I Całka nieoznaczona
Funkcja pierwotna.
Jeżeli funkcja f (x) jest określona i ciągłą w przedziale otwartym (�a,b)� to każdą funkcję
'
F(x) taką, że F (x) =� f (x) dla x ��(�a,b)� nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji f (x) .
3
x x3 x3 x3
np. jeżeli f (x) =� x2 to F(x) =� , F(x) =� +� 1, F(x) =� -� 10, F(x) =� +� C gdyż pochodna
3 3 3 3
każdej z tych funkcji jest równa x2 .
Funkcje pierwotne danej funkcji f (x) .
Jeżeli funkcje F(x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi dla danej funkcji f (x) to istnieje ta-
ka stała C, że G(x) =� F(x) +� C .
Całka nieoznaczona funkcji f (x) .
Zbiór wszystkich funkcji postaci F(x) +� C , gdzie F(x) jest pewną funkcją pierwotną dla
funkcji f (x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f (x) i oznaczamy symbolem f (x)dx zatem
��
f (x)dx =� F(x) +� C gdzie F(x) jest pewną funkcją pierwotną funkcji f (x)
��
Dwa podstawowe wzory rachunku całkowego.
(1) (� f (x) +� g(x))�dx =� f (x)dx +� g(x)dx
�� �� ��
(2) cf (x)dx =� c f (x)dx
�� ��
Tablica całek podstawowych.
xr+�1 1
(1) xrdx =� +� C, r ą� -�1 (2) dx =� ln x +� C
�� ��
r +�1 x
(3) xdx =� -� cos x +� C (4) cos xdx =� sin x +� C
��sin ��
1 1
(5) dx =� -�ctg x +� C (6) dx =� tg x +� C
�� 2 ��
sin x cos2 x
1
ax
x x
(7) dx =� +� C (8) dx =� ex +� C
��a ��e
ln a
1 1
(9) dx =� arcsin x +� C (10)
�� ��1+� x2 dx =� arctg x +� C
1-� x2
Blok ćwiczeniowy 1. Podaj po trzy funkcje pierwotne dla funkcji:
a) f (x) =� 3
b) f (x) =� x
c) f (x) =� 10x
d) f (x) =� x3
1
e) f (x) =�
x2
f) f (x) =� x
Blok ćwiczeniowy 2.Oblicz całki nieoznaczone na podstawie tabeli całek
5
a) -� x3 +�1)dx
��(2x
b) x4 3 xdx
��
x2 +� x +�1
c) dx
��
x
x4 -�1
d) dx
��
x +�1
2
e) dx
��
x2
1
f) dx
��
2x
g) 2xdx
��cos
2
x2 +� x +� 3
h) (�tg2 x +�1)�dx i)
�� ��
x2 +�1
Metoda całkowania przez części
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym przedziale to
'
f (x) �� g'(x)dx =� f (x) �� g(x) -� f (x) �� g(x)
�� ��
PRZYKA
AD
'
f =� x
f =� 1
xcos xdx =� =� xsin x -� sin xdx =� xsin x +� cos x +� C
�� ��1��
g' =� cos x g =� sin x
Metoda całkowania przez podstawienie
Jeżeli funkcja x =� h(t) jest różniczkowalna to
f (x)dx =� f (h(t))h'(t)dt
�� ��
PRZYKA
AD
1 1
��(3 x -�1)5dx podstawiamy t =� x -�1obliczamy x =� 3t +� 3, dx =� (3t +� 3)'dt =� 3dt po podstawieniu
3
1 t6 1 1 1
5 5
mamy x -�1)5dx =� 3dt =� 3 dt =� 3 +� C =� t6 +� C =� ( x -�1)6 +� C
��(3 ��t ��t
6 2 2 3
Blok ćwiczeniowy 3.Obliczyć całki metodą całkowania przez części:
a) xsin xdx
��
b) xexdx
��
c) xdx
��ln
d)
��arcsinxdx
e) x2 cos xdx
��
3
ln x
f) dx
��
x
2
h) xdx
��sin
Blok ćwiczeniowy 4. Obliczyć całki metodą podstawiania stosując podane podstawienie
a) x(2x +� 5)4dx, t =� 2x +� 5
��
b)
��cos3xdx, t =� 3x
3
c) xdx, t =� cos x
��sin
1 x
d) dx, t =�
��
4 +� x2 2
1 bx
e) dx, t =�
��
a
a2 -� b2x2
f) 1-� x2 dx, x =� sin t
��
4
II Całka oznaczona
1.Pomysł Archimedesa
Już Archimedes wiedział, że pole obszaru
1,2
ograniczonego przez parabolę y =� x2 dla
1
1
x �� 0,1 i oś Ox jest równe .Obliczył to
3
0,8
pole przybliżając je polami prostokątów o
2
0,6
1 k
ć� ��
podstawie i wysokości gdzie k= 1,
�� ��
n n
Ł� ł�
0,4
2, 3, ...,n (patrz rys.1 dla n =� 10 ). Pole poje-
0,2
1
dyńczego prostokąta o podstawie i wyso-
n
0
2 2
k 1 k k2
ć� ��
kości wynosi: ��ć� �� =� , suma pól
�� �� �� ��
Rys. 1 n n n n3
Ł� ł� Ł� ł�
12 +� 22 +� 32 +�...+� n2
wszystkich takich prostokątów, dla k = 1, 2, 3, ... , n jest równa: .
n3
Na lekcjach z indukcji matematycznej sprawdzaliście z pewnością wzór na sumę kwadratów n ko-
1
lejnych liczb naturalnych, wynosi ona mianowicie: 12 +� 22 +� 32 +� ...+� n2 =� n(n +�1)(2n +�1) . Po
6
podstawieniu do wyrażenia na sumę pól prostokątów i wymnożeniu nawiasów otrzymamy:
2n3 +� 3n2 +� n
. Archimedes zaobserwował, że dla dużych wartości n wartość tego wyrażenia nie-
6n3
1
wiele różni się od , wystarczy więc obliczyć jego granicę, gdy n �� Ą� . Wynosi ona:
3
3 1
2 +� +�
2n3 +� 3n2 +� n
n n2 2 +� 0 +� 0 1
lim =� lim =� =�
n��Ą� n��Ą�
6n3 6 6 3
5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
3� Blok ćwiczeniowy 5. Korzystając z pomysłu Archimedesa obliczyć pola obszarów ograniczo-
nych przez oś Ox i wykres fynkcji:
a) y =� x3 dla x �� 0,2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
, , , , , , , ,
2 4 6 8 2 4 6 8
Ry&
1
b) y =� dla x �� 1,2
x2
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Rys. 3
6
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
.2. Podejście Newtona Leibniza
Aby obliczyć pole P obszaru ograniczonego
przez wykres funkcji y =� f (x) dla x �� a,b i oś
Ox Newton rozpatrywał funkcję P(x) dla
x �� a.b równą polu obszaru ograniczonego
przez wykres funkcji y =� f (t) dla t �� a, x i oś
Ox (patrz rys. 4). Funkcja ta oprócz oczywistych
własności takich jak: P(a) =� 0 i P(b) =� P posia-
da bardzo ważną własność znaną jako Twierdze-
nie Newtona-Leibniza.
Twierdzenie Newtona Leibniza. Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła i nieujemna w przedziale do-
mkniętym a,b to funkcja P(x) jest różniczkowalna w tym przedziale i jest funkcją pierwotną
funkcji f (x) w przedziale a,b tzn. P' (x) =� f (x).
"�
x�� a,b
Niech F(x) będzie dowolną funkcją pierwotna funkcji f (x) z poprzedniego rozdziału wiemy, że
dwie funkcje pierwotne tej samej funkcji f (x) różnią się o pewną stałą liczbową C tzn.
P(x) =� F(x) +� C . Obliczmy więc tę stałą. Wiemy, że P(a) =� 0 , po podstawieniu otrzymamy:
0 =� F(a) +� C , stąd C =� -�F(a) , po podstawieniu: P(x) =� F(x) -� F(a) . Możemy teraz łatwo obli-
czyć pole P naszego obszaru: P= P(b) =� F(b) -� F(a) gdzie F(x) jest dowolną funkcją pierwotną
funkcji f (x) .
Definicja całki oznaczonej. Całką oznaczoną funkcji f (x) w przedziale a,b nazywamy różnicę
b
F(b) -� F(a) i oznaczamy symbolem f (x)dx . Mamy więc równość:
��
a
b
(2.1) f (x)dx =� F(b) -� F(a)
��
a
7
f (x) nazywamy funkcją podcałkową, a.b - przedział całkowania, a  dolna granica całkowania,
b  górna granica całkowania. Różnicę F(b) -� F(a) zapisujemy często przy użyciu symbolu:
b
F(x) .
a
Blok ćwiczeniowy 6.
1. Obliczyć całki oznaczone:
1
1
1 1 1 1
a) x2dx =� x3 =� 13 -� 03 =�
��
3 3 3 3
0 0
e
e
1 1
b) dx =� ln x =� ln e -� ln =� 1-� (�-�1)� =� 2
1
��
x e
e
1
e
4
c) xdx =�
��
1
2
1
ć� ��dx =�
d) x2 +�
��
����
x4
Ł� ł�
1
1
dx
e) =�
��
4 -� 4x2
0
3 x
3
f) dx =�
��e
0
3
x3 -� 3x2 +� 6
g) dx =�
��
x2
1
p�
4
h) 4xdx =�
��sin
0
e
i) x ln xdx =�
��
1
Pole obszaru
8
Jeżeli funkcja f (x) jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale a,b to jak wynika z defi-
b
nicji, całka f (x)dx jest polem P obszaru będącego zbiorem punktów (�x, y)� płaszczyzny, których
��
a
współrzędne spełniają nierówności: a Ł� x Ł� b i 0 Ł� y Ł� f (x) .(patrz rys. 4)
b
(2.2) P =� f (x)dx
��
a
Jeżeli funkcja f (x) jest funkcją ciągłą i niedo-
datnia w przedziale a,b to pole P obszaru bę-
dącego zbiorem punktów (�x, y)� płaszczyzny,
których współrzędne spełniają nierówności:
a Ł� x Ł� b i f (x) Ł� y Ł� 0 .(patrz rys. 5) jest rów-
b b
ne: f (x))dx =� -� f (x)dx tzn.
��(-� ��
a a
b
(2.3) P =� -� f (x)dx
��
a
Rys.5
Ze wzorów (2.2) i (2.3) wynika, że jeżeli g(x) i f (x) są ciągłe w przedziale a,b i g(x) Ł� f (x)
dla każdego x �� a,b to pole P obszaru będącego zbiorem punktów (�x, y)� płaszczyzny, których
współrzędne spełniają nierówności: a Ł� x Ł� b i g(x) Ł� y Ł� f (x) .(patrz rys. 6) jest równe
b
��(� f (x) -� g(x))�dx , tzn.
a
b
(2.4) P =� f (x) -� g(x))�dx
��(�
a
Przykład. Obliczyć pole obszaru ograniczonego
2
liniami y =� sin x i y =� x . Przyjmujemy za
p�
9
p� 2
a =� 0 , b =� , f (x) =� sin x i g(x) =� x dla x �� a,b mamy g(x) Ł� f (x) . Korzystając ze wzoru
2 p�
(2.4) obliczamy pole P:
p� p� p�
2 2 2
2 2
ć�
P= x -� x��dx =� xdx -� xdx =�
��
����sin ��sin ��p�
p�
Ł� ł�
0 0 0
korzystając z tablicy całek podstawowych obliczamy dalej:
2
ć� �� 2
p�
ć� ��
p�
p�
�� ��
ć� �� �� ��
2
p�
�� ��
2 x2 2 p� 2 �� 2 02 �� 2 p� p�
Ł� ł�
4
2
P =� -� cos x -� =� -�cos -� (-� cos0) -� -� =� 0 +�1 -� =� 1-� =� 1-�
�� ��
�� ��
0
p� 2 2 p� 2 2 p� 2 4p� 4
�� ��
0
�� ��
Ł� ł�
�� ��
Ł� ł�
4 -p�
Ostatecznie pole P =� .
4
Blok ćwiczeniowy7.
Obliczyć pole obszaru ograniczone liniami:
a) y =� 4 -� x2, y =� 0
b) xy =� 4, x =� 1, x =� 4, y =� 0
c) y =� x2, y =� 2 -� x2
d) y =� ln x, x =� e, y =� 0
e) y =� x2 +� 4x, y =� x +� 4
1
f) y =� x �� ln x, x =� , x =� e, y =� 0
e
1
g) y =� 2, y =� x2, y =� 4
4
10
3. Podejście Riemanna
Aby obliczyć pole obszaru ograniczonego
przez wykres funkcji y =� f (x) dla x �� a,b i
oś Ox . Riemann uogólnił pomysł Archimedesa
nadając mu przy tym ścisły sens matematyczny.
Zasadnicze wyniki podejścia Riemana można
streścić jak w poniższych punktach:
�� punkty a =� c0 <� c1 <� ...ck -�1 <� ck <� ...cn =� b
wyznaczają podział przedziału a.b na n
niekoniecznie równych części, takich jed-
nak aby długość najdłuższego z tych przedziałów była zbieżna do 0 gdy n �� Ą�
�� w każdym przedziale ck -�1,ck wybieramy dowolne xk i wyznaczamy wartość f (xk ) , ozna-
czając dodatkowo długość przedziału ck -�1,ck przez D�xk tworzymy sumę:
sn =� f (�x1)��� D�x1 +� f (�x2 )��� D�x2 +� ... +� f (�xn )��� D�xn =�
n
=� f (�xk )��� D�xk zwaną n-tą sumą całkową funkcji w a.b .
��
k =�1
�� Jeżeli dla każdego ciągu podziałów przedziału a.b ciąg sum całkowych sn jest zbieżny do tej
samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktów xk to granicę tę nazywamy całką
b
Riemanna funkcji f(x) w przedziale a.b i oznaczamy symbolem R f (x)dx mamy zatem:
��
a
b
R f (x)dx =� lim sn
��
n��Ą�
a
Twierdzenie Riemanna Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym a,b , to istnieje
całka Riemanna funkcji f(x) w tym przedziale i jest ona równa całce oznaczonej funkcji f(x) w prze-
dziale a.b .
b b
R f (x)dx =� f (x)dx
�� ��
a a
11
Zastosowanie całki Riemanna
1). Objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu figury ograniczonej przez wykres funkcji
y =� f (x) dla x �� a,b i oś Ox .
Dla podziału odcinka a,b wyznaczonego przez punkty x1, x2 ,..., xn (n=5 na rys. 8) przybliżamy
objętość bryły obrotowej objętościami walców o promieniu f (xi ) i wysokości D�xi tworząc sumę
2 2
całkową Sn =� p�f (x1 )D�x1 +� ... +� p�f (xn )D�xn
granica tej sumy gdy n �� Ą� jest równa całce
2
oznaczonej funkcji p�f (x) w przedziale a,b
Z drugiej strony granica ta jest równa objętości
opisanej bryły obrotowej. Mamy więc wzór:
b
2
V =� p� f (x)dx
��
a
Przykład. Obliczyć objętość stożka obrotowego o promieniu r i wysokości h. Tworząca stożka mo-
r
że być zawarta w wykresie funkcji liniowej f (x) =� x dla x �� 0, h . Należy obliczyć więc całkę
h
h
2
h
2 2
ć�
r r2 h r x3 �� r h3 1
ć� ��
2
�� ��
V =� p� x dx =� p� x2dx =� p� =� p� �� =� p�r h
���� h �� 2 �� 2
�� ��
h h 3 h2 3 3
Ł� ł�
0 0
0
Ł� ł�
Blok ćwiczeniowy 8.
a) Oblicz objętość walca o promieniu r i wysokości h powstałego w wyniku obrotu tworzącej za-
wartej w wykresie funkcji f (x) =� r dla x �� (0,h) dokoła osi Ox
12
b) Obliczyć objętość stożka ściętego o promieniu r1 , r2 gdzie r1 >� r2 i wysokości h powstałego
r1 r2h
w wyniku obrotu tworzącej zawartej w wykresie funkcji f (x) =� x dla x �� ( ,h) dokoła
h r1
osi Ox .
c) Obliczyć objętość kuli o promieniu r powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji
f (x) =� r2 -� x2 dla x �� (-�r,r)
d) Obliczyć bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu figury zawartej pomiędzy parabolami
y =� x2 i y =� x
13