5x + 7, b) f(x,y) = x2 + y2 - 9 , c) f(x,y) = xy ,
log2 (3x + 5y - 7)
d) f(x,y) = ln(3x -5y+8), e) f(x,y) = x2 + 3x - y -10 , f) f(x,y) = .
2x - y +1
Dla ka\
dej z tych funkcji:
1) Wyznacz dziedzinę oraz przedstaw ją na płaszczyz
nie Oxy.
2) Oblicz wartość w punkcie A(0,0), B(1,-1), C(2,1), D(-2,-3), o ile ten punkt nale\
y do
dziedziny funkcji.
3) Wyznacz równanie krzywej, którą otrzymamy przecinając wykres funkcji płaszczyzną
o równaniu: a) x = 2, b) y = 0.
4) Wska\
3 punkty dziedziny, w których wartość funkcji wynosi 0.
5) Wyznacz równanie poziomicy opisującej te punkty wykresu funkcji, dla których jej
wartość jest stale równa 0; stale równa 1 (pomiń przykład f)); stale równa 2 (pomiń
przykład f)).
6) Wyznacz poziomicÄ™ przechodzÄ…cÄ… przez punkt A (2,-1), B(-1, 0), C(1,1), o ile ten
punkt nale\
y do dziedziny funkcji.