WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 1
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam A
odygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI 12
PLASTYCZNOŚĆ
Wykład 12 z 15.05.2003. obejmujący zagadnienie teorii cienkich płyt i powłok.
12.1. Teoria cienkich płyt i powłok.
Płyta jest to płaski dz
wigar powierzchniowy, którego grubość jest stała i
mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami płyty. Teorię płyt cienkich o
małym ugięciu możemy porównać do teorii zginania belek. Ugięcie płyty jest
jednak opisane niejednorodnym równaniem biharmonicznym, które
powszechnie występuje w teorii sprężystości.
Płyta cienka to taka, której wysokość (grubość) jest:
1
a) < wymiaru krótszego boku:
10
1
b) < średnicy (dla płyt okrągłych)
5
Płyty cienkie spełniają hipotezy Kirhoffa:
1. Powierzchnia środkowa płyty nie doznaje żadnych wydłużeń ani
odkształceń postaciowych.
2. Punkty płyty położone na normalnej do odkształconej powierzchni
środkowej po odkształceniu leżą również na normalnej do odkształconej
powierzchni środkowej.
3. Naprężenia normalne prostopadłe do płaszczyzny płyty (�z) są małe w
porównaniu z pozostałymi naprężeniami i mogą być pominięte.
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 2
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
x1(x)
x2(y)
A
x3(z)
x
y
z
w=u3
�1 �1
A
�1
�1
Zajmujemy się tylko przemieszczeniami pionowymi - prostopadłymi do
płaszczyzny środkowej.
Przyjęliśmy założenie, iż � = � H" 0 .
33 z
dw
u1 = u = -ztg�1 H" -z�1;tg�1 =
dx
dw
u2 = v = -ztg�2 H" -z�2;tg�2 =
dy
dw dw
u = -z ;v = -z ; w = w
dx dy
Szukamy przemieszczenia w. Jest ono funkcją ugięcia płyty: w=w(x,y)
Przyjmijmy oznaczenia: �11 = � ;� = � ;�12 = �
x 22 y xy
1 "w "u
�13 = ( + )
2 "x "z
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 3
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
Ponieważ:
dw "u "w
u = -z ; = -
dx "z "x
1 "w "w
�13 = ( - ) = 0 �13 = 2��13 + �13� = 0
kk
2 "x "x
1 "w "v
� = ( + ) = 0 � = 2��23 + � � = 0
23 23 23 kk
2 "y "z
"u "2w
� = = -z
x
"x "x2
"v "2w
� = = -z
y
"y "y2
1 "u "v "2w
� = ( + ) = -z
xy
2 "y "x "x"y
1
� = [� -�(� + � )];� = 0
z z x y z
E
�
�33 = � = - (� + � )
z x y
E
E Ez "2w "2w
� = (� +�� ) = - ( +� )
x x y
2 2
1-� 1-� "x2 "y2
E Ez "2w "2w
� = (� +�� ) = - ( +� )
y y x
2 2
1-� 1-� "y2 "x2
E Ez "2w
� = � = -
xy xy
1+� 1+� "x"y
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 4
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
Sprawdzamy, czy spełnione są równania Naviera:
Przyjmujemy, że płyta jest nieważka (nie ma sił masowych).
"�
"� "�
yx
x zx
+ + = 0 (12.1.1.)
"x "y "z
Po podstawieniu do równania (12.1.) wyrażeń na �x i �xy otrzymamy:
�ł łł
"� Ez "3w "3w Ez "3w
zx
= +� +
�ł
2
"z 1-� "x3 "x"y2 śł 1+� "x"y2
�ł �ł
"� "� "�
xy y zy
+ + = 0
(12.1.2.)
"x "y "z
Po podstawieniu do równania (12.2.) wyrażeń na �y i �xy otrzymamy:
"�
�ł łł
Ez "3w "3w Ez "3w
zy
= +� +
�ł
2
"z 1-� "y3 "y"x2 śł 1+� "x"y2
�ł �ł
"�
"� "�
yz
xz z
+ + = 0 (12.1.3.)
"x "y "z
W celu wyznaczenia � oraz � całkujemy po z i dodajemy warunki
zx yz
h
brzegowe: z = ą � = 0
xz
2
E h2 "3w "3w
� = - ( - z2 )( + )
zx
2
2(1-� ) 2 "x3 "x"y2
E h2 "3w "3w
� = - ( - z2 )( + )
yz
2
2(1-� ) 2 "y3 "y"x2
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 5
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
Po podstawieniu � oraz � do trzeciego równania Nawiera, wyrażenie całku-
xz yz
jemy po z i wyznaczamy funkcję � , która ma postać:
z
E "4w "4w "4w
� = - (h3 - 3h2z + 4z3)( + 2 + )
z
2
24(1-� ) "x4 "x2"y2 "y4
E
� = - (h3 - 3h2z + 4z3)"4w
z
2
24(1-� )
Przyjmujemy warunki brzegowe:
h
� = -q; z = -
z
2
h
� = 0; z = +
z
2
Co daje nam równanie płyty:
q(x, y)
"4w(x.y) = ;gdzie
D
q(x,y)-obciążenie zewnętrzne
D-sztywność płyty na zginanie (sztywność giętna)
Eh3
D =
2
12(1-� )
Rozkład naprężeń na grubości płyty ma następujący charakter:
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 6
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
�x
�xy
�yx
�y
Naprężenia drugorzędne dla płyty (tzn. dostatecznie małe w porównaniu z naprę-
żeniami podstawowymi �x, �y i �xy i mogą być pominięte przy obliczaniu od-
kształceń):
�xz
�z
yz z
Siły wewnętrzne dla płyty wyrażają się wzorami:
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 7
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
h
+
2
�ł łł
"2w "2w
M = zdz = -D�ł +�
x x
+"�
"x2 "y2 śł
h �ł �ł
-
2
h
+
2
�ł łł
"2w "2w
M = zdz = -D�ł +�
y y
+"�
"y2 "x2 śł
h �ł �ł
-
2
h
+
2
"2w
M = M = zdz = (1-� )D
xy yx xy
+"�
"x"y
h
-
2
h
+
2
"3w "3w
Qyz = Qy = dz = -D( + )
yz
+"�
"y3 "x2"y
h
-
2
h
+
2
"3w "3w
Qxz = Qx = dz = -D( + )
xz
+"�
"x3 "x"y2
h
-
2
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 8
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
q
śx
�x
śy
�xy
�xz
�yx
�y
�yz
12.2. Warunki brzegowe płyt prostokątnych.
Rozwiązanie zadania w postaci funkcji ugięcia w(x,y) jest dostosowane
do spełnienia tylko dwóch warunków brzegowych.
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 9
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
II
x
I
y a
z
I. Brzeg całkowicie utwierdzony: x=0 ; 0d"yd"b.
I
w(0, y)= 0
"w
�(0, y)�! = 0 �! M = 0
xy
"x
0, y
II. Krawędz
przegubowo podparta: y=0 ; 0d"xd"a.
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
b
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 10
TEORIA CIENKICH PA
YT I POWA
OK
II
w(x,0)= 0
"2w "2w "2w "2w
M (x,0)= 0 �! +� = 0 = 0; = 0
y
"y2 "x2 "y2 "x2
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper