Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Wybrane rozkłady zmiennej losowej
Zad.1 Rzucono pięć razy symetryczną monetą. Niech zdarzenie X oznacza liczbę wyrzuconych orłów. Wyznacz:
a) rozkład zm. los. X ,
b) p-stwo wyrzucenia co najmniej raz orła,
c) wartość oczekiwaną zm. los. X , jej wariancję i odchylenie standardowe,
d) dystrybuantę zm. los. X .
Zad.2 Rzucono cztery razy symetryczną kostką do gry. Niech zmienną losową X będzie liczba otrzymanych wyników
podzielnych przez 3. Wyznacz:
a) rozkład zm. los. X ,
b) wartość oczekiwaną zm. los. X , jej wariancję i odchylenie standardowe.
Zad.3 Na drodze ruchu pociągów znajduje się 6 semaforów, z których każdy zezwala na przejazd z p-stwem p = 0, 8 .
Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub
stację docelową. Wyznaczyć:
a) rozkład zm. los. X ,
b) wartość oczekiwaną zm. los. X , jej wariancję i odchylenie standardowe,
c) p-stwo P (X 2) .
Zad.4 Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy i znane jest p-stwo uzyskania co namniej raz sukcesu w czterech
80
próbach: P (X 1) = . Jakie jest p-stwo uzyskania sukcesu w jednej próbie?
81
Zad.5 Zmienna losowa X ma rozkład Poissona, przy czym  = 2 . Obliczyć: P (X < 3) , P (X > 5) ,
P (1 X 4) .
Zad.6 W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano stu pracowników pracujących na stanowiskach produkcyjnych, dokonu-
jąc w ciągu miesiąca obserwacji jakości ich produkcji. Otrzymano następujące wyniki:
Liczba braków 0 1 2 3 4 5 6 7
Liczba pracowników 15 33 26 16 6 2 1 1
Zakładając, że rozkład p-stwa występowania braków jest rozkładem Poissona, należy:
a) wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X , definiowaną liczbą braków powstałych w ciągu miesiąca,
b) znalez
ć p-stwo, że losowo wybrany pracownik ma na swoim koncie dokładnie 5 braków.
Zad.7 W okręgu Włoszczowa - Południe zaobserwowano w ciągu 10 lat średnio 3 wykolejenia pociągów rocznie.
Zmienna losowa X , oznaczajaca liczbę wykolejeń rocznie, może przyjmować wartości: 0, 1, 2, . . . . Obliczyć
p-stwo, że:
a) liczba wypadków nie przekroczy jednego w ciągu roku,
b) liczba wypadków będzie równa dokładnie 5 w ciągu roku.
Zad.8 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(0, 1) . Obliczyć: P (0 < X < 2) , P (X > 1, 5) , P (|X| 1) ,
P (X2 - X 1) .
Zad.9 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(1, 2) . Obliczyć: P (-1 < X < 2) , P (X > -0, 5) ,
P (|X| 1, 5) .
Zad.10 Dokonując pomiaru długości pewnym przyrządem popełniamy błąd systematyczny 1 cm (z nadmiarem) i błąd
losowy o rozkładzie N(0; 0, 3) .
a) Obliczyć wartość oczekiwaną całkowitego błędu pomiaru.
b) P-stwo, że całkowity błąd pomiaru nie przekracza 1,5 cm.
c) P-stwo, że odczytany wynik pomiaru nie przekracza rzeczywistej wartości mierzonej wielkości.
Zad.11 Znalez
ć rozkład p-stwa losowej pracy wykonanej przez losowę siłę o rozkładzie N(5, 2) na drodze s = 10 .
1