ZESTAW ZADAC

CAA
KI PODWÓJNE- cz. II
Zad.1. Oblicz objętość bryły ograniczonej przez powierzchnie
a) z =� 5 -� 2x -� y, x =� 0, y =� 0, z =� 0 b) x2 +� y2 +� z2 =� 9, x2 +� y2 =�1
c) z =� x2 +� y2, z =� 4 d) z =� 9 -� x2 -� y2, z =� 0
e) z =� x2 +� y2, y =� x2, y =� 1, z =� 0 f) z =� 4 -� y2, y =� 2x2, z =� 0
g) x2 +� y2 =� 1, x +� y +� z =� 3, z =� 0
Zad.2. Oblicz pole powierzchni płata S nad obszarem D
a) S : f x, y =� x2 +� y2 D =� {(x, y) : x2 +� y2 Ł� 4, x ł� 0, y ł� 0}
(� )�
b) S : f x, y =� 4 -� 2x -� 2 y D -� trójkąt o wierzchołkach A(0,0), B(0, -�1), C(1,0)
(� )�
2
c) S : f x, y =� 2 +� x3 +� y D =� {(x, y) : 2 Ł� x Ł� 7, 0 Ł� y Ł�1}
(� )�
3
Zad.3. Oblicz pole tej części powierzchni kuli x2 +� y2 +� z2 =� 16 , która jest zawarta wewnątrz walca
x2 +� y2 =� 15 i ponad płaszczyzną z =� 0 .
Zad.4. Oblicz pole powierzchni płata S na powierzchni 2x +� 2y +� z =� 4 odciętego przez
płaszczyzny układu współrzędnych.
Zad.5. Znalez
ć pole tej części powierzchni z2 +� x2 =�1, która leży nad płaszczyzną Oxy i której
rzutem na płaszczyznę Oxy jest trójkąt OAB o wierzchołkach O(0,0), B(1,0), C(0,1) .
Zad.6. Oblicz objętość ograniczoną kulą x2 +� y2 +� z2 =�1, i powierzchniami z =� 0 i y =� 0.
Zad.7. Oblicz objętość ograniczoną kulą x2 +� y2 +� z2 =� 4 , i powierzchniami y =� -�x i y =� x .
Zad.8. Oblicz objętość ograniczoną paraboloidą z =�1+� x2 +� y2 , i powierzchnią z =� 0 i walcem
x2 +� y2 =� 1.
Podpowiedz
do Zad.4.:
Jeżeli zmienne x, y, z występują w równaniu w pierwszej potędze (np. z =� -�3x +� 2y +� 4 ,
2x +� 4y -� z =� 2 ), to równanie to przedstawia płaszczyznę w układzie xyz . Aby ją narysować można
x y z
sprowadzić to równanie do postaci odcinkowej, czyli +� +� =�1.
a b c
Wówczas a,b,c są miejscami, w których płaszczyzna przecina kolejne osie układu współrzędnych,
jak na rysunku
Przykład:
z =� -�3x +� 2y +� 4
3x -� 2y +� z =� 4 / : 4
3x y z
-� +� =�1
4 2 4
x y z
+� +� =�1
4
-�2 4
3
4
Czyli płaszczyzna przecina oś x w punkcie ,0,0 , oś y : 0, -�2,0 , oś z : 0,0,4 .
(� )� (� )�
(� )�
3