12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 1
12. ����Ł�
12. TEORIA PA
YT I POWA
OK (KIRCHHOFFA-LOVE)
Płyta jest to układ ograniczony dwoma płaszczyznami o małej krzywiz
nie. Odległość między
powierzchniami ograniczającymi tę wysokość płyty h. Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny
środkowej powoduje jej zakrzywienie. Rozpatrywać będziemy płyty cienkie i o stałej grubości (nie
wszystkie płyty muszą mieć stałą grubość). Cienkie czyli takie których jeden wymiar (wysokość, grubość)
jest znacznie mniejszy od dwóch pozostałych:
1
- hąą wymiaru krótszego boku
10
- hąą1 średnicy (dla płyt okrągłych).
5
Cienkie płyty spełniają hipotezy Kirchhoffa:
- płaszczyzn środkowa nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń postaciowych,
- punkty płyty położone na normalnej do płaszczyzny środkowej pozostają na niej również po
odkształceniu,(odcinek prostopadły do nieodkształconej powierzchni środkowej pozostaje
prostoliniowy, niewydłużony i prostopadły do powierzchni środkowej),
Rys. 12.1
- naprężenia normalne prostopadłe do powierzchni środkowej są małe w porównaniu z pozostałymi
naprężeniami.
�ą33=�ązj"�ąx ,�ąy (12.1)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 2
Rys. 12.2
Decydujące są przemieszczenia pionowe (prostopadłe do płaszczyzny środkowej) i nimi się
zajmiemy. Przyjmijmy założenie �ą33=�ąz Śą0 i przedstawmy u1, u2, u3 za pomocą jednej zmiennej w.
dw
u1 =u=-u3 �ą1=-z �ą1 =-z (12.2)
dx
Analogicznie po kierunku osi y (prostopadle do kartki):
dw
u2=v=-z �ą2=-z (12.3)
dy
u3=w (12.4)
Szukamy przemieszczenia w. Jest ono na funkcję ugięcia płyty w=w(x,y). Odkształcenia
"2 w
�ą11=�ąx=-z (12.5)
" x2
" v "2 w
�ą22=�ąy= =-z (12.6)
" y
" y2
1 " u " r
�ą12=�ąxy= �ą (12.7)
śą źą
2 " y " x
1 " w " u
�ą13=�ąxz= �ą (12.8)
śą źą
2 " x " z
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 3
dw " u
u=-z ; =-" w (12.9)
dx " z " x
1 " w " w
�ą13=�ąxz= - =0 (12.10)
śą źą
2 " x " x
Analogicznie:
�ą23=�ąyz=0 (12.11)
" w
�ą33=�ąz= (12.12)
" z
Ugięcie nie jest funkcją z ponieważ po kierunku osi z wszystkie punkty przemieszczają się tak samo.
w`" f śą zźą
w=w śą x , zźą
zatem:
" w
=0 (12.13)
" z
więc:
�ąz=0 (12.14)
Jest to płaski stan naprężeń w związku z tym obowiązują następujące związki fizyczne:
1
�ąx= �ąx-�ą�ą (12.15)
śą źą
y
E
1
�ąy= �ą -�ą�ąx (12.16)
śą źą
y
E
1�ą�ą
(12.17)
�ąxy= �ąxy
E
Po wprowadzeniu wzorów (12.5),(12.6) i (12.7):
E -Ez "2 w "2 w
�ąx= �ąx�ą�ą�ąy = �ą�ą (12.18)
śą źą
śą źą
1-�ą2 1-�ą2 " x2 " y2
E -Ez "2 w "2 w
�ąy= �ąy�ą�ą�ąx = �ą�ą (12.19)
śą źą
śą źą
1-�ą2 1-�ą2 " y2 " x2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 4
E
�ąxy= �ąxy=-Ez "2 w (12.20)
1-�ą2 1�ą�ą " x " y
Przyjmujemy, że płyta jest nieważka (nie ma sił masowych). Równania równowagi:
"�ąx "�ąxy "�ąxz
(12.21)
�ą �ą =0
" x " y " z
Równanie to nie jest spełnione. W związku z tym:
" �ąxz
(12.22)
`"0
" z
Po podstawieniu � i � do równania równowagi otrzymujemy:
"�ąxz Ez "3 w "3 w Ez "3 w
= �ą�ą �ą (12.23)
śą źą
" z
1-�ą2 " x3 " x " y2 1�ą�ą " x " y2
Analogicznie:
"�ąxy "�ą "�ązy
y
(12.24)
�ą �ą =0
" x " y " z
"�ąyz Ez "3 w "3 w Ez "3 w
= �ą�ą �ą (12.25)
śą źą
" z
1-�ą2 " y3 " y " x2 1�ą�ą " x2 " y
"�ąxz "�ąyz "�ąz
(12.26)
�ą �ą =0
" x " y " z
W celu wyznaczenia � całkujemy (12.23) po z i dodajemy warunki brzegowe:
zx
h
z=ą Śą �ąxz=0 (12.27)
2
-E h2-z "3 w "3 w
2
�ąxz= �ą (12.28)
śą źą
śą źą
" x3 " x " y2
2 1-�ą2 2
śą źą
Całkując po z równanie (12.25) i wykorzystując warunek brzegowy otrzymujemy równanie na �
yz :
-E h2 "3 w "3 w
�ąyz= -z2 �ą (12.29)
śą źą
śą źą
" y3 " y " x2
2 1-�ą2 2
śą źą
Po podstawieniu � oraz � do trzeciego równania równowagi, otrzymujemy wyrażenie określające
zx yz
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 5
"�ąz
, następnie całkując obustronnie po z i uwzględniając warunki brzegowe:
" z
- z=�ąh Śą �ąz=0
2
-E "4 w "4 w "4 w
�ąz= śąh3 -3 h2 z�ą4 z3 źą �ą2 �ą (12.30)
śą źą
" x4 " x2 " y2 " y4
24 1-�ą2
śą źą
-E
�ąz= śąh3-3 h2 z�ą4 z3 źą'"4 w
(12.31)
24 1-�ą2
śą źą
- z=-h Śą �ąz=-P śą x , yźą
z
P śą x , yźą
"4 w "4 w "4 w
"4 wśą x , yźą= �ą2 �ą = (12.32)
" x4 " x2 " y2 " y2 D
Gdzie P(x,y) oznacza obciążenie zewnętrzne a D- sztywność płyty na zginanie (sztywność giętna)
Eh3
D=
(12.33)
12 1-�ą3
śą źą
Rozkład naprężeń na grubości płyty:
 naprężenia istotne ( decydujące),
Rys. 12.3 Naprężenia decydujące
 naprężenia drugorzędna (tzn dostatecznie małe w porównaniu z naprężeniami podstawowymi � , � , � i
x y xy
mogą być pominięte przy obliczeniu odkształceń).
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 6
Rys. 12.4 Naprężenia pomijalne
Siły wewnętrzne dla płyty wyrażają się wzorami:
h
2
"2 w "2
(12.34)
M = �ąx zdz=-D �ą�ą
+"
x
śą źą
" x2 " y2
-h
2
h
2
"2 w "2
(12.35)
M = �ąy zdz=-D �ą�ą
+"
y
śą źą
" y2 " x2
-h
2
Moment skręcający:
h
2
"2 w
(12.36)
M =M = �ąxy zdz=-śą źą
1-�ą D
+"
xy yx
" x " y
-h
2
Siły mniej istotne:
h
2
"3 w "3 w
(12.37)
Qxz=Qx=T = �ąxz dz=-D �ą
+"
x
śą źą
" x3 " x " y2
-h
2
h
2
"3 w "3 w
(12.38)
Qyz=Qy=T = �ąyz dz=-D �ą
+"
y
śą źą
" y3 " y " x2
-h
2
Warunki brzegowe płyt prostokątnych.
Rozwiązanie zadań w postaci funkcji ugięcia w(x,y) jest dostosowane do spełnienia tylko dwóch
warunków brzegowych:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 7
- brzeg całkowicie utwierdzony:
x
b
a
y
Rys 12.5
x=0
dla
{
0ąą yąąb
1. w śą0, yźą=0
(12.39)
" w
2. �ąśą0, yźą=0 Śą =0
#"
" x
śą0, yźą
y=0
dla
{
0ąąxąąa
1. w śą x ,0źą=0
(12.40)
" w
2. �ąśą x ,0źą=0 Śą =0
#"
" y
śą x ,0źą
x=a
dla
{
0ąą yąąb
1. w śąa , yźą=0
(12.41)
" w
2. �ąśąa , yźą=0 Śą =0
#"
" x
śąa , yźą
y=b
dla
{
0ąąxąąa
1. w śą x , bźą=0
(12.42)
" w
2. �ąśą x ,bźą=0 Śą =0
#"
" y
śą x ,bźą
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 8
-krawędz
przegubowo podparta:
y=0
dla
{
0ąąxąąa
1. w śą x ,0źą=0
(12.44)
2. M śą x ,bźą=0
y
"2 w "2 w
M =-D �ą (12.45)
y
śą źą
" y2 " x2
-brzeg utwierdzony
" w
=0 (12.46)
śą źą
" x
0, y
"2 w
(12.47)
M =M =-Dśą1-�ąźą
xy yx
" x " y
12.1. Brzeg swobodny
W wyniku przyjęcia hipotezy prostoliniowego elementu musimy warunki brzegowe wyrazić w postaci
dwóch tylko wielkości statycznych (w przypadku trzech warunków otrzymalibyśmy sprzeczność  zadanie
niewyznaczalne). Dla wyeliminowania nadliczbowego warunku brzegowego należy trzy wielkości 
moment zginający i skręcający oraz siłę poprzeczną sprowadzić do dwóch: momentu zginającego i
zastępczej siły poprzecznej, która będzie wypadkową siły poprzecznej i siły od momentu skręcającego. W
tym celu zastąpimy brzegowy moment skręcający parami sił o ramionach dy rozmieszczonymi w sposób
ciągły i dodamy do sił poprzecznych działających w przekroju podporowym.
Rozpatrzmy brzeg płyty prostopadły do osi 0x i podzielmy go na równe, nieskończenie małe odcinki
dy. Na każdy taki odcinek działa odpowiedni moment skręcający , który możemy zastąpić parą sił o
ramieniu dy, zgodnie z tym co pokazano na rysunku:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 9
jMxy
(Mxy+ dy) dy
x
jy
y
jMxy
Mxydy
(Mxy+ dy) dy
z
jy
2
Mxy
jMxy
Mxy+ dy
jy
jMxy
Mxy+ 2 dy
jy
Rys. 12.5. Zamiana momentów skręcających na siły poprzeczne
Zajmijmy się teraz ustaleniem warunków brzegowych dla rzutu płyty przedstawionego poniżej:
a
x
b
y=b
x=a
y
Rys.12.6. Rzut płyty
Po zsumowaniu przeciwnie skierowanych sił na granicy dwóch elementarnych odcinków otrzymamy
wypadkową
" M
xy
(12.48)
Qxz= dy
" y
Sumując otrzymaną siłę z siłą poprzeczną dostaniemy zastępczą siłę poprzeczną na krawędzi
równoległej do osi 0y
(12.49)
Q" =Qxz�ąQxz
xz
Wykorzystując znane zależności
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
y
d
y
d
y
d
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 10
"2 w
(12.50)
M =-Dśą1-�ąźą
xy
" x " y
"3 w "3 w
Qxz=-D �ą (12.51)
śą źą
" x3 " x " y2
otrzymamy wzór na siłę zastępczą
"3 w "3 w "3 w "3 w "3 w
Q" =Q"=-D �ą -Dśą1-�ąźą =-D �ąśą2-�ąźą (12.52)
xz x
śą źą [ ]
" x3 " x " y2 " x " y2 " x3 " x " y2
Ostatecznie otrzymujemy dwa warunki brzegowe postaci
"3 w "3 w
Q"=-D �ąśą2-�ąźą (12.53)
x
[ ]
" x3 " x " y2
M =0 (12.54)
x
12.2. Zastosowanie szeregów trygonometrycznych
x
q(x,y)
b
a
y
Rys.12.7. Płyta prostokątna z obciążeniem q(x,y)
Niech
(12.55)
w=w śą x , yźą
Eh3
D= (12.56)
12śą1-�ą2źą
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 11
Równanie ugięcia płyty przyjmuje postać
"4 w "4 w "4 w f śą x , yźą
�ą2 �ą = (12.57)
" x4 " x2" y2 " y4 D
W zadaniu tym posługujemy się rozwiązaniem Naviera
" "
mĆą nĆą
w śą x , yźą= Cmn sin xsin y
" "
(12.58)
a b
m=1 n=1
Znana funkcja przyjmuje postać:
mĆą nĆą
qśą x , yźą= pmn sin xsin y (12.59)
""
a b
m n
Rozwinięcie znanej funkcji w szereg Fouriera przebiega w następujących etapach:
k Ćą
1) mnożymy lewą i prawą stronę równości (12.59) przez sin y i całkujemy w granicach (0,b)
b
i Ćą
2) mnożymy lewą i prawą stronę przez sin x i całkujemy w granicach (0,a)
a
Otrzymujemy
a b
k Ćą i Ćą
(12.60)
qśą x , yźą sin y sin xdxdy="
+"+"
b a
0 0
przy czym
pmn=const (12.61)
a
0 , m`"i
mĆą i Ćą
sin x sin xdx=
+" a (12.62)
a a ,m`"i
0 {
2
stąd
a b
"= pik (12.63)
2 2
Możemy także wyliczyć współczynnik rozwinięcia funkcji:
a b
mĆą nĆą
4
(12.64)
pmn= qśą x , yźą sin x sin ydxdy
+"+"
ab a b
0 0
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 12
Zad.1.
Załóżmy, że q = const oraz
16 q ab 16 q
pmn= =
(12.65)
ab
Ćą2 mn Ćą2 mn
Podstawiając w(x) w postaci rozwinięcia do lewej strony równania opisującego linię ugięcia
otrzymamy postać
mĆą nĆą mĆą nĆą
n2 1
Cmn Ćą4 m2 �ą sin xsin y= pmn sin ysin y
"" ""
(12.66)
śą źą
[ ] a b a b D
a2 b2
m n m n
co prowadzi po uproszczeniu do równania
2
m2 n2
(12.67)
D�"Cmn Ćą4 �ą = pmn
śą źą
[ ]
a2 b2
Dla obciążenia równomiernie rozłożonego niewiadoma wartość współczynnika rozwinięcia równa jest
16 q
Cmn=
2
(12.68)
m2 n2
Ćą6 Dmn �ą
[ ]
a2 b2
Podstawiając rezultat do (12.58) otrzymamy
mĆą x nĆą y
sin sin
" "
16 q a b
w śą x , yźą=
" "
(12.69)
2
Ćą6 D
m=1 n=1
m2 n2
mn �ą
[ ]
a2 b2
Powyższy ciąg jest szybkozbieżny, daje dobre rezultaty już dla jednego wyrazu. Obliczmy
maksymalne ugięcie kwadratowej płyty o boku równym a, przyjmując � = 0,3:
a a 4 qa4 qa4
w , = =0,0454 (12.70)
śą źą
2 2
Ćą6 D E h3
Wartość momentu wynosi
(12.71)
M =0,048 qa2
MAX
Dla porównania: gdyby w środku płyty wyciąć belkę o szerokości 1m, powyższe wielkości
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 13
kształtowałyby się w następujący sposób:
a qa4
w =0,1563 (12.72)
śą źą
2
E h3
(12.73)
M =0,125 q a2
y
12.3. Płyta obciążona polem
q
x
x0
y0
b
b
0
a
0
a
y
Rys.12.8. Płyta obciążona polem
Przyjmijmy, że obciążenie stałe q działa na polu (a ;b ). Wzór na współczynnik p jest postaci
0 0 mn
a0 b0
x0�ą y0�ą
2 2
mĆą nĆą
(12.74)
pmn= q sin x sin y dxdy
+" +"
a b
a0 b0
x0- y0-
2 2
stąd po scałkowaniu otrzymujemy
mĆą a0 nĆą b0
mĆą nĆą
16 q
pmn= sin x0 sin y0 sin sin (12.75)
a b 2 a 2 b
Ćą2 mn
Jeśli wymiary a i b dążą do zera, to otrzymamy obciążenie siłą skupioną
0 0
P
q=
(12.76)
a0�"b0
Korzystając z rachunku granic oraz wiedząc, że
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 14
P Śą0
a0 Śą0
(12.77)
b0 Śą0
otrzymamy
mĆą x0 nĆą y0
4 p
(12.78)
pmn= sin sin
ab a b
a
Jeśli przyjmiemy, że a = b, x = y = , � = 0,3 to dla takich wartości
0 0
2
Pa3
wmax=0,1121 (12.79)
E h3
Dla porównania: gdyby w środku płyty wyciąć belkę o szerokości 1m, powyższa wielkość byłaby
następująca:
Pa3
wmax=0,25 (12.80)
E h3
12.4. Płyta kołowa
a
Rys.12.9. Schemat płyty kołowej
Niech
(12.81)
w=w śąrźą
Równanie ugięcia płyty jest postaci
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 15
2 2
d 1 d d w 1 dw qśąrźą
�ą �ą = (12.82)
śą źąśą źą
dr2 r dr dr2 r dr D
Rozwinięcie funkcji ugięcia w szereg wygląda następująco:
(12.83)
w śąrźą=w0�ąA1�ąA2 r2�ąA3 r2lnr�ąA4 lnr
Poszczególne siły uogólnione opisane są wzorami:
2
�ą
d w dw
M =-D �ą (12.84)
r
śą źą
dr2 r dr
2
d w
M =-D �ą �ą1 dw (12.85)
�ą
śą źą
dr2 r dr
d
Qr=-D śą"2 wźą (12.86)
dr
Z warunków brzegowych wiemy, że
(12.87)
w śąr=aźą=0
M śąr=aźą=0 (12.88)
r
Po podstawieniu warunków brzegowych otrzymujemy:
w śąrźą=w0�ąA1�ąA2 r (12.89)
gdzie
(12.90)
w0=C r4
5�ą�ą
qa4
A1= (12.91)
1�ą�ą 64 D
3�ą�ą
qa4
A2=- (12.92)
1�ą�ą 32 D
Ostatecznie wzór opisujący ugięcie płyty przyjmuje postać
5�ą�ą 3�ą�ą
q
w śąrźą= a4-2 a2 r2�ąr4 (12.93)
[ ]
64 D 1�ą�ą 1�ą�ą
Jeśli płyta ma brzeg utwierdzony to z warunków brzegowych
(12.94)
w śąr=aźą=0
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
12. TEORIA PA
YT CIENKOŚCIENNYCH 16
dw
śąr=aźą=0 (12.95)
dr
Co prowadzi do równania postaci
q
w śąrźą= śąa2-r2źą (12.96)
64 D
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater