Ć w i c z e n i e 1
ROZKA
AD NORMALNY
1.1. Opis teoretyczny
Proszę zapoznać się z umieszczonym we wstępie rozdziałem nr 2.3 zatytułowanym
 Niepewności pomiarów bezpośrednich . Ćwiczenie jest praktyczną ilustracją zawartej tam teorii.
Celem ćwiczenia jest otrzymanie eksperymentalnego rozkładu Gaussa (schodkowego),
naniesienie na nim odpowiedniego rozkładu ciągłego i wyznaczenie parametrów rozkładu ( X , � ) .
Trzeba zdecydowanie silnie podkreślić, że same parametry rozkładu nie dają pełnej informacji
statystycznej. Taką informacją jest jedynie wykres rozkładu w postaci dyskretnej (tzw. histogram)
lub w postaci ciągłej.
Punkty eksperymentalnie otrzymanego histogramu niejednokrotnie znacznie odbiegają od
teoretycznej krzywej Gaussa, ponieważ N nie jest wystarczająco duże. W ćwiczeniu w celu
ułatwienia otrzymania docelowej ciągłej krzywej rozkładu stosujemy metodę Simpsona
umożliwiającą przeliczenie punktów eksperymentalnych P(X ) na punkty położone bliżej docelowej
i
krzywej P (X ) i w związku z tym ułatwiające jej znalezienie. Zależność Simpsona ma postać:
S i
PS (Xi ) = 0,25 [P(Xi - 1) + 2 P(Xi ) + P(Xi + 1)]
(1.1)
i jest właściwością krzywej Gaussa określającą współzależność trzech sąsiednich punktów
pomiarowych.
Parametry rozkładu normalnego można wyznaczyć następującymi sposobami:
a) średnia X :
1) na bazie wzoru (W-2.2)
2) z wykresu rozkładu normalnego - jako miejsce położenia jego maksimum.
�
b) odchylenie standardowe
1 ) na bazie wzoru (W-2.4)
2) z wykresu rozkładu normalnego określając położenie punktów przegięć.
W laboratorium znajdują się dwie wersje służące do eksperymentalnego sprawdzenia przytoczonej
wyżej teorii :
wersja A - badająca staczanie się kulek stalowych po pochylni
wersja B - badająca dokładność wykonania fabrycznych rezystorów
1.2. Opis układu pomiarowego
W skład zestawu pomiarowego wchodzą:
w wersji A :
1) pochylnia do staczania kulek zaopatrzona w 37 przegródek
2) pudełko z kulkami stalowymi (w liczbie około 100).
w wersji B :
1) omomierz cyfrowy
2) rezystory fabryczne o rezystancji około 164 &! w ilości 104 sztuk zamontowane w
obudowie. Każdy z oporów jest podłączony do osobnego gniazda pomiarowego.
1.3. Przeprowadzenie eksperymentu.
W e r s j a A
1. Zapoznać się z budową pochylni.
2. Wsypać kulki przez otwór w pudełku do urządzenia pojedyńczo tak aby się nie zderzały ze
sobą.
3. Obliczyć i zapisać ile kulek wpadło do poszczególnych przegródek.
4. Przesypać kulki z powrotem do pudełka.
5. Operacje 2-4 powtórzyć 10-krotnie.
6. Zliczyć ile kulek N , które wpadły do poszczególnych przegródek o numerach X łącznie w
i i
N = Ni
10 wsypaniach. Obliczyć łączną ilość wsypanych kulek
"
W e r s j a B
1. Wykonać pomiary rezystancji N rezystorów.
2. Pogrupować wyniki w przedziały o szerokości 0,5 &!. Wartości minimalna R i
min
maksymalna R są podane na obudowie.
max
3. Zliczyć ile rezystorów N , których wartości znalazły się w poszczególnych przedziełach
i
o numerach kolejnych X
i
1.4. Opracowanie wyników pomiarów
W e r s j a A
1. Policzyć prawdopodobieństwa P(X ) wpadnięcia kulki do przedziałów o kolejnych numerach X
i i
Ni
P(Xi ) =
N
2. Narysować schodkowy histogram zależności prawdopodobieństwa P(X ) od numeru przedziału
i
( X ). Szerokość przedziału przyjąć równą 1
i
W e r s j a B
1. Policzyć prawdopodobieństwa P(X ) znalezienia się wartości mierzonego rezystora do
i
przedziale o numerze X
i
Ni
P(Xi ) =
N
2. Narysować schodkowy histogram zależności prawdopodobieństwa P(X ) od numeru
i
przedziału ( X ).
i
d a 1 e j w o b u w e r s j a c h p o d o b n i e
3. Stosując zależność Simpsona (1.1) wyznaczyć i nanieść na wykres punkty pomocnicze
4. Narysować przypuszczalny kształt ciągłego rozkładu normalnego starając się aby tyle samo
punktów simpsonowskich znalazło się pod co i nad krzywą (patrz rys. 1 we wstępie)
3. Wyznaczyć parametry rozkładu ( X , � ) wyrażając je w przedziałach wszystkimi
przedstawionymi metodami.
a) z histogramu
b) obliczyć ze wzorów definicyjnych:
1 Ni
X = Xi Ni = Xi = Xi P(Xi )
" " "
N N
i i i
Ni (Xi - X)2
"
i
� = E" P(Xi ) (Xi - X)2
"
(N- 1)
i
Jako wyniki końcowe podać wartości średnie.
5. Obliczyć bezwzględną i względną (wyrażoną w %) ilość kulek (w wersji B : rezystorów),
które znalazły się w następujących przedziałach:
X ą 0,679 �
X ą �
X ą 2 �
X ą 3 �
Porównać z teoretycznymi prawdopodobieństwami wpadnięcia kulek te przedziały (w
wersji B : z prawdopodobieństwami, że rezystancja danego rezystora mieści się w tych
przedziałach). Prawdopodobieństwa te wynoszą odpowiednio : 0,5 ; 0,68 ; 0,95 ; 0,997 .
6. Wyciągnąć wnioski. Czym można wytłumaczyć zaistniałe odstępstwa od teorii?
1.5. Pytania kontrolne
1. Napisać i objaśnić wzór na rozkład normalny.
2. W jakich przypadkach można stosować rozkład normalny?
3. Omówić sens fizyczny parametrów rozkładu normalnego
4. Opisać graficzną metodę wyznaczania odchylenia standardowego.
5. Wymienić przykłady zdarzeń losowych, w których można by było zastosować rozkład
normalny.
L i t e r a t u r a
[1] Reif E. . Fizyka statystyczna . PWN, Warszawa 1975.