Temat:
Własności zmiennych
losowych
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
1
Anna Rajfura, Matematyka
Zagadnienia
1. Parametry rozkładu zmiennej
losowej X
2. Funkcje zmiennej losowej
3. Rozkłady  z próby
4. Korelacja zmiennych losowych
2
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
3
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie - przykład
Zmienna losowa X  wygrana
gracza w grze w kostkÄ™.
D
wyniki dośw. D:
1 2 3 4 5 6
wartości zm. los. X:
-1 -1 -1 -1 10 10
4
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
ZmiennÄ… losowÄ… X opisujemy
podając jej rozkład (wymieniamy,
jakie wartości przyjmuje i z jakimi
p-stwami).
5
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie
Rozkład mo\
na podać:
" w postaci tabeli
" w postaci funkcji p-stwa
" w postaci funkcji dystrybuanty
6
Anna Rajfura, Matematyka
Przypomnienie - przykład
wartości xi: -1 10
Tabelka:
:
:
:
p-stwo pi: 2/3 1/3
Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi
p-stwo pi
Frp (tak\
e jej
wykres) przedstawia
rozkład wartości
2/3
2/3
2/3
2/3
zmiennej losowej X.
1/3
1/3
1/3
1/3
7
Anna Rajfura, Matematyka
-1 10
-1 10
-1 10
-1 10
Przypomnienie
Dystrybuanta zmiennej losowej X:
def
FX (t) = P(X d" t), t " R
8
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres dystrybuanty  przykład
FX (t)
1
2/3
-1
10
0
0
0
t
9
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
10
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
Rozkład zmiennej losowej
skokowy ciągły
(dyskretny)
Przykłady
dwupunktowy (0-1) jednostajny
równomierny normalny
dwumianowy
Poissona
11
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład skokowy
Zmienna losowa X o rozkładzie
skokowym przyjmuje skończenie
wiele wartości: x1, x2, ..xn
lub
przeliczalnie wiele wartości:
x1, x2, ....
12
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład ciągły
Zmienna losowa X o rozkładzie
ciągłym mo\
e przyjąć dowolną
wartość z pewnego przedziału
liczbowego x " a, b
( ).
13
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
Rozkład zmiennej losowej
skokowy ciągły
(dyskretny)
Przykłady
" dwupunktowy (0-1)
" jednostajny
" równomierny
" normalny
" dwumianowy
" Poissona
14
Anna Rajfura, Matematyka
Charakterystyki rozkładu
Charakterystyki (parametry)
- nazwy i oznaczenia
odchylenie
nazwa: średnia
wariancja
standardowe
2
ozn.: EX D2X
D X
15
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu skokowego
X - zmienna losowa skokowa
wartość xi
x1 x2 ... xn
pstwo pi
p1 p2 ... pn
Wartość średnia EX:
EX = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn =
"x pi
i
i
16
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu skokowego
X - zmienna losowa skokowa
wartość xi
x1 x2 ... xn
pstwo pi
p1 p2 ... pn
Wariancja D2X:
2 2 2
D2 X = (x1 - EX ) p1 + (x2 - EX ) p2 + ... + (xn - EX ) pn
2
=
"(x - EX ) pi
i
i
17
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory
Parametry rozkładu
dwumianowego
EX = np
D 2X = np(1-p)
Parametry rozkładu Poissona
EX = 
D 2X = 
18
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory dla rozkładu ciągłego
X - zmienna losowa ciągła
fgp y = f (x)
+"
+"
+"
+"
EX = x f(x) dx
=
=
=
+"
+"
+"
+"
-"
-"
-"
-"
+"
+"
+"
+"
2
( - )
( -
)
D2X = (x - EX) f(x) dx
= ( -
= )
=
+"
+"
+"
+"
- "
- "
- "
- "
19
Anna Rajfura, Matematyka
Wzory
Parametry
rozkładu normalnego
EX = µ
D2X = Ã2
20
Anna Rajfura, Matematyka
Funkcje zmiennej losowej
Przykład
21
Anna Rajfura, Matematyka
Problem
Jak wykryć (opisać)
współzale\
ność pomiędzy
zmiennymi losowymi, jeśli znane
są ich rozkłady?
22
Anna Rajfura, Matematyka
Kowariancja
Współzale\
ność między zmiennymi
losowymi X i Y opisuje parametr o
nazwie kowariancja
ozn.: COV ( X, Y )
Definicja
COV ( X, Y ) = E [ (X  EX )·(Y  EY )]=
= E ( X·Y)  ( EX ) · ( EY )
23
Anna Rajfura, Matematyka
Współczynnik korelacji
Kowariancja jest wielkością
mianowanÄ…, dlatego jako miarÄ™
współzale\
ności liniowej dwóch
zmiennych losowych X i Y przyjmuje
siÄ™ bezwymiarowy wskaz
nik
nazywany współczynnikiem korelacji
liniowej Pearsona i oznaczany
greckÄ… literÄ… Á (czyt.: ro).
24
Anna Rajfura, Matematyka
Współczynnik korelacji
(
COV X, Y )
Á =
DX Å" DY
Dla dowolnych dwóch zmiennych
losowych X oraz Y zachodzi
własność:
Á " - 1, 1
25
Anna Rajfura, Matematyka
Uwagi i terminologia
1. Jeśli zmienne losowe są zale\
ne liniowo, to
nazywamy je skorelowanymi.
2. Do wykrywania korelacji (zale\
ności liniowej)
słu\
y współczynnik korelacji Á:
" jeÅ›li Á = 0, to zmienne sÄ… nieskorelowane (ale
mogą być zale\
ne nieliniowo!),
" jeÅ›li | Á | = 1, to zmienne losowe sÄ… caÅ‚kowicie
skorelowane (zale\
ne liniowo),
o jeÅ›li Á = 1, to sÄ… skorelowane dodatnio,
o jeÅ›li Á = - 1, to sÄ… skorelowane ujemnie.
26
Anna Rajfura, Matematyka
Uwagi i terminologia cd.
3. Współczynnik korelacji Á sÅ‚u\
y do opisywania
siły korelacji:
H"
" jeÅ›li Á 0, to zmienne sÄ… sÅ‚abo skorelowane,
H"
" jeÅ›li | Á | 1, to zmienne sÄ… silnie skorelowane.
Diagram na tablicy.
27
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkłady z próby *
Próba prosta
X1, X2, ... Xn  niezale\
ne zmienne
losowe o jednakowym rozkładzie
28
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład chi kwadrat *
RozkÅ‚ad Ç2 (czyt.: chi-kwadrat)
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn są
niezale\
ne, Xi~N(0, 1), i=1, 2, ..., n
to X12 + X22 + ...+ Xn2 jest zmiennÄ…
losowÄ… o rozkÅ‚adzie Ç2 z liczbÄ… stopni
swobody n.
29
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład chi kwadrat cd. *
Fgp dla rozkÅ‚adu Ç2:
d"
d"
d"
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚0, dla x d" 0,
Å„Å‚
f(x) =
=
=
=
n n x
òÅ‚2 “-1 n x e- , dla x > 0
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
- -1 -
- - -
- - -
- -
2 2 2
( )
“- ( ) >
“- ( )
“- ( )
>
>
2
ół
ół
ół
ół
gdzie:
+"
+"
+"
+"
- -
- -
- -
( )
( )
( )
( )
“ t = ut-1e-u du, t " R+
“ = "
“ = "
“ = "
+
+
+
+"
+"
+"
+"
0
30
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład chi kwadrat cd. *
Wykres fgp dla rozkÅ‚adu Ç2:
Chi-Square Distribution
0,25 Deg. of freedom
3
0,2 10
50
0,15
0,1
0,05
0
0 20 40 60 80 100
x
31
Anna Rajfura, Matematyka
density
Rozkład t-Studenta *
Rozkład t  Studenta
Jeśli zmienne losowe X0, X1, X2, ..., Xn
sÄ… niezale\
ne, Xi~N(0, 1), i=1, 2, ..., n,
X
0
to jest
2 2 2
1
(X + X + K + X )
+ + +
+ + +
+ + +
n n
1 2
zmienną losową o rozkładzie
t-Studenta z liczbÄ… stopni swobody n.
32
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład t  Studenta cd. *
Wykres fgp dla rozkładu t  Studenta:
Student's t Distribution
0,4 Deg. of freedom
10
50
0,3
0,2
0,1
0
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
33
Anna Rajfura, Matematyka
density
Rozkład F Fishera  Snedecora *
Rozkład F Fishera  Snedecora
Jeśli zmienne losowe X1, X2, ..., Xn
oraz Y1, Y2, ..., Ym sÄ… niezale\
ne,
2 2 2
1
(X + X + K + X )
+ + +
+ + +
+ + +
n
n
1 2
1
Xi, Yj~N(0, 1), to (Y12 + Y2 2 + K + Ym 2 )
+ + +
+ + +
+ + +
m
jest zmienną losową o rozkładzie
F Fishera  Snedecora z liczbami
stopni swobody n i m.
34
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład F Fishera  Snedecora cd. *
Wykres fgp dla rozkładu F
F (variance ratio) Distribution
1,5 Numerator d.f,Denomin
10,10
1,2 50,40
0,9
0,6
0,3
0
0 1 2 3 4 5
x
35
Anna Rajfura, Matematyka
density