03 Własności całki podwójnej


WAASNOŚCI CAAKI PODWÓJNEJ
I. Liniowość całki.

1O ąf + g  całkowalne w P
f, g  całkowalne w P,

oraz
ż
a, b R
2O + bg)ds = a fds + b
(af gds
P P P
II. Addywność całki względem obszaru całkowania.
1O f  całkowalna w P ,
1

f  całkowalna w prostokącie P, gdzie
f  całkowalna w P
2
P jest sumą dwóch prostokątów P ,P ,
1 2

oraz

ż
P = P1 P2,
2O fds = fds + fds

int P1 int P2 = o.
o rozłącznych wnętrzach,
/

P P1
P2
III. Ograniczoność całki.

f  całkowalna w prostokącie P,

m := infP f (x, y)

(x, y)

ż ms Ł f (x, y)ds Ł M s ,


M := sup f (x, y)
P
(x, y)P

gdzie - pole prostokąta P.
s

Twierdzenie (całkowe o wartości średniej)
f C(P)
Z: , gdzie C(P)  klasa funkcji ciągłych na prostokącie P
wartość średnia
644744
8
1
gdzie - pole prostokąta P.
s
T : $A P : f (A) = f (x, y)ds ,

s
P
Dowód
Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej
1
m Ł f (x, y)ds Ł M

s
P
funkcja f ciągła, więc spełniona jest własność Darboux

1
$A P : f (A) = f (x, y)ds

s
P
Ą%
1
Twierdzenie (o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną)
Z : f C(P), gdzie P = [a,b][c, d]
d b
ć

T : f (x, y)ds = f (x, y)dxdy


P c Ł a ł
oraz
b d
ć

f (x, y)ds = f (x, y)dy

dx.
P a Ł c ł
Uwaga
Każdą z całek występujących po prawej stronie powyższych wzorów nazywamy całką
iterowaną.
Oznaczenia
1. Sybol ds nazywamy elementem pola i oznaczamy
dxdy.
2. Całki iterowane zapisujemy też w postaci.
d b
ozn.d b
ć

f (x, y)dxdy = f (x, y)dx
dy

c Ł a ł c a
b d b d
ozn.
ć
f (x, y)dydx = f (x, y)dy
dx

a Ł c ł a c
Przykład
0 Ł x Ł 2

2
I = dxdy, gdzie P :
Obliczyć całkę podwójną
0 Ł y Ł 3.
xy

P
f (x, y)= xy2 C(P),
Ponieważ więc możemy zastosować twierdzenie o zamianie całki
podwójnej na całkę iterowaną i wtedy
3
2
2 3 2 2
1 9
ć
I = xy2dy = xy3 dx = = x2 = 18
dx 3 9xdx 2
Ł ł
0
0 0 0 0 0
opracował Jacek Zańko
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zestaw Całki podwójne
AM23 w09 Całki podwójne
3 calki podwojne, zadania
calki podwojne lista1
02 Interpretacja geometryczna i fizyczna całki podwójnej
wyklad29 całki podwójne
03 2 Zastosowanie całki krzywoliniowej w mechanice
RACHUNEK CAŁKOWY 5 3 Dalsze własności całki oznaczonej funkcji ciągłej
Zestaw Całki podwójne cz 2
Arkusz nr 5 (Całki podwójne)
Sem 2 Wykład Całki Podwójne (1)

więcej podobnych podstron