Statystyka w jakości
1
zmienność
Losowe naturalne
PROCES
Losowe specjalne
- procesy masowe
- badania 100%
- procesy ciągłe
- badania statystyczne
- du\
ych serii
2
MODELE
ZDETERMINOWANE
LOSOWE
zdarzenie B1
zdarzenie B
zdarzenie A
zdarzenie A
zdarzenie B2
zdarzenie B3
funkcja
funkcja
funkcja
funkcja
S=V*t
S=V*t
S=V*t
S=V*t
prawdopodobieństwa
prawdopodobieństwa
prawdopodobieństwa
prawdopodobieństwa
3
modele
właściwości procesu (cechy): średnica wałka, cię\
ar puszki,
PROCES
%zawartości a w b
ANALIZA
POMIAR WNIOSKOWANIE
STATYSTYCZNA
4
Podział cech statystycznych:
cechy
cechy
cechy
cechy
jakościowe
jakościowe
jakościowe
jakościowe
mierzalne
mierzalne
mierzalne
mierzalne
(niemierzalne)
(niemierzalne)
(niemierzalne)
(niemierzalne)
skokowe
ciągłe porządkowe
(dyskretne)
nominalne
5
Prawdopodobieństwo w ujęciu klasycznym
&!  zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
A  zdarzenie
k  liczba zdarzeń sprzyjających zajściu A
m  liczba wszystkich mo\
liwych zdarzeń
P(A) = k/m
Liczba wyra\
ająca przekonanie, \
e powtarzając proces
losowy wielokrotnie, otrzyma się określoną wartość
zmiennej losowej
6
Własności
1) P(A) e" 0
2) P(&!) = 1
3) Je\
eli A-1 jest zdarzeniem przeciwnym
do A (dopełnieniem) to P(A) = 1  P(A-1)
7
Podstawowe pojęcia
Zdarzenie elementarne  konkretna realizacja zmiennej
losowej (np. wynik pomiaru)
Populacja  jest rozumiana jako zbiór wyników wszystkich
pomiarów, którymi jesteśmy zainteresowani.
Próba  jest podzbiorem wyników pomiarów pobranych z
populacji.
Próba losowa  pobieranie próby dokonuje się w sposób
losowy, tj. tak, aby ka\
da mo\
liwa próba składająca się z n
elementów miała taką samą szansę, \
e zostanie wybrana.
Próba reprezentatywna  próbka, której struktura pod
względem badanej charakterystyki nie ró\
ni się istotnie od
struktury populacji
8
Opracowanie próby
porządkowanie według wielkości
określenie charakterystycznych punktów
zbioru:
 wartości granicznych
 środkowej wartości
 kwartyli
9
Miary tendencji centralnej:
Mediana
 leży w centrum zbioru w tym sensie, że połowa wyników
znajduje się powyżej, a połowa poniżej jej wartości
(2. kwartyl)
(n+1)Pr/100
Dominanta
 wartość modalna - jest to wartość, która w tym zbiorze
występuje najczęściej
Średnia arytmetyczna (średnia klasyczna)
 zwaną także przeciętną jest sumą wartości wszystkich
wyników podzieloną przez liczebność tego zbioru
1
0
Mediana
dla zbioru o parzystej liczbie danych
xn + xn
+1
2 2
Me =
2
dla zbioru o nieparzystej liczbie danych
Me = xn
2
1,2,3,4,190 średnia = 40, mediana = 3
1
1
Średnia arytmetyczna
próba: populacja:
prób : populacj :
prób : populacj :
prób : populacj :
N  liczebność populacji
n  liczebność próby
�  średnia z populacji
X  średnia z próby
�  odchylenie standardowe
s  odchylenie standardowe
populacji
próby
PARAMETRY
STATYSTYKI
1
2
Średnia arytmetyczna
średnia prób : średnia populacji:
średnia prób : średnia populacji:
średnia prób : średnia populacji:
średnia próby: średnia populacji:
n N
xi
"x "
i
i=1 i=1
x = � =
n N
1
3
interpretacja średniej arytmetycznej:
Średnia z danych streszcza wszystkie informacje w
nich zawarte:
 Mo\
e ona być uwa\
ana za punkt, w którym skoncentrowała
się cała masa wszystkich wyników obserwacji i który jest
środkiem cię\
kości masy.
 Gdyby wszystkie wyniki obserwacji był jednakowe to ka\
dy
z nich byłby równy średniej arytmetycznej.
 Wielkość abstrakcyjna.
1
4
Zadanie 1:
Rozpatrzmy dwa zbiory danych:
Zbiór 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11
Zbiór 2: 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8
Obliczyć: średnią zbiorów, medianę i dominantę
1
5
1
6
Miary rozrzutu
Rozstęp:
 w zbiorze wyników obserwacji rozstępem
nazywamy różnicę pomiędzy wartością
największą i najmniejszą
Wariancja:
 w zbiorze wyników wariancją nazywamy
przeciętne kwadratowe odchylenie
poszczególnych wyników od ich średniej
Odchylenie standardowe
 pierwiastek kwadratowy z wariancji
1
7
Wzory
Rozstęp
R = xmax  xmin
Wariancja
próby: populacji:
prób : populacji:
prób : populacji:
prób : populacji:
n N
"(x - x)2 "(x - �)2
i i
2
i=1 i=1
s2 = � =
n -1 N
1
8
 Odchylenie standardowe
w populacji:
populacji:
populacji:
populacji:
w prób :
próbie:
prób :
prób :
n N
"(x - x)2 "(x - �)2
i i
2
i=1 i=1
� = � =
s = s2 =
N
n -1
Zadanie 2
Obliczyć odchylenia standardowe danych z zadania 1
1
9
Grupowanie danych - szeregi
Najczęś
ęściej grupujemy dane w tak zwane szeregi:
ęś
ęś
 Pozycyjny (n<30)
" (sortujemy dane rosnąco lub malejąco i zliczamy ile jest
elementów o tej samej wartości lub cesze)
 Rozdzielczy (ne"30)
" dane grupujemy w klasy, czyli przedziały o ustalonej
wielkości
" możemy w ten sposób określić rozkład częstości danych w
poszczególnych klasach.
" wykres obrazujący rozkład częstości nazywamy
histogramem (wykres słupkowy). Wysokość słupka
reprezentuje częstość, z jaką pojawiły się wyniki obserwacji
należące do klasy reprezentowanej przez słupek. Sąsiednie słupki
mają wspólne boki.
2
0
a b c d e f g
Częstość
Częstości odpowiadają
(liczebność)
prawdopodobieństwu wystąpienia
wartości danej cechy i sumują się
do jedności
Wartości
cechy
[1,4](4,7]
& (27,31]
Szerokość przedziału klasowego
2
1
jak dobrać liczbę klas?
Liczność próbki Ilość przedziałów
n k
30 � 50 6 � 10
51 � 100 7 � 11
101 � 200 8 � 12
201 � 500 9 � 15
k =1+3,32*logN
2
2
Zmienne losowe
cecha, którą obserwujemy (mierzymy) jest
zmienną losową (np. średnica, masa)
zmienna losowa - zmienna przyjmująca ró\
ne
wartości liczbowe, wyznaczone przez los (30,6 ;
30,71 ; 30,78 ; 30,62 itd.)
rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
- przyporządkowanie prawdopodobieństw
wszystkim mo\
liwym wartościom zmiennej
losowej
zmienne losowe  > model
 dyskretne  funkcja dyskretna (dwumianowy,
Poissona,& )
 ciągłe  funkcja ciągła (normalny, Weibula, itd.)
2
3
Zmienna losowa skokowa (dyskretna)
Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej
skokowej jest tablica, wzór lub wykres, który
przyporządkowuje prawdopodobieństwa ka\
dej
mo\
liwej wartości zmiennej.
Np.
P(X=x) = p
P(X=1) = 0,1
P(X=2) = 0,4 1
P(X=6) = 0,5
2
4
Przykład
Liczba wad pojawiająca się na linii monta\
owej A
F(x)
P(x)
x P(x) F(x)
1
0,3
0 0,1 0,1
1 0,2 0,3
0,2
2 0,3 0,6
0,1
3 0,2 0,8
4 0,1 0,9
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
5 0,1 1,0
Dystrybuanta
Gęstość prawdopodobieństwa
zmiennej losowej
zm. losowej
1,0
P(1d"xd"3) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =F(3)-F(0)
= 0,8-0,1 = 0,7
P(xd"3) = F(3) = 0,8
2
5
 dystrybuanta:
 skumulowana funkcja rozkładu zmiennej losowej:
F(x) = P(Xd"x) = ŁP(i) dla id"x
2
6
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
Rozkład dwumianowy:
Ciąg identycznych doświadczeń spełniających
następujące warunki:
" Dwa mo\
liwe wyniki ka\
dego doświadczenia: sukces i
pora\
ka
" Prawdopodobieństwo sukcesu (p) pozostaje takie samo od
doświadczenia do doświadczenia. Prawdopodobieństwo
pora\
ki q = 1-p.
" Doświadczenia są od siebie niezale\
ne
" Liczba sukcesów opisana jest zmienną losową
dwumianową
Zmienna losowa dwumianowa
2
7
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
Rozkład dwumianowy:
Doświadczenie polegające na 4 rzutach monetą.
1. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania
P(X=3)
dokładnie 3 orłów?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e nie
P(X=0)
wypadnie \
aden orzeł?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e wypadnie
P(Xe"1) = 1 - P(X<1)
co najmniej 1 orzeł?)
p - ?
x - ?
n - ?
2
8
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
Rozkład dwumianowy:
1. W statystycznej kontroli jakości partia wyrobów zostaje
zaakceptowana jako dobra tylko wtedy, gdy liczba sztuk wadliwych w
stosunku do liczebności całej partii nie przekracza pewnej z góry
ustalonej wartości. Przypuśćmy, \
e w du\
ej partii wyrobów jest 20%
sztuk wadliwych. Pobrano z niej próbę liczącą 20 sztuk. Procedura
kontrolna przewiduje zaakceptowanie partii wyrobów tylko wtedy, gdy
nie więcej ni\
2 sztuki wśród 20 oka\
ą się wadliwe. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e partia wyrobów nie zostanie zaakceptowana?
p = 0,2, q = 0,8
P(X>2) = 1 - P(Xd"2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2) = 1  0,0115  0,0576  0,137 =
= 0,793
2
9
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
Rozkład dwumianowy:
2. Badania pracowników wykazały, \
e 70% z nich jest przekonanych, \
e
udział pracowników w zarządzaniu firmą podnosi jakość jej działania.
Je\
eli wybierze się losowo 15 pracowników, jakie jest prawdopodo-
bieństwo, \
e 3 spośród nich będzie podzielało przekonanie, i\
udział
pracowników w zarządzaniu firmą podnosi jakość działania firmy?
3. Zarząd turystyki na wyspie Barbados przeprowadza cotygodniowe
wywiady z sześcioma losowo wybranymi turystami, pytając ich o
wra\
enia z pobytu na wyspie. Wra\
enia ka\
dego turysty klasyfikuje się
jako pozytywne lub negatywne. Odpowiedzi zamieszcza się w
czasopiśmie  Visitor . Przypuśćmy, \
e 5% wszystkich turystów
odwiedzających Barbados jest niezadowolonych z pobytu. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e co najmniej dwóch spośród sześciu turystów, z którymi
przeprowadzono wywiady, wyrazi niezadowolenie?
3
0
Zmienna losowa ciągła
funkcja rozkładu (gęstości)
f(x0) = P(X=x0)
f(x0)
dystrybuanta
x0
Rozkład dyskretny  dystrybuanta = suma
F(x0) = P(Xd"x0)
prawdopodobieństw poszczególnych słupków
Rozkład ciągły  dystrybuanta = pole pod krzywą
gęstości
F(x0)
1
F(x0)
x0 x0
3
1
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
a dystrybuanta ciągłej zmiennej losowej
0,8
Odcinek =
prawdopodobieństwu
0,3
Pole pod krzywą =
całka oznaczona z
funkcji gęstości
prawdopodobieństwa
=
0,5
prawdopodobieństwu
3
2
Rozkł
ład normalny (Gaussa)
ł
ł
Rozkład normalny jest rozkładem, do którego dąży m.in.
rozkład dwumianowy gdy liczba doświadczeń n wzrasta
Okazuje się, że rozkład normalny jest rozkładem granicznym
wielu innych rozkładów, w sytuacjach gdy ujawniają się
skutki przypadkowych czynników pochodzących z różnych
z
ródeł
2
-( x-�)
1
2�2
f(x) = e
� 2Ą
3
3
Rozkład normalny o ró\
nych wartościach
średniej i odchylenia standardowego
� = 1
x
Odległość od (0,0))
Parametry rozkładu:
� = 40
�  wartość oczekiwana
� = 5
�  odchylenie
x
standardowe
� = 15
� = 3
x
� = 50
3
4
f(x)
f(x)
f(x)
STANDARYZOWANY ROZKA
AD NORMALNY
Ponieważ istnieje nieskończenie wiele normalnych
zmiennych losowych, jedną z nich wybieramy aby
służyła jako pewien standard. Została ona stablicowana
i obliczono prawdopodobieństwa przyjmowania przez
nią określonych wartości.
�=0, � = 1
� �
� �
� �
z2
-
1
2
f (z) = �"e
2Ą
3
5
standaryzacja
�0 = 1,91
DLT
GLT
� = 1
P(XP(X>x2)
P(U>u2)
P(U>u1)
P(U�0= -0,042
x1=2,5 x2=2,5 u1 � = 0 u2
transformacja: (x - �0)/�0
2
P(XP(X>x2) = P(U>u2)
3
6
Prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej losowej
standaryzowanej w określonych przedziałach
3
7
Tablice standaryzowanego rozkładu normalnego
 jak je czytać?
P(U>u)
Dopełnienie
dystrybuanty
3
8
Dodawanie zmiennych A i B o rozkładach
normalnych
A --- N(�1, �1)
B --- N(�2, �2)
Z = A+B --- N( �1+�2, �12+ �22 )
3
9
zadanie 1:
Włoski producent samochodów jest przekonany, \
e
liczba kilometrów, które mo\
na przejechać na
jednym z jego silników, ma rozkład normalny ze
średnią 160 000 km i odchyleniem standardowym
30 000 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e
silnik tego typu wytrzyma przebieg między 100 000
km a 180 000 km, zanim trzeba go będzie
wymienić?
P H" 0,72
4
0
zadanie 2:
Producent dostarcza kulki do myszy komputerowych
o średnicy charakteryzującej się rozkładem
normalnym o następujących parametrach
� = 5,25 i � = 0,12.
Odbiorca jest zainteresowany kulkami o średnicy
mieszczącej się w przedziale: GLT (górna linia
tolerancji) = 5,30 i DLT (dolna linia tolerancji) =
5,00.
Jaka jest frakcja kulek nie spełniających wymagań
odbiorcy?
P H" 0,36
4
1
zadanie 3:
Tygodniowa wielkość sprzeda\
y zupy w puszkach
firmy Winiary w sklepie spo\
ywczym rozkłada się
normalnie ze średnią 2450 puszek i odchyleniem
standardowym 400 puszek.
Właściciel sklepu chce znalez
ć dwie takie liczby,
poło\
one symetrycznie po obu stronach średniej, by
istniało prawdopodobieństwo 0.95, \
e tygodniowa
sprzeda\
znajdzie się między tymi liczbami.
Tego rodzaju wiadomość będzie dla niego przydatna
przy ustalaniu wielkości zamówień i zapasów.
Właściciel mo\
e mieć 95% pewności, \
e wielkość sprzeda\
y zup w
proszkach w dowolnym tygodniu będzie się mieściła w przedziale
1666 a 3234 puszki.
4
2
zadanie 4:
Część X powinna być wykonana z tolerancją
wymiaru A wynoszącą +/-20 jednostek. W wyniku
pomiarów du\
ej próby okazało się, \
e wymiar A ma
rozkład normalny N(-4, 4).
Jeśli warunki prowadzenia procesu wytwarzania
części A nie ulegną zmianie, jaka frakcja części X
ma wymiar A:
większy od wymaganego,
mniejszy od wymaganego,
w przedziale (-10, +10)
4
3
zadanie 5:
W województwach A i B zbadano roczną liczbę
opadów.
Okazało się, \
e zarówno w jednym jak i w drugim ilość
opadów podlega rozkładowi normalnemu.
Dla województwa A: N(120, 12) , a dla B: N(180, 16).
Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e ciągu roku łączna
ilość opadów w obu województwach będzie ni\
sza ni\

300?
4
4