CAA
KI PODWÓJNE
CAA
KI PODWÓJNE PO PROSTOK
CIE
Definicja 1 (podział prostokąta)
Podziałem prostokąta R = {(x, y) : a d" x d" b, c d" y d" d }
nazywamy zbiór P zło\
ony z prostokątów R1, R2,..., Rn, które
całkowicie wypełniają prostokąt R i mają parami rozłączne
wnętrza.
Oznaczenia:
"xk ,"yk  wymiary prostokÄ…ta Rk .
"(P) = max{ ("xk )2 + ("yk )2 : 1 d" k d" n}  średnica podziału P.
CAA
KA PODWÓJNA 2 / 29
Definicja 2 (suma całkowa funkcji po prostokącie)
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie R
oraz niech P będzie podziałem tego prostokąta,
* * * * * *
a ś = {(x1 , y1 ),(x2, y2),...,(xn, yn ),} zbiorem punktów pośrednich.
Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz
punktom pośrednim ś nazywamy liczbę
n
* *
f (xk , yk )("xk )("yk ).
"
k=1
CAA
KA PODWÓJNA 3 / 29
Uwaga 1
Suma całkowa jest przybli\
eniem objętości bryły ograniczonej
wykresem funkcji z = f (x, y) > 0 nad prostokÄ…tem R oraz
płaszczyzną xOy przez sumę objętości prostopadłościanów o
* *
podstawach Rk i wysokościach f (xk , yk ) dla 1 d" k d" n.
CAA
KA PODWÓJNA 4 / 29
Definicja 3 (całka podwójna po prostokącie)
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie R.
Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie R oznaczoną
symbolem f (x, y)dP definiujemy wzorem:
+"+"
R
n
* *
f (x, y)dxdy = lim f (xk , yk )("xk )("yk ),
"1
+"+"
"(P)0
k =
R
o ile jest właściwa i nie zale\
y od sposobu podziału prostokąta ani
od sposobów wyboru punktów pośrednich ś.
Mówimy wtedy, \
e funkcja f jest całkowalna na prostokącie R.
Fakt 1
Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.
CAA
KA PODWÓJNA 5 / 29
Twierdzenie 1 (liniowość całki)
Niech f i g bÄ™dÄ… caÅ‚kowalne na prostokÄ…cie R oraz niech Ä…, ²
będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy
(Ä…f (x, y) + ²g(x, y))dP = Ä… f (x, y)dP + ² g(x, y)dP.
+"+" +"+" +"+"
R R R
Twierdzenie 2 (addytywność całki względem obszaru całkowania)
Je\
eli funkcja f jest całkowalna na prostokącie R, to dla
dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty R1, R2
o rozłącznych wnętrzach zachodzi
f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy.
+"+" +"+" +"+"
R R1 R2
CAA
KA PODWÓJNA 6 / 29
Twierdzenie 3 (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Je\
eli funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a na prostokÄ…cie [a,b]×[c,d], to
b d
îÅ‚d Å‚Å‚ îÅ‚b Å‚Å‚
f (x, y)dxdy =
+"+" +" +" +" +"
ïÅ‚c f (x, y)dyśłdx = c ïÅ‚a f (x, y)dxśłdy.
[a,b]×[c,d] a
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
CAA
KA PODWÓJNA 7 / 29
Uwaga 2
Zamiast
b
îÅ‚b Å‚Å‚
îÅ‚d f (x, y)dyÅ‚Å‚dx i d f (x, y)dxśłdy
+" +"
+" +"
ïÅ‚a
ïÅ‚c śł
a
ðÅ‚ ûÅ‚ c
ðÅ‚ ûÅ‚
piszemy odpowiednio
d b
b d
dx+" f (x, y)dy i dy f (x, y)dx .
+"
+" +"
a c
c a
CAA
KA PODWÓJNA 8 / 29
Przykład 1
Obliczyć całki iterowane:
4 3 2 3
1) dx
+" +"(x - y2)dy, 2) -1dy0 + xy2)dx.
+" +"(x
0 2
Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:
1) x2 y2dxdy , R = [0,1]×[-1,1],
+"+"
R
îÅ‚- Ä„ Ä„ Å‚Å‚ îÅ‚0,Ä„ Å‚Å‚.
2)
+"+"sin(x + y)dxdy, R = ïÅ‚ 4 , 4 śł × ïÅ‚ 4 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
R
CAA
KA PODWÓJNA 9 / 29
Twierdzenie 4 (całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych)
Je\
eli funkcja f jest funkcjÄ… postaci f (x, y) = g(x)h( y), gdzie
funkcje g i h są ciągłe odpowiednio na przedziałach [a,b] i [c,d], to
b
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚d öÅ‚
f (x, y)dxdy = g(x)dx Å" h( y)dy .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+"+" +" +"
[a,b]×[c,d ] a c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
CAA
KA PODWÓJNA 10 / 29
Przykład 2
Podane całki zamienić na sumy i iloczyny całek pojedynczych:
1) ex+ ydxdy, R = [0,1]×[-1,1],
+"+"
R
îÅ‚- Ä„ Ä„ Å‚Å‚ îÅ‚0,Ä„ Å‚Å‚.
2)
+"+"cos(x + y)dxdy, R = ïÅ‚ 4 , 4 śł × ïÅ‚ 4 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
R
CAA
KA PODWÓJNA 11 / 29
CAA
KI PODWÓJNE PO OBSZARACH NORMALNYCH
Definicja 4 (obszary normalne względem osi układu)
1. Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym
względem osi Ox, je\
eli
D = {(x, y) : a d" x d" b, g(x) d" y d" h(x)},
gdzie funkcje g i h są ciągłe na a,b .
2. Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym
względem osi Oy, je\
eli
D = {(x, y) : p( y) d" x d" q( y), c d" y d" d},
gdzie funkcje p i q są ciągłe na c,d .
CAA
KA PODWÓJNA 12 / 29
Przykład 3
Zbadać, czy obszary ograniczone podanymi krzywymi są
normalne względem osi Ox i osi Oy. Naszkicować te obszary.
1) y = 0, x = 1, y = x2,
2) y = 2, x = 0, y = x2,
3) y = -x2 + 2, y = x2,
4) y = 3x, y = x2 - 2.
CAA
KA PODWÓJNA 13 / 29
Twierdzenie 5 (obliczanie całki po obszarach normalnych)
1. Je\
eli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym
D = {(x, y) : a d" x d" b, g(x) d" y d" h(x)}
normalnym względem osi Ox, to
b
îÅ‚h( x)f (x, y)dyÅ‚Å‚dx.
+"+" f (x, y)dxdy =
+"
ïÅ‚g(+"x) śł
D a
ðÅ‚ ûÅ‚
2. Je\
eli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym
D = {(x, y) : p( y) d" x d" q( y), c d" y d" d}
normalnym względem osi Oy, to
d
îÅ‚q( y)f (x, y)dxÅ‚Å‚dy.
+"+" f (x, y)dxdy =
+"
ïÅ‚p(+"y) śł
D c
ðÅ‚ ûÅ‚
CAA
KA PODWÓJNA 14 / 29
Przykład 4
Zamienić całkę podwójną +"+" f (x, y)dxdy na całki iterowane, je\
eli
D
obszar D jest ograniczony przez:
1) y = 1+ 2x - x2 , x = 0, x = 2, y = 0,
2) x = y2, y = x - 2.
Obliczyć całki iterowane. Narysować obszar całkowania.
3 3x Ä„ / 2 2x
1) +" dx (x2 - y)dy, 2) dx sin(x + y)dy.
+" +" +"
0 x 0 0
Obliczyć całki podwójne po obszarach normalnych:
1) (x2 - xy2)dxdy, D = {(x, y) : y e" x, y d" 4x - x2,
+"+"
D
2) x2 ydxdy, D = {(x, y) : y e" x2, y d" 3x - x2.
+"+"
D
CAA
KA PODWÓJNA 15 / 29
Definicja 5 (obszar regularny na płaszczyz
nie)
Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox
lub osi Oy) o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem
regularnym na płaszczyz
nie.
Fakt 2
Niech obszar regularny D będzie sumą obszarów normalnych
D1, D2, & , Dn o rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f
będzie całkowalna na D. Wtedy:
f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy + ... + f (x, y)dxdy.
+"+" +"+" +"+" +"+"
D D1 D2 Dn
CAA
KA PODWÓJNA 16 / 29
Przykład 5
Obliczyć całki podwójne po obszarach ograniczonych krzywymi:
1
1) xydxdy , D : y = x, y = , y = 0, x = 4,
+"+"
x
D
2) ydxdy, D : y = x2, y = -x + 4, y = 0, x e" 0.
+"+"
D
Przykład 6
Obliczyć całki podwójne po obszarze D : x2 + y2 d" 3, x e" 0, y e" 0:
1. dxdy,
+"+"
D
2. (x2 + y2)dxdy.
+"+"
D
CAA
KA PODWÓJNA 17 / 29
ZAMIANA ZMIENNYCH W CAA
KACH PODWÓJNYCH
Definicja 6 (przekształcenie obszarów na płaszczyz
nie)
Niech " i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach uOv
i xOy. Przekształceniem obszaru " w obszar D nazywamy
funkcjÄ™ Ä : " D okreÅ›lonÄ… wzorem:
(x, y) =Ä (u,v) = (Õ(u,v),È (u,v)), gdzie (u,v)"".
Obrazem zbioru " przy przeksztaÅ‚ceniu Ä nazywamy zbiór
Ä (") = {(x, y): x = Õ(u,v), y =È (u,v), (u,v) " "}.
PrzeksztaÅ‚cenie Ä nazywamy:
1. Ciągłym, je\
eli funkcje Õ i È sÄ… ciÄ…gÅ‚e na obszarze ",
2. Ró\
nowartościowym, je\
eli ró\
nym punktom obszaru "
odpowiadają ró\
ne punkty jego obrazu D.
CAA
KA PODWÓJNA 18 / 29
Fakt 3
Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i ró\
nowartościowym
jest równie\
obszarem.
Definicja 7 (jakobian przekształcenia)
Jakobianem przeksztaÅ‚cenia Ä (u,v) = (Õ(u,v),È (u,v)) nazywamy
funkcję określoną wzorem:
"Õ "Õ
îÅ‚
(u,v) (u,v)Å‚Å‚
śł.
"u "v
JÄ (u,v) = detïÅ‚"È
ïÅ‚ śł
"È
(u,v) (u,v)śł
ïÅ‚
ðÅ‚ "u "v ûÅ‚
"(Õ,È ) D(Õ,È )
Uwaga 3 Jakobian oznacza się równie\
przez lub .
"(u,v) D(u,v)
CAA
KA PODWÓJNA 19 / 29
Twierdzenie 6 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Niech
x = Õ(u,v)
1. przeksztaÅ‚cenie Ä : Å„Å‚y =È (u,v) odwzorowuje
òÅ‚
ół
ró\
nowartościowo wnętrze obszaru regularnego " na wnętrze
obszaru regularnego D,
2. funkcje Õ i È majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne czÄ…stkowe pierwszego
rzędu na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar ",
3. funkcja f jest ciągłą na obszarze D,
4. jakobian JÄ jest ró\
ny od zera wewnÄ…trz obszaru D.
Wtedy
f (x, y)dxdy = f (Õ(u,v),È (u,v))JÄ (u,v) dudv.
+"+" +"+"
D "
CAA
KA PODWÓJNA 20 / 29
WSPÓA
RZ
DNE BIEGUNOWE W CAA
KACH PODWÓJNYCH
Definicja 8 (współrzędne biegunowe)
Poło\
enie punktu P na płaszczyz
nie mo\
na opisać parą liczb
(r,Õ), gdzie:
r  oznacza odległość punktu P od początku układu
współrzędnych, przy czym 0 d" r < ",
Õ  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy dodatniÄ… częściÄ… osi Ox a
promieniem wodzÄ…cym punktu P, przy czym 0 d" Õ d" 2Ä„
albo -Ä„ d" Õ d" Ä„ .
ParÄ™ liczb (r,Õ) nazywamy współrzÄ™dnymi biegunowymi punktu
płaszczyzny.
CAA
KA PODWÓJNA 21 / 29
Fakt 4
Współrzędne kartezjańskie (x, y) punktu płaszczyzny danego
we współrzÄ™dnych biegunowych (r,Õ) okreÅ›lone sÄ… wzorami:
Å‚ : Å„Å‚x = r cosÕ .
òÅ‚
y = r sinÕ
ół
Jakobian przekształcenia biegunowego ł wynosi r, tj.
JÅ‚(r,Õ) = r.
CAA
KA PODWÓJNA 22 / 29
Fakt 5
Współrzędne kartezjańskie (x, y) punktu płaszczyzny danego
we współrzÄ™dnych biegunowych uogólnionych (r,Õ) okreÅ›lone sÄ…
wzorami:
Å‚ : Å„Å‚x = ar cosÕ .
òÅ‚
y = br sinÕ
ół
Jakobian przekształcenia biegunowego ł wynosi abr, tj.
JÅ‚(r,Õ) = abr.
Współrzędne biegunowe uogólnione stosuje się dla elipsy
o równaniu
x2 y2
+ = 1.
a2 b2
CAA
KA PODWÓJNA 23 / 29
Twierdzenie 7 (współrzędne biegunowe w całce podwójnej)
Niech
1. obszar " we współrzędnych biegunowych będzie regularny,
2. funkcja f będzie ciągła na obszarze D, który jest obrazem
zbioru " przy przekształceniu biegunowym; D = ł(").
Wtedy
f (x, y)dxdy = f (r cosÕ,r sinÕ) r drdÕ .
+"+" +"+"
D "
CAA
KA PODWÓJNA 24 / 29
Przykład 7
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki:
1) xy2dxdy, D : x2 + y2 d" 4, x e" 0,
+"+"
D
ln(x2 + y2)dxdy, D : 1 d" x2 + y2 d" 4, y e" 0,
2)
+"+"
D x2 + y2
3) (x2 + y2)dxdy, D : x2 + y2 - 2x d" 0.
+"+"
D
3 1 1
sin4 xdx = x - sin 2x + sin 4x + C
+"
8 4 32
CAA
KA PODWÓJNA 25 / 29
Uwaga 4
Je\
eli we współrzędnych biegunowych obszar " ma postać
" = {(r,Õ) : Ä… d" Õ d" ² , g(Õ) d" r d" h(Õ)}
gdzie funkcje g i h sÄ… ciÄ…gÅ‚e na przedziale Ä…, ² ‚" 0,2Ä„ , to
² h(Õ )
f (r cosÕ,r sinÕ) r drdÕ = dÕ f (r cosÕ,r sinÕ) r dr.
+"+" +" +"
" Ä… g(Õ )
Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar
całkowania jest ograniczony łukami okręgów o środku w początku
układu współrzędnych oraz odcinkami prostych przechodzących
przez początek układu.
CAA
KA PODWÓJNA 26 / 29
ZASTOSOWANIA CAA
EK PODWÓJNYCH W GEOMETRII
Pole obszaru regularnego D ‚" R2 wyra\
a siÄ™ wzorem:
D = dP.
+"+"
D
Objętość bryły V poło\
onej nad obszarem regularnym D ‚" R2
i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji
ciągłych z = d(x, y) i z = g(x, y) wyra\
a siÄ™ wzorem:
V = [g(x, y) - d(x, y)]dP.
+"+"
D
Pole płata S , który jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie
(x, y)" D wyra\
a siÄ™ wzorem:
2 2
"f "f
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
S = 1+ + dP.
+"+" ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y
D íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
CAA
KA PODWÓJNA 27 / 29
Przykład 8
Obliczyć:
1) pole powierzchni obszaru ograniczonego przez:
y = ex, y = ln x, x + y = 1, x = 2,
2) objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
x2 + y2 = 1, x + y + z = 3, z = 0,
3) pole powierzchni płata z = 8 - 4x - 2 y,
gdzie x e" 0, y e" 0, z e" 0.
CAA
KA PODWÓJNA 28 / 29
ZASTOSOWANIA CAA
EK PODWÓJNYCH W FIZYCE
Masa obszaru
Momenty statyczne
Współrzędne środka masy
Momenty bezwładności
Parcie
NatÄ™\
enie pola elektrycznego
Siła przyciągania grawitacyjnego
Energia kinetyczna
&
CAA
KA PODWÓJNA 29 / 29