Arkusz nr 5
CAA
KI PODWÓJNE
Zadanie 1. Zapisać w postaci obszaru normalnego względem osi OX lub OY zbiór ograniczony
krzywymi: a) y=x2, x=y2; b) xy=6 , x+y=7 ; c) x+y=2, x=0, y=0; d) y=x, x+y=2, y=0 ;
e) y=lnx , x=e , y=0; f) y2=x+4, x=5; g) y2=2x, x-y-4=0.
Zadanie 2. Obliczyć całki podwójne :
a) , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y= ,y=2-2 .
,"
b) ,gdzie D jest prostokątem [1,e] x [0,1] .
,"
c) ,gdzie D jest obszarem zawartym między krzywymi : y= ,y= i x=1 .
,"
d) ,gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach A(1,1) B(2,0) C(-3,-1) .
,"
Zadanie 3. Wprowadzając współrzędne biegunowe, zapisać obszar w postaci normalnej :
a)D={(x,y) : } ; b) D={(x,y) : 1 + ;
c) D={(x,y) : } .
Zadanie 4. Stosując zamianę zmiennych, obliczyć całki podwójne :
a) )dxdy ,gdzie D={(x,y) } ;
,"
b) , gdzie D={(x,y) : 1 y } ;
,"
c) " dxdy ,gdzie D={(x,y) : -2y
,"
d) ,gdzie D={(x,y) .
,"
Zadanie 5. Obliczyć objętość bryły V:
a)V={(x,y,z) : 4
b)V={(x,y,z)
c)V={(x,y,z)
Zadanie 6. Obliczyć pole płata powierzchniowego S :
a)S jest częścią płaszczyzny 2x+2y-z-13=0 wyciętą walcem
b)S jest częścią paraboloidy z = 9 - której rzutem na płaszczyznę Oxy jest pierścień
określony nierównościami 1 ;
c)S jest częścią stożka z= 1 + " wyciętą walcem o równaniu
Zadanie 7. Obliczyć masę oraz momenty statyczne i momenty bezwładności arkusza blachy D gdzie
D= {(x,y) } o gęstości powierzchniowej .
Gdzie znajduje się środek ciężkości obszaru D? Wyznaczyć ten punkt.