WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 1
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam A
odygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI 11
TEORIA PA
YT CIENKOÅšCIENNYCH
III. Brzeg swobodny
W wyniku przyjęcia hipotezy prostoliniowego elementu musimy warunki brzego-
we wyrazić w postaci dwóch tylko wielkości statycznych (w przypadku trzech
warunków otrzymalibyśmy sprzeczność  zadanie niewyznaczalne). Dla
wyeliminowania nadliczbowego warunku brzegowego należy trzy wielkości:
moment zginający i skręcający oraz siłę poprzeczną sprowadzić do dwóch:
momentu zginającego i zastępczej siły poprzecznej, która będzie wypadkową
siły poprzecznej i siły od momentu skręcającego. W tym celu zastąpimy
brzegowy moment skręcający parami sił o ramionach dy rozmieszczonymi w
sposób ciągły i dodamy do sił poprzecznych działających w przekroju podporo-
wym.
Rozpatrzmy brzeg płyty prostopadły do osi 0x i podzielmy go na równe odcinki
nieskończenie małe dy. Na każdy taki odcinek działa odpowiedni moment skręca-
jÄ…cy
M dy
xy
"M
ëÅ‚ öÅ‚
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
M + dy÷Å‚dy
xy
ìÅ‚
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
(11.1)
"M
ëÅ‚ öÅ‚
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
M + 2 dy÷Å‚dy
xy
ìÅ‚
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
itd
Który możemy zastąpić parą sił o ramieniu dy i odpowiednich siłach
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 2
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
M
xy
"M
xy
M + dy
xy
"y
(11.2)
"M
xy
M + 2 dy
xy
"y
itd
Tak jak pokazano na rysunku
M dy
xy
"M
ëÅ‚ öÅ‚
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
M + dy
xy M
ìÅ‚ ÷Å‚dy
xy
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
"M
xy
M + dy
xy
"y
"M
xy
M + 2 dy
xy
"y
"M
ëÅ‚ öÅ‚
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
M + 2 dy
xy
ìÅ‚ ÷Å‚dy
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
Rys. 11.1. Zamiana momentów skręcających na siły poprzeczne
Po zsumowaniu przeciwnie skierowanych sił na granicy dwóch elementarnych
odcinków otrzymamy wypadkową
"M
xy
Qxz = dy (11.3)
"y
Sumując otrzymaną siłę z siłą poprzeczną otrzymamy zastępczą siłę poprzeczną
na krawędzi równoległej do osi 0y
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 3
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
*
Qxz = Qxz + Qxz (11.4)
Wykorzystując znane zależności
"2w
M = -D(1-½ )
xy
"x"y
(11.5)
ëÅ‚ öÅ‚
"3w "3w
ìÅ‚
Qxz = -DìÅ‚ + ÷Å‚
"x3 "x"y2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymamy:
ëÅ‚ öÅ‚
"3w "3w "3w
* *
ìÅ‚
Qxz = Qx = -DìÅ‚ + ÷Å‚ - D(1-½ )
(11.6)
"x3 "x"y2 ÷Å‚ "x"y2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie otrzymaliśmy dwa warunki brzegowe w postaci:
ëÅ‚ öÅ‚
"3w "3w
*
ìÅ‚
Qx = -DìÅ‚ + (2 -½ ) ÷Å‚
"x3 "x"y2 ÷Å‚
(11.7)
íÅ‚ Å‚Å‚
M = 0
x
Stosując identyczne rozumowanie dla płaszczyzny  y otrzymamy wypadkową
"M
yx
(11.8)
Qyz = dx
"x
Sumując otrzymaną siłę z siłą poprzeczną otrzymamy zastępczą siłę poprzeczną
na krawędzi równoległej do osi 0x
Q* = Qyz + Qyz
(11.9)
yz
Wykorzystując znane zależności
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 4
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
"2w
M = -D(1-½ )
yx
"y"x
(11.10)
ëÅ‚ öÅ‚
"3w "3w
ìÅ‚
Qyz = -DìÅ‚ + ÷Å‚
"y3 "y"x2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymamy:
ëÅ‚ öÅ‚
"3w "3w "3w
ìÅ‚
Q* = Q* = -DìÅ‚ + ÷Å‚ - D(1-½ )
(11.11)
yz y
"y3 "y"x2 ÷Å‚ "y"x2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie otrzymaliśmy dwa warunki brzegowe na płaszczyz
nie  y w
postaci:
ëÅ‚ öÅ‚
"3w "3w
ìÅ‚
Q* = -DìÅ‚ + (2 -½ ) ÷Å‚
y
"y3 "y"x2 ÷Å‚
(11.11)
íÅ‚ Å‚Å‚
M = 0
y
IV. Styk dwóch brzegów swobodnych
Rys. 11.2. Ilustracja dodatkowej siły
W takim przypadku występuje pewien paradoks, a mianowicie dodatkowa nie-
zrównoważona siła (wynik działania momentu skręcającego) o wartości
P = 2M
(11.13)
xy
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 5
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
W praktyce siły te powodują np odrywanie się swobodnych końców płyt
leżących na gruncie. Aby temu zapobiec stosuje się w tych miejscach śruby
kotwiÄ…ce.
Zginanie płyty prostokątnej podpartej przegubowo na czterech kra-
wędziach
Rys. 11.2. Schemat podparcia płyty
Zakładamy dowolne obciążenie płyty q(x,y)
Zapiszmy równanie ugięcia płyty w postaci:
"4w "4w "4w q(x, y)
L = + 2 + = = P (11.14)
"x4 "x2"y2 "y4 D
Warunki brzegowe na konturze płyty są następujące
w = 0
(11.15)
M = 0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 6
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
Rozwiązując ten problem posłużymy się rozwinięciem funkcji w podwójny
szereg Fouriera
" "
mĄx nĄy
F(x, y)= sin sin
(11.16)
""cmn
a b
m=1 n=1
Gdzie współczynniki cmn wyznacz się wg wzoru
a b
mĄx nĄy
cmn =
(11.17)
+"+"F(x, y)sin a sin b
0 0
Załóżmy rozwiązanie funkcji w(x,y) postaci
" "
mĄx nĄy
w(x, y)= sin sin
(11.18)
""Cmn
a b
m=1 n=1
Sprawdz
my, czy założona funkcja spełnia warunki brzegowe
Dla pierwszego brzegu
1. x = 0, 0 d" y d" b, w(0,y) = 0 - warunek siÄ™ zgadza
2. x = a, 0 d" y d" b, w(a,y) = 0 - warunek siÄ™ zgadza
"2w
3. x = 0, 0 d" y d" b, = 0 - warunek siÄ™ zgadza
"x2
0,y
"2w
4. x = a, 0 d" y d" b, = 0 - warunek siÄ™ zgadza
"x2
a, y
Dla drugiego brzegu
1. y = 0, 0 d" x d" a, w(x,0) = 0 - warunek siÄ™ zgadza
2. y = b, 0 d" x d" a, w(x,b) = 0 - warunek siÄ™ zgadza
"2w
3. y = 0, 0 d" x d" a, = 0 - warunek siÄ™ zgadza
"y2
x,0
"2w
4. y = b, 0 d" x d" a, = 0 - warunek siÄ™ zgadza
"y2
x,b
Podstawmy do równania różniczkowego
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 7
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
2
" "
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
m2 n2 ÷Å‚ Å‚Å‚ mÄ„x nÄ„y
4
ìÅ‚
L = ïÅ‚Ä„ + śłsin sin
""Cmn
ìÅ‚
a2 b2 ÷Å‚ śł a b
m=1 n=1 ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
(11.19)
" "
1 mĄx nĄy
P =
""D amn sin sin
a b
m=1 n=1
Przyjmijmy na potrzeby zadania, że q = const
" "
mĄx nĄy
q = sin sin
(11.20)
""amn
a b
m=1 n=1
Wyznaczmy amn analitycznie. Przemnóżmy lewą i prawą stronę przez
kĄy
sin dy i scałkujmy w granicach od 0 do b
b
b b
" "
kÄ„y îÅ‚ mÄ„x nÄ„y Å‚Å‚ kÄ„y
sin sin
(11.21)
""amn
ïÅ‚
+"qsin b dy = +"ðÅ‚ śłsin dy
a b b
m=1 n=1 ûÅ‚
0 0
Z tablic można odczytać, że
0 dla n `" k
Å„Å‚
b
nĄy kĄy
ôÅ‚
(11.22)
+"sin b sin b dy = òÅ‚b dla n = k
0
ôÅ‚2
ół
więc
b
"
kĄy b mĄx
(11.23)
"amk
+"qsin b dy = 2 sin a
m=1
0
jĄx
Przemnóżmy lewą i prawą stronę przez sin dx i scałkujmy w granicach od 0
a
do a
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 8
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
a b a
"
kĄy jĄx b mĄx jĄx
sin sin dx
(11.24)
"amk
+"+"qsin b sin a dxdy = +"
2 a a
m=1
0 0 0
Po wykonaniu obliczeń dostaniemy
ab 4qab
a =
(11.25)
jk
2
4 Ä„ jk
gdzie j,k sÄ… liczbami nieparzystymi
Powracając do poprzednich oznaczeń (j,k m,n) obliczymy ostatecznie
16q
amn = (11.26)
2
Ä„ mn
Porównując lewą i prawą stronę równania
2
" "
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
m2 n2 ÷Å‚ Å‚Å‚ mÄ„x nÄ„y
4
ìÅ‚
ïÅ‚Ä„ + śłsin sin =
""Cmn
ìÅ‚
a2 b2 ÷Å‚ śł a b
m=1 n=1 ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
(11.27)
" "
1
=
""Ą16q sin mĄx sin nĄy
2
D mn a b
m=1 n=1
Aby równanie (11.27) było prawdziwe wszystkie składniki sumy muszą być
sobie równe. Tak więc otrzymamy
" " " "
16q
=
""Cmn ""
2
m=1 n=1 m=1 n=1 (11.28)
ëÅ‚ öÅ‚
m2 n2 ÷Å‚
6
ìÅ‚
Ä„ Å" D Å" mnìÅ‚ +
a2 b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
PodstawiajÄ…c do (11.18) otrzymamy:
mĄx nĄy
sin sin
" "
16q
a b
w(x, y)=
""
6 2
(11.29)
Ä„ D
m=1 n=1
ëÅ‚ öÅ‚
m2 n2 ÷Å‚
ìÅ‚
mnìÅ‚ +
a2 b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 9
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
gdzie m,n sÄ… liczbami nieparzystymi
Ciąg powyższy jest szybko zbieżny; już dla jednego wyrazu daje dobre
rezultaty. Obliczmy w(x,y) podstawiajÄ…c x = a/2, y = b/2 przyjmujÄ…c a = b, ½ =
0,3 (obliczenia wykonane dla jednego wyrazu ciÄ…gu)
a b qa4
öÅ‚
wëÅ‚ , = 0,0454 (11.30)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 Eh3
íÅ‚ Å‚Å‚
Wartość momentu natomiast wynosi
M = M = 0,048qa2
(11.31)
x y
Dla porównania, gdyby w środku płyty wyciąć belke o szerokości 1 powyższe
wartości byłyby następujące
a qa4
wëÅ‚ öÅ‚ = 0,1563
ìÅ‚ ÷Å‚
2 Eh3
íÅ‚ Å‚Å‚ (11.32)
M = 0,125qa2
y
Przypadek szczególny  płyta obciążona polem
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 10
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
Rys. 11.3. Płyta obciążona poletkiem
Przyjmijmy obciążenie stałe q działające na polu (a0, b0). Wzór na współczynnik
amn przyjmuje postać
a0 b0
x0 + y0 +
2 2
4 mĄx nĄy
amn = sin sin dxdy
(11.33)
+" +"
ab a b
a0 b0
x0 - y0 -
2 2
Po scałkowaniu otrzymamy wzór na amn
16q mĄx0 nĄy0 mĄa0 nĄb0
amn = sin sin sin sin
(11.34)
Ä„mna0b0 a b 2a 2b
Jeśli wymiary a0 i b0 będą dążyć do zera to otrzymamy obciążenie siłą skupioną
P
q =
(11.35)
a0b0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z TEORII SPR
ŻYSTOŚ CI 11
TEORIA PA
YT CINKOÅšCIENNYCH
Przy czym
P 0
a0 0
(11.36)
b0 0
Aby wyznaczyć funkcje trzeba przejść na rachunek granic
4P mĄx0 nĄy0
lim0amn = sin sin
(11.37)
a0
ab a b
b0 0
PodstawiajÄ…c wartoÅ›ci a = b, x0 = y0 = a/2, ½ = 0,3 otrzymamy
Pa2
(11.38)
wmax = 0,1121
Eh3
Dla porównania, gdyby w środku płyty wyciąć belke o szerokości 1 m powyższa
wartość byłaby następująca
Pa3
(11.39)
wmax = 0,25
Eh3
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper