Prawdopodobieństwo.
Rozkład dwumianowy.
Rozkład normalny.
" Zdarzenia losowe to takie zdarzenia, które mogą zajść lub nie
w danym eksperymencie (doświadczeniu).
" Np. w eksperymencie polegającym na rzucie kostką do gry,
przykładowe zdarzenia losowe to:
- wypadnięcie  szóstki
- wypadnięcie parzystej liczby oczek
- wypadnięcie liczby oczek większej, ni\
4
Ogólnie mo\
na wskazać a\
32 ró\
ne zdarzenia losowe w tym
eksperymencie.
Jeśli będziemy wielokrotnie powtarzać ten eksperyment, to nie wszystkie
z tych zdarzeń będą pojawiać się równie często.
Niektóre z nich wystąpią częściej, ni\
inne: np. wypadnięcie parzystej
liczby oczek zdarzy się znacznie częściej, ni\
wypadnięcie  szóstki .
" Prawdopodobieństwo wyra\
a liczbowo szansę zajścia danego
zdarzenia.
" Prawdopodobieństwo jest wyra\
one ułamkiem zawartym pomiędzy
0 i 1 (niekiedy tak\
e jako procent pomiędzy 0% i 100%)
Jeśli jednokrotnie rzucamy symetryczną monetą, to
" prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 0,5 (albo 50%)
" prawdopodobieństwo wypadnięcia orła lub reszki wynosi 1 (albo
100%); wypadnięcie orła lub reszki jest zdarzeniem pewnym
" prawdopodobieństwo wypadnięcia innego wyniku, ni\
orzeł lub reszka
wynosi 0 (albo 0%); wypadnięcie w jednokrotnym rzucie monetą
innego wyniku, ni\
orzeł lub reszka jest zdarzeniem niemo\
liwym.
" Jeśli rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, to
prawdopodobieństwo wypadnięcia 1 oczka jest równe 1/6.
" Częstościowa interpretacja prawdopodobieństwa:
jeśli wykonamy bardzo wiele rzutów tą kostką, to mo\
na oczekiwać,
\
e około 1/6 tych rzutów zakończy się wyrzuceniem 1 oczka.
Np. jeśli rzucimy 2400 razy, to mo\
na się spodziewać, \
e około 400
razy wyrzucimy 1 oczko.
" Im prawdopodobieństwo jest bli\
sze 1 (100%), tym zdarzenie jest
bardziej prawdopodobne. Jeśli zdarzenie jest pewne, to jego
prawdopodobieństwo jest równe 1.
" Im prawdopodobieństwo jest bli\
sze 0 (0%), tym zdarzenie jest mniej
prawdopodobne. Jeśli zdarzenie jest niemo\
liwe, to jego
prawdopodobieństwo jest równe 0.
" Zdarzenia losowe mogą się wykluczać, np. w pojedynczym rzucie kostką nie
jest mo\
liwe jednoczesne zajście zdarzenia polegającego
na wyrzuceniu 1 oczka i 2 oczek.
" Jeśli zdarzenia A i B wykluczają się, to
P(A lub B) = P(A) + P(B)
P(1 oczko lub 2 oczka) = P(1 oczko) + P(2 oczka) = 1/6 + 1/6 = 2/6
" Zdarzenia losowe mogą być niezale\
ne.
" Zdarzenia są niezale\
ne, jeśli zajście jednego z tych zdarzeń nie ma wpływu
na prawdopodobieństwo zajścia drugiego z tych zdarzeń, wyrzucenie 2 oczek
w pierwszym rzucie kostką nie zmienia prawdopodobieństwa zdarzenia, \
e
w drugim rzucie wyrzucimy 6 oczek.
" Jeśli zdarzenia A i B są niezale\
ne, to
P(A i B) = P(A) � P(B)
P(2 oczka w pierwszym rzucie i 6 oczek w drugim rzucie) =
= P(2 oczka w pierwszym rzucie) � P(6 oczek w drugim rzucie) = 1/6 � 1/6 = 1/36
Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą.
1/2 1/2
orzeł reszka
1/2 1/2 1/2 1/2
orzeł reszka
orzeł reszka
Mo\
liwe wyniki przebiegu tego doświadczenia (zdarzenia elementarne)
to:
(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł), (reszka, reszka)
Mo\
liwe wyniki doświadczenia tworzą przestrzeń (zbiór) zdarzeń
elementarnych.
Wszystkie zdarzenia elementarne w tym doświadczeniu są jednakowo
prawdopodobne.
Prawdopodobieństwo ka\
dego z nich jest równe 0,25.
Interpretacja:
1/2 1/2
Jeśli bardzo wiele razy powtórzymy
doświadczenie polegające na dwukrotnym
rzucie monetą, to mo\
na oczekiwać, \
e np.
orzeł reszka
wynik (orzeł, orzeł) pojawi się w ź tych
doświadczeń.
1/2 1/2 1/2 1/2
orzeł reszka
orzeł reszka
(orzeł, orzeł), (orzeł, reszka), (reszka, orzeł), (reszka, reszka)
Prawdopodobieństwo ka\
dego z powy\
szych zdarzeń elementarnych
jest równe 0,25.
Załó\
my, \
e interesuje nas
1. liczba orłów, jaka mo\
e pojawić się w dwukrotnym rzucie monetą
2. prawdopodobieństwo wystąpienia danej liczby orłów.
" Liczba orłów jest zmienną losową, czyli wartością liczbową zale\
ną
od przypadku (zale\
na od wyniku doświadczenia losowego).
" Zmienna ta mo\
e przyjąć trzy wartości:
0 (brak orłów), 1 (jeden orzeł), 2 (dwa orły)
" Jeśli oznaczmy tę zmienną losową przez X, to mo\
na zapisać, \
e
P(X = 0) = P((reszka,reszka)) = 0,25
P(X = 1) = P((orzeł,reszka)) + P((reszka,orzeł)) = 0,25+0,25 = 0,50
P(X = 2) = P((orzeł,orzeł)) = 0,25
Jeśli określimy
" mo\
liwe wartości, jakie mo\
e przyjąć zmienna losowa
" prawdopodobieństwa, z jakimi te wartości wystąpią
to mówimy, \
e określony jest rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej
losowej.
Rozkład prawdopodobieństwa wygodnie jest przedstawiać w tabeli
i/lub na wykresie.
Liczba orłów 0 1 2
Prawdopodobieństwo 0,25 0,50 0,25
0 1 2
liczba orłów
1.00
0.75
0.50
prawdopodobieństwo
0.25
" W urnie znajduje się jednakowa liczba kul białych i czarnych. Jeśli B oznacza
wylosowanie kuli białęj, zaś C czarnej, to P(B) = P(C) = 0,5.
Losujemy ze zwracaniem kolejno dwie kule.
1/2 1/2
B C
1/2 1/2 1/2 1/2
B C
B C
Mo\
liwe wyniki przebiegu tego doświadczenia (zdarzenia elementarne)
to: (B, B), (B, C), (C, B), (C, C).
Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne,
prawdopodobieństwo ka\
dego z nich jest równe 0,25.
" Liczba kul białych wśród dwóch wylosowanych jest zmienną losową;
oznaczmy ją przez Y.
" Przestrzeń zdarzeń elementarnych zawiera następujące elementy:
(B, B), (B, C), (C, B), (C, C).
" Rozkład zmiennej losowej Y
Liczba kul białych 0 1 2
Prawdopodobieństwo 0,25 0,50 0,25
" Zmienna losowa X opisująca liczbę orłów w dwóch rzutach monetą
i zmienna losowa Y opisująca liczbę kul białych wśród dwóch
wylosowanych mają te same rozkłady prawdopodobieństwa.
" Losowanie (ze zwracaniem) kul z urny mo\
e być modelem dla rzutu
monetą.
" Załó\
my, \
e w urnie jest 25% kul białych i 75% kul czarnych.
" Wynika stąd, \
e P(B) = 0,25 i P(C) = 0,75
" Losujemy z tej urny 3 razy po jednej kuli ze zwracaniem.
0,25
0,75
B C
0,25
0,25
0,75 0,75
B B C
C
0,75 0,75
0,75
0,75
0,25
0,25 0,25 0,25
C
B B C B C B C
8 mo\
liwych wyników:
(B,B,B), (B,B,C), (B,C,B), (B,C,C), (C,B,B), (C,B,C), (C,C,B), (C,C,C)
Wyniki te nie są jednakowo prawdopodobne.
0,25
0,75
B C
0,25
0,25
0,75 0,75
B B C
C
0,75 0,75
0,75
0,75
0,25
0,25 0,25 0,25
C
B B C B C B C
P(B,B,B) = 0,25�0,25�0,25 = 0,015625
P(B,B,C) = 0,25�0,25�0,75 = 0,046875
0,25
0,75
B C
0,25
0,25
0,75 0,75
B B C
C
0,75 0,75
0,75
0,75
0,25
0,25 0,25 0,25
C
B B C B C B C
P(B,B,B) = 0,25�0,25�0,25 = 0,015625
P(B,B,C) = 0,25�0,25�0,75 = 0,046875
P(B,C,B) = 0,25�0,75�0,25 = 0,046875
P(B,C,C) = 0,25�0,75�0,75 = 0,140625
Suma jest równa 1
P(C,B,B) = 0,75�0,25�0,25 = 0,046875
P(C,B,C) = 0,75�0,25�0,75 = 0,140625
P(C,C,B) = 0,75�0,75�0,25 = 0,140625
P(C,C,C) = 0,75�0,75�0,75 = 0,421875
A0  wylosowano 0 kul białych; P(A0) = 0,421875
A1  wylosowano 1 kulę białą
P(A1) = P(B,C,C) + P(C,B,C) + P(C,C,B) = 3� 0,140625 = 0,421875
A2  wylosowano 2 kule białe
P(A2) = P(B,B,C) + P(B,C,B) + P(C,B,B) = 3� 0,046875=0,140625
A3  wylosowano 3 kule białe; P(A3) = 0,015625
A0  wylosowano 0 kul białych; P(A0) = 0,421875
A1  wylosowano 1 kulę białą
P(A1) = P(B,C,C) + P(C,B,C) + P(C,C,B) = 3� 0,140625 = 0,421875
A2  wylosowano 2 kule białe
P(A2) = P(B,B,C) + P(B,C,B) + P(C,B,B) = 3� 0,046875=0,140625
A3  wylosowano 3 kule białe; P(A3) = 0,015625
Niech X oznacza zmienną losową opisującą liczbę kul białych wśród
trzech kul wylosowanych ze zwracaniem.
P(X=0) = 0,421875
P(X=1) = 0,421875
P(X=2) = 0,140625
P(X=3) = 0,015625
Niech X oznacza zmienną losową opisującą liczbę kul białych.
P(X=0) = 0,421875; P(X=1) = 0,421875; P(X=2) = 0,140625; P(X=3) = 0,015625
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
Liczba kul białych 0 1 2 3
Prawdopodobieństwo 0,421875 0,421875 0,140625 0,015625
0 1 2 3
liczba kul białych
prawdopodobieństwo
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
" Załó\
my, \
e w urnie jest 25% kul białych i 75% kul czarnych.
" Wynika stąd, \
e P(B) = 0,25 i P(C) = 0,75
" Losujemy z tej urny 3 razy po jednej kuli ze zwracaniem.
" Interesuje nas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
opisującej liczbę kul białych wśród wylosowanych.
Tak sformułowany problem jest szczególnym przypadkiem
następującego problemu ogólniejszego:
" Niech p będzie liczbą z przedziału od 0 do 1.
" Załó\
my, \
e w urnie jest p�100% kul białych i (1-p)�100 % kul
czarnych.
" Wynika stąd, \
e P(B) = p i P(C) = 1-p
" Losujemy z tej urny n razy po jednej kuli ze zwracaniem.
" Interesuje nas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
opisującej liczbę kul białych wśród wylosowanych.
" Niech p będzie liczbą z przedziału od 0 do 1.
" Załó\
my, \
e w urnie jest p�100% kul białych i (1-p)�100 % kul
czarnych.
" Wynika stąd, \
e P(B) = p i P(C) = 1-p
" Losujemy z tej urny n razy po jednej kuli ze zwracaniem.
" Interesuje nas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
opisującej liczbę kul białych wśród wylosowanych.
" Doświadczenie z losowaniem ze zwracaniem kul z urny jest z kolei
równowa\
ne z następującym doświadczeniem losowym nazywanym
schematem Bernoulliego.
" Rozwa\
my doświadczenie losowe, którego wynikiem mo\
e być tylko  sukces
albo  pora\
ka . Takie doświadczenie nazywa się próbą Bernoulliego.
" Np. urna zawiera kule zielone, czarne, białe i czerwone; losujemy z tej urny
jedną kulę. Jako  sukces mo\
emy przyjąć wylosowanie kuli zielonej, a jako
pora\
kę wylosowanie kuli innego koloru, ni\
zielony.
" Powtarzamy to doświadczenie n razy (n jest z góry ustaloną liczbą), mówiąc
inaczej, wykonujemy n prób (Bernoulliego).
" Prawdopodobieństwo  sukcesu w pojedynczym doświadczeniu jest zawsze
takie samo, a więc nie zmienia się przy kolejnych powtórzeniach
doświadczenia (przy losowaniu kuli z urny zapewniamy spełnienie tego
warunku przez zwracanie za ka\
dym razem wylosowanej kuli do urny).
" Wynik danego doświadczenia nie ma wpływu na wynik \
adnego innego
z powtarzanych doświadczeń (np.  sukces przy pierwszym powtórzeniu
doświadczenia nie wpływa w \
aden sposób na wynik drugiego i kolejnych
powtórzeń doświadczenia).
" Rozwa\
amy zmienną losową, która opisuje liczbę  sukcesów w n
powtórzeniach doświadczenia (próby Bernoulliego). Rozkład tej zmiennej
losowej nazywa się rozkładem dwumianowym.
" Rozwa\
amy zmienną losową, która opisuje liczbę  sukcesów w n powtórzeniach
doświadczenia (próby Bernoulliego). Rozkład tej zmiennej losowej nazywa się
rozkładem dwumianowym.
" Powy\
szą zmienną losową nazywa się zmienną losową o rozkładzie
dwumianowym (albo krócej: dwumianową zmienną losową).
" Jeśli liczba prób jest równa n, to liczba  sukcesów mo\
e być równa 0, 1, 2, ..., n
" Prawdopodobieństwa przyjęcia przez dwumianową zmienną losową określonej
wartości k  sukcesów mo\
na wyliczyć na podstawie  drzewka . Metoda ta jest
jednak ucią\
liwa przy du\
ych wartościach n. Wygodniej jest korzystać z gotowego
wzoru Bernoulliego.
" Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym, gdzie liczba prób
jest równa n, zaś prawdopodobieństwo  sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p.
Mo\
na to krótko zanotować pisząc X ~ Bin(n; p)
(skrót Bin pochodzi od ang. binomial (dwumianowy)).
" Niech k będzie liczbą  sukcesów (k mo\
e 0, 1, 2, ..., n). Wzór Bernoulliego
na wyznaczenie prawdopodobieństwa, \
e w n próbach będzie k  sukcesów :
n�ł
�ł �ł
P(X = k) =
�łk pk(1- p)n-k
�ł łł
" Załó\
my, \
e w urnie jest 25% kul białych i 75% kul czarnych.
" Wynika stąd, \
e P(B) = 0,25 i P(C) = 0,75
" Losujemy z tej urny 3 razy po jednej kuli ze zwracaniem.
" Interesuje nas rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
opisującej liczbę kul białych wśród wylosowanych.
 sukces  wylosowanie kuli białej
Prawdopodobieństwo  sukcesu p = 0,25
Doświadczenie jest powtarzane n = 3 razy
Liczba  sukcesów k mo\
e przyjąć wartość 0, 1, 2 lub 3
Przykładowo:
3!
�ł
P(X = 2) = 0,252 �" 0,751 = 0,140625
�ł3�ł0,252(1- 0,25)3-2 =
�ł
�ł2łł
2!�"1!
 sukces  wylosowanie kuli białej
Prawdopodobieństwo  sukcesu p = 0,25
Doświadczenie jest powtarzane n = 3 razy
Liczba  sukcesów k mo\
e przyjąć wartość 0, 1, 2 lub 3
Przykładowo:
3!
�ł
P(X = 2) = 0,252 �" 0,751 = 0,140625
�ł3�ł0,252(1- 0,25)3-2 =
�ł
�ł2łł
2!�"1!
W obliczeniach wygodnie jest wykorzystać program R:
> dbinom(x=2,size=3,prob=0.25)
[1] 0.140625
dbinom(x,size,prob)
x oznacza liczbę  sukcesów (k)
size oznacza liczbę prób (n)
prob oznacza prawdopodobieństwo  sukcesu (p)
 sukces  wylosowanie kuli białej
Prawdopodobieństwo  sukcesu p = 0,25
Doświadczenie jest powtarzane n = 3 razy
Liczba  sukcesów k mo\
e przyjąć wartość 0, 1, 2 lub 3
Wyznaczymy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
opisującej liczbę  sukcesów
> dbinom(x=0,size=3,prob=0.25)
[1] 0.421875
> dbinom(x=1,size=3,prob=0.25)
[1] 0.421875
> dbinom(x=2,size=3,prob=0.25)
[1] 0.140625
> dbinom(x=3,size=3,prob=0.25)
[1] 0.015625
> dbinom(x=c(0,1,2,3),size=3,prob=0.25)
[1] 0.421875 0.421875 0.140625 0.015625
> 0:3
[1] 0 1 2 3
> 3:0
[1] 3 2 1 0
> 2:5
[1] 2 3 4 5
> dbinom(x=0:3,size=3,prob=0.25)
[1] 0.421875 0.421875 0.140625 0.015625
p=0,5
liczba  sukcesów
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p=0,5
liczba  sukcesów
 sukcesu
p.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Kształt rozkładu dwumianowego zale\
y od prawdopodobieństwa
Załó\
my, \
e wykonywanych jest
n
= 10 prób.
3
.
0
2
.
0
1
.
0
o
w
t
s
ń
e
i
b
o
d
o
p
o
d
w
a
r
p
0
.
1
9
.
0
8
.
0
7
.
0
6
.
0
5
.
0
4
.
0
3
.
0
2
.
0
1
.
0
o
w
t
s
ń
e
i
b
o
d
o
p
o
d
w
a
r
p
> round(dbinom(x=0:10,
size=10,
p=0,5
prob=0.5),
5)
0.00098
0.00977
0.04395
0.11719
0.20508
0.24609
0.20508
0.11719
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.04395
liczba  sukcesów
0.00977
0.00098
Rozkład jest symetryczny
0.3
0.2
0.1
prawdopodobieństwo
p=0,8
> round(dbinom(x=0:10,
size=10,
prob=0.8),7)
0.0000001
0.0000041
0.0000737
0.0007864
0.0055050
0.0264241
0.0880804
0.2013266
0.3019899
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2684355
liczba  sukcesów
0.1073742
Rozkład ma znaczną asymetrię lewostronną (ujemną)
0.4
0.3
0.2
prawdopodobieństwo
0.1
p=0,1
> dbinom(x=0:10,
size=10,
prob=0.1)
0.3486784401
0.3874204890
0.1937102445
0.0573956280
0.0111602610
0.0014880348
0.0001377810
0.0000087480
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0000003645
liczba  sukcesów
0.0000000090
0.0000000001
Rozkład ma znaczną asymetrię prawostronną (dodatnią)
0.4
0.3
0.2
prawdopodobieństwo
0.1
" Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X mo\
e być
scharakteryzowany przez wartość średnią i wariancję (lub
odchylenie standardowe).
" Wartość średnia rozkładu jest nazywana wartością oczekiwaną tego
rozkładu (albo wartością oczekiwaną zmiennej losowej o tym
rozkładzie) i oznaczana zwykle przez m (niekiedy mX) albo EX.
" Wariancja rozkładu jest oznaczana zwykle przez s2 (niekiedy sX2)
lub VarX albo D2X.
" Jeśli X ~ Bin(n;p), to EX = n�p, VarX = n�p�(1-p)
50
40
30
20
liczba  sukcesów
X ~ Bin(n=50,p=0,5)
10
0
50
40
30
20
liczba  sukcesów
X ~ Bin(n=50,p=0,5)
10
być przybli\
ony
rozkładem normalnym
.
"
Jeśli
n
jest du\
e oraz
n�p�
(1
-p
)
Ą
9 , to rozkład dwumianowy mo\
e
0
0
1
.
0
8
0
.
0
6
0
.
0
4
0
.
0
2
0
.
0
0
0
.
0
o
w
t
s
ń
e
i
b
o
d
o
p
o
d
w
a
r
p
0
1
.
0
8
0
.
0
6
0
.
0
4
0
.
0
2
0
.
0
0
0
.
0
o
w
t
s
ń
e
i
b
o
d
o
p
o
d
w
a
r
p
" Rozkład normalny nie tylko przybli\
a rozkład dwumianowy, ale jest
u\
ywany do modelowania rozkładów wielu cech ciągłych w przyrodzie
i w naukach społecznych.
" Mo\
na przypuszczać, \
e cecha ma rozkład normalny, jeśli histogram tej
cechy jest mniej więcej symetryczny i ma wyraz
ne maksimum, wokół
którego koncentruje się większość wartości.
Krzywa normalna
Krzywa normalna
(krzywa Gaussa, krzywa dzwonowa)
( x-� )2
-
1
2
2�
y
y = �" e
� 2Ą
m- wartość oczekiwana rozkładu
normalnego
s - odchylenie standardowe rozkładu
normalnego
x
e � 2.718282
Oznaczenie rozkładu X ~ N( m,s2)
p � 3.141593
N( m=0,s2=1)
y
(rozkład normalny standaryzowany,
rozkład normalny standardowy)
N( m=4,s2=4)
x
0 4
Ten rozkład ma większą wariancję s2
Ten rozkład ma
y
y
mniejszą średnią
�1 = �2
x
�1 �2
x
Parametr m decyduje
Parametr s2 decyduje
o poło\
eniu rozkładu.
o rozproszeniu rozkładu.
Oba rozkłady mają
Oba rozkłady mają
identyczne rozproszenie.
identyczne poło\
enie.
y
Linia o równaniu
( x-� )2
-
1
2
2�
y = �" e
� 2Ą
przedstawia gęstość rozkładu
normalnego.
Rozkład dwumianowy jest
przykładem rozkładu skokowego
(dyskretnego)
x
Rozkład normalny jest przykładem
rozkładu ciągłego.
Pole obszaru pod krzywą normalną
jest równe 1
Rozkłady skokowe przyjmują przeliczalną liczbę wartości, zaś
suma prawdopodobieństw przyjęcia tych wartości jest równa 1.
Rozkłady ciągłe mogą przyjąć dowolną wartość z określonego
przedziału liczbowego. Dla rozkładów ciągłych pole pod krzywą
gęstości jest równe 1.
Zacieniowane pole ma
y miarę równą 0,6827
� - � � � + �
x
Jeśli cecha ma rozkład N( m,s2), to w obrębie jednego odchylenia standardowego
od średniej, czyli w przedziale (m  s, m + s ) znajduje się 68,27% wartości tej cechy.
y
Zacieniowane pole ma
miarę równą 0,9545
�
� - 2� � + 2� x
Jeśli cecha ma rozkład N( m,s2), to w obrębie dwóch odchyleń standardowych
od średniej, czyli w przedziale (m  2s, m + 2s ) znajduje się 95,45% wartości tej
cechy.
y
Zacieniowane pole ma
miarę równą 0,9973
�
� - 3� � + 3� x
Jeśli cecha ma rozkład N( m,s2), to w obrębie trzech odchyleń standardowych
od średniej, czyli w przedziale (m  3s, m + 3s ) znajduje się 99,73% wartości tej
cechy, a więc niemal wszystkie wartości tej cechy.
Ile wynosi zacieniowane pole?
X~N( m=3,s2=0.52)
X~N( m=3,s2=0.52)
0 4
0 4
> pnorm(4,mean=3,sd=0.5)
> 1-pnorm(4,mean=3,sd=0.5)
[1] 0.9772499
[1] 0.02275013
Ile wynosi zacieniowane pole?
X~N( m=3,s2=0.52)
2,7 3,3
0
> pnorm(3.3,mean=3,sd=0.5)- pnorm(2.7,mean=3,sd=0.5)
[1] 0.4514938
Ile wynosi zacieniowane pole?
X~N( m=3,s2=0.52)
2,7 3,3
0
> 1-(pnorm(3.3,mean=3,sd=0.5)- pnorm(2.7,mean=3,sd=0.5))
[1] 0.5485062
Dla jakiej wartości xp zacieniowane pole jest równe 0,95?
X~N( m=3,s2=0.52)
xp
0
> qnorm(0.95,mean=3,sd=0.5)
[1] 3.822427
Poszukiwana wartość xp jest kwantylem rzędu 0,95 rozkładu N( m=3,s2=0.52)
" Kwantylem rzędu p rozkładu ciągłego nazywa się liczbę xp mającą taką
własność, \
e pole figury le\
ącej nad osią OX, pod krzywą gęstości i na
lewo od prostej o równaniu x = xp ma miarę równą p.
Zakreskowane pole ma
miarę równą p
Krzywa gęstości
xp
Kwantyl rzędu p
Prosta o równaniu x = xp
Pola pod krzywą gęstości rozkładu N(0;1) są
stablicowane
Prostopadła do poziomej osi o
Zakreskowane pole mo\
e
równaniu x=a
być odczytane z tablic
0,5
statystycznych
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4 -2 0 2 4
Ustalona liczba a
Tablica dys trybuanty rozkładu normalnego s tandaryzowanego
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
" Załó\
my, \
e wzrost dorosłych mę\
czyzn ma rozkład N( m=175,s2=52).
y
Pole jest równe 0,6827
Pole jest
równe 0,15865
Pole jest równe (1- 0,6827)/2 = 0,15865
� - � � � + �
x
Wynika stąd np., \
e
68,27% mę\
czyzn ma od 170 do 189 cm wzrostu
około 15,9% mę\
czyzn ma powy\
ej 180 cm wzrostu
około 15,9% mę\
czyzn ma poni\
ej 180 cm wzrostu
Załó\
my, \
e wzrost dorosłych mę\
czyzn ma rozkład N( m=175,s2=52).
Jaki odsetek mę\
czyzn ma poni\
ej 182 cm wzrostu?
> pnorm(182,mean=175,sd=5)
[1] 0.9192433
150 160 170 180 190 200
wzrost w cm
0.08
0.06
0.04
gęstość rozkładu
0.02
0.00
" Istnieją rozkłady ciągłe inne, ni\
rozkład normalny, np. rozkład
jednostajny.
Histogram dla 1000 wartości cechy,
która mo\
e być opisana przez rozkład jednostajny
na przedziale (150, 200)
100 150 200 250
100 150 200 250
Wartości cechy
Wartości cechy
150
100
gęstość
50
Częstość występowania
0
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
10
8
6
4
Wartości cechy
2
0
10
8
6
4
Wartości cechy
2
0
"
Inny przykład rozkładu ciągłego:
rozkład wykładniczy
Histogram dla 1000 wartości cechy,
która mo\
e być opisana przez rozkład wykładniczy ze średnią 1
7
.
0
6
.
0
5
.
0
4
.
0
3
.
0
2
.
0
1
.
0
0
.
0
ć
ś
o
t
s
ę
g
0
0
7
0
0
6
0
0
5
0
0
4
0
0
3
0
0
2
0
0
1
0
a
i
n
a
w
o
p
ę
t
s
y
w
ć
ś
o
t
s
ę
z
C
" Załó\
my, \
e wzrost dorosłych mę\
czyzn w populacji opisywany jest
przez rozkład normalny N( m=175,s2=52).
" Losujemy z tej populacji bardzo wiele prób, przy czym ka\
da próba
liczy 9 elementów.
próba nr 1: 172 176 175 179 176 177 172 179 171
próba nr 2: 173 175 175 174 179 176 175 173 178
próba nr 3: 170 187 173 179 176 179 171 173 171
.....................................................................................
Następnie dla ka\
dej próby liczymy średnią:
średnia dla próby nr 1: 176,4
średnia dla próby nr 2: 174,8
średnia dla próby nr 3: 176,0
.....................................................................................
średnie z prób
168
170
172
174
176
178
180
182
średnie z prób
"
Rysujemy histogram rozkładu średnich z próby
168
170
172
174
176
178
180
182
5
2
.
0
0
2
.
0
5
1
.
0
0
1
.
0
5
0
.
0
0
0
.
0
ć
ś
o
t
s
ę
g
0
0
5
2
0
0
0
2
0
0
5
1
0
0
0
1
0
0
5
0
b
ó
r
p
a
b
z
c
i
l
" Prawdziwe jest następujące twierdzenie:
Jeśli próby (dowolnego rozmiaru) pochodzą z rozkładu
normalnego N(m, s2),
to średnie z prób mają rozkład normalny z wartością średnią m
oraz wariancją s2/n.
" Prawdziwe jest tak\
e następujące twierdzenie:
Jeśli próby (du\
ego rozmiaru, co najmniej 30) pochodzą
z dowolnego rozkładu prawdopodobieństwa, który ma wartość
średnią m i wariancję s2,
to średnie z prób mają rozkład normalny z wartością średnią m
oraz wariancją s2/n.