Temat wykładu:
Funkcje. Granica funkcji.
Pochodna
Kody kolorów:
żółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
kursywa  komentarz
*  materiał nadobowiązkowy
1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Zagadnienia 1/2
1. Przypomnienie: funkcja,
argument, wartość, dziedzina,
zbiór wartości, miejsce zerowe,
wykres, monotoniczność,
ekstremum (globalne)
2
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Zagadnienia 2/2
2. Granica funkcji
3. Pochodna funkcji w punkcie
4. Wzory na pochodne funkcji
elementarnych, reguły
różniczkowania
5. Zastosowania pochodnej
3
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przypomnienie
4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
PrzyporzÄ…dkowanie
Zapis
x y
czytamy:
wielkości oznaczonej symbolem x
przyporządkowana jest wielkość
oznaczona symbolem y.
5
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Terminologia
W zapisie:
x y
liczby x, y nazywamy zmiennymi:
x  zmienna niezależna
y  zmienna zależna
6
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Oznaczenia i terminologia cd.
Zapis
g : x y
lub
g
x y
oznacza przyporzÄ…dkowanie
nazwane literÄ… g.
7
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Terminologia cd.
Zapis
g : X Y
oznacza, że g przyporządkowuje
elementom zbioru X elementy
zbioru Y.
8
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja  wprowadzenie
Przyporządkowanie, które spełnia
pewne warunki określone
w definicji nazywamy funkcjÄ….
9
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Definicja funkcji
Niech X ‚" R, Y ‚" R.
Funkcją f określoną na zbiorze X
o wartościach ze zbioru Y
nazywamy przyporzÄ…dkowanie
każdej liczbie
dokładnie
x " X
jednej liczby y "Y .
Ozn.:
f : X Y
10
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja  terminologia
f
f : X Y x çÅ‚çÅ‚ y y = f (x)
çÅ‚
x  argument funkcji,
x " X
X  dziedzina funkcji
Ustalenie:
D, Df  oznaczenie dziedziny
funkcji f, D ‚" R
11
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja  terminologia cd.
f
f : X Y x çÅ‚çÅ‚ y y = f (x)
çÅ‚
y = f (x)  wartość funkcji
{ y "Y : istnieje x "X takie,że y = f(x) }=YW
YW  zbiór wartości funkcji
YW ‚" Y
Y  przeciwdziedzina funkcji
12
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja  sposoby przedstawienia
13
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja  sposoby przedstawienia
tabelka wykres
Y
x x1 x2 x3
y y1 y2 y3 y1
0 x1 X
wzór
x2
graf
g(x) =
x1 y1
x - 1
y2
x2
y3
x3
X
Y
14
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji
Wykres funkcji rysujemy
w układzie współrzędnych
kartezjańskich XOY.
Układ tworzą osie liczbowe:

pozioma
OX - oś odciętych

pionowa
OY - oś rzędnych
15
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Definicja wykresu funkcji
Jeśli funkcja f : X Y dana jest
wzorem , to wykresem
y = f( x )
funkcji w układzie XOY jest zbiór
wszystkich punktów
o współrzędnych (x, y) takich, że
x jest argumentem funkcji,
a y jest wartością funkcji dla
argumentu x (y = f(x)).
16
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji
Y y = f (x)
wartości
O
X
argumenty
17
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji  umowa
Na wykresie funkcji:
punkt zaznaczony kropką należy
do wykresu,
punkt zaznaczony pustym kółkiem
nie należy do wykresu.
18
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji  umowa
y = f (x)
Y
O
X
19
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji  umowa cd.
Gdy na rysunku wykres nie jest
zakończony ani kropką, ani
pustym kółkiem oznacza to, że
biegnie dalej.
20
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji  umowa cd.
biegnie dalej
y = f (x)
Y
O
X
biegnie dalej
21
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Dziedzina funkcji - umowa
22
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Dziedzina funkcji - umowa
Jeśli funkcja dana jest wzorem, to
do jej dziedziny należą wszystkie
liczby, dla których wzór funkcyjny
ma sens.
Przykład. Wyznacz dziedzinę
funkcji danej wzorem
x + 1
f (x) =
x - 1
23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Dziedzina funkcji na wykresie
Odczytaj dziedzinÄ™ funkcji y = f (x)
z wykresu.
24
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Dziedzina funkcji na wykresie cd.
Y
y = f (x)
a O
X
b
(
D = a ; b *#
25
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji  zadanie
Posługując się wykresem funkcji
y = f (x) zaznacz zbiór wartości.
Zapisz zbiór wartości w postaci
przedziału lub sumy przedziałów.
26
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykres funkcji  zadanie
y = f (x)
Y
d
O
X
c
YW = (c ; d*#
27
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność funkcji
28
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja rosnÄ…ca  idea
Funkcja f : X Y jest rosnÄ…ca
w przedziale ( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li
większemu argumentowi
z przedziału ( )
a ; b
przyporządkowuje większą
wartość.
29
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja rosnÄ…ca  definicja
Mówimy, że funkcja f : X Y
jest rosnÄ…ca w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li
[ x1 < x2 Ò! f(x1) < f(x2) ]
"
x1, x2"(a ; b)
30
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja malejÄ…ca  idea
Mówimy, że funkcja f : X Y
jest malejÄ…ca w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li wiÄ™kszemu
argumentowi z przedziału ( )
a ; b
przyporzÄ…dkowuje mniejszÄ…
wartość.
31
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja malejÄ…ca - definicja
Mówimy, że funkcja f : X Y
jest malejÄ…ca w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li
[ x1 < x2 Ò! f(x1) > f(x2) ]
"
x1, x2"(a ; b)
32
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Funkcja stała
Mówimy, że funkcja f : X Y
jest stała w przedziale
( )
a ; b ‚" X , jeÅ›li w tym
przedziale jej wartości nie
zmieniajÄ… siÄ™.
33
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność funkcji
Badanie monotoniczności funkcji
polega na ustaleniu, w jakich
przedziałach dziedziny funkcja
rośnie, w jakich maleje, w jakich
jest stała.
34
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Opisz monotoniczność funkcji
y = g(x) na podstawie wykresu.
35
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
Przesuwamy siÄ™ po wykresie
w kierunku rosnących argumentów x
36
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1
... dopóki wykres wznosi się do
góry.
37
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1
Taki przebieg wykresu oznacza, że
x " (- " ; a1
dla
funkcja jest
rosnÄ…ca.
38
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1 a2
Teraz przesuwamy siÄ™ po wykresie
w kierunku rosnących argumentów
x, dopóki wykres opada.
39
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1 a2
f ( x ) dla x " a1 ; a2
40
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Y
y = g (x)
X
a1 a2
f ( x ) Ä™! dla x " a2 ; + ")
41
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Monotoniczność  zadanie 1.
Odp.:
f(x) Ä™! dla x "(- "; a1 , x "a2; + ")
f ( x ) dla x " a1 ; a2
42
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Ekstrema globalne funkcji
43
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Ekstrema globalne funkcji
" minimum globalne (wartość
najmniejsza w dziedzinie)
" maksimum globalne (wartość
największa w dziedzinie)
44
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Minimum globalne
Funkcja f : X Y ma minimum
x0 " X
globalne w punkcie,
jeśli
wartość f (x0) jest najmniejsza ze
wszystkich wartości funkcji
w dziedzinie.
45
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład minimum globalnego
Y
O
X
W punkcie x0 = 0 funkcja ma
wartość najmniejszą  minimum
globalne.
46
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Maksimum globalne
Funkcja f : X Y ma maksimum
x0 " X
globalne w punkcie , jeśli
wartość f (x0) jest największa ze
wszystkich wartości funkcji
w dziedzinie.
47
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład maksimum globalnego
Y
O
X
W punkcie x0 = 0 funkcja przyjmuje
wartość największą  maksimum
globalne.
48
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład 1
Dany jest wzór funkcji
y = f (x) = -2x + 1
dziedzina Df = R
3
zbiór wartości R
2
1 miejsce zerowe x0=0,5
0
f (x)>0 dla x < 0,5
-3 -2 -1 0 1 2 3
f (x)<0 dla x > 0,5
-1
-2
f “! w R
-3
49
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład 2
Dany jest wzór funkcji
y = f (x) = x 2 - x - 2
dziedzina Df = R
3
1
zbiór wartości [- 2 ; + "
)
)
[- + "
)
)
[- + "
[- + "
4
2
miejsca zerowe:
1
x1 = -1, x2 = 2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
f “! dla x 0,5
d"
d"
d"
d"
-1
f Ä™! dla x 0,5
e"
e"
e"
e"
-2
minimum
-3
dla xmin=0,5, ymin=-2,25
50
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
51
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Wprowadzenie ...
Niech f : D R , y = f (x )
52
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
0
X
53
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Wprowadzenie ...
Niech f : D R , y = f (x )
Wybieramy punkt x0,
x0 " D lub x0 " D
54
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Rozpatrujemy ciąg argumentów
(xn) dążący do x0
xn x0
55
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x0
X
56
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x0
X
57
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x0
X
58
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x3 x0
X
59
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
60
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
61
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
y1
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
62
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
y = f ( x )
Y
y4
y3
y2
y1
x1 x2 x3 x4 ... x0
X
63
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Rozpatrujemy ciąg argumentów
(xn) dążący do x0
xn x0
Rozpatrujemy ciąg wartości
(yn)
inaczej (f (xn)).
64
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Jaka jest granica ciągu wartości
yn ?
f (xn) ?
65
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Granica funkcji w punkcie x0
Jaka jest granica ciągu wartości
yn ?
f (xn) ?
lim f (xn) = ?
n "
66
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
* Granica funkcji w punkcie x0
Definicja
Niech f : D R , x0  ustalony
(x0 " D lub x0 " D)
punkt, ,
(xn)  dowolny ciąg spełniający
warunki:
1. lim xn = x0
n "
xn " D i xn `" x0
2. dla każdego
n " N+
67
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
* Granica funkcji w punkcie x0
Jeżeli istnieje granica ciągu
lim f (xn) = g
wartości funkcji
n "
niezależna od wyboru ciągu (xn),
nazywamy jÄ… granicÄ… funkcji f
w punkcie x0 i piszemy
lim f (x) = g
x x0
68
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
* Granica funkcji w punkcie x0
Jeśli
lim f (x) = + " lub lim f (x) = - "
x x0 x x0
mówimy, że funkcja f ma w
punkcie x0 granicę niewłaściwą.
Ä… "
Ä… "
Ä… "
Ä… "
Uwaga. x0 może oznaczać
Koniec definicji
69
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
Df = R - { 0 }
3
2 zbiór wartości -{ 0 }
R
1
brak miejsc zerowych
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
granice widoczne
-3
na wykresie
-4
70
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
lim = 0
-2
-3 x + "
x
-4
71
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
lim" = 0
-2
-3 x -
x
-4
72
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
-2
lim = + "
-3
x0+
x
-4
73
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład cd.
1
y = f(x) =
Dany jest wzór funkcji
x
4
granica widoczna
3
na wykresie
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
-1
-2
lim = -"
-
-3
x0
x
-4
74
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
* Pochodna funkcji - idea
Niech
f : D R, x0 " D,
y = f(x),
Rozpatrujemy:
ciąg argumentów
xn x0
ciąg wartości
f (xn )
f (xn )- f (x0)
ciąg ilorazów różnicowych
xn - x0
granicÄ™ tego ciÄ…gu ...
75
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
* Pochodna funkcji - definicja
Definicja
Niech f : D R, x0 " D,
(xn)  taki ciąg, że xn " D dla
+
każdego
oraz
n " N lim xn = x0
n "
Jeżeli istnieje skończona granica
ciągu ilorazów różnicowych
f( xn ) - f( x0 )
lim
xn x0
xn - x0
76
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
* Pochodna funkcji - definicja
niezależna od wyboru ciągu (xn),
to nazywamy jÄ…
pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0
i piszemy
f(xn) - f(x0)
2
f (x0) = lim
xn x0
xn - x0
77
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Pochodna funkcji  komentarz
Z tej definicji oraz twierdzeń
opisujących własności pochodnej
wyprowadza siÄ™ wzory na
pochodne funkcji elementarnych
podane dalej.
78
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Pochodna funkcji  komentarz
Pochodna funkcji jest również
pewną funkcją. Niżej podano
przykłady zapisu pochodnej.
wzór funkcji wzór pochodnej
2
f(x) = x2 + 1 f (x) = 2x
2
g(x) = ex g (x) = ex
2
h(x) = 5 h (x) = 0
79
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Pochodna funkcji - terminologia
Obliczanie pochodnej funkcji f
nazywa się różniczkowaniem
funkcji f.
80
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wzory na pochodne funkcji
f (x) = c
Funkcja stała:
2
f (x) = 0
Pochodna funkcji stałej:
Konwencja zapisu:
Pochodna funkcji stałej
(c)2 = 0
(1)
81
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wzory na pochodne funkcji cd.
Pochodna funkcji potęgowej
Ä… Ä…-1
( )2 Ä… Å" x
x =
(2)
ą - stała, ą " R
Ä… Ä… "
Ä… Ä… "
Ä… Ä… "
82
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wzory na pochodne funkcji cd.
Pochodna funkcji wykładniczej
(ax )2 = ax Å"lna
(3)
a  stała, a > 0
83
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wzory na pochodne funkcji cd.
Pochodna funkcji logarytmicznej
1
(loga x )2 =
x Å" lna
(4)
a - stała, a > 0, a `" 1
84
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Reguły różniczkowania
2
[a Å" f (x)]2 = a Å" f (x)
(5)
a  stała,
a " R
"
"
"
2 2
[f(x) Ä… g(x)]2 = f (x) Ä… g (x)
(6)
2 2
[ ]2
f (x)Å"g(x) = f (x)Å"g(x) +f(x)Å"g (x) (7)
85
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Reguły różniczkowania
2
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
f (x) f (x) Å" g(x) - f (x) Å" g (x)
=
ïÅ‚g(x)śł
g2(x )
(8)
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
{ [f (x)]}2 = g [f (x)]Å" f (x)
g
(9)
86
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Zastosowania pochodnej
87
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Zagadnienia
1. Monotoniczność funkcji
2. Ekstrema lokalne
3. Granica funkcji  reguła de
L Hospitala
4. Badanie przebiegu
zmienności funkcji*
88
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Terminologia  uwaga 1.
f : ( a ; b ) R
Dziedzina Df = (a ; b )
Zbiór wartości
YW ‚" R
Mówimy:
funkcja f jest określona na
przedziale (a ; b ),
o wartościach rzeczywistych
89
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Terminologia  uwaga 2.
Jeżeli f :( a ; b ) R i w każdym
punkcie x "( a ; b ) istnieje
pochodna funkcji f ' (x), to
mówimy:
funkcja f jest różniczkowalna
(gładka) na przedziale (a ; b).
90
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Badanie monotoniczności
Tw. 1. Dana jest funkcja
f : ( a ; b ) R
różniczkowalna na przedziale (a ; b).
91
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Badanie monotoniczności
Tw. 1. Dana jest funkcja
f : ( a ; b ) R
różniczkowalna na przedziale (a ; b).
Jeśli
2
"x " (a ; b) f (x) > 0, to f Ä™! na (a ;b)
92
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Badanie monotoniczności
Tw. 1. Dana jest funkcja
f : ( a ; b ) R
różniczkowalna na przedziale (a ; b).
Jeśli
2
"x " (a ; b) f (x) > 0, to f Ä™! na (a ;b)
Jeśli
2
"x " (a ; b) f (x) < 0, to f na (a ;b)
93
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Badanie monotoniczności
Tw. 1. Dana jest funkcja
f : ( a ; b ) R
różniczkowalna na przedziale (a ; b).
Jeśli
2
"x " (a ; b) f (x) > 0, to f Ä™! na (a ;b)
Jeśli
2
"x " (a ; b) f (x) < 0, to f na (a ;b)
Jeśli
2
"x " (a ; b) f (x) = 0, to f stala na (a ;b)
94
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Diagram 1
a b
95
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Diagram 1 cd.
znak f ' : +
a b
96
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Diagram 1 cd.
'
znak f': : +
znak f +
a b
a b
monotoniczność f :
97
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Diagram 2
'
znak f': : -
znak f -
a b
monotoniczność f :
98
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Diagram 3
znak f ' : 0
a b
monotoniczność f : funkcja stała
99
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Ekstrema lokalne
100
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Ekstrema lokalne
Ekstrema lokalne: minimum, maksimum
Y
X
101
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Minimum lokalne
Y
X
102
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Minimum lokalne cd.
Y
X
103
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Minimum lokalne cd.
Y
x01
X
104
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Maksimum lokalne
Y
X
105
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Maksimum lokalne cd.
Y
X
106
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Maksimum lokalne cd.
Y
X
x02
x02
107
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Ekstrema lokalne
Y
x01
X
x02
108
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Definicja otoczenia punktu
Niech x0 " R, r " R.
Przedział (x0  r ; x0 + r )
nazywamy otoczeniem punktu x0
o promieniu r.
Oznaczenie:
(x0  r ; x0 + r ) = U (x0; r )
109
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Definicja sÄ…siedztwa punktu
Niech x0 " R, r " R.
Zbiór (x0  r ; x0 + r)  {x0}
nazywamy sÄ…siedztwem punktu
x0 o promieniu r.
Oznaczenie:
(x0  r ; x0 + r )  {x0} = S (x0 ; r )
110
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład 1.
Otoczeniem punktu x0 = 4
o promieniu r = 2 jest przedział
(4-2 ; 4+2) = (2 ; 6)
111
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład 1. cd.
Otoczeniem punktu x0 = 4
o promieniu r = 2 jest przedział
(4-2 ; 4+2) = (2 ; 6)
U (4 ; 2 ) = (2 ; 6 )
112
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład 1. cd.
Otoczenie punktu x0 = 4
o promieniu r = 2:
U (4 ; 2 ) = (2 ; 6 )
SÄ…siedztwo punktu x0 = 4
o promieniu r = 2:
S (4 ; 2 ) = (2 ; 6 )  {4}
113
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład 2.
Przedział (- 4, 10) jest
otoczeniem punktu x0 = 3
o promieniu r = 7:
U (3 ; 7 ) = (- 4 ; 10 )
114
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Definicja minimum lokalnego
f : (a ; b) R
Funkcja
ma
minimum lokalne w punkcie
x0 " (a ;b) ,
gdy istnieje takie
otoczenie U(x0 ; r) ‚" (a ; b),
że
"x " S(x0; r) f (x) > f (x0)
115
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Definicja maksimum lokalnego
f : (a ; b) R
Funkcja
ma
maksimum lokalne w punkcie
x0 " (a ;b) ,
gdy istnieje takie
otoczenie U(x0 ; r) ‚" (a ; b),
że
"x " S(x0; r) f (x) < f (x0)
116
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykrywanie ekstremów lokalnych
Tw. 2. Niech funkcja
f : (a ; b) R
będzie
różniczkowalna na przedziale
(a ; b). Jeśli f posiada
ekstremum lokalne w punkcie,
x0 " (a, b) to wtedy f ' (x0) = 0.
117
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wniosek z tw. 2
Warunek
f ' (x0) = 0
jest warunkiem koniecznym
istnienia ekstremum lokalnego
w punkcie x0.
Nie jest jednak warunkiem
dostatecznym.
118
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykrywanie maksimum lokalnego
( )
( )
( )
Tw. 3. Jeśli funkcja ( )
f : a, b R



jest różniczkowalna na przedziale
x0 " (a, b)
"
"
"
(a,b) i dla pewnego
zachodzi f' (x0) = 0 oraz istnieje
takie otoczenie U(x0,r) ‚" (a, b), że
x " (x0 - r, x0)
" -
" -
" -
dla f' (x) > 0 , oraz dla
x " (x0, x0 + r)
" +
" +
" +
f' (x) < 0, to funkcja f
ma w punkcie x0 maksimum
lokalne.
119
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Diagram dla maksimum lok.
0
znaki f : + -
x0
monotoniczność f:
maksimum
lokalne
120
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Wykrywanie minimum lokalnego
( )
( )
( )
Tw. 4. Jeśli funkcja ( )
f : a, b R



jest różniczkowalna na przedziale
x0 " (a, b)
"
"
"
(a,b) i dla pewnego
zachodzi f' (x0) = 0 oraz istnieje
takie otoczenie U(x0,r) ‚" (a, b), że
x " (x0 - r, x0)
" -
" -
" -
dla f' (x) < 0 , oraz dla
x " (x0, x0 + r)
" +
" +
" +
f' (x) > 0, to funkcja f
ma w punkcie x0 minimum lokalne.
121
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Diagram dla minimum lok.
0
znaki f : - +
x0
monotoniczność f:
minimum
lokalne
122
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład
-
-
-
f(x) = x Å" e-x
= Å"
= Å"
= Å"
123
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład
-
-
-
f(x) = x Å" e-x
= Å"
= Å"
= Å"
- - -
- - -
- - -
2
2
2
2
( )2 ( )2 ( )2
( )2 ( )2 ( )2
( )2 ( )2 ( )2
( )2 ( )2 ( )2
f (x) = x Å" e-x = x Å" e-x + x Å" e-x =
= Å" = Å" + Å" =
= Å" = Å" + Å" =
= Å" = Å" + Å" =
- - - - -
- - - - -
- - - - -
(- ) ( - )
(- )
(- )
(- )
= 1Å" e-x + x Å" e-x = e-x - x Å" e-x = e-x(1- x)
= Å" + Å" = - Å" = ( - )
= Å" + Å" = - Å" = ( - )
= Å" + Å" = - Å" =
2
2
2
2
f (x) > 0 Ô! x < 1
> Ô! <
> Ô! <
> Ô! <
2
2
2
2
f (x) < 0 Ô! x > 1
< Ô! >
< Ô! >
< Ô! >
2
2
2
2
f (x) = 0 Ô! x = 1
= Ô! =
= Ô! =
= Ô! =
124
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Przykład cd.
0
znaki f : + -
x0=1
monotoniczność f:
maksimum
lokalne
-
-
-
Funkcja
jest:
f(x) = x Å" e-x
= Å"
= Å"
= Å"
f Ä™! dla x < 1
Ä™! <
Ä™! <
Ä™! <
f dla x > 1
>
>
>
dla x=1 przyjmuje maksimum lokalne
1
-
-
-
o wartości
ymax = f(1) = 1Å" e-1 =
= = Å" =
= = Å" =
= = Å" =
e
125
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Reguła de L'Hospitala
Tw 4.
Jeśli granica ilorazu funkcji
f(x)
jest wyrażeniem
limg(x)
x
x0


îÅ‚0Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚" Å‚Å‚
îÅ‚" Å‚Å‚
îÅ‚" Å‚Å‚
îÅ‚" Å‚Å‚
ïÅ‚0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚" śł
ïÅ‚" śł
ïÅ‚" śł
ïÅ‚" śł
nieoznaczonym typu lub
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
oraz istnieje granica ilorazu
2
2
2
2
f (x)
pochodnych tych funkcji , to
limg2 (x)
2
2
2
x
x0


2
2
2
2
f(x) f (x)
=
=
=
limg(x) = limg2 (x)
2
2
2
x x
x0 x0


126
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
Uwaga
Tw. 4 jest prawdziwe dla x0
x0 = Ä…"
= Ä…"
= Ä…"
= Ä…"
skończonych oraz dla ,
a także dla granic
jednostronnych.
Przykład
H
( )2
( )2
( )2
x ( )2
x
-
-
-
x Å" e-x = = =
Å" = = =
Å" = = =
Å" = = =
lim lim lim
ex
x + " x + " x + "
+ " + " + "
+ " + " + "
+ " + " + "
( )2
( )2
( )2
( )2
ex
1
= = 0
= =
= =
= =
lim
ex
x + "
+ "
+ "
+ "
127
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW