Zadania z teorii dystrybucji #1 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #1 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #1 2009/10
1. Przypomnijmy, że zbiór Cantora C składa się z liczb postaci
"

2µk
y = , µk " {0, 1}.
3k
k=1
Jako że każda liczba x " [0, 1] zapisuje się w postaci
"

µk
x = , µk " {0, 1},
2k
k=1
wzór

" "

µk 2µk
f =
2k 3k
k=1 k=1
definiuje funkcjÄ™ f : [0, 1] C ‚" [0, 1]. Pokaż, że jest ona Å›ciÅ›le rosnÄ…ca i że jej
odwrotna f-1 : C [0, 1] rozszerza się jednoznacznie do funkcji ciągłej g : [0, 1]
[0, 1] rosnącej na odcinku [0, 1]. Funkcję g nazywamy funkcją Lebesgue a. Pokaż,
że g (x) = 0 prawie wszędzie.

2. Niech Õ " Cc(Rd) i niech Õ(x) dx = 1. Dla n " N definiujemy Õn(x) = nÕ(nx).
Rd
Pokaż, że dla każdej funkcji f " L1 (Rd)
loc

a) |Õn f - f| 0 na każdym zwartym podzbiorze Rd,
K
b) Õn f(x) f(x) dla p.w. x " Rd,
c) Õn f(x) f(x) dla każdego punktu ciÄ…gÅ‚oÅ›ci x funkcji f.
3. Niech
Å„Å‚
1
òÅ‚
1- x 2
e- , x < 1,
Õ(x) =
ół
0, x 1.
Udowodnij, że Õ " D(Rd).
d(x,y)
4. Pokaż, że jeśli d jest metryką na X, to także d1(x, y) = jest metryką.
1+d(x,y)
5. Niech K ‚" Rd bÄ™dzie zbiorem zwartym. Sprawdz
, że
"

pk(Õ - È)
d(Õ, È) = 2-k
1 + pk(Õ - È)
k=0
jest metryką zupełną wyznaczającą topologię D(K).
6. Dany jest ciÄ…g funkcji Õk " D(K), gdzie K ‚" Rd jest ustalonym zbiorem zwartym.

Udowodnij, że istniejÄ… liczby ck > 0, takie że szereg ckÕk jest zbieżny w D(K).
k
Wskazówka: Rozważ c-1 = k2 maxj k pj(Õk).
k
(pg)
(pg)
(pg)
Zadania z teorii dystrybucji #2 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #2 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #2 2009/10
1. Oblicz pochodnÄ… dystrybucyjnÄ… dystrybucji Hilberta

Õ(x) dx
H(Õ) = lim .
µ0
|x| µ x
2. Pokaż, że dystrybucja Hilberta przedstawia się w postaci

Õ(x) - Õ(0) Õ(x) dx
H(Õ) = dx + .
|x| 1 x |x| 1 x
3. Niech  > -1. Oblicz pochodnÄ… dystrybucyjnÄ… funkcji
Å„Å‚
òÅ‚
x, x > 0,
f(x) =
ół
0, x 0.
4. Pokaż, że pochodna dystrybucyjna funkcji
Å„Å‚
òÅ‚
log x, x > 0,
f(x) =
ół
0, x 0.
wyraża się wzorem

1
Õ(x) - Õ(0) Õ(x) dx
f (Õ) = lim dx + .
µ0
µ x x>1 x
5. Oblicz pochodnÄ… dystrybucyjnÄ… "j log x na Rd.
6. Dana jest funcja ciągła x x -d-1 na &! = Rd \ {0}. Przedłuż tę funkcję do
dystrybucji u na Rd i oblicz pochodne czÄ…stkowe "ju w sensie dystrybucyjnym.
(pg)
(pg)
(pg)
Zadania z teorii dystrybucji #3 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #3 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #3 2009/10
1. Sprawdz
, że wzór
"

u(Õ) = (-1)ne|n|Õ(n)(n)
n=-"
definiuje dystrybucjÄ™.
2. Zbadaj, czy funkcjonał

(Õ(x) - Õ(0)) dx
u(Õ) = ,
R |x|3/2
jest dystrybucjÄ….
3. Dana jest lokanie całkowalna na &! = Rd \ {0} funkcja f spełniająca oszacowanie
|f(x)| C x -d-m
dla pewnego m > 0. Zdefiniuj dystrybucję u na Rd, taką że

u(Õ) = Õ(x)f(x) dx, Õ " D(&!).
4. Dany jest zbiór zwarty K zawarty w otwartym podzbiorze &! ‚" Rd. Pokaż, że
istnieje f " D(&!), taka że f(x) = 1 dla x " K.
5. Dany jest zbiór zwarty K ‚" Rn i jego pokrycie zbiorami otwartymi {Uj}N .
j=1
"
Udowodnij, że istnieje skończony ciąg funkcji fk " Cc (Rn), taki że dla każdego

k zachodzi inkluzja supp fk ‚" Uj dla pewnego j = j(k), a ponadto fk(x) = 1
k
dla x " K.
6. Mówimy, że rodzina funkcji {fą} na przestrzeni topologicznej X jest lokalnie skoń-
czona, jeśli dla każdego x " X istnieje otoczenie, w którym jedynie skończenie
wiele spośród funkcji fą nie znika całkowicie.
7. Dane jest pokrycie Rd zbiorami otwartymi {Uj}" . Udowodnij, że istnieje lokal-
j=1
nie skończony ciąg funkcji fk " D(Rd), taki że dla każdego k zachodzi inkluzja
"
supp fk ‚" Uj dla pewnego j = j(k), a ponadto fk(x) = 1 dla x " Rd.
k=1
8. Niech K ‚" &! ‚" Rn bÄ™dÄ… odpowiednio zwarty i otwarty. Pokaż, że przestrzeÅ„
D(K) z metrykÄ…
"

f - g (N)
d(f, g) = 2-k
1 + f - g (N)
k=1
jest zupełna.
9. Pokaż, że zbiory ograniczone w D(K) są warunkowo zwarte. Wywnioskuj stąd, że
topologia przestrzeni D(K) nie pochodzi od normy.
(pg)
(pg)
(pg)
Zadania z teorii dystrybucji #4 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #4 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #4 2009/10
1. Niech  " D (&!), f " C"(&!). Wyprowadz
wzór Leibniza


Ä…
DÄ…(f) = DÄ…-²f · D².
²
² Ä…
2. Przypomnij dowód twierdzenia Banacha-Steinhausa dla przestrzeni Frécheta.
3. Dany jest zbiór zwarty K ‚" &! ‚" Rn i ciÄ…g dystrybucji k o noÅ›nikach zawartych
w K. Pokaż, że jeśli ciąg k jest zbieżny w D (&!), to rzędy k są wspólnie ograni-
czone. Skorzystaj z twierdzenia Banacha-Steinhausa.
4. Pokaż, że

"

1
(Õ) = Õ(k) , Õ " D(0, "),
k
k=1
jest dystrybucją na (0, "), która nie ma przedłużenia do dystrybucji na R.
5. Niech  będzie dystrybucją na &!, taką że (f) 0 dla f 0. Udowodnij, że

(f) = fdµ
dla pewnej miary Radona na &!.
6. Dane sÄ…  " D (&!) i Õ " D(&!). Który z warunków a) (Õ) = 0 i b) Õ = 0
wynika z drugiego?

7. Niech Õ " D(Rn) bÄ™dzie ustalonÄ… funkcjÄ… o caÅ‚ce Õ = 1. Znajdz
dystrybucyjnÄ…
granicÄ™ ciÄ…gu Õk(x) = knÕ(kx).
8. Znajdz
pochodnÄ… dystrybucyjnÄ… funkcji charakterystycznej ÇA, gdzie a) A = [a, b],
b) A = (a, b), c) A = (0, ").
9. Pokaż, że wzór

f(x) - f(0) - f (x)
dx, f " D(R),
|x| 1 x2
definiuje dystrybucję rzędu 2.
10. Znajdz
dystrybucyjne pochodne Djf, gdzie f(x) = x|| na Rn.
11. Niech A = [-1, 1]2 ‚" R2. Znajdz
D1ÇA, D2ÇA oraz D1D2ÇA.
12. Pokaż, że granica dystrybucyjna ciągu miar Radona jest miarą Radona.
"
13. Dany jest zbieżny ciąg xn " R. Dla jakich ciągów ck wzór (f) = ckf(k)(xk)
k=1
definiuje dystrybucjÄ™?
14. Sprawdz
, że dla każdego 1 j n transformata Riesza

xjf(x) dx
Rj(f) = lim
µ0
|x| µ x n+1
jest dystrybucjÄ… na Rn.
15. Pokaż, że funkcja f " D(R) ma pierwotną g " D(R) wtedy i tylko wtedy, gdy

f(x) dx = 0.
R
16. Sprawdz
, że warunki a) (fx) = 0 dla x " Rn i b) Dj = 0 dla 1 j n są
równoważne dla dystrybucji  " D (Rn).
(pg)
(pg)
(pg)
Zadania z teorii dystrybucji #5 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #5 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #5 2009/10
1. Niech  " E ma noÅ›nik w domkniÄ™tej kuli jednostkowej K ‚" Rn. Pokaż, że
(f) = 0 dla f " C"(Rn) znikających na K. Wskaż inne zbiory o podobnej
wyjątkowej własności.

2. Niech ut(f) = f(x) tkeitx dx dla t > 0 i k " N. Pokaż, że limt" ut = 0 w sensie
R
dystrybucyjnym.

k
3. Niech vt(f) = t1/k f(x) eitx dx, gdzie t > 0 i k " N, k 2. Pokaż, że
R
limt" vt = ck´0 w sensie dystrybucyjnym.
4. Oblicz granice
1 1
lim , lim
·0+ ·0-
x + i· x + i·
w D (R).
5. Dana jest funkcja rosnÄ…ca f na R. Opisz jej pochodnÄ… dystrybucyjnÄ….
6. Niech f " Lloc(R). Pokaż, że

x+r x+r
1 1
lim f(y) dy = f(x), lim |f(y) - f(x)| dy = 0
r0+ r0+
r x r x
dla p.w. x " R.
7. Dana jest funkcja f : [0, 1] R, która a) jest ciągła, b) ma wahanie ograniczone.
Pokaż, że jeÅ›li f " AC(µ, 1) dla każdego 0 < µ < 1, to f " AC([0, 1]). Sprawdz
,
że każdy z warunków a) i b) jest istotny.
8. Udowodnij, że jeśli F " AC, to także |F |p " AC dla p 1, ale niekoniecznie dla
0 < p < 1.

9. Sprawdz
, że xjf(¾) = -"jf(¾) i "jf(¾) = ¾jf(¾) dla f " S(Rn).
10. Udowodnij, że S(Rn) jest przestrzeniÄ… Frécheta.
11. Wykaż, że jeÅ›li Õ " C"(Rn) ma pochodne o wzroÅ›cie wielomianowym, to odwzo-
rowanie f Õf jest ciÄ…gÅ‚ym endomorfizmem S(Rn).
12. Wykaż, że odwzorowanie f Dąf jest ciągłym endomorfizmem S(Rn).
13. Wykaż, że transformata Fouriera jest topologicznym izomorfizmem S(Rn).
14. Znajdz
wartości własne transformaty Fouriera F na L2(Rn). W tym celu zauważ,
że F2 = -I.

15. Wyprowadz
wzór f ć% A-1(¾) = |A|f(A ¾) dla f " L1(Rn) i A " GL(n).
16. Zbuduj ciąg fk " D(Rn) zbieżny do zera w S(Rn), ale nie w D(Rn).
(pg)
(pg)
(pg)
Zadania z teorii dystrybucji #6 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #6 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #6 2009/10
1. Pokaż, że lokalnie całkowalna funkcja f(x) = ex cos(ex) wyznacza dystrybucję
temperowanÄ…, a funkcja g(x) = ex nie.
2. Zauważ, że nie każdy ciągły funkcjonał na D(Rd) ma ciągłe przedłużenie do S(Rd).
Czy nie przeczy to twierdzeniu Hahna-Banacha?
3. Zbuduj ciąg funkcji klasy D zbieżny do zera w S, ale rozbieżny w D.

4. Udowodnij lemat Riemanna: Jeśli f " L1(Rd), to f " C0(Rd).
5. Znajdz
wszystkie dystrybucje temperowane u " D(Rd), takie że Dju = 0 dla
1 j d. Wskazówka: Pokaż, że transformata Fouriera u ma nośnik w {0}.
"
6. Niech L : S(Rd) Ctemp(Rd) będzie odwzorowaniem liniowym, ciągłym i prze-
miennym z translacjami. Udowodnij, że istnieje dystrybucja temperowana u, taka
że Lf = f u dla f " S(Rn).
(pg)
(pg)
(pg)
Zadania z teorii dystrybucji #7 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #7 2009/10
Zadania z teorii dystrybucji #7 2009/10
1. Znajdz
wartości własne transformaty Fouriera jako operatora unitarnego na L2(Rd).

2. Dana jest niezerowa funkcja f " L1(Rd) i liczba  " C, taka że f = f. Co można
powiedzieć o liczbie ?
3. Niech bÄ™dzie dana funkcja caÅ‚kowita F : Cd C. JeÅ›li dla każdego µ > 0 istniejÄ…
N > 0 i ł > 0, takie że
|F (z)| Å‚(1 + |z|)Neµ| Im z|,
to F jest wielomianem.
4. Sprawdz
, że przy odpowiednio dobranej stałej C > 0 funkcja F (x) = C log |x| jest
rozwiÄ…zaniem fundamentalnym operatora laplace a na R2.
(pg)
(pg)
(pg)