CAA
KI
POWIERZCHNIOWE
CAA
KA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA
Definicja 1
Gładkim płatem powierzchniowym S (wzgl. płaszczyzny xOy)
nazywamy wykres funkcji
z = g(x, y), (x, y) " D
ró\
niczkowalnej na obszarze regularnym D.
Analogicznie określamy gładki płat regularny względem płaszczyzn
xOz i yOz.
Definicja 2
Powierzchnię stanowiącą zbiór spójny punktów, którą mo\
na
podzielić na skończoną liczbę gładkich płatów powierzchniowych,
nazywamy powierzchnią regularną.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 2 / 25
Rozwa\
my powierzchnię dwustronną regularną S o równaniu
z = g(x, y), gdzie (x, y) " D, oraz funkcję f (x, y, z) określoną
i ograniczoną na tej powierzchni.
Powierzchnię S dzielimy na n dowolnych części S1, S2,K, Sn
o polach S1 , S2 ,K, Sn i z ka\
dej z tych części wybieramy po jednym
dowolnym punkcie Mi (xi, yi , zi ).
n
Wtedy istnieje granica sum f (xi, yi , zi ) Si , gdy średnice "i
"
i=1
wszystkich części Si dą\
ą do zera, niezale\
na od sposobu podziału
powierzchni S na części i od wyboru punktów Mi (xi , yi, zi ).
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 3 / 25
Definicja 3 (całki powierzchniowej niezorientowanej)
Całką powierzchniową niezorientowaną nazywamy
n
lim f (xi, yi, zi ) Si
"
"n 0
i=1
i oznaczamy
f (x, y, z)dS .
+"+"
S
Czyli
n
f (x, y, z)dS = lim f (xi, yi, zi ) Si
"
+"+"
"n 0
i=1
S
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 4 / 25
Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej
na całkę podwójną)
Je\
eli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na płacie powierzchniowym
regularnym S o równaniu z = g(x, y), gdzie (x, y)" D, to całka
powierzchniowa niezorientowana istnieje i wyra\
a się wzorem
2 2
'
f (x, y, z)dS = f (x, y, g(x, y)) 1+[gx (x, y)] +[g'y (x, y)] dxdy
+"+" +"+"
S D
gdzie D jest obszarem płaskim regularnym będącym rzutem płata S
na płaszczyznę xOy.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 5 / 25
Analogicznie jeśli:
" S : y = g(x, z), gdzie (x, z)" D1
2 2
' '
f (x, y, z)dS = f (x, g(x, z), z) 1+[gx (x, z)] +[gz (x, z)] dydz
+"+" +"+"
S D
" S : x = g( y, z), gdzie ( y, z) " D2
2 2
'
f (x, y, z)dS = f (g( y, z), y, z) 1+[g' ( y, z)] +[gz ( y, z)] dydz
y
+"+" +"+"
S D
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 6 / 25
Definicja 4
Powierzchnię S o równaniach parametrycznych
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v)" ", (1)
nazywamy płatem powierzchniowym regularnym jeśli spełnione
są następujące warunki:
1. ró\
nym punktom (u,v) obszaru jednospójnego " odpowiadają
przy przekształceniu (1) ró\
ne punkty (x, y, z)powierzchni S ,
2. funkcje (1) są ciągłe w obszarze " i na jego brzegu,
3. pierwsze pochodne cząstkowe funkcji (1) są ciągłe
i ograniczone w tym obszarze,
4. nie wszystkie podwyznaczniki stopnia drugiego macierzy
�ł"x "y "z łł
�ł"u "u "uśł (2)
�ł"x "y "z śł
�ł"v "v "vśł
�ł �ł
znikają jednocześnie w całym obszarze ".
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 7 / 25
Twierdzenie 2
Je\
eli funkcja f (x, y, z) jest ciągła na płacie powierzchniowym
regularnym S o równaniach (1), to całka powierzchniowa
niezorientowana istnieje i wyra\
a się wzorem
f (x, y, z)dS = f (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) A 2 + B 2 + C 2dudv,
+"+" +"+"
S D
gdzie
�ł"y "z łł �ł"z "xłł �ł"x "yłł
�ł"u "uśł, B �ł"u "uśł, �ł"u "uśł
A = =
�ł"y "z śł �ł"z "xśł A = �ł"x "yśł
�ł"v "vśł �ł"v "vśł �ł"v "vśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
są odpowiednimi wyznacznikami macierzy (2).
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 8 / 25
W skrócie
f (x, y, z)dS =
+"+"
S
2 2 2
D( y, z) D(z, x) D(x, y)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
= f (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) + + dudv
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
+"+"
D(u,v) D(u,v) D(u,v)
�ł łł �ł łł �ł łł
"
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 9 / 25
Fakt 1 (zastosowania geometryczne)
Pole płata powierzchniowego gładkiego S wyra\
a się wzorem
S =
+"+"dS .
S
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 10 / 25
CAA
KA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
Rozwa\
my gładki płat powierzchniowy S o równaniu
z = g(x, y), gdzie (x, y) " D.
Płatu temu mo\
na nadać orientację, rozró\
niając dwie jego strony:
ujemną, i dodatnią,. Mówimy wówczas, \
e płat S został zorientowany
od strony nazwanej ujemną, do strony nazwanej dodatnią,.
Zorientowanie płata S powoduje ustalenie pewnego kierunku
normalnej (od strony ujemnej do strony dodatniej płata) w ka\
dym
jego punkcie.
Je\
eli S oznacza płat powierzchniowy, to symbol - S oznacza płat
ró\
niący się od S tylko zorientowaniem (orientacją).
Mówimy, \
e płaty S i - S są przeciwnie zorientowane.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 11 / 25
Uwaga 1
Jeśli powierzchnia S jest zamknięta, to za powierzchnię dodatnią
przyjmuje się jej zewnętrzną stronę.
Uwaga 2
Nie dla ka\
dej powierzchni mo\
na ustalić orientację, tj. nie ka\
da
powierzchnia jest powierzchnią dwustronną.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 12 / 25
Definicja 5 (całki powierzchniowej zorientowanej)
Niech P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z),
Oznaczają trzy funkcje określone i ciągłe na płacie regularnym
zorientowanym S postaci z = f (x, y), gdzie (x, y)" D,
zaś cosą , cos � i cosł oznaczają kosinusy kierunkowe wektora
normalnego do powierzchni S , zorientowanego od strony ujemnej
do dodatniej.
Przy tych zało\
eniach całkę postaci
+"+"(P cosą + Q cos � + R cosł )dS (*)
S
nazywamy całką powierzchniową zorientowaną po płacie
regularnym zorientowanym S.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 13 / 25
Uwzględniając, \
e między polem dS dowolnie małego elementu płata
powierzchniowego S i polami dxdy, dydz i dxdz rzutu tego elementu
odpowiednio na płaszczyzny xOy, yOz i xOz zachodzą związki:
dydz = dS cosą , dzdx = dS cos � , dxdy = dS cosł ,
całkę powierzchniową zorientowaną mo\
na zapisać w postaci
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . (**)
+"+"
S
Przedstawienia (*) i (**) są równowa\
ne.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 14 / 25
Uwaga 3
Je\
eli zamienimy stronę dodatnią płata na ujemną, to funkcje
cosą , cos � i cosł zmieniają znak. Jeśli oznaczymy przez - S
płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do S , to
+"+"(P cosą + Q cos � + R cosł )dS = -+"+"(P cosą + Q cos � + R cosł )dS .
-S S
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 15 / 25
Twierdzenie 3
Je\
eli płat powierzchniowy gładki S określony jest równaniami
parametrycznymi x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v)" ",
to całka powierzchniowa zorientowana
+"+"Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S
sprowadza się do całki podwójnej po obszarze płaskim ", czyli
y, z)
+
+"+"Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = +"+"[P(x(u,v), y(u,v), z(u,v))D(
D(u,v)
S "
+ Q(x(u,v), y(u,v), z(u,v))D(z, x) +
D(u,v)
+ R(x(u,v), y(u,v), z(u,v))D(x, y)] dudv.
D(u,v)
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 16 / 25
Twierdzenie 4
Je\
eli funkcja R(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S
o równaniu postaci z = f (x, y), gdzie (x, y)" D, zorientowanym
dodatnio, to całka powierzchniowa zorientowana
R(x, y, z)dxdy
+"+"
S
istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem
R(x, y, z)dxdy = R(x, y, f (x, y))dxdy
+"+" +"+"
S D
gdzie D jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę xOy.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 17 / 25
Twierdzenie 4 (cd.)
Je\
eli funkcja P(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S
o równaniu postaci x = g( y, z), gdzie ( y, z)" D1, zorientowanym
dodatnio (tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim
kierunkiem osi Ox kąt ostry), to całka powierzchniowa
zorientowana
P(x, y, z)dydz
+"+"
S
istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem
+"+"P(x, y, z)dydz = +"+"R(g( y, z), y, z)dydz
S D1
gdzie D1 jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę yOz.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 18 / 25
Twierdzenie 4 (cd.)
Je\
eli funkcja Q(x, y, z) jest ciągła na płacie regularnym S
o równaniu postaci y = h(x, z), gdzie (x, z) " D2, zorientowanym
dodatnio (tzn. wektor normalny do S tworzy z dodatnim
kierunkiem osi Oy kąt ostry), to całka powierzchniowa
zorientowana
+"+"Q(x, y, z)dxdz
S
istnieje i daje się wyrazić za pomocą całki podwójnej wzorem
+"+"Q(x, y, z)dxdz = +"+"Q(x,h(x, z), z)dxdz
S D2
gdzie D2 jest rzutem płata regularnego S na płaszczyznę xOz.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 19 / 25
Twierdzenie 5
Je\
eli funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) są ciągłe na płacie
powierzchniowym regularnym opisanym równaniem z = f (x, y),
gdzie (x, y) " D, to
+"+"P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =
S
'
= �
y
+"+"[-P(x, y, f (x, y)) fx' (x, y) - Q(x, y, f (x, y)) f (x, y) +
d
+ R(x, y, f (x, y))]dxdy,
przy czym � = 1, je\
eli płat S zorientowany jest tak, \
e cosł > 0,
natomiast � = -1 jeśli orientacja jest przeciwna.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 20 / 25
Fakt 2 (zastosowania geometryczne)
Je\
eli powierzchnia zamknięta i gładka S jest zorientowana
dodatnio, to objętość V bryły ograniczonej tą powierzchnią mo\
e
być obliczona jako całka powierzchniowa zorientowana
1
V = xdydz + ydxdz + zdxdy.
+"+"
3
S
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 21 / 25
Twierdzenie 6 (Gaussa-Ostrogradzkiego)
Je\
eli funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) są ciągłe wraz
"P "Q "R
z pochodnymi cząstkowymi , , wewnątrz i na brzegu
"x "y "z
obszaru przestrzennego V , który jest normalny względem
wszystkich płaszczyzn układu współrzędnych i je\
eli brzeg S
obszaru V jest powierzchnią regularną zamkniętą zorientowaną
skierowaniem wektora normalnego do powierzchni S na zewnątrz
obszaru V , to
"P "Q "R
�ł �łdxdydz.
+"+"Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = +"+"+"�ł "x + "y + "z �ł
�ł łł
S V
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 22 / 25
Uwaga 4
Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego jest prawdziwy równie\
dla
obszarów, które dają się podzielić na skończoną ilość obszarów
normalnych względem płaszczyzn układu współrzędnych.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 23 / 25
Twierdzenie 7 (Stokesa)
Je\
eli funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) są ciągłe wraz
z pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu w pewnym
obszarze zawierającym powierzchnię dwustronną S ograniczoną
krzywą K przy czym orientacja tej krzywej jest zgodna
z orientacją powierzchni S , to
"R "Q "P "R
�ł �łdydz + �ł �łdxdy
�ł �łdzdx + �ł "Q - "P �ł
Pdx + Qdy + Rdz = -
�ł �ł
+" +"+"�ł "y - "z �ł
"z "x "x "y
�ł łł
�ł łł �ł łł
K S
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 24 / 25
Uwaga 5
Zgodność orientacji krzywej K będącej brzegiem płata
powierzchniowego S z orientacją tego płata nale\
y rozumieć
w ten sposób, \
e obieg dodatni na krzywej K wokół wektora
r
normalnego n do powierzchni S jest zgodny z obiegiem wokół osi
Oz krzywej C , która jest rzutem krzywej K na płaszczyznę xOy.
CAA
KI POWIERZCHNIOWE 25 / 25