2013-10-10
II. Druga dynamiki Newtona  stała masa
= m �" a
"Fi
i
= m�" ax; = m�" ay; = m�" az
"Fx,i "Fy,i "Fz,i
i i i
Przykład. Wyznaczyć siłę naciągu liny T oraz
przyspieszenie układu. Zakładamy brak sił oporu.
Ruch zmienny prostoliniowy - przyspieszenie
Rzut pionowy do góry
- mg
- mg
a = = -g
m
v = v - gt
0
v
0
2
gt
h = v t -
0
2
Czas wznoszenia
Ciało będzie się wznosić aż prędkość nie osiągnie wartości równej zeru
v
0
0 = v - gt �! t =
0 w w
g
Maksymalna wysokość na jaką wzniesie się ciało
2
�ł v �ł
0
g�ł �ł
2 2
gt v g v
�ł łł
w 0 0
h = v t - = v - =
max 0 w 0
2 g 2 2g
2
Spadek swobodny
g
v = 0
y 0
vt = v0 + gt = gt
Przebyta droga
2
gt
h =
2
Jeżeli ciało spadało z wysokości H, to czas jego lotu
2h
t =
g
Prędkość końcowa
v = 2gh
k
3
1
2013-10-10
Rzut ukośny
4
Rzut ukośny
x = v0 xt
t2
y = v0 yt - g
2
vy = voy - gt
Czas lotu
v = v cos(� )
0 x 0
v = v sin(� )
0 y 0
2v0 y 2v0 sin(� )
0 = v0 y - gt1/2 �! t = 2t1/2 = =
g g
Zasięg
2
2v0 sin(� ) v0 sin(2� )
R = v0xt = v0 cos(� ) �" =
g g
5
Rzut ukośny - równanie toru
x = v t
0 x
2
t
y = v t - g
0 y
2
x
t =
v
0 x
2
v = v cos(� )
0 x 0 �ł x �ł
�ł �ł
�ł �ł
v = v sin(� ) x v g
�ł 0 x łł 2
0 y 0
y = v - g = xtg� - x
0 y 2 2
v 2 2v cos (� )
0 x 0
�ł �ł
g
Zasięg
y = 0 �! R - R = 0
�łtg� 2 �ł
�ł �ł
2v0 cos2 �
( )
�ł łł
2 2
2v0 cos2 � v0 sin 2�
sin� ( ) ( )
R = �" =
cos� g g
6
2
2013-10-10
Siła tarcia
N
R
Maksymalna wartość siły
tarcia statycznego
fs,max =�sN
7
Siła tarcia
Wartość siły tarcia kinetycznego
fk = �k N
N - wartość siły normalnej
( siły prostopadłej do powierzchni)
fk = �k N
8
9
3
2013-10-10
a
N
Przykład 2.
F
T
1) " F = N - mg cos� = 0 �! N = mg cos�
y
T = �kmg cos�
2 = F - mg sin� -T = ma
)
"Fx
F - mg sin� - �kmg cos�
a =
m
10
b)
m1 g - T = 0
T = Nf
N = m1a
F - N = m2a
4
2013-10-10
Opis ruchu na płaszczyz
nie i przestrzeni
Wektor położenia
Ć
r = -3iĆ + 2 5
+ 5k
Ć
r = x� + y5
+ zk
14
Przemieszczenie
"r = r2 - r1
15
5
2013-10-10
Ruch punktu materialnego na płaszczyz
nie
Wektor prędkości średniej
"r
vsr =
"t
"x �"i + "y �" j "x "y
vsr = = i + j
"t "t "t
vsr = vsr ,xi + vsr,y j
16
" Wektor prędkości średniej
y
R1 = (5m)i + 5m j
( )
"R
R2 = (12m)i + 4.8m j
( )
R1
R2
x
"R 12 - 5 4.8 - 5
vsr = = i + j
"t 2 2
vsr = 3.5m / s i -( )
( ) 0.1m / s j
" Wartość średniej szybkości
Długość przebytej drogi w czasie "t
"s
v =
"t
17
2. Prędkość chwilowa
"r "x "y
�ł �ł
v(t) = lim = lim i + j
�ł �ł
"t0 "t0
"t "t "t
�ł łł
" x " y
v (t ) = li �ł i + lit �ł j
m0 �ł �ł " m0 �ł �ł
�ł �ł
" t
" t " t
�ł łł �ł łł
"r = "x �" i + "y �" j
" x " y
�ł �ł �ł �ł
v (t ) = lim i + lim j
�ł �ł �ł �ł
" t 0 " t 0
" t " t
�ł łł �ł łł
d x d y
v (t ) = i + j
d t d t
v = vxi + vy j
18
6
2013-10-10
v = vxi + vy j
Prędkość chwilowa jest zawsze
styczna do toru
19
Przyspieszenie
1. Przyspieszenie średnie
"v
asr =
"t
20
Przyspieszenie
2. Przyspieszenie chwilowe
"v �ł "vx "vy �ł
a = lim = lim i + j
�ł �ł
"t0 "t0
"t "t "t
�ł łł
asr
"vy
"v "vx �ł �ł �ł
�ł
a = lim = lim i + lim j
�ł �ł �ł �ł
"t0 "t0 "t0
"t "t "t
�ł łł
�ł łł
"v dvx dvy
a = lim = i + j
"t0
"t dt dt
a = axi + ay j
21
7
2013-10-10
Układy nieinercjalne
22
Przyspieszenie dośrodkowe
v2
Ć
ad = - �" r
r
v2
ad =
r
Układy nieinercjalne
Wyznaczyć wartość okresu obiegu. Z punktu widzenia
obserwatora w inercjalnym układzie odniesienia
F  siła naciągu liny
F cos � = mg
mv2
F sin � =
R
v2
tan � =
Rg
2Ą R R Lcos �
T = = �! T = 2Ą
v r �"tg� g
24
8
2013-10-10
Układy nieinercjalne
Wyznaczyć wartość okresu obiegu. Z punktu widzenia
obserwatora w nieinercjalnym układzie odniesienia
F  siła naciągu liny
F cos � = mg
mv2
F sin � =
R
v2
tan � =
Rg
2Ą R R Lcos �
T = = �! T = 2Ą
v r �"tg� g
25
9