Arkusz nr 7
Całki potrójne i powierzchniowe
Zadanie 1. Obliczyć całki potrójne:
a) dxdydz, jeśli V = {(x, y, z) " R3 : x2 + y2 + z2 4}
V
b) dxdydz, jeśli V jest ostrosłupem, którego wysokość jest równa 4 cm, natomiast pole
V
podstawy wynosi 9 cm2.
c) dxdydz, jeśli V = {(x, y, z) " R3 : 0 x 2, 1 y 4, 2 z 7}.
V
Zadanie 2. Obliczyć całki potrójne:
a) (x-2z)dxdydz, jeśli V = {(x, y, z) " R3 : 0 z 4x '" (x, y) " D}, gdzie D jest trójkątem
V
ograniczonym prostymi y = x, y = 2 - x, y = 0.
(Rozwiązanie:  Matematyka 2 K.Dobrowolska i inni, rozdział III.8)
b) 3zdxdydz, jeśli V = {(x, y, z) " R3 : -1 x y2 + z2 '" (y, z) " D}, gdzie
V
D = {(y, z) " R2 : y2 + z2 16 '" y 0 '" z 0}.
(Rozwiązanie:  Matematyka 2 K.Dobrowolska i inni, rozdział III.8)
c) z2dxdydz, gdzie V jest kulą domkniętą x2 + y2 + z2 9.
V
(Rozwiązanie:  Matematyka dla studentów Politechnik A.Just i inni, rozdział 12)
d) (x2 + y2 + z2)dxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami x + y + z = 1, x = 0,
V
y = 0, z = 0. (Rozwiązanie:  Matematyka dla studentów Politechnik A.Just i inni, rozdział 12)
Zadanie 3. Obliczyć masę bryły określonej nierównościami: x2 + y2 + z2 1, x 0, y 0, jeśli
gÄ™stość w dowolnym punkcie (x, y, z) jest równa Á(x, y, z) = x2 + y2.
(Rozwiązanie::  Matematyka 2 K.Dobrowolska i inni, rozdział III.8)
Zadanie 4. Obliczyć całki powierzchniowe niezorientowane:
"
y
4 x z
a) (z + 2x + y)dS, gdzie S : + + = 1, x 0, y 0, z 0. (Odpowiedz
: 4 61)
3 2 3 4
S
149Ä„
b) (x2 + y2)dS, gdzie S : z = 2 - (x2 + y2), z 0. (Odpowiedz
: )
30
S
c) (x2 + y2)dS, gdzie S jest powierzchnią bryły określonej nierównością: x2 + y2 z 1.
S
"
Ä„
(Odpowiedz
: (1 + 2))
2
1
Zadanie 5. Obliczyć masę powierzchni S : z = (x2 + y2), z "< 0, 1 >, której gęstość
2
"
2Ä„
powierzchniowa jest równa Á(x, y, z) = z. (Odpowiedz
: (6 3 + 1))
15
Zadanie 6. Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane:
a) xydydz + yzdxdz + xzdxdy, gdzie S jest górną stroną płaszczyzny x + y + z = 1, dla
S
1
x 0, y 0, z 0. (Odpowiedz
: )
8
b) xdydz +ydxdz +zdxdy, gdzie S jest zewnętrzną stroną dolnej półsfery x2 +y2 +z2 = 1, z 0.
S
(Odpowiedz
: 2Ä„)