03 Wykład 3 Podstawowe rozkłady zmiennych losowychid 4224


dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 1
·ð DokoÅ„czenie WykÅ‚adu 2. Zmienna losowa i jej charakterystyki (str. 9  15)
3. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych
3.1. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu
dyskretnego
1. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad jednopunktowy, skoncentrowany w punkcie 5ØeÜ0,
oznaczany przez 5ØÿÞ(5ØeÜ0), jeżeli
( )
5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØeÜ0 = 1.
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5ØeÜ0, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 0.
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 2
2. Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny jednostajny (równomierny) na zbiorze
{ }
5ØeÜ1, 5ØeÜ2, & , 5ØeÜ5Ø[Ü , jeżeli
1
( )
5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØeÜ5ØVÜ = , 5ØVÜ = 1, 2, & , 5Ø[Ü.
5Ø[Ü
Wartość oczekiwana i wariancja:
1 1
"5Ø[Ü "5Ø[Ü ( - 5Ø8Ü5ØKÜ =
)2 1 "5Ø[Ü 2 - ( )2
5Ø8Ü5ØKÜ = 5ØeÜ5ØVÜ , 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5ØeÜ5ØVÜ 5ØeÜ5ØVÜ 5Ø8Ü5ØKÜ .
5ØVÜ=1 5ØVÜ=1 5ØVÜ=1
5Ø[Ü 5Ø[Ü 5Ø[Ü
3. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad dwupunktowy z parametrem p, 0 < 5Ø]Ü < 1, jeżeli
( ) ( )
5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØeÜ1 = 5Ø]Ü, 5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØeÜ2 = 5Ø^Ü = 1 - 5Ø]Ü, 5ØeÜ1 `" 5ØeÜ2.
( )2
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Ø]Ü5ØeÜ1 + 5Ø^Ü5ØeÜ2, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5Ø]Ü5Ø^Ü 5ØeÜ1 - 5ØeÜ2 .
W przypadku, gdy 5ØeÜ1 = 1 i 5ØeÜ2 = 0 rozkÅ‚ad dwupunktowy nazywamy rozkÅ‚adem
zerojedynkowym lub rozkÅ‚adem Bernoulliego, oznaczany przez 5Ø5Ü5ØRÜ(5Ø]Ü). Wartość
oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Ø]Ü, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5Ø]Ü5Ø^Ü.
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 3
( )
4. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad dwumianowy z parametrami n, p 5Ø[Ü " !, 0 < 5Ø]Ü < 1
oznaczany przez 5Ø5Ü(5Ø[Ü, 5Ø]Ü), jeżeli
5Ø[Ü
( )
5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØXÜ = ( ) 5Ø]Ü5ØXÜ5Ø^Ü5Ø[Ü-5ØXÜ, 5ØXÜ = 0, 1, & , 5Ø[Ü, 5Ø^Ü = 1 - 5Ø]Ü.
5ØXÜ
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Ø[Ü5Ø]Ü, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5Ø[Ü5Ø]Ü5Ø^Ü.
Jeżeli 5ØKÜ5ØVÜ, 5ØVÜ = 1, 2, & , 5Ø[Ü sÄ… niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkÅ‚adzie
( ) ( )
zerojedynkowym: 5ØCÜ 5ØKÜ5ØVÜ = 1 = 5Ø]Ü, 5ØCÜ 5ØKÜ5ØVÜ = 0 = 5Ø^Ü = 1 - 5Ø]Ü, to zmienna losowa
"5Ø[Ü ( )
5ØKÜ = 5ØKÜ5ØVÜ ma rozkÅ‚ad 5Ø5Ü 5Ø[Ü, 5Ø]Ü .
5ØVÜ=1
( )
5. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad Poissona z parametrem 5Øß 5Øß > 0 , oznaczany przez
5ØCÜ5Ø\Ü(5Øß), jeżeli
5Øß5ØXÜ
( )
5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØXÜ = 5ØRÜ-5Øß, 5ØXÜ = 0, 1, 2, &
5ØXÜ!
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Øß, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5Øß.
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 4
6. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad geometryczny z parametrem p, 0 < 5Ø]Ü < 1, oznaczany
przez 5Ø:Ü5ØRÜ(5Ø]Ü), jeżeli
( )
5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØXÜ = 5Ø]Ü5Ø^Ü5ØXÜ, 5ØXÜ = 0, 1, 2, & , 5Ø^Ü = 1 - 5Ø]Ü
5Ø^Ü 5Ø]Ü
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = , 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = .
5Ø]Ü 5Ø^Ü2
7. Zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami n, p
( )
5Ø[Ü " !, 0 < 5Ø]Ü < 1 , oznaczany przez 5ØAÜ5Ø5Ü5ØVÜ5Ø[Ü(5Ø[Ü, 5Ø]Ü), jeżeli
5Ø[Ü + 5ØXÜ - 1
( )
5ØCÜ 5ØKÜ = 5ØXÜ = ( ) 5Ø]Ü5Ø[Ü5Ø^Ü5ØXÜ, 5ØXÜ = 0, 1, & , 5Ø[Ü, 5Ø^Ü = 1 - 5Ø]Ü.
5ØXÜ
5Ø[Ü5Ø^Ü 5Ø[Ü5Ø^Ü
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = , 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = .
5Ø]Ü 5Ø]Ü2
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 5
3.2. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu absolutnie
ciągłego
Oznaczenia:
·ð Indykator zbioru (zdarzenia) 5Ø4Ü:
1, gdy 5ØeÜ " 5Ø4Ü,
( )
5Ø<Ü5Ø4Ü 5ØeÜ = {0, gdy 5ØeÜ " 5Ø4Ü.
·ð Funkcja gamma:
+"
( )
“ 5Ø]Ü = +" 5ØeÜ5Ø]Ü-15ØRÜ-5ØeÜ5ØQÜ5ØeÜ, 5Ø]Ü > 0,
0
1
( ) ( ) ( )
“ 5Ø]Ü + 1 = 5Ø]Ü“ 5Ø]Ü , “ 5Ø[Ü + 1 = 5Ø[Ü!, 5Ø[Ü " !, “ ( ) = 5Ø ß.
"
2
·ð Funkcja beta:
( ) ( )
1 “ 5ØNÜ “ 5ØOÜ
( ) ( )5ØOÜ-1 ( )
5ØÅ¼Þ 5ØNÜ, 5ØOÜ = 5ØeÜ5ØNÜ-1 1 - 5ØeÜ 5ØQÜ5ØeÜ, 5ØNÜ > 0, 5ØOÜ > 0, 5ØÅ¼Þ 5ØNÜ, 5ØOÜ = .
+"0
( )
“ 5ØNÜ+5ØOÜ
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 6
( )
8. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad jednostajny (prostokÄ…tny) na odcinku 5ØNÜ, 5ØOÜ , oznaczany
( )
przez 5ØHÜ 5ØNÜ, 5ØOÜ , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
1
1
( ) ( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5Ø<Ü(5ØNÜ,5ØOÜ) 5ØeÜ = {5ØOÜ - 5ØNÜ , gdy 5ØeÜ " (5ØNÜ, 5ØOÜ),
5ØOÜ - 5ØNÜ
( )
0, gdy 5ØeÜ " 5ØNÜ, 5ØOÜ .
( )2
5ØNÜ+5ØOÜ 5ØOÜ-5ØNÜ
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = , 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = .
2 12
1 1
( )
Dla zmiennej losowej 5ØKÜ o rozkÅ‚adzie 5ØHÜ 0,1 mamy 5Ø8Ü5ØKÜ = , 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = .
2 12
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 7
( )
9. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad gamma z parametrami 5Ø]Ü, 5Øß 5Ø]Ü > 0, 5Øß > 0 , oznaczany
( )
przez “ 5Ø]Ü, 5Øß , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
5ØeÜ
1
5Øß
( ) ( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØeÜ5Ø]Ü-15ØRÜ- 5Ø<Ü(0,+") 5ØeÜ .
5Øß5Ø]Ü“(5Ø]Ü)
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Ø]Ü5Øß, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5Ø]Ü5Øß2.
( )
10. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad wykÅ‚adniczy z parametrem 5Øß 5Øß > 0 , oznaczany
( )
przez 5Ø8Ü5ØeÜ5Ø]Ü 5Øß , jeżeli jej gÄ™stość wyraża siÄ™ wzorem
5ØeÜ
1
5Øß
( ) ( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØRÜ- 5Ø<Ü(0,+") 5ØeÜ .
5Øß
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Øß, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5Øß2.
( ) ( )
RozkÅ‚ad Exp 5Øß jest rozkÅ‚adem “ 1, 5Øß .
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 8
11. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad Laplace a (podwójny wykÅ‚adniczy) z parametrem 5Øß
( ) ( )
5Øß > 0 , oznaczany przez 5Ø?Ü5ØNÜ 5Øß , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
| |
5ØeÜ
1
5Øß
( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØRÜ- , 5ØeÜ " !.
25Øß
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 0, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 25Øß2.
( )
12. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad beta z parametrami 5ØNÜ, 5ØOÜ 5ØNÜ > 0, 5ØOÜ > 0 , oznaczany
( )
przez 5ØÅ¼Þ 5ØNÜ, 5ØOÜ , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
1
( ) ( )5ØOÜ-1
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØeÜ5ØNÜ-1 1 - 5ØeÜ 5Ø<Ü(5ØNÜ,5ØOÜ)(5ØeÜ).
( )
5ØÅ¼Þ 5ØNÜ,5ØOÜ
5ØNÜ 5ØNÜ5ØOÜ
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = , 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = .
( )2
5ØNÜ+5ØOÜ 5ØNÜ+5ØOÜ (5ØNÜ+5ØOÜ+1)
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 9
( )
13. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad Cauchy ego z parametrami 5ØZÜ, 5Øß 5ØZÜ " !, 5Øß > 0 ,
( )
oznaczany przez 5Ø6Ü 5ØZÜ, 5Øß , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
1 5Øß2
( )
5ØSÜ 5ØeÜ = , 5ØeÜ " !.
( )2
5Ø ß 5Øß2+ 5ØeÜ-5ØZÜ
Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu nie istnieją.
1 1
( ) ( )
Standardowy rozkÅ‚ad Cauchy ego 5Ø6Ü 0,1 ma gÄ™stość postaci 5ØSÜ 5ØeÜ = , 5ØeÜ " !.
5Ø ß 1+5ØeÜ2
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 10
( )
14. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami 5Øß, 5Øß 5Øß " !, 5Øß > 0 ,
( )
oznaczany przez 5ØAÜ 5Øß, 5Øß , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
( )2
5ØeÜ-5Øß
1
( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØRÜ- 25Øß2 , 5ØeÜ " !.
25Ø ß5Øß
"
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Øß, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 5Øß2.
5ØKÜ-5Øß
( )
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad 5ØAÜ 5Øß, 5Øß , to zmienna losowa 5ØLÜ = ma
5Øß
( )
standardowy rozkÅ‚ad normalny 5ØAÜ 0,1 o dystrybuancie
5ØaÜ2
1 5ØeÜ
( )
Åš 5ØeÜ = 5ØRÜ- 5ØQÜ5ØaÜ,
+"-" 2
25Ø ß
"
której wartoÅ›ci sÄ… stablicowane dla 5ØeÜ e" 0. Dla 5ØeÜ < 0 korzystamy ze wzoru
(-5ØeÜ = 1 - Åš 5ØeÜ .
) ( )
Åš
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 11
15. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad logarytmiczno-normalny z parametrami 5Øß, 5Øß
( ) ( )
5Øß " !, 5Øß > 0 , oznaczany przez !5ØAÜ 5Øß, 5Øß , jeżeli jej gÄ™stość jest postaci
( )2
5ØYÜ5Ø[Ü5ØeÜ-5Øß
1
( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØRÜ- 25Øß2 5Ø<Ü(0,+")(5ØeÜ).
25Ø ß5Øß5ØeÜ
"
5Øß2
2 2
2
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5ØRÜ5Øß+ , 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = (5ØRÜ5Øß - 1)5ØRÜ25Øß+5Øß .
( )
Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad !5ØAÜ 5Øß, 5Øß , jeżeli zmienna losowa 5ØYÜ5Ø[Ü5ØKÜ ma rozkÅ‚ad
( )
5ØAÜ 5Øß, 5Øß .
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 12
16. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad t-Studenta z n stopniami swobody (5Ø[Ü " !+),
( )
oznaczany przez 5ØaÜ 5Ø[Ü , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
“(5Ø[Ü+1)
1
2
( )
5ØSÜ 5ØeÜ = , 5ØeÜ " !.
5Ø[Ü+1
5Ø ß5Ø[Ü“(5Ø[Ü)
"
2
2
2
(1+5ØeÜ )
5Ø[Ü
Wartość oczekiwana i wariancja:
5Ø8Ü5ØKÜ = 0, okreÅ›lona dla 5Ø[Ü > 1,
5Ø[Ü
5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = , okreÅ›lona dla 5Ø[Ü > 2.
5Ø[Ü-2
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 13
17. Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad 5ØLß5ØÐß (5Øß - kwadrat) z n stopniami swobody (5Ø[Ü " !+),
( )
oznaczany przez 5Øß2 5Ø[Ü , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
5Ø[Ü 5ØeÜ
1
2
( ) ( )
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØeÜ2-15ØRÜ- 5Ø<Ü(0,+") 5ØeÜ .
5Ø[Ü
22“(5Ø[Ü)
2
Wartość oczekiwana i wariancja: 5Ø8Ü5ØKÜ = 5Ø[Ü, 5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = 25Ø[Ü.
( )
RozkÅ‚ad 5Øß2 5Ø[Ü jest rozkÅ‚adem “ (5Ø[Ü , 2).
2
Jeżeli 5ØKÜ1, 5ØKÜ2, & , 5ØKÜ5Ø[Ü sÄ… niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkÅ‚adzie
( ) "5Ø[Ü ( )
5ØAÜ 0,1 , to zmienna losowa 5ØKÜ = 5ØKÜ5ØVÜ2 ma rozkÅ‚ad 5Øß2 5Ø[Ü .
5ØVÜ=1
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.) 14
18. Zmienna losowa X ma rozkład F (Snedecora, Fishera) z m i n stopniami swobody
( )
(5ØZÜ " !+, 5Ø[Ü " !+ ), oznaczany przez 5Ø9Ü 5ØZÜ, 5Ø[Ü , jeżeli jej gÄ™stość ma postać
5ØZÜ
5ØZÜ
2 -1
-5ØZÜ+5Ø[Ü
2
(5ØZÜ) 5ØeÜ
5ØZÜ
2
5Ø[Ü
( ) ( )
5ØSÜ 5ØeÜ = (1 + 5ØeÜ) 5Ø<Ü(0,+") 5ØeÜ .
5Ø[Ü
²(5ØZÜ,5Ø[Ü)
2 2
Wartość oczekiwana i wariancja:
5Ø[Ü
5Ø8Ü5ØKÜ = , okreÅ›lona dla 5Ø[Ü > 2,
5Ø[Ü-2
25Ø[Ü2(5ØZÜ+5Ø[Ü-2)
5ØIÜ5ØNÜ5Ø_Ü5ØKÜ = , okreÅ›lona dla 5Ø[Ü > 4.
( )2
5ØZÜ 5Ø[Ü-2 (5Ø[Ü-4)
( )
RozkÅ‚ad 5Øß2 5Ø[Ü jest rozkÅ‚adem “ (5Ø[Ü , 2).
2
( ) ( )
Jeżeli 5ØLÜ i 5ØMÜ sÄ… niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkÅ‚adach 5Øß2 5ØZÜ i 5Øß2 5Ø[Ü
5ØLÜ
5ØZÜ
( )
odpowiednio, to zmienna losowa 5ØKÜ = ma rozkÅ‚ad 5Ø9Ü 5ØZÜ, 5Ø[Ü .
5ØMÜ
5Ø[Ü


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wybrane rozkłady zmiennych losowych
Wykład 1 podstawy chemii nieorganicznej
03 wyklad elektryczny nidF25
Wyklad PodstawyElektrotechniki
03 Wyklad 1 (wprowadzenie do BM)
Finanse Przedsiębiorstwa Wykład 2 Podstawy Zarządzania Finansami Przedsiębiorstwa
03 wykład ped
03 Wyklad Skrypty ZENworks
Kryptografia Wykład z podstaw klasycznej kryptografii z elementami kryptografii kwantowej(1)
rozklad zmiennej losowe metodologia wyk2
Rozklad zmiennej losowej zadania
04 Wykład 4 Charakterystyka rozkładu normalnegoidH19
wykłady z podstaw programowania
Konspekt wykładów z Podstaw automatyki wykład 5
wykład 1 Podstawy Logistyki
1Komunikowanie o zdrowiu wykład1a podstawowe pojęcia

więcej podobnych podstron