FUNKCJE UWIKA
ANE
Definicja 1 (funkcje uwikłane)
Funkcją uwikłaną określoną w przedziale I równaniem
F(x, y) = 0 (*)
nazywamy ka\
dą funkcję y = f (x) spełniającą równość
F(x, f (x)) = 0
dla wszystkich x z przedziału I.
Mówimy równie\
, \
e funkcja y = f (x) jest uwikłana równaniem (*).
FUNKCJE UWIKA
ANE 2 / 12
Przykład 1
Naszkicować wykresy funkcji uwikłanych określonych równaniami:
a) x2 + y2 = 4,
b) x2 - y2 = 0.
FUNKCJE UWIKA
ANE 3 / 12
Twierdzenie 1 (o istnieniu i ró\
niczkowalności funkcji uwikłanej)
Je\
eli funkcja F(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu
pierwszego w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) oraz spełnia
"F
warunki F(x0, y0) = 0 i (x0, y0) `" 0,
"y
to w pewnym otoczeniu O punktu x0 istnieje jednoznacznie
określona funkcja uwikłana y = f (x) spełniająca warunki:
a) f (x0) = y0,
"F
(x, f (x))
"x
2
b) f (x) = - dla ka\
dego x "O.
"F
(x, f (x))
"y
FUNKCJE UWIKA
ANE 4 / 12
Uwaga 1
Je\
eli ponadto funkcja F ma ciągłe pochodne rzędu drugiego
w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0), to funkcja uwikłana
y = f (x) jest dwukrotnie ró\
niczkowalna w pewnym otoczeniu
punktu x0 i jej druga pochodna wyra\
a siÄ™ wzorem
Fxx(Fy )2 - 2FxyFxFy + Fyy (Fx )2
2 2
f (x) = - .
(Fy )3
FUNKCJE UWIKA
ANE 5 / 12
Przykład 2
Zbadać, czy podane równania określają jednoznacznie ciągłą
funkcję uwikłaną w pewnych otoczeniach wskazanych punktów.
1 Ä„
ëÅ‚ öÅ‚;
a) x = cos y, A = (1, 0), B = ,
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
b) x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3 = 1, A = (3, 2), B = (0, -1).
Przykład 3
Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych y = f (x)
określonych przez równania:
a) x2 - y + y2 +1 = 0, b) y - sin y + x2 = 0,
c) y2 - arctg y - ex = 0, d) x = y + ln y.
FUNKCJE UWIKA
ANE 6 / 12
Przykład 4
Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi
równaniami we wskazanych punktach tych krzywych:
a) (x - y)2 = xy + x - y + 3 = 0, A = (1, -1);
b) ln x2 + y2 + xy = 1, A = (1, 0).
FUNKCJE UWIKA
ANE 7 / 12
Twierdzenie 2 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego
w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech spełnia warunki:
1. F(x0, y0) = 0,
"F "F
2. (x0, y0) = 0, (x0, y0) `" 0,
"x "y
"2F
(x0, y0)
"x2
3. A = - `" 0.
"F
(x0, y0)
"y
Wtedy funkcja uwikłana y = f (x) określona równaniem
F(x, y) = 0 ma w punkcie x0 ekstremum lokalne właściwe
i jest to: minimum, gdy A > 0 albo maksimum, gdy A < 0.
FUNKCJE UWIKA
ANE 8 / 12
Uwaga 2
"F
Równość (x0, y0) = 0 jest warunkiem koniecznym,
"x
"2F
a nierówność (x0, y0) `" 0 warunkiem wystarczającym
"x2
istnienia ekstremum funkcji uwikłanej.
FUNKCJE UWIKA
ANE 9 / 12
ALGORYTM ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW LOKALNYCH
FUNKCJI UWIKA
ANEJ
1. Punkty, w których funkcja uwikłana mo\
e mieć ekstrema lokalne
znajdujemy korzystajÄ…c z warunku koniecznego istnienia
ekstremum, tj. rozwiązując układ równań:
Å„Å‚F(x, y) = 0
ôÅ‚"F
òÅ‚
(x, y) = 0
ôÅ‚
ół
"x
Dla otrzymanych punktów sprawdzamy, czy spełniony jest warunek
"F
(x0, y0) `" 0.
"y
FUNKCJE UWIKA
ANE 10 / 12
2. W otrzymanych punktach sprawdzamy warunek wystarczajÄ…cy
istnienia ekstremum funkcji, tj. badamy, czy zachodzi nierówność
"2F
(x0, y0)
"x2
A = - `" 0.
"F
(x0, y0)
"y
Na podstawie znaku A ustalamy rodzaj ekstremum.
FUNKCJE UWIKA
ANE 11 / 12
Przykład 5
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych y = f (x)
określonych równaniami:
a) x3 + y3 - 8xy = 0, b) x2 + y2 - xy - 2x + 4 y = 0,
2
c) (x2 + y2) = 2(x2 - y2), c) y2 - y4 = x2.
FUNKCJE UWIKA
ANE 12 / 12