CAA
KI PODWÓJNE
Zad.1. (E, 2 pkt.) Obliczyć całki:
1 2 3 2x 2 2 y
a) xy(�x -� y)�dydx b) +� 2y)�dydx c) y(�x -� y)�dxdy
���� �� ��(�x �� ��
2 x
0 0 1 y-�1
1 ln y x
4 2x 1 y
y
x
y
d) dy e) dxdy f)
�� ��e
��dx�� ��dy��e dx
x
2 x 0 0 0 0
y
1 1
1 1 1-� x2
�� ł�
x2
2
g)
����1+� y2 dydx h) ę� ydxś�dy i) xydy
��ę� ��x ś� ��dx ��
2
0 0 0 0 0
y
�� ��
Zad.2. Obliczyć następujące całki:
dxdy
a) , gdzie D  obszar ograniczony prostymi: x =� 3, x =� 4, y =� 1, y =� 2
���� 2
(�x +� y)�
D
b) x2 yexy dxdy, gdzie D  obszar ograniczony prostymi: x =� 0, x =�1, y =� 0, y =� 4
����
D
x
c) dxdy, gdzie D  obszar ograniczony liniami: x =� 2, x =� 4, y =� 1, y =� x2
����
y
D
x2
d) dxdy, y =� x2 , y =� 4 -� x2
����
y2
D
Zad.3. Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych krzywymi:
a) x2 +� y2 =� 2y, y =� 3 x b) y2 =� 4x, x +� y =� 3, y ł� 0
c) y =� x3, y =� -�x2 +� x +�1 d) xy =� 4, x +� y =� 5
e) y =� 2x , y =� 2-�2x , y =� 4 f) y =� ln x, y =� ex , x +� y =� 1, x =� 2
Zad.4. Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć:
x2 +� y2
a)
����e dxdy, gdzie D: x2 +� y2 Ł� 1, x ł� 0, y ł� 0
D
b) (�1+� x2 +� y2)�dxdy, gdzie D =�{�(x, y): x2 +� y2 Ł� 4, x2 +� y2 ł� 1, y ł� x}�
����ln
D
x
c)
����arcctg y dxdy, gdzie D  obszar ograniczony krzywymi x2 +� y2 =� 1, x ł� 0, y ł� 0
D
ln(�x2 +� y2)�dxdy, gdzie D =�{�(x, y): 1Ł� x2 +� y2 Ł� e2 }�
d)
����
x2 +� y2
D
Zad.5. Obliczyć objętość brył ograniczonych powierzchniami:
a) z =� 1+� x2 +� y2 , z = 0, x2 +� y2 Ł� 9 b) z2 +� x2 +� y2 =� 4 , z =� 3 , (�z ł� 3)�
c) x2 +� y2 =� 4 , 4z =�16 -� x2 -� y2 , z =� 0 d) x2 +� y2 =� 3z , z =� 4 -� x2 -� y2
e) z =� x2 +� y2 , z =� 8-� x2 -� y2 f) z =� 9 -� x2 -� y2 , z =� x2 +� y2
g) z =� x2 +� y2 , z =� 6 -� x2 -� y2 h) 4z =� -�x2 -� y2 , z =� x2 +� y2 -�3
i) z =� x2 +� y2 , z =� 6 -� x2 +� y2 j) z =� 4 -� x2 +� y2 , z =� 3 x2 +� y2
(� )�