wykl teoria sprezystosci 01 wprowadzenie

WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 1
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam Aodygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPRŻYSTOŚCI 1
Teoria sprężystości jest działem mechaniki ośrodków ciągłych.
Jeżeli deformacja nie przekroczy pewnych granic to po usunięciu obciążenia ciało
wraca do poprzedniego stanu- SPRŻYSTOŚĆ.
Przy znacznych deformacjach usunięcie przyczyn nie prowadzi do znikania
odkształceń, powstają trwałe odkształcenia- PLASTYCZNE.
Matematyczna teoria sprężystości stara się wyjaśnić zmianę stanu mechanicznego i
geometrycznego w trakcie jego odkształcenia.
Teoria sprężystości określa wzajemne zależności między � (odkształceniem), �
(naprężeniem), u (przemieszczeniem), P (obciążeniem).
Związki między � a � są LINIOWE.
Podczas rozważań ciało traktować będziemy jako kontinuum materialne (brak szczelin):
"M (P) dM
�(P) = lim0 = (1.1)
"V
"V dV
Masę ciała traktować będziemy jako:
kg
�ł łł
M = �dV �
(1.2)
+" 3
�łm śł
�ł �ł
V
CIAAO JEDNORODNE - wszystkie wewnętrzne parametry stanu są niezależne od
położenia punktów
CIAAO IZOTROPOWE - własności ciała nie zależą od kierunku
Z ciała o objętości V wydzielamy obszar "V => dV (rys.1), na który działają siły
proporcjonalne do masy tzw. SIAY MASOWE (np. siły grawitacji, bezwładności,
oddziaływań elektromagnetycznych)
Rys. 1
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 2
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW

SIAY MASOWE inaczej SIAY OBJTOŚCIOWE p składowe pi gdzie i = 1,2,3

p = p dV
+"
(1.3)
pi = pidV
+"
V
Wpływy zewnętrzne określamy przez wpływy powierzchniowe- przyłożone do

powierzchni ciała. Wektor f (rys. 2)działający na elementarną powierzchnię określa
intensywność sił powierzchniowych.
Rys. 2

"F N
�ł łł
f = lim0 f
(1.4)
2
�łm śł
"�
"S
�ł �ł
STAN NAPRŻENIA (rys. 3)
GDZIE S = �
Rys. 3
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 3
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
Zapis wersorowy:

(n)
(1.5)
f = �11 �" e + �12 �" e + �13 �" e
1 2 3
Zapis ogólny:

(n)
(1.6)
f = � �" e i, j =1,2,3
i
j ij
Stan naprężenia w punkcie rozumiemy przez zbiór wszystkich naprężeń odpowiadający
wszystkim położeniom płaszczyzn przechodzących przez ten punkt.
Stan naprężenia określony jest jednoznacznie przez tensor- 9 składowych określa
składowe 3 wektorów naprężeń na 3 wzajemnie prostopadłych płaszczyznach.
KOSTKA NAPRŻEC obrazująca stan naprężeń w punkcie we
współrzędnych kartezjańskich (rys. 4): S = �
f(3)
f(2)
f(1)
Rys. 4
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 4
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
Tensor naprężeń:
�11 �12 �13
�ł łł
�ł� śł
T� = � �
(1.7)
21 22 23
�ł śł
�ł
31 32 33 �ł
�ł� � � śł
Znakowanie naprężeń � (rys. 5)
ij
i - kierunek normalnej do płaszczyzny
j - oś równoległa do naprężenia
n
Rys. 5
Pole "PAC = dA �" n2 (rys. 6)
f(n)
(3)
dAn
(2)
dAn
(1)
dAn
Rys. 6
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 5
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW

Długość wektora n (rys. 7)
n
Rys. 7

n = 1

(1.8)
ni = cos�ł n, xi �ł
�ł �ł
�ł łł

n = n1 �" e1+ n2 �" e2 + n3 �" e3

(n)
Współrzędne wektora naprężeń f (f1(n) , f2(n) , f3(n)) (rys. 8) w punkcie P na

płaszczyznie o normalnej n
Rys. 8
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 6
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
Poszukujemy związku między współrzędną tensora naprężenia � a składową wektora
ij
naprężenia fi(n) .
Wykorzystujemy równanie równowagi sił działających na czworościan np.
"x1
(n)
f �" dA - �11dA �" n1 - � dA �" n2 -� dA �" n3 = 0 /� dA
j 21 31
(1.9)
(n) (n)
f = � n (f = �1 jn1 + � n2 + � n3)
j ij j j 2 j 31
Korzystając z zapisu (1.9) otrzymujemy wzór określający naprężenie na dowolnym
elemencie powierzchniowym:
fi(n) = f
j
(1.10)
f = � n lub fi = � ni i, j = 1,2,3
j ij j ji
Po rozpisaniu powyższy wzór przyjmuje postać:
f1 = �11n1 + �12n2 + �13n3
f2 = � n1 + � n2 + � n3
(1.11)
21 22 32
f3 = � n1 + � n2 + � n3
31 32 33
W zapisie macierzowym powyższe zależności przedstawiają się następująco:
T
{f }= [� ] {n}
f1 �11 �12 �13 n1
�ł łł �ł łł ńł �ł
(1.12)
�łn �ł
�ł �ł� śł
gdzie{f }= f2 śł [� ]= � � {n}=
�ł żł
21 22 23 2
�ł śł �ł śł
�łn �ł
�ł śł �ł śł
f3 � �
�ł �ł �ł� 31 32 33 �ł ół 3 �ł
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 7
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
OBRÓT UKAADU WSPÓARZDNYCH
Badamy jak transformują się współrzędne tensora stanu naprężenia � przy przejściu z
ij
układu xi do nowego układu xi .
X3 X3
X3'
Xi'
f(n)
n
X2'
fj(i')
X2 Xi
X1 X1
X1'
Rys. 9
(i')
f = � �"ąi' �"ąi ąi'i = cos(xi ', xi )
(1.13)
j ij
(i')
Składowe f rzutujemy na osie układu (xi ) i otrzymujemy:
j
(i')
� = f �"ą (� = f1(i') �"ą + f2(i') �"ą + f3(i') �"ą )
(1.14)
i' j' j j' j i' j' j'1 j'2 j'3
Transformacja składowych stanu naprężeń
� = ąi'i �"ą �"�
(1.15)
i' j' j' j ij
Wzór ten wskazuje, że reprezentacja stanu naprężenia jest tensorem o walencji 2.
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 8
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
NAPRŻENIA GAÓWNE
Poszukujemy takiej powierzchni, aby działający na nią w punkcie P wektor naprężeń
pokrywał się co do kierunku z wektorem normalnej.
f3
n
f2
f1
Rys. 10
f = � = � �"�ij �" ni
j nj
f1 = � = � �"�11 �" n1 + �21 �" n2 + �31 �" n3
n1
(1.16)
f = �ij �" n
j j
(�ij -� �"�ij )�" ni = 0
Po rozpisaniu równania (1.16):
(�11
ńł - � )�" n1 + � �" n2 + � �" n3 = 0
21 31
�ł� �" n1 + -� n1 + � �" n3 = 0
(� )�"
�ł
21 22 23
�ł� �" n1 + � �" n2 + -� n3 = 0
(� )�" (1.17)
ół 31 32 33

n12 + n2 2 + n3 2 = 1 n = 1
Zależności (1.17) przedstawiają układ równań jednorodnych. Warunek istnienia
rozwiązania:
(� -� �"�ij )= 0
(1.18)
ij
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 9
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
Po rozwiązaniu wyznacznika:
3 2 1
� - I1� + I2� - I3 = 0 (1.19)
Gdzie I1, I2, I3 są niezmiennikami stanu naprężenia:
I1 = �11 + � + �
22 33
�11 �12 �11 �13 � �
22 23
I2 = det + det + det
� � � � � �
21 22 31 33 32 33
(1.20)
�11 �12 �13
I3 = det� � �
21 22 23
� � �
31 32 33
Pierwiastki równania (1.17) to naprężenia główne, które spełniają warunek
�1 > � > �
(1.21)
2 3
Każdemu naprężeniu głównemu odpowiada oś główna. Osie główne są do siebie
prostopadłe.
Tensor stanu naprężenia w układzie osi głównych i jego niezmienniki:
�11 0 0 I1 = �11 + � + �
�ł łł
22 33
�ł śł
[� ]= 0 � 0 I2 = �1 �"� + � �"� + �1 �"�
(1.22)
22 2 2 3 3
�ł śł
�ł śł
0 0 � I3 = �1 �"� �"�
�ł 33 �ł 2 3
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper
WYKA ADY Z TEORII SPRŻYSTOŚ CI 10
WPROWADZENIE- PRZYPOMNIENIE WIADOMOŚCI Z WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
EKSTREMALNE NAPRŻENIA STYCZNE:
Rys. 11
Ekstremalne naprężenia styczne pojawią się, podobnie jak linie rysowania się
rozciąganej próbki (linie R�dersa), pod kątem 450. W płaskim stanie naprężeń głównych
�1 - �
2
�1 = � a � = = 0 . Obracając kostkę naprężeń o 450 otrzymamy max
2
2
�1 + �
2
naprężenia styczne ponieważ �1 = -� a więc � = = max . Podobnie
2
2
sytuacja przedstawia się w trójosiowym stanie naprężenia.
�ł 1 1 �ł � -�
2 3
� �ł0;ą ;ą �ł = ą
23
2
2 2
�ł łł
�ł 1 1 �ł �1 - �
3
�13 �łą ;0;ą �ł = ą
(1.23)
2
2 2
�ł łł
�ł 1 1 �ł �1 -�
2
�12 �łą ;ą ;0�ł = ą
2
2 2
�ł łł
Politechnika Poznańska� Kopacz, Krawczyk, Aodygowski, Płotkowiak, Świtek, Tymper

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykl teoria sprezystosci teoria plyt cienkosciennych
wykl teoria sprezystosci teoria cienkich plyt i powlok
wykl teoria sprezystosci teoria plastycznosci
wykl teoria sprezystosci stan odksztalcenia
wykl teoria sprezystosci plaskie zadania
Prezentacja Teoria Sprężystości i Plastyczności
Wykł 1 Kult 2010 Wprowadzenie1
Teoria Sprężystości i Plastyczności (1)
Teoria Sprężystości i Plastyczności (1)
Sprawozdanie teoria sprężystości
Wykł 2 Kult 2010 Wprowadzenie2
Zadania teoria sprezystosci 1
Teoria sprężystości i plastyczności
Wprowadzenie do psychologii wykł UG
wykl wprowadzenie
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względności
Teoria i metodologia nauki o informacji

więcej podobnych podstron