WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 1
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Aodygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPRŻYSTOŚCI 6
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.1. Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia zachodzi wówczas, gdy w każdym punkcie
ośrodka na wszystkich płaszczyznach o tym samym wektorze normalnym
składowe wektora naprężenia na jednej z płaszczyzn (i=3) są równe zeru.
Jeśli przyjmiemy, że płaszczyzny te są prostopadłe do osi x3, to
naprężenia Ã3i sÄ… tak maÅ‚e, że można przyjąć je jako zerowe, a pozostaÅ‚e
składowe tensora naprężenia nie zależą od x3. Również składniki sił
masowych wewnętrznych p3 przyjmujemy jako zerowe. Przykładem
takiego stanu jest stan naprężenia w cienkiej tarczy obciążonej siłami
leżącymi w płaszczyznie tarczy i równomiernie rozłożonymi na jej
grubości (np. ściana budynku). Tensor naprężenia ma zatem postać:
Ã11 Ã12 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚Ã
Tà = à 0śł
(6.1)
21 22
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0ûÅ‚
ðÅ‚
Towarzyszący mu tensor odkształceń wygląda następująco:
µ11 µ12 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚µ śł
Tµ = µ22 0
(6.2)
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 µ33ûÅ‚
ðÅ‚
Niezerowa wartość µ33 wynika ze wzoru na odksztaÅ‚cenia towarzyszÄ…ce
naprężeniom:
½
µ33 = - (Ã11 +Ã )
(6.3)
22
E
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 2
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
KorzystajÄ…c z wzorów na Ãij (których w tym przypadku jest 3) i na µij
(których jest 4) otrzymamy układ 9 równań, z których po redukcji
niewiadomych można wyprowadzić wzory opisujące płaski stan
naprężenia w przemieszczeniach i w naprężeniach.
PSN w przemieszczeniach:
Dane są równania Lamego (dla 3D):
µ"2ui + ( + µ)Ń,i + pi = 0
(6.4)
oraz zwiÄ…zki fizyczne:
à = 2µµij + ´ijµkk
(6.5)
ij
i geometryczne:
1
µij = (ui, j + u )
(6.6)
j,i
2
Przyjmujemy i = j = 3 (Ã33 = 0)
2µ Å"u3,3 + (u1,1 + u2,2 + u3,3)= 0
(6.7)
Z tego:
u3,3 = - (u1,1 + u2,2)
(6.8)
+ 2µ
Dla: i = 1, j = 1 Ã13 = 0, µ13 = 0
i = 2, j = 3 Ã23 = 0, µ23 = 0
co oznacza, że
dla i = 1,2
ui,3 + u3,i = 0
(6.9)
ui,3 = -u3,i
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 3
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
(6.9) różniczkujemy po x3
ui,33 = -u3,i3 = -u3,3i
(6.10)
(6.8) różniczkujemy po xi
u3,3i = - (u1,1i + u2,2i)
(6.11)
+ 2µ
Po podstawieniu (6.10) do (6.11) otrzymamy:
2
ui,33 = Ń,i
(6.12)
+ 2µ
Gdzie:
2
Ń = µ11 + µ22 = u1,1 + u2,2
(6.13)
WprowadzajÄ…c operator Laplace a w przestrzeni dwuwymiarowej
"2 "2
"2 = +
(6.14)
2 2
"x1 "x2
Równanie Lamego można zapisać następująco:
2
µ("2ui + ui,33)+ ( + µ)(Ń,i + u3,3i)+ pi = 0
(6.15)
Po podstawieniu (6.10) i (6.11) do (6.15) uzyskamy:
öÅ‚
2 2 ìÅ‚
µ"2ui + µ +Ń,i + ( + µ)Ń,i + ( + µ)ëÅ‚- ÷Å‚ + pi = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
(6.16)
+ 2µ + 2µ
íÅ‚ Å‚Å‚
Czyli:
ëÅ‚ 2 öÅ‚ 1
"2ui + ìÅ‚1+ ÷łŃ,i + pi = 0
(6.17)
ìÅ‚ ÷Å‚
+ 2µ µ
íÅ‚ Å‚Å‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 4
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Wiemy, że
µ = G
2½ (6.18)
= G
1- 2½
Więc równanie (6.17) uzyskuje postać:
1+½ 1
"2ui + Ń,i2 + pi = 0, i =1,2
(6.19)
1-½ G
PSN w naprężeniach:
Równania dla stanu trójosiowego:
1 ½
"2Ã + S,ij = - ´ij pk ,k -(pi, j + p )
(6.20)
ij j,i
1+½ 1-½
Gdzie:
S = Ã = Ã11 +Ã +Ã
(6.21)
ii 22 33
Dla i = j mamy:
1 3½
"2S + S,kk = - ´pk ,k - 2 pk ,k
(6.22)
1+½ 1-½
Czyli
1+½
"2S = - pk ,k
(6.23)
1-½
Bo
S,kk = "2S
(6.24)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 5
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Dla i = j = 3
1 "2S ½ "p3
"2Ã + = - pk ,k - 2
(6.25)
33
2
1+½ "x3 1-½ "x3
Co wobec
à = 0
33
p3 = 0
(6.26)
"p3
= 0
"x3
Można zapisać:
"2S ½(1+½ )
= - pk ,k
(6.27)
2
"x3 1-½
Wprowadzmy oznaczenie
2
S = Ã11 +Ã12
(6.28)
Do równania (6.23) i połączmy je z (6.27)
"2S 1+½
2
"2S + = - pk ,k
(6.29)
2
"x3 1-½
Otrzymamy:
ëÅ‚- 1+½ ½(1+½ )÷Å‚ pk
öÅ‚
2
"2S = +
ìÅ‚ (6.30)
,k
1-½ 1-½
íÅ‚ Å‚Å‚
Czyli ostatecznie:
2
"2S = -(1+½ )pk ,k dla i, j =1,2
(6.31)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 6
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Po rozpisaniu równanie (6.31) przyjmie postać:
öÅ‚
"2(Ã11 +à )+ "2(Ã11 +à ) "p2 ÷Å‚
22 22
ìÅ‚
= -(1+½ )ëÅ‚ "p1 +
(6.32)
2 2
ìÅ‚
"x1 "x2 "x1 "x2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie (6.32) zawiera 2 niewiadome. Aby je wyznaczyć posługujemy się
dodatkowo równaniami równowagi Naviera
à + pi = 0
ji, j
(6.33)
à = Ã
ij ji
które po rozpisaniu przyjmują postać
"Ã11 "Ã
21
+ + p1 = 0
"x1 "x2
(6.34)
"Ã12 "Ã
22
+ + p2 = 0
"x1 "x2
Ostatecznie mamy ukÅ‚ad 3 równaÅ„ z 3 niewiadomymi Ã11, Ã12 i Ã22.
6.2. Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia zachodzi wówczas, gdy w każdym punkcie ośrodka
ciÄ…gÅ‚ego µi3 = 0, a pozostaÅ‚e współrzÄ™dne tensora odksztaÅ‚cenia zależą tylko od
zmiennych x1 i x2. Tensor opisujący taki stan ma tylko 4 składowe:
µ11 µ12 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚µ
Tµ = µ22 0śł
(6.35)
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0ûÅ‚
ðÅ‚
Tensor naprężenia przybiera natomiast postać:
Ã11 Ã12 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïłà śł
TÃ = Ã 0
(6.36)
21 22
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 Ã
ðÅ‚ 33 ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 7
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Ã33 `" 0 wynika z przeksztaÅ‚cenia wzoru na odksztaÅ‚cenia towarzyszÄ…ce
naprężeniom:
1
µ33 = [Ã -½(Ã11 +Ã )]
33 22
E
(6.37)
µ33 = 0
à =½(Ã11 +à )
33 22
W takim stanie odkształcenia znajduje się np. zapora wodna, w której jeden
wymiar jest zdecydowanie większy od pozostałych i obciążenie skierowane jest
prostopadle do tego wymiaru
Rys. 1. Zapora wodna jako przykład płaskiego stanu odkształcenia
Równania równowagi dla PSO w przemieszczeniach:
Wykorzystamy wprost równania Lamego pomijając trzecie równanie (i = 3)
(wobec µ33 = 0 przyjmujemy, że u3 = 0) oraz zakÅ‚adamy, że u1 i u2 sÄ… funkcjami
zmiennych x1 i x2 i nie zależą od x3. Otrzymamy:
1 1
2
"2ui + Ń,i + pi = 0 i =1,2
(6.38)
1- 2½ G
Równania równowagi dla PSO w naprężeniach:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 8
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Równania Beltramiego Mitchela dla i = j = 3 (p3 = 0):
1 "2S ½
"2Ã = - - pk ,k
(6.39)
33
2
1+½ "x3 1-½
2
"2S = "2(Ã11 +Ã )+ "2Ã = "2S + "2Ã
22 33 33
(6.40)
"2
2 2
"2S = "2S + (Ã11 +Ã )
22
2
"x3
Z zależnoÅ›ci µ33 = 0 otrzymujemy
2
à =½(Ã11 +à )=½S
(6.41)
33 22
Równanie (6.23); po podstawieniu do niego (6.39) i (6.40) przyjmie postać:
"2 1 "2
2
"2S + (Ã11 +Ã )- [Ã11 +Ã +½(Ã11 +Ã )]-
22 22 22
2 2
"x3 1+½ "x3
(6.42)
½ 1+½
- = - pk ,k
1-½ 1-½
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy:
1
2
"2S = - pk ,k
1-½
(6.43)
"p1 "p2
pk ,k = +
"x1 "x2
Uogólniony płaski stan odkształcenia:
"u3
µ33 = = 0
"x3
(6.44)
u3 = u3(x1, x2 ) `" 0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 9
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.3. Algorytm rozwiązywania zadań w płaskim stanie w teorii
sprężystości
W naprężeniach:
1)
2
"2S = -(1+½ )pk ,k
(6.45)
Równania Naviera:
2)
"Ã11 "Ã
21
+ + p1 = 0
(6.46)
"x1 "x2
3)
"Ã12 "Ã
22
+ + p2 = 0
(6.47)
"x1 "x2
ZwiÄ…zki fizyczne:
4)
1
µ11 = (Ã11 -½Ã )
22
E
1
µ22 = (à -½Ã11)
22
E
(6.48)
½
µ33 = - (Ã11 +Ã )
22
E
Ã
ij
µij = dla i `" j
2G
ZnajÄ…c µij wyznaczymy ui ze wzoru:
1
µij = (ui, j + u )
(6.49)
j,i
2
Następnie stwórzmy macierz fizyczną:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 10
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
1 ½ 0
îÅ‚ Å‚Å‚
E
ïÅ‚½ śł
D = Å" 1 0
(6.50)
2
ïÅ‚ śł
1-½
ïÅ‚
ðÅ‚0 0 1-½ śł
ûÅ‚
Wyznaczmy macierz odwrotnÄ… do niej:
1
îÅ‚ -½ 0
Å‚Å‚
1
ïÅ‚-½ 1 0 śł
D-1 = Å"
(6.51)
ïÅ‚ śł
E
ïÅ‚ śł
0 0 1-½
ðÅ‚ ûÅ‚
Naprężenia można wyrazić wzorem:
à = DÅ"µ (6.52)
Natomiast odkształcenia:
(6.53)
µ = D-1 Å"Ã
W odkształceniach:
1)
1
2
"2S = - pk ,k
(6.54)
1-½
2)
"Ã11 "Ã
21
+ + p1 = 0
(6.55)
"x1 "x2
3)
"Ã12 "Ã
22
+ + p2 = 0
(6.56)
"x1 "x2
à =½(Ã11 +à )
(6.57)
33 22
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 11
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
4) ZwiÄ…zki fizyczne
1+½
µ11 = [(1-½ )Ã11 -½Ã ]
22
E
1+½
µ22 = [(1-½ )à -½Ã11]
22
E
(6.58)
µ33 = 0
Ã
ij
µij = dla i `" j
2G
Macierz fizyczna:
1-½ ½ 0
îÅ‚ Å‚Å‚
E
ïÅ‚ śł
D =
(6.59)
(1+½ )(1- 2½ )Å" ïÅ‚ ½ -½1 0 śł
ïÅ‚ śł
0 0 1- 2½
ðÅ‚ ûÅ‚
Macierz odwrotna:
1-½
îÅ‚ -½ 0
Å‚Å‚
1+½
ïÅ‚
D-1 = Å" -½ 1-½ 0śł
(6.60)
ïÅ‚ śł
E
ïÅ‚ śł
0 0 1ûÅ‚
ðÅ‚
Naprężenia można wyrazić wzorem:
à = DÅ"µ (6.61)
Natomiast odkształcenia:
(6.62)
µ = D-1 Å"Ã
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 12
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.4. Zasada de Saint-Venanta:
Aby rozwiązać równania różniczkowe teorii sprężystości musimy mieć warunki
brzegowe wyrażone w µ, à i u. W praktycznych zadaniach warunki brzegowe
często określa siła skupiona. Aby przejść od siły do naprężeń stosujemy zasadę
de Saint-Venanta, która brzmi następująco:
Jeśli dany układ sił działających na niewielki obszar ciała sprężystego
(będącego w stanie równowagi) zastąpimy innym układem statycznie
równoważnym i działającym bezpośrednio na ten obszar, to w odległości od
obszaru przewyższającej znacznie jego rozmiary powstają jednakowe stany
naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia.
à =
Rys.2. Ilustracja graficzna zasady de Saint-Venanta
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 13
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
6.5. Rozwiązywanie zadań płaskich teorii sprężystości
Funkcja naprężeń Airy ego
Rozwiążmy równanie jednorodne (postać ta jest identyczna dla PSN i PSO)
2 (6.63)
"2S = 0
Przyjmijmy oznaczenia:
Ã11 = Ãx, Ã22 = Ãy, Ã12 = Ã21 = Äxy = Äyx
Rys. 3. Obciążenia masowe działające na ciało
Rozważamy ciało obciążone tylko siłami masowymi (p1 = 0, p2 = -g, )
znak - wynika z przeciwnego zwrotu sił masowych w stosunku do osi y
Szukamy: Ãx, Ãy, Äxy
Załóżmy istnienie funkcji F(x,y), takiej, że:
"2F "2F "2F
à = , à = , Ä = - + gx
(6.64)
x
"y2 y "x2 xy "x"y
Funkcja ta musi spełniać warunki równań podane w PSN
"2(Ã +Ã )+ "2(Ã +Ã )= -(1+½ )pk
x y x y
2
"2S =
(6.65)
,k
"x2 "y2
Oraz podane w PSO:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 14
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
"2(Ã +Ã )+ "2(Ã +Ã )= - pk
1
x y x y
2
"2S =
(6.66)
,k
"x2 "y2 1-½
Aby obydwa warunki były spełnione jednocześnie musi zachodzić:
"p1 "p2 "p1 "p2
pk ,k = + = + = 0
(6.67)
"x1 "x2 "x "y
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
"2 "2 ÷Å‚ìÅ‚ "2F "2F
÷Å‚
ìÅ‚ + + = "4F = 0
(6.68)
ìÅ‚
"x2 "y2 ÷Å‚ìÅ‚ "x2 "y2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie (6.68) oznacza, że funkcja F(x,y) jest funkcją biharmoniczną.
Warunki równowagi:
"Ä
"Ã
xy
x
+ + 0 = 0
"x "y
(6.69)
"Ä "Ã
xy y
+ +(- g)= 0
"x "y
PodstawiajÄ…c (6.64) do (6.69) otrzymamy:
ëÅ‚ öÅ‚
"3F "3F
÷Å‚
+ ìÅ‚- + 0÷Å‚ = 0
ìÅ‚
"x"y "x"y2 Å‚Å‚
íÅ‚
(6.70)
"3F "3F
- + g + - g = 0
"x2"y "x2"y
Z powyższego widać, że wszystkie warunki są spełnione.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 15
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
Przykład zastosowania funkcji Air ego
Rys. 4. Płaska tarcza z określonymi warunkami brzegowymi ilustracja zadania
Naszym zadaniem jest określić stan naprężenia w dowolnym punkcie tarczy.
RozwiÄ…zanie:
Przyjmiemy funkcje F(x,y) w postaci:
F(x, y)= Ax2 + Bxy + Cy2 (6.71)
Funkcja jest biharmoniczna, więc spełnia warunki PSN i PSO.
Wyznaczmy naprężenia:
"2F
à = = 2C
x
"y2
"2F
à = = 2A (6.72)
y
"x2
"2F
Ä = - + gx = -B + 0
xy
"x"y
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 16
PAASKIE ZADANIA TEORII SPRŻYSTOŚCI
gx = 0, jako że nie podano ciężaru tarczy.
Warunki brzegowe:
x = Ä…l Ò! Ã = px = 2C
x
px
C =
2
y = Ä…h Ò! Ã = py = 2A
y (6.73)
py
A =
2
B = -q
Po podstawieniu do równań (6.72) otrzymamy ostateczny wynik wzory na
naprężenia w dowolnym punkcie tarczy:
à = px
x
à = py
y (6.74)
Ä = q
xy
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wykl teoria sprezystosci teoria plyt cienkosciennychwykl teoria sprezystosci teoria cienkich plyt i powlokwykl teoria sprezystosci wprowadzeniewykl teoria sprezystosci teoria plastycznosciwykl teoria sprezystosci stan odksztalceniaZadania teoria sprezystosci 1Prezentacja Teoria Sprężystości i PlastycznościTeoria Sprężystości i Plastyczności (1)Teoria Sprężystości i Plastyczności (1)Sprawozdanie teoria sprężystościTeoria Dystrybucji Glowacki Zadania p7Teoria sprężystości i plastycznościwięcej podobnych podstron