Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
Wykład 2
Rozkład normalny, jednostajny i dwumianowy
Przemysław Biecek
Dla 1 roku studentów Biotechnologii
Rozkład normalny, gaussowski
Najczęściej wykorzystywany rozkład, do modelowania zmienności
w populacji. Parametrami rozkładu są średnia � i wariancja �2.
Korzystamy z notacji
X <" N (�, �2).
Gęstość rozkładu normalnego wyraża się wzorem
-(x-�)2
1
2�2
"
f (x) = e .
� 2Ą
Standardowy rozkład normalny, to rozkład normalny o średniej 0
i wariancji 1
X <" N (0, 1).
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 2/25
Przekształcenia zmiennej o rozkładzie normalnym
Przyjmijmy, że zmienna X ma rozkład
X <" N (0, 1).
Możemy określić nową zmienną Y następująco
(Y - �)/� = X ,
tak określona zmienna ma rozkład
Y <" N (�, �).
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 3/25
Kwantyle zmiennej losowej o rozkładzie normalnym
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 4/25
pnorm(x)
kwantyl 0.95 = 1.64
kwantyl 0.975 = 1.96
kwantyl 0.999 = 3.09
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Przykłady
Przyjmuje się, że współczynnik IQ ma w populacji rozkład
normalny o średniej 100 i odchyleniu standardowym 15.
IQ <" N (100, 15).
Ile osób ma IQ większe od 100?
Ile osób ma IQ w przedziale 70 do 130?
Jaki przedział przyjąć by określić 5% osób o największym IQ?
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 5/25
Rozkład dwumianowy
Często wykorzystywany rozkład, do modelowania liczby wystąpień
zjawisk zdarzających się z pewnym prawdopodobieństwem.
Parametrami rozkładu są liczba prób n i prawdopodobieństwo
sukcesu p. Korzystamy z notacji
X <" B(p, n).
Średnia wartość wynosi
E(X ) = np
a wariancja
Var(X ) = np(1 - p).
Prawdopodobieństwo wystąpienia k sukcesów
n
P(X = k) = � pk � (1 - p)n-k.
k
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 6/25
Przykłady
Przypuśćmy, ze prawdopodobieństwo zdania egzaminu nie ucząc
się wynosi 0.01. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu ucząc się
przez tydzień wynosi już 0.7.
Na pierwszym roku wydziału X studenci mają 4 egzaminy.
Opisać rozkład liczby zdanych egzaminów przez
osobę, która nic się nie uczyła,
osobę, która uczyła się tydzień do każdego egzaminu.
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 7/25
Centralne Twierdzenie Graniczne
Rozkład normalny jest ważny, ponieważ jest granicznym
przypadkiem uśredniania zmiennych pochodzących z innych
rozkładów.
Centralne Twierdzenie Graniczne
Średnia n niezależnych ustandaryzowanych zmiennych losowych
z porządnych rozkładów zbiega do rozkładu normalnego N (0, 1/n).
Co to oznacza?
Wiele zjawisk można przybliżyć rozkładem normalnym.
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 8/25
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 1 próbie
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 9/25
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 10 próbach
0 2 4 6 8 10
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 10/25
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 100 próbach
20 30 40 50 60 70 80
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 11/25
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 1000 próbach
300 400 500 600 700
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 12/25
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 1 rzuce kostką
0 2 4 6
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 13/25
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 10 rzutach kostką
0 2 4 6 8 10
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 14/25
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 100 rzutach kostką
0 10 20 30 40
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 15/25
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Centralne Twierdzenie Graniczne
liczba sukcesów w 1000 rzutach kostką
100 150 200 250 300
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 16/25
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
Rozkład jednostajny
Często wykorzystywany rozkład, do modelowania zjawisk
zdarzających się z równym prawdopodobieństwem.
Korzystamy z notacji
X <" U(a, b).
Średnia wartość zmiennej o rozkładzie jednostajnym wynosi
E(X ) = (a + b)/2
a wariancja
Var(X ) = (b - a)2/12.
Najczęściej rozważa się rozkład jednostajny na odcinku [0,1].
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 17/25
Przykłady
Przypuśćmy, że budzimy się w losowej chwili pomiędzy godziną
6:00 a 8:00. Załóżmy, że prawdopodobieństwo obudzenia się nie
zależy od godziny i jest równe w każdej chwili.
Ile wynosi prawdopodobieństwo obudzenia się pomiędzy godziną
7:00 a 7:15?
Po której godzinie jesteśmy obudzeni w 90% przypadków?
Jak by to wyglądało, gdyby chwila obudzenia miała rozkład
normalny o średnim czasie obudzenia 7:00 i wariancji 10 minut.
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 18/25
Dwuwymiarowy rozkład normalny
W praktyce możemy mieć do czynienia z większą liczbą zmiennych
o łącznym rozkładzie normalnym. Najprostszym przypadkiem jest
dwuwymiarowy rozkład normalny. Taki rozkład opisujemy
wektorem średnich (�1, �2) oraz macierzą kowariancji
2
�1 �12
Ł = .
2
�12 �2
Wartość parametru �12 określa czy obie zmienne są pozytywnie
zależne, negatywnie zależne czy niezależne.
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 19/25
Dwuwymiarowy rozkład normalny
x x
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 20/25
y
y
h
h
Dwuwymiarowy rozkład normalny
1.5 1.6 1.7 1.8
wzrost
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 21/25
waga
60
65
70
75
80
85
90
Dwuwymiarowy rozkład normalny
Kowariancje pomiędzy dwiema zmiennymi wyznaczyć można ze
wzoru
N
Ż Ż
Cov(X , Y ) = (Xi - X )(Yi - Y ).
i=1
Korelacje pomiędzy dwiema zmiennymi wyznaczyć można ze wzoru
N
Ż Ż
(Xi - X )(Yi - Y )
i=1
Cor(X , Y ) = .
N
Ż Ż
(Xi - X )2 N (Yi - Y )2
i=1 i=1
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 22/25
Przykład
Jaka jest kowariancja i korelacja wzrostu i wagi osób siedzących na
sali?
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 23/25
Z jakiego rozkładu pochodzą te dane?
-2 -1 0 1
kwantyle empiryczne
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 24/25
kwantyle teoretyczne
-2
-1
0
1
2
Co trzeba zapamiętać?
Co wynika z Centralnego Twierdzenia Granicznego?
Czym różni się kowariancja od korelacji?
Jakie parametry ma rozkład normalny?
Jakie parametry ma rozkład dwumianowy?
Jakie parametry ma rozkład jednostajny?
Jaki kształt mają gęstości tych rozkładów?
Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 25/25