Wartość oczekiwana, wariancja, dystrybuanta zmiennej losowej.
Rozkład normalny
Zad.1 Zmienna losowa X przyjmuje wartości x1 =� -�2, x2 =� 0, x3 =� 1 odpowiednio z
1 2
prawdopodobieństwem p1 =� , p2 =� , p3 =� C .
5 5
Znalez
ć:
a) stałą C
b) dystrybuantę,
c) wartość średnią
d) wariancję tej zmiennej losowej.
Zad. 2 Tabela przedstawia rozkład zmiennej losowej skokowej
0 2 3 5
xi
0,2 0,1 0,5 C
pi
Znalez
ć:
a) stałą C
b) dystrybuantę
c) wartość średnią
d) wariancję tej zmiennej losowej
e) P(0 <� X Ł� 3)
Zad.3 Zmienna losowa X przyjmuje wartości całkowite dodatnie z prawdopodobieństwem
c
P(X =� n) =� . Znalez
ć
4n
a) stałą C
b) P(X <� 4) .
Zad.4 Zmienna losowa X przyjmuje wartości całkowite dodatnie z prawdopodobieństwem
3n
P(X =� n) =� C �� . Znalez
ć
4n
a) stałą C
b) P(X ł� 3) .
Zad.5 Znalez
ć stałą C>0 tak aby funkcja
0 dla x <� -�1
��
��
f (x) =� C(1-� x2 ) dla -�1 Ł� x Ł� 1 była gęstością prawdopodobieństwa.
��
��
0 dla x >� 1
��
Znalez
ć
a) dystrybuantę i obliczyć
b) wartość średnią i wariancję oraz
c) P(X <� 0,5) , d) P(X >� 0,75) .
Podać interpretacją punktu c) oraz d) na wykresie funkcji gęstości.
4
Zad.6 Znalez
ć stałą C>0 tak aby funkcja
0 dla x <� 0
��
��
f (x) =� Cx(1 -� x) dla 0 Ł� x Ł� 1 była gęstością prawdopodobieństwa.
��
��
0 dla x >� 1
��
Znalez
ć
a) dystrybuantę
b) wartość średnią i wariancję oraz prawdopodobieństwa
c) P(X <� 0,5) , d) P(X >� 0,75) .
Podać interpretacją punktu c) oraz d) na wykresie funkcji gęstości
Zad. 7 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(-�1, 2) .
Wyznaczyć:
a) P(X <� 0) , b) P(X <� -�2) , c) P(X >� 1) , d) P(X >� -�3) , e) P(1 <� X <� 3) , f) P( X <� 1)
Podać interpretację na wykresie funkcji gęstości.
Zad. 8 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(1, 2) .
Wyznaczyć x takie, że :
a) P(X <� x) =� 0,67 , b) P(X <� x) =� 0,33, c) P(-�x +�1 <� X <� x +�1) =� 0,5.
Zad. 9 Wzrost mężczyzn w Polsce w roku 1880 miał rozkład N(165, 10) .
Jaki procent mężczyzn miało wzrost
a) poniżej 160 cm. b) powyżej 165 cm. c) powyżej 170 cm.
odpowiedzi:
0 dla x Ł� -�2
��
��
0,2 dla -� 2 <� x Ł� 0
��
2
1) a) C =� 0,4, b) F(x) =� , c) m =� 0, d) s� =� 1,2
��
0,5 dla 0 <� x Ł� 1
��
��
1 dla x >� 1
��
0 dla x Ł� 0
��
��
0,2 dla 0 <� x Ł� 2
��
��
2
2) a) C =� 0,2, b) F(x) =� 0,3 dla 2 <� x Ł� 3, c) m =� 2,7 , d) s� =� 2,61 , e) 0,6
��
��
0,8 dla 3 <� x Ł� 5
��
�� 1 dla x >� 5
��
63 1 9
3) a) C =� 3, b) , 4) a) C =� , b) ,
64 3 16
0 dla x <� -�1
��
��
3 -� x3 +� 3x +� 2 27 107
��
2
5)C =� , a) F(x) =� dla -�1Ł� x Ł�1 , b) m =� 0, s� =� 0,2, c) , d)
��
4 4 32 256
��
�� 1 dla x >�1
��
0 dla x <� 0
��
�� 1 3 1 37
2
6) C =� 6, a) F(x) =� x2 (3 -� 2x) dla 0 Ł� x Ł� 1, b) m =� , s� =� , c) , d)
��
2 10 2 64
��
1 dla x >� 1
��
7) a) 0,6915, b) 0,3085, c) 0,1587, d) 0,8413, e) 0,13595, f )0,3413
8) a) x =� 1,88, b) x =� 0,12, c) x =� 1,34 , 9) a) 30,85%, b) 50%, c) 30,85%
5