6.5. Rozkład normalny
Definicja
Mówimy, \
e ciągła zmienna losowa X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej �
i odchyleniu standardowym �
�, jeśli jej funkcja gęstości - określona dla wszystkich
�
�
(x-� )2
1 2
2�
e
rzeczywistych wartości x - ma postać f(x) = .
� 2Ą
Twierdzenie
Podstawowe parametry rozkładu normalnego wynoszą:
E(X) = � , D(X) = � �
� , D2(X) = �2.
� �
� �
Przykładowy wykres funkcji gęstości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym
Funkcja f gęstości rozkładu normalnego ma następujące własności:
- własność symetryczności  wykres jest symetryczny wzglądem prostej x = � co oznacza,
\
e spełniona jest zale\
ność P(X > �) = P(X < �) = 0,5,
- własność jednomodalności w punkcie x = � funkcja f osiąga wartość maksymalną,
1
która wynosi f(�) = ,
� 2Ą
- wykres funkcji f ma dwa punkty przegięcia dla x = � - � oraz x = � + � ,
- kształt funkcji gęstości zale\
y tylko od dwóch parametrów � oraz � .
Definicja
Rozkład normalny nazywamy standaryzowanym, gdy wartość oczekiwana wynosi 0, a
odchylenie standardowe jest równe 1.
Twierdzenie
Funkcja gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego ma postać
x2
1
2
e
f(x) = .
2Ą
Standaryzacja rozkładu, czyli przekształcenia dowolnej zmiennej X o wartości oczeki-
wanej � � na zmienną U o wartości oczekiwanej 0 i odchyleniu
� i odchyleniu standardowym �
� �
� �
standardowym 1 ułatwia obliczanie prawdopodobieństwa wartości zmiennych o rozkładzie
normalnym.
W celu obliczenia prawdopodobieństwa, \
e zmienna X o wartości oczekiwanej �
� i od-
�
�
chyleniu standardowym � nale\
y do pewnego przedziału [a, b) wystarczy obliczyć całkę z
�
�
�
funkcji gęstości, bądz
znać jawną postać dystrybuanty. Wartości dystrybuanty rozkładu nor-
malnego standaryzowanego, oznaczanej zwykle symbolem Ś
Ś(u) odczytuje się z tablic. Zatem
Ś
Ś
x - �
wystarczy skorzystać z zale\
ności F(x) = Ś )
Ś(
Ś
Ś
�
Poniewa\
w tablicach podane są wartości Ś � )
Ś(u) tylko dla u e" 0, zatem dla u d" 0 (i x<�
Ś �
Ś �
nale\
y skorzystać z symetryczności rozkładu i wyznaczyć:
Ś Ś(u)
Ś(-u) = P(U d" -u) = P(U e" u) = 1 - P(U < u) = l - Ś
Ś Ś
Ś Ś
Przykład 1.
Przeciętny czas oczekiwania na dostawę towaru kupionego na aukcji internetowej (w daniach)
wynosi 5 dni, a przeciętne odchylenie od średniej wynosi 2 dni. Przyjmujemy, \
e czas ocze-
kiwania ma rozkład normalny. Jakie jest prawdopodobieństwo dostawy towaru w czasie nie
dłu\
szym ni\
3 dni od zlecenia operacji?
Niech zmienną losową X będzie czas dostawy towaru; wtedy wartość oczekiwana
� = 5 i odchylenie standardowe �
� �
� � = 2.
� �
X - 5
Standaryzujemy tę zmienna przyjmując u = . Wtedy zmienna standaryzowana ma
2
wartość oczekiwaną � = 0 i odchylenie standardowe �
� �
� � = 1.
� �
Prawdopodobieństwo dostawy towaru w czasie nie dłu\
szym ni\
3 dni wynosi:
X - 5 3 - 5
P(X d" 3) = P( d" ) = P(u d" -1) = Ś Ś(1) .
Ś( -1) = 1 - Ś
Ś Ś
Ś Ś
2 2
 Odczytujemy z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego, \
e
Ś
Ś(2) = 0,8413. Zatem poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi 1 - 0,8413 = 0,1587.
Ś
Ś
Odpowiedz
:
Prawdopodobieństwo dostawy towaru w czasie nie dłu\
szym ni\
3 dni od zlecenia operacji
jest równe 0,1587 (jest niewielkie).