04 Wykład 4 Charakterystyka rozkładu normalnegoid 4819


dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 1
Dokończenie Wykładu 3. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych (str. 12  15)
Dokończenie Wykładu 2. Zmienna losowa i jej charakterystyki (str. 15, zad. 2)
4. Charakterystyka rozkładu normalnego
Rozkład normalny odgrywa bardzo ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień
przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, chemicznych, socjalnych itp.
Przypomnijmy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami 5, 5
( ) ( )
5 " !, 5 > 0 , oznaczany przez 5A 5, 5 , jeżeli jej gęstość ma postać
( )2
5e-5
1
( )
5S 5e = 5R- 252 , 5e " !.
25 5
"
Wartość oczekiwana i wariancja: 585K = 5, 5I5N5_5K = 52. Ponadto 5@5R5K = 5@5\5K = 5.
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 2
Można pokazać, że momenty centralne nieparzystego rzędu są równe zero, czyli
( )25X-1
525X-1 = 58 5K - 585K = 0, 5X = 1,2,3, &
Natomiast momenty centralne parzystego rzędu wynoszą:
( )25X ( ) ( )
525X = 58 5K - 585K = 1 " 3 " 5 " & " 25X - 1 525X = 25X - 1 < 525X, 5X = 1,2,3, &
W szczególności
( )2
5725K = 52 = 58 5K - 585K = 52
( )3 ( )4
53 = 58 5K - 585K = 0, 54 = 58 5K - 585K = 354
Zatem współczynnik asymetrii (skośności) jest równy:
( )3
53 58 5K-585K 0
54 = = = = 0.
( )3 ( )3
55K 55K 53
Współczynnik skupienia (kurtoza) wynosi:
( )4
54 58 5K-585K 354
5> = - 3 = - 3 = - 3 = 0.
( )4 ( )4
55K 55K 54
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 3
Wykresem gęstości rozkładu normalnego jest tzw. krzywa Gaussa (krzywa w kształcie
dzwonu). Np.
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 4
5K-5
( )
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład 5A 5, 5 , to zmienna losowa 5L = ma
5
( )
standardowy rozkład normalny 5A 0,1 o dystrybuancie
5a2
1 5e
( )
Ś 5e = 5R- 5Q5a,
+"-" 2
25
"
której wartości są stablicowane dla 5e e" 0.
Dla 5e < 0 korzystamy ze wzoru
(-5e = 1 - Ś 5e .
) ( )
Ś
( )
Jeżeli zmienna losowa Y ma rozkład 5A 0,1 , to zmienna losowa 5K = 55L + 5 ma
( )
rozkład 5A 5, 5 .
( )
Jeżeli zmienna losowa 5K1 ma rozkład 5A 51, 51 , zmienna losowa 5K2 ma rozkład
( )
5A 52, 52 oraz zmienne losowe 5K1 i 5K2 są niezależne, to:
2 2
"
zmienna losowa 5K1 + 5K2 ma rozkład 5A (51 + 52, 51 + 52 ),
2 2
"
a zmienna losowa 5K1 - 5K2 ma rozkład 5A (51 - 52, 51 + 52 ).
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 5
Jeżeli zmienne losowe 5K1, 5K2, & , 5K5[, są niezależne oraz zmienna losowa, 5K5X ma rozkład
( )
5A 55X, 55X , 5X = 1, 2, & , 5[, to:
2 2 2
zmienna losowa 5F5[ = 5K1 + 5K2+. . . +5K5[ ma rozkład 5A (51 + 52+. . . +55[, "51 + 52 +. . . +55[),
2 2 2
5F5[ 5K1+5K2+...+5K5[

"51 +52 +...+55[).
zmienna losowa 5K5[ = = ma rozkład 5A (51+52+...+55[ ,
5[ 5[ 5[ 5[2
Jeżeli zmienne losowe 5K1, 5K2, & , 5K5[, są niezależne i wszystkie mają jednakowy rozkład
( )
5A 5, 5 , to:
zmienna losowa 5F5[ = 5K1 + 5K2+. . . +5K5[ ma rozkład 5A(5[5, 5 5[),
"
5F5[ 5K1+5K2+...+5K5[ 5

zmienna losowa 5K5[ = = ma rozkład 5A (5, ).
5[ 5[ 5[
"

Zatem zmienna losowa 5K5[-5 ma standardowy rozkład normalny 5A(0,1).
5
5[
"
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 6
5a2
1 5e
( )
Tablica dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego Ś 5e = 5R- 5Q5a
+"-" 2
25
"
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 7
5K-5
( )
Niech zmienna losowa X ma rozkład 5A 5, 5 . Wtedy zmienna losowa 5L = ma
5
( ) ( )
standardowy rozkład normalny 5A 0,1 o dystrybuancie Ś 5e . Wówczas, dla 5X > 0:
5 - 5X5 - 5 5K - 5 5 + 5X5 - 5
( )
5C 5 - 5X5 < 5K < 5 + 5X5 = 5C ( < < ) =
5 5 5
(-5X < 5L < 5X = Ś 5X - Ś
) ( ) (-5X = Ś 5X - 1 - Ś 5X = 2Ś 5X - 1.
) ( ) [ ( )] ( )
= 5C
W szczególności
( ) ( )
5C 5 - 5 < 5K < 5 + 5 = 2Ś 1 - 1 = 2 " 0,84134 - 1 = 0,68268
( ) ( )
5C 5 - 25 < 5K < 5 + 25 = 2Ś 2 - 1 = 2 " 0,97725 - 1 = 0,9545
( ) ( )
5C 5 - 35 < 5K < 5 + 35 = 2Ś 3 - 1 = 2 " 0,99865 - 1 = 0,9973
W praktyce stosuje się tzw. regułę trzysigmową, w myśl której przyjmuje się, że
( )
praktycznie wszystkie wartości zmiennej losowej o rozkładzie 5A 5, 5 są zawarte
( )
w przedziale 5 - 35, 5 + 35 .
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 8
Ponadto dla 5X > 0:
5K-5 5+5X5-5 5K-5
( ) ( ) ( ) ( )
5C 5 < 5K < 5 + 5X5 = 5C (5-5 < < ) = 5C (0 < < 5X) = Ś 5X - Ś 0 = Ś 5X - 0,5
5 5 5 5
5K - 5
( ) ( ) ( )
5C 5 + (5X - 1)5 < 5K < 5 + 5X5 = 5C (5X - 1 < < 5X) = Ś 5X - Ś 5X - 1
5
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 9
Przykład 4.1.
( ) ( )
Niech zmienna losowa X ma rozkład 5A 0,1 , a zmienna losowa Y ma rozkład 5A 1,2 .
( ) (-1 < 5K < 2 , 5C 5K < 0,5 , 5C 5L > 2 , 5C
) (| | ) ( ) (-1 < 5L < 2 ,
)
Obliczyć 5C 5K > 2 , 5C
(| | )
5C 5L < 0,5 oraz wyznaczyć kwantyle rzędu 0,95 i 0,05 zmiennych losowych X i Y.
( ) ( ) ( )
5C 5K > 2 = 1 - 5C 5K d" 2 = 1 - Ś 2 = 1 - 0,97725 = 0,02275
(-1 < 5K < 2 = Ś 2 - Ś
) ( ) (-1 = Ś 2 - 1 - Ś 1 = Ś 2 + Ś 1 - 1 =
) ( ) [ ( )] ( ) ( )
5C
= 0,97725 + 0,84134 - 1 = 0,81859
(| | ) (-0,5 < 5K < 0,5 = Ś 0,5 - Ś
) ( ) (-0,5 = 2 Ś 0,5 - 1 =
) ( )
5C 5K < 0,5 = 5C
= 2 " 0,69146 - 1 = 0,38292
Ś(5e0,95) = 0,95, czyli 5e0,95 = 1,64
Ś(5e0,05) = 0,05; 1 - Ś(-5e0,05) = 0,05; Ś(-5e0,05) = 0,95; -5e0,05 = 5e0,95;
5e0,05 = -1,64
dr Tomasz Walczyński  Statystyka (I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 4. (12.03.2014 r.) 10
5L - 1 2 - 1
( ) ( ) ( )
5C 5L > 2 = 1 - 5C 5L d" 2 = 1 - 5C ( < ) = 1 - Ś 0,5 = 1 - 0,69146 = 0,30854
2 2
-1 - 1 5L - 1 2 - 1
(-1 < 5L < 2 = 5C (
) ( ) (-1 = Ś 0,5 + Ś 1 - 1
) ( ) ( )
5C < < ) = Ś 0,5 - Ś
2 2 2
= 0,69146 + 0,84134 - 1 = 0,5328
-0,5 - 1 5L - 1 0,5 - 1
(| | ) (-0,5 < 5L < 0,5 = 5C (
)
5C 5L < 0,5 = 5C < < ) =
2 2 2
(-0,25 - Ś
) (-0,75 = 1 - Ś 0,25 - 1 + Ś 0,75 =
) ( ) ( )
= Ś
( ) ( )
= Ś 0,75 - Ś 0,25 = 0,77337 - 0,59871 = 0,17466
5L - 1 5f0,95 - 1 5f0,95 - 1
0,95 = F5L(5f0,95) = 5C(5L d" 5f0,95) = 5C ( d" ) = Ś ( )
2 2 2
5f0,95-1
czyli = 1,64 i 5f0,95 = 4,28.
2
5L - 1 5f0,05 - 1 5f0,05 - 1
0,05 = F5L(5f0,05) = 5C(5L d" 5f0,05) = 5C ( d" ) = Ś ( )
2 2 2
5f0,05-1
czyli = -1,64 i 5f0,05 = -2,28.
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Tablice Dystrybuanta rozkładu normalnego
02 ROZKŁAD NORMALNY, JEDNOSTANJY i DWUMIANOWY
Prawdopodobieństwo Rozkład dwumianowy Rozkład normalny
Tablice statystyczne wartości krytyczne rozkładu normalnego
rozklad normalny nowe zadania
6 5 Rozkład normalny
03 Wykład 3 Podstawowe rozkłady zmiennych losowychidB24
Tablica dystrybuanty rozkladu normalnego 2011
1 ROZKŁAD NORMALNY(1)
mm1 Wykład 1 Charakterystyka pożaru w pomieszczeniu
4 Statystyka opisowa i rozkład normalny
PF rozkład normalny
Wykład 3 charakterystyka gruntów budowlanych, dylatacje

więcej podobnych podstron